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(共72张PPT)
　立体几何
专题一　点、线、面之间的位置关系
8.3　直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角
知识点2　异面直线所成的角
1. 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线.
2. 异面直线的画法（衬托平面法）
如图所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来 衬托.
3. 判断两条直线为异面直线的方法
（1）异面直线判定定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过 该点的直线是异面直线.
（2）两条直线既不平行也不相交.
4. 异面直线所成角的定义
已知空间中两条异面直线a，b，如图1所示，经过空间中任意—点O，作直线 a1∥a，b1∥b，把直线a1与b1的夹角θ（锐角或直角），叫作异面直线a，b所 成的角，如图2所示.
在作异面直线a与b所成的角时，常在其中的一条直线上取一点O，过点O作另 一条直线的平行线，如图3所示.
知识点3　异面直线的公垂线
1. 两条异面直线的公垂线的定义：与两条异面直线同时垂直且相交的直线称为这 两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线有且只有一条.
2. 两条异面直线的距离的定义：两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线 之间的部分，称为这两条异面直线的公垂线段，公垂线段的长度称为两条异 面直线的距离.
3. 求两条异面直线距离的方法：
（1）能找到公垂线段，直接计算；
（2）找不到公垂线段可以采用以下的方法：
方法一，找经过异面直线中的某一条直线的平面与另一条直线平行，求线与面的 距离；
方法二，找经过异面直线中的每一条直线的平行平面，求面与面的距离.
知识点4　等角定理
等角定理：如果两条相交直线l1与l2分别平行于另外两条相交直线l'1与l'2，那么l1 与l2所成的角和l'1与l'2所成的角相等.
等角定理推论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么
（1）若角的两边射线方向完全相同或相反，则两个角相等；
（2）若角的两边射线方向一边相同另一边相反，则两个角互补.
知识点5　直线与平面所成的角
1. 平面的垂线：如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么 就称这条直线和这个平面互相垂直.这条直线叫作这个平面的垂线，这个平 面叫作这条直线的垂面，直线与平面的交点叫作垂足，垂线上任意一点到垂 足之间的线段，叫作这点到这个平面的垂线段.如图所示，直线l叫作平面α 的垂线，点O叫作垂足.
2. 平面的斜线：如果一条直线和一个平面相交但不垂直，那么这条直线叫作这个 平面的斜线，斜线和平面的交点叫作斜足.如图所示，直线m叫作平面α的斜线， 点B叫作斜足.
3. 射影：经过斜线上除斜足以外的一点向平面作垂线，过垂足与斜足的直线叫作 斜线在这个平面上的射影.如图所示，直线m叫作平面α的斜线，直线AO叫作平 面α的垂线，直线OB叫作斜线m在平面α内的射影.
知识点6　二面角
1. 半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半 平面.
2. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.这条直线叫 作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面.如图所示，两图中的二面角可分 别记作二面角α－l－β和二面角B－AC－D.
3. 二面角的平面角
如图所示，在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以O为垂足分别在半平面α与 β内作OM⊥l，ON⊥l，则射线OM和ON所成的最小正角∠MON叫作二面角 的平面角.
二面角的大小用它的平面角的大小来度量的，规定：当二面角的两个半平面重合 时，二面角为零角；当二面角的两个半平面构成一个平面时，二面角为平角；平 面角是直角的二面角叫作直二面角.
4. 二面角的范围：[0，π].
例1　如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则以下直线中与直线CC1异面 的是（　　）.
A. A1C B. AC1
C. BD1 D. AC
【考查目标】 本题考查异面直线的概念及判定方法.
【解析】 由图可知，直线A1C，AC1，AC都与直线CC1相交，连接CD1和 A1B，由异面直线的判定定理可知CC1与BD1是异面直线.
【答案】 C
【解题技巧】 判定空间中两条直线是异面直线的方法：利用判定定理或用反证法 来证明.
A. 只要在两个平面内的两条直线就是异面直线
B. 只要两条直线没有公共点就是异面直线
C. 一条直线与平面相交，在平面内的任意的一条直线都与该直线成异面直线
D. 异面直线一定不是共面直线
D
例2　（2023年安徽省职教高考真题）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下 列直线中与直线BD所成的角为60°的是（　　）.
A. A1B1 B. A1C1 C. A1A D. B1C
【考查目标】 本题考查空间几何体中直线与直线所成的角.
