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　平面解析几何
专题一　直线与圆的方程
7.3　圆的方程
知识点　　圆的方程
1. 圆的定义
圆是平面内到定点的距离为定长的动点的轨迹，定点称为圆心，定长称为半径.
2. 圆的标准方程
在平面直角坐标系中，圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程为
（x－a）2＋（y－b）2＝r2.若圆心在坐标原点O（0，0）时，半径为r，则圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
4. 点与圆的位置关系
判断点与圆的位置关系的常见方法有两种：
（1）几何法
比较点到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系：
①当d＜r时，点在圆内；
②当d＝r时，点在圆上；
③当d＞r时，点在圆外.
（2）根据点的坐标（x0，y0）与圆的方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2的关系进 行判断：
①当（x0－a）2＋（y0－b）2＞r2时，点在圆外；
②当（x0－a）2＋（y0－b）2＝r2时，点在圆上；
③当（x0－a）2＋（y0－b）2＜r2时，点在圆内.
例1　（2021年安徽省职教高考真题）以点C（－5，2）为圆心，5为半径的圆的 标准方程是（　　）.
A. （x－5）2＋（y＋2）2＝5 B. （x－5）2＋（y＋2）2＝25
C. （x＋5）2＋（y－2）2＝5 D. （x＋5）2＋（y－2）2＝25
【考查目标】 本题考查圆的标准方程.
【解析】 根据圆的标准方程公式，本题a＝－5，b＝2，r＝5，
故所求方程为（x＋5）2＋（y－2）2＝25.
【答案】 D
【解题技巧】 以点（a，b）为圆心，r为半径的圆的标准方程为（x－a）2＋ （y－b）2＝r2.
A. （x－1）2＋（y＋1）2＝4 B. （x＋1）2＋（y－1）2＝4
C. （x－1）2＋（y＋1）2＝2 D. （x＋1）2＋（y－1）2＝2
C
例2　下列关于方程x2＋y2＋4x－3y＋5＝0的说法，正确的是（　　）.
A. 表示一个圆 B. 表示一个点
C. 表示一条直线 D. 不表示任何图形
【考查目标】 本题考查圆的一般方程.
【解析】 根据圆的一般方程，本题D＝4，E＝－3，F＝5，则D2＋E2－4F＝ 16＋9－20＝5＞0，故该方程表示一个圆.
【答案】 A
【解题技巧】 对于圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D，E，F为常 数）：
（1）若D2＋E2－4F＞0，则方程表示一个圆；
（2）若D2＋E2－4F＝0，则方程表示一个点；
（3）若D2＋E2－4F＜0，则方程不表示任何图形.
A. （－∞，2）∪（6，＋∞）
B. （－∞，2）
C. （－2，＋∞）
D. （－∞，－6）∪（－2，＋∞）
【解析】由x2＋y2＋mx－4y＋2m＋1＝0表示一个圆，得m2＋（－4）2－4 （2m＋1）＞0，解得m＜2或m＞6.
A
例3　根据已知条件求圆的方程.
（1）求以点（2，－3）为圆心，3为半径的圆的标准方程；
【解析】 （1）已知a＝2，b＝－3，r＝3，则该圆的标准方程为（x－2）2＋ （y＋3）2＝9.
2）已知点A（3，－2），B（－5，4），求以线段AB为直径的圆的标准方程；
（3）求经过点A（4，－2），B（－1，3），C（3，3）的圆的一般方程；
（4）已知圆上的两个点分别为A（1，1），B（－3，5），且圆心在直线2x＋ y＋2＝0上，求该圆的标准方程.
【考查目标】 本题考查圆的标准方程、圆的一般方程.
【解题技巧】 求圆的方程的方法：
（1）根据圆心坐标和半径大小，直接写出圆的标准方程；
