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　立体几何
专题二　空间几何体
8.5　空间几何体及其表面积和体积
知识点1　空间几何体的定义和特征
1. 多面体
（1）多面体
由若干个平面多边形围成的封闭的几何体称为多面体.
围成多面体的各个多边形称为多面体的面，相邻的两个面的公共边称为多面体的 棱，棱与棱的公共点叫作多面体的顶点.
（2）棱柱
①概念：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个面的交线都互 相平行的多面体叫作棱柱.
棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的底面；其余各面称为棱柱的侧面；相邻两个 侧面的公共边称为棱柱的侧棱；侧棱与底面的交点叫作棱柱的顶点；不在同一平 面上的两个顶点的连线叫作棱柱的对角线；两个底面间的距离称为棱柱的高.
②直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱.
③斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱.
④正棱柱：底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱.
⑤正棱柱的主要性质：
a.两个底面是平行且全等的正多边形；
b.侧面都是全等的矩形；
c.侧棱互相平行并垂直于底面，各侧棱都相等，侧棱与高相等.
（3）棱锥
①概念：有一个面是多边形，其余各面是三角形，且这些三角形有一个公共点， 我们称这样的多面体为棱锥.
这个多边形称为棱锥的底面（简称底）；其余各面称为棱锥的侧面；各侧面的公 共点称为棱锥的顶点；相邻侧面的公共边称为棱锥的侧棱；顶点到底面的距离称 为棱锥的高.
②正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面内的投影是底面中心的棱锥称为正棱 锥，正棱锥侧面三角形的高称为棱锥的斜高.
③正棱锥的性质：
a.各条侧棱相等，斜高相等，侧面是全等的等腰三角形；
b.顶点到底面中心的连线垂直于底面，是正棱锥的高；
c.正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的投影构成一个直角三角形，正棱锥的高、 侧棱和侧棱在底面的投影构成一个直角三角形.
2. 旋转体
（1）旋转体
一般地，一条平面曲线绕着它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面称为旋 转面，封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体.这条定直线称为旋转体的轴，这 条曲线称为旋转体的母线.
（2）圆柱
以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余各边绕轴旋转所形成的封闭几何体称为 圆柱.
旋转轴称为圆柱的轴.垂直于轴的边旋转形成的圆面称为圆柱的底面.平行于轴的 边称为圆柱的母线，母线旋转而成的曲面称为圆柱的侧面.两个底面圆心之间的 距离叫作圆柱的高.
圆柱的性质：
①两个底面是半径相等且平行的圆，平行于底面的横截面是与底面相同的圆；
②母线平行且相等，都等于圆柱的高；
③过轴的截面（轴截面）是矩形，且该矩形的相邻的两条边长分别为圆柱的高和 底面的直径.
（3）圆锥
以直角三角形的一条直角边所在直线为轴，其余各边绕轴旋转形成的封闭的几何 体称为圆锥.
这条轴称为圆锥的轴.另一条直角边旋转所形成的圆面称为圆锥的底面.斜边旋转 而形成的曲面称为圆锥的侧面，这条斜边叫作圆锥的母线.母线与轴的交点称为 顶点.顶点到底面圆心的距离称为圆锥的高.
圆锥的性质：
①平行于底面的截面都是圆；
②高垂直于底面圆，且过圆心；
③轴截面为等腰三角形，高为圆锥的高，腰是圆锥的母线，底边是底面圆的 直径.
注：①截面：用平面截一个几何体所得到的面.
②轴截面：经过旋转轴的截面.
知识点2　柱、锥和球的表面积与体积
几何体 侧面积公式 表面积（全面积） 公式 体积公式
圆柱 S侧＝ch＝2πrh S全＝S侧＋2S底 V＝S底h＝πr2h
圆锥 S全＝S侧＋S底
棱柱 S侧＝ch S全＝S侧＋2S底 V＝S底h
正棱锥 S全＝S侧＋S底
球 — S表＝4πR2
其中，c表示圆柱（或圆锥、棱柱、棱锥）底面的周长，r表示圆柱（或圆锥） 底面圆的半径，h表示圆柱（或圆锥、棱柱、棱锥）的高，l表示圆锥的母线，h' 表示正棱锥的斜高，R表示球的半径，S全或S表表示圆柱（或圆锥、棱柱、棱 锥、球）的全（或表）面积，S底表示圆柱（或圆锥、棱柱、棱锥）的底面积，S 侧表示圆柱（或圆锥、棱柱、棱锥）的侧面积，V表示体积.