【答案】 D
【解析】 因为A1B1∥AB，所以直线A1B1与直线BD所成的角即为∠ABD＝ 45°；因为A1C1∥AC，所以直线A1C1与直线BD所成的角即直线AC与直线 BD所成的角，因为AC⊥BD，所以直线A1C1与直线BD所成的角为90°；因为 A1A∥BB1，所以直线A1A与直线BD所成的角即为∠B1BD＝90°；连接 A1D，A1B. 因为A1D∥B1C，所以直线B1C与直线BD所成的角即为 ∠A1DB，又△A1DB为等边三角形，故∠A1DB＝60°.
①利用图中已有的平行线平移；
②利用特殊点（线段的中点或端点）作平行线平移；
③补形平移（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）.
【解题技巧】 （1）求两条异面直线所成的角的常用方法是平移法，平移法一般 有三种类型：
变式训练2
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
D
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【解析】如题图，因为A1B∥CD1，所以异面直线A1B与AD1所成的角即为直线 AD1与CD1的夹角，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为△ACD1为正三角形， 所以直线AD1与CD1的夹角为60°，故异面直线A1B与AD1所成的角是60°.
C
A
例3　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接BC1，求直线BC1与平面 ABCD所成的角的大小.
【考查目标】 本题考查直线与平面所成的角的概念及求法.
【解析】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵C1C⊥平面ABCD，
∴斜线BC1在平面ABCD内的射影为BC，
∴直线BC1与平面ABCD所成的角为∠C1BC.
∵BC＝CC1，∠C1CB＝90°，∴△C1BC为等腰直角三角形，
∴∠C1BC＝45°，即直线BC1与平面ABCD所成的角的大小为45°.
【解题技巧】 求直线与平面所成的角，关键是找到直线在平面内的射影，直线与 射影的夹角即为直线与平面所成的角.
B. 2
D
B
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
B
例4　下列说法错误的是（　　）.
A. 过一条直线的两个平面所成的角叫作二面角
B. 二面角的大小是根据它的平面角的大小来度量的
C. 二面角的范围是[0，π]
【考查目标】 本题考查二面角的概念.
【解析】 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.其中，这条直 线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面.
【答案】 A
变式训练4
A. 过棱上一点分别在二面角的两个半平面内各画一条射线，则两条射线所构成 的角就是二面角的平面角
B. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∠D1AB1是二面角D1－AA1－B1的平面角
C. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A1－BD－A与二面角A1－BD－C的 平面角互余
D. 根据等角定理知，一个二面角的平面角可以有无数个，且都相等
D
【解析】过棱上一点要分别在两个半平面内作与棱垂直的射线，两条射线所构成 的角就是二面角的平面角，故A项错误；因为D1A1⊥AA1，A1B1⊥AA1，二面角 D1－AA1－B1的棱是直线AA1，根据二面角的平面角的定义，可知∠D1A1B1是 二面角D1－AA1－B1的平面角，故B项错误；连接AC，BD相交于点O，连接 A1O，则二面角A1－BD－A的平面角是∠A1OA，二面角A1－BD－C的平面 角是∠A1OC，而∠A1OA＋∠A1OC＝180°，即两个二面角的平面角互补，故 C项错误.
例5　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角C－BD－C1的正切值 为 　　　　.
【考查目标】 本题考查二面角的平面角的正切值.
【解题技巧】 （1）求二面角大小的方法：
①定义法：在棱上任取一点，过这一点分别在两个半平面内作与棱垂直的射线， 这两条射线组成的角就是二面角的平面角；
②垂面法：作垂直于二面角的棱的垂面，则该垂面与二面角的两个半平面的交线 所成的角就是二面角的一个平面角；
③垂线法：在二面角的一个半平面内取一点作出另一个半平面的垂线，过垂足作 棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角.
（2）一般来说，只有相交直线才说夹角，而异面直线、线面、面面间都只说所 成的角，尽量不要混用.
（3）化归思想在这里的运用：无论是求异面直线所成的角，还是线面所成的 角，或者是面面所成的角，都要转化为相交直线的夹角来进行计算（由复杂向简 单的转化）.
变式训练5
B
A. AC⊥平面BB1D1D
B. BD∥CD1
C. 二面角A－DD1－B的大小是45°
D. 异面直线BD与CD1所成的角的大小是60°
【解析】由正方体的性质，知AC⊥BD，AC⊥BB1，且BD 平面BB1D1D， BB1 平面BB1D1D，BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面BB1D1D，A项正确；因 为BD∥B1D1，B1D1∩CD1＝D1，所以直线BD与直线CD1是异面直线.连接 B1C，则△B1CD1为等边三角形，所以异面直线BD与CD1所成的角的大小是 60°，B项错误，D项正确；由正方体的性质，易知二面角A－DD1－B的平面 角为∠ADB＝45°，所以二面角A－DD1－B的大小是45°，C项正确.