（2）设圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），建立关于 D，E，F的方程组求解.
A. （x＋2）2＋y2＝5 B. x2＋（y＋1）2＝5
C. （x＋2）2＋（y＋1）2＝5 D. （x＋1）2＋（y＋2）2＝5
C
A. x2＋（y－1）2＝8 B. x2＋（y＋1）2＝8
C. （x－1）2＋y2＝4 D. （x＋1）2＋y2＝4
B
A. 点A在圆上 B. 点A在圆外
C. 点A在圆内但不是圆心 D. 点A在圆内且是圆心
【考查目标】 本题考查点与圆的位置关系.
【答案】 C
【解题技巧】 判断点与圆的位置关系一般通过比较点到圆心的距离d与半径r的 大小关系来得到结论：
（1）当d＞r时，点在圆外；
（2）当d＝r时，点在圆上；
（3）当d＜r时，点在圆内.
A. 圆心坐标是（－1，2） B. 圆的半径是4
C. 点（0，0）在圆内 D. 圆经过点（1，0）
D
A. （2，－4），8
C. （－2，4），8
A. （x＋1）2＋（y＋3）2＝8 B. （x－1）2＋（y＋3）2＝8
C. （x－1）2＋（y－3）2＝8 D. （x＋1）2＋（y－3）2＝8
B
D
A. （x＋1）2＋（y－2）2＝4 B. （x－1）2＋（y－2）2＝4
C. （x－1）2＋（y＋2）2＝4 D. （x＋1）2＋（y＋2）2＝4
【解析】由x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，得圆C1的标准方程为（x＋1）2＋（y－ 2）2＝4，所以圆C1的圆心坐标为（－1，2），半径r＝2.由题意，得圆C2的圆 心为点（－1，2）关于原点对称的点，即（1，－2），且圆C2与圆C1的半径相 等，故圆C2的标准方程是（x－1）2＋（y＋2）2＝4.
C
C. （1，＋∞）
A. [－2，2] B. （－2，2）
C. （－∞，－2]∪[2，＋∞） D. （－∞，－2）∪（2，＋∞）
B
D
A. 2 B. －4 C. 4 D. －2
【解析】将圆的一般方程x2＋y2＋2x－2y＝0化为标准方程，得（x＋1）2＋ （y－1）2＝2，则圆心坐标是（－1，1）.由圆的性质，得直线y＝kx＋3经过 圆心，则1＝－k＋3，故k＝2.
A
二、填空题
7. 圆x2＋y2－6x＋4y＋9＝0的面积为 .
8. 圆C：x2＋y2－2ax＋4y－1＝0（a＞0）的半径为3，则圆C的圆心坐标 为 .
【解析】圆C：x2＋y2－2ax＋4y－1＝0（a＞0）的方程可化为（x－a）2＋ （y＋2）2＝a2＋5，由题意得a2＋5＝32，所以a＝2（a＝－2舍去），所以圆心 坐标为（2，－2）.

9. 圆心在直线x－y＝0上，并且经过点A（2，4）和B（4，6）的圆的半径 为 .

10. 已知点P（4，－2），而点Q是圆（x－2）2＋（y－1）2＝9上的任意一 点，则｜PQ｜的最大值为 .
11. 当a为任意实数时，直线（a－1）x－y＋a－1＝0恒过定点C，则以点C为 圆心，3为半径的圆的标准方程为 .
（x＋1）2＋y2＝9
三、解答题
12. 已知☉C的圆心为C（2，－1），它的一条直径AB的两个端点分别落在x轴 和y轴上，求☉C的标准方程.
13. 圆C的圆心在x轴上，半径为5，且过点P（6，3），求圆C的标准方程.
14. 根据已知条件求圆的方程.
（1）圆心坐标为（－1，2），半径为4的圆的标准方程；
解：（1）（x＋1）2＋（y－2）2＝16.
（2）经过A（2，1），B（1，2），C（0，1）三点的圆的一般方程；
（3）经过点A（2，－3），B（－2，－5），且圆心在y轴上的圆的标准方程.
15. 若点P（3，2）在圆C：x2＋y2＋mx－2y＋2m＋6＝0外，求实数m的取值 范围.

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