例1　（2020年安徽省职教高考真题）下列几何体中，为旋转体的是（　　）.
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④
【考查目标】 本题考查旋转体的概念和对常见旋转体的识别.
【解析】 圆柱、圆锥和球为常见的旋转体.理解多面体和旋转体的区别即可做出 选择.
【答案】 C
A. 一个圆柱 B. 一个圆锥
C. 一个圆台 D. 两个圆锥的组合体
D
例2　给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是（　　）.
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【考查目标】 本题考查空间几何体的定义和特征.
【答案】 A
【解析】 对于①，在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一 定是圆柱的母线，故①错；对于②，有一个面是多边形，其余各面都是三角形的 几何体不一定是棱锥，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是 有一个公共顶点的三角形”，故②错误；对于③，棱台的上、下底面互相平行且 是相似图形，各侧棱的延长线交于一点，正棱台的侧棱长一定相等，故③错.
A. 平行四边形 B. 矩形
C. 三角形 D. 正方形
【解析】沿圆柱的一条母线将圆柱侧面展开在一个平面上所得的图形称为圆柱的 侧面展开图，它是一个矩形.
A. ①② B. ①④
C. ②③ D. ③④
B
B
【解析】直棱柱的定义是侧棱与底面垂直，所以侧棱长和高相等，故命题①正 确；有两个侧面是矩形的棱柱不一定是直棱柱，命题②说法不正确；底面为正多 边形的棱柱不一定是正棱柱，还要满足侧棱与底面垂直，故命题③不正确；根据 正棱柱的定义知，正棱柱的所有侧面都是全等的矩形，故命题④正确.
例3　（2022年安徽省职教高考真题）如图，正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为 1，E，F分别为A'B'，C'D'的中点，则三棱柱BB'E－CC'F的体积为（　　）.
【考查目标】 本题考查棱柱的体积计算.
【答案】 C
【解题技巧】 ①了解棱柱、直棱柱、正棱柱的区别与联系，厘清它们之间 的关系.
②掌握正棱柱的性质：底面是正多边形；侧棱与底面垂直，即侧棱与高相等.
③如果几何体是不规则的几何体，但能分解成几个规则的几何体，要分别求表面 积和体积，在求表面积时注意里面被相互遮挡的面（也就是从表面看不到的面） 的面积要减掉.
变式训练3
A. 100 B. 84 C. 80 D. 64
C
例4　（2017年安徽省职教高考真题）如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱 长为1，则三棱锥A1－BCD的体积为（　　）.
【考查目标】 本题考查三棱锥体积公式的应用.
【答案】 C
【解题技巧】 ①了解棱锥、正棱锥与正多面体的概念，清楚正三棱锥和正四面体 的区别和联系.
②正棱锥的性质：各侧棱长都相等，各侧面都是全等的等腰三角形；正棱锥的 高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱 在底面上的射影也组成一个直角三角形.根据正棱锥的性质，结合已知量求出未 知量，是求解正棱锥的侧面积、表面积和体积的关键.
③求正棱锥的侧面积时，关键要知道斜高和底面边长；求棱锥的体积时，关键要 知道底面面积和高.
变式训练4
D
D
例5　（2025届安徽省“江淮十校”职教高考第三次联考）已知一圆柱的侧面展 开图是面积为4π的矩形，则该圆柱轴截面的面积为（　　）.
A. 2π B. 4π C. 2 D. 4
【考查目标】 本题考查圆柱的有关计算.
【解析】 由题意可知该圆柱的高h与底面半径r满足2πrh＝4π，即rh＝2，故该 圆柱的轴截面的面积是2rh＝2×2＝4.
【答案】 D
【解题技巧】 解决圆柱的有关计算要弄清楚以下问题：（1）圆柱的侧面展开图 是矩形，且其相邻的两边长分别为底面周长和圆柱的高；（2）圆柱的轴截面也 是矩形，且其相邻的两边长分别为底面的直径和圆柱的高；（3）柱体的体积公 式：底面积×高.