A. 90° B. 60°
C. 45° D. 30°
B
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
C
例6　如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点.
（1）找出异面直线DD1与AC的公垂线，并求出两条异面直线的距离；
（2）求异面直线EC与DD1之间的距离.
【考查目标】 本题考查异面直线的公垂线的定义和两条异面直线的距离.
A. 与两条异面直线同时垂直的直线是这两条异面直线的公垂线
B. 与两条异面直线同时相交的两条直线一定是异面直线
C. 两条异面直线的公垂线有且只有一条
D. 两条异面直线的公垂线可能有一条也可能有两条
【解析】与两条异面直线同时垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线， 且两条异面直线的公垂线有且只有一条，故A，D项错误，C项正确；与两条异 面直线同时相交的两条直线可能相交，也可能异面，B项错误.
C
A. BB1 B. CC1
C. AA1 D. DD1
【解析】两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的部分，称为这两条异面 直线的公垂线段，故D项正确.
D
A. 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，且角的两边射线方向完全相 同或相反，那么这两个角相等
B. 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补
C. 平行移动两条异面直线中的任何一条，它们所成的角是保持不变的，其蕴含 的主要数学原理是等角定理
D. 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互余
D
【解析】由等角定理推论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行；那么 （1）若角的两边射线方向完全相同或相反，则两个角相等；（2）若角的两边射 线方向一边相同另一边相反，则两个角互补.可以知道，A，B项正确，D项不正 确，根据等角定理知C项正确.
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
2.B
【解析】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥CC1，所以异面直线MN 与CC1所成的角即为直线AA1与MN的夹角∠A1MN；又因为点M，N分别为 AA1，A1B1的中点，所以△A1MN为等腰直角三角形，即∠A1MN＝45°.故直 线MN与直线CC1所成的角等于45°.
A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 以上都有可能
【解析】以正方体为例说明，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB1，DC1与平 面ABCD所成的角均为45°，AB1∥DC1；AB1，B1C与平面ABCD所成的角均 为45°，AB1与B1C相交；AB1，D1C与平面ABCD所成的角均为45°，AB1与 D1C异面.
D
C
A. 1
D
A. 两条异面直线所成角的范围是[0°，90°]
B. 直线与平面所成的角的范围是[0°，90°]
C. 斜线与平面所成的角的范围是（0°，90°）
D. 二面角的大小范围是[0°，180°]
【解析】根据两条异面直线所成角的定义可知，两条异面直线所成的角不可能是 0°，如果是0°，这两条直线就平行或重合，与异面矛盾.根据直线与平面所成 角的定义及二面角的概念可知B，C，D正确.
A
C
D
二、填空题
第9题图
10. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD1与平面ABCD所成角的余弦 值为 .
第10题图

11. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AD1C1B与平面ABB1A1所成 的角为 .
第11题图
45°
12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BC1的中点，则二面角D －BC1－C的正切值为 .
第12题图
三、解答题
解：连接AC交BD于点O，连接OC1.
在正方形ABCD中，易知OC⊥BD.
在等腰△BDC1中，OC1⊥BD，
因为OC 平面BCD，OC1 平面BC1D，
平面BCD∩平面BC1D＝BD，
所以∠COC1是二面角C－BD－C1的平面角.
又因为0°＜∠COC1＜90°，
所以∠COC1＝30°，
即二面角C－BD－C1的大小为30°.
14. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求直线A1B与平面BDD1B1所成 角的大小.
解：连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.
在正方形A1B1C1D1中，易知A1C1⊥B1D1，即A1O⊥B1D1.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1⊥平面A1B1C1D1，A1O 平面 A1B1C1D1，
所以BB1⊥A1O.
又因为BB1∩B1D1＝B1，BB1 平面BDD1B1，B1D1 平面BDD1B1，
所以A1O⊥平面BDD1B1，
所以∠A1BO是直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
设正方体的棱长为a，
又因为0°＜∠A1BO＜90°，
所以∠A1BO＝30°.
即直线A1B与平面BDD1B1所成角的大小为30°.
解：如图所示，取AB的中点E，连接CE，DE，
因为AC＝BC，所以CE⊥AB.
又因为DC⊥平面ABC，所以DC⊥AC，DC⊥BC，
故在等腰三角形DAB中，DE⊥AB.
又因为DE 平面DAB，CE 平面CAB，
平面DAB∩平面CAB＝AB，
所以∠DEC为二面D－AB－C的平面角.
因为DC⊥平面ABC，CE 平面ABC，
所以DC⊥CE，
又因为0°＜∠DEC＜90°，
所以∠DEC＝45°，
即二面角D－AB－C的大小是45°.

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