变式训练5
A. 2π B. 4π C. 6π D. 8π
【解析】因为一个圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，所以该圆柱的底面半 径r＝1，h＝2，所以圆柱的侧面积为S侧＝2πrh＝2π×1×2＝4π，底面积S底＝ πr2＝π，所以它的表面积为S表＝S侧＋2S底＝6π.
C
例6　（2024年安徽省职教高考真题）某粮囤由圆柱体和圆锥形的顶组成，它的 直观图如图所示.已知圆柱的底面直径为8 m，高为4 m，圆锥的母线PB与底面圆 的直径AB成45°角，则此粮囤的容积（单位：m3）为（　　）.
B. 96π C. 128π
【考查目标】 本题考查圆柱和圆锥的体积公式的应用.
【答案】 A
【解题技巧】 （1）熟记圆柱、圆锥的体积计算公式；（2）圆锥的母线、高、底 面半径三者构成一个直角三角形；（3）圆锥的母线、和底面直径构成一个等腰 三角形（也是圆锥的轴截面三角形），底角即为母线与底面所成的角.
变式训练6
D
A. 3π B. π
C
解：如图，因为圆锥的轴截面是顶角为120°的等腰三角形，
例7　已知一个球的表面积是16π.求该球的体积.
【考查目标】 本题考查球的表面积和体积公式的应用.
【解析】 由球的表面积是16π，知S表＝4πR2＝16π，解得R＝2.
B. 2π D. 6π
【考查目标】 本题考查球的表面积和圆柱的表面积的计算.
【答案】 D
【解题技巧】 ①求球的体积和表面积时，必须知道球的半径R或通过条件求出半 径R，然后代入体积公式或表面积公式求解.
②半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积和体积的相 关题目就易如反掌了.
③球的截面问题：有关球的截面问题，常画出球的截面圆，将问题转化为平面中 圆的问题.解题时要注意借助于球的半径R，截面圆的半径r，球心到截面圆的距 离d构成直角三角形，根据R2＝r2＋d2求解.
④长方体的外接球问题：长方体的八个顶点都在球面上，称该球为长方体的外接 球.根据球的定义可知，长方体的体对角线是外接球的直径.
⑤正方体的内切球问题：正方体的六个面都与球面相切，称该球为正方体的内切 球.根据球的定义可知，正方体的棱长是内切球的直径.
A. 7π B. 8π
C
A. 2 D. 3
A. 27π B. 36π C. 45π D. 54π
B
D
A. 72 B. 72π C. 18 D. 18π
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
A
A
A. 底面是正方形的四棱锥是正四棱锥
B. 侧棱都相等且底面四边形的四边都相等的四棱锥是正四棱锥
C. 正棱柱的侧面是全等的矩形
D. 直棱柱都是正棱柱
【解析】正棱锥定义：底面是正多边形且顶点在底面的投影是底面正多边形的中 心；正棱柱的定义：底面是正多边形的直棱柱.因此A，B，D项错误，C项正确.
C
C. 24a3π
D
B
A. 128，96 B. 112，96
C. 128，72 D. 112，72
【解析】由题知该正四棱柱的表面积为4×4×6＋2×42＝128，体积为42×6＝ 96.
A
第5题图
B
　　　　
第6题图
A
A. 2π
C
A. 1∶2 B. 2∶1 C. 4∶1 D. 1∶4
B
二、填空题
9. 已知圆锥的高是9，母线与底面所成的角为60°，则圆锥的体积为 .
10. 已知一个底面边长为2的正三棱柱，侧棱长为3，则它的体积为 .
81π
11. 已知球的半径为5，它的一个球截面的圆心与球心之间的距离为4，则该球截 面的面积为 .
9π

14. 把一块边长为10 cm的正方形铁片按如图1所示的阴影部分裁出，得到四 个底为8 cm，高为5 cm的全等的等腰三角形并加工成一个如图2所示的正四 棱锥形容器.
（1）求所得的正四棱锥容器的侧面与底面所成角的余弦值；
解：（1）如图所示，OE⊥底面ABCD，取BC的中点F，连接OF，EF.
∵△EBC为等腰三角形，
∴EF⊥BC，OF⊥BC，
∴∠EFO为侧面与底面所成二面角的平面角.
∵EF＝5 cm，BC＝8 cm，∴OF＝4 cm，
（2）求正四棱锥的容积V.

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