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(共45张PPT)
　平面解析几何
专题一　直线与圆的方程
7.2　直线的方程及位置关系
知识点1　直线的倾斜角与斜率
1. 直线的倾斜角
当直线l与x轴相交时，直线l向上的方向和x轴正方向所成的最小正角叫作直线 l的倾斜角.
特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角α＝0.直线l的倾斜角α的取值 范围是0≤α＜π.
2. 直线的斜率
知识点2　直线的方程
1. 直线的点斜式方程
设点P（x，y）为直线l上异于点P0（x0，y0）的任意一点，它与点P0（x0， y0）连线的斜率为k，则把方程y－y0＝k（x－x0）叫作直线l的点斜式方程，简 称点斜式.
当斜率k＝0时，直线l的方程为y＝y0，此时直线l平行于x轴（或与x轴重合）.
知识点3　两条直线的位置关系
设两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0（A1，B1不全为零），l2：A2x＋B2y＋C2＝0 （A2，B2不全为零）都不与坐标轴平行：
（4）当A1A2＋B1B2＝0时，两条直线垂直.
1. 两条直线平行
设直线l1，l2的斜率都存在，直线l1，l2的斜截式方程分别为y＝k1x＋b1，y＝ k2x＋b2.
两个方程的系数关系 k1≠k2 k1＝k2
b1≠b2 b1＝b2
两条直线的位置关系 相交 平行 重合
当直线l1和l2的斜率只有一个存在时，l1和l2相交.
当直线l1和l2的斜率都不存在，且在x轴上的截距不相等时，l1∥l2.
（1）两条直线的交点坐标就是两条直线的方程组成的方程组的解.
①方程组有唯一解 l1，l2相交，方程组的解即交点坐标.
②方程组有无数解 l1，l2重合.
③方程组无解 l1，l2平行.
2. 两条直线相交
当直线l1和l2的夹角为直角时，l1⊥l2.
①若直线l1，l2的斜率都存在，且l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，k1k2＝－ 1，则l1⊥l2.
②若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则这两条直线垂直.
注：规定两条直线平行或重合时的夹角为0.
知识点4　点到直线的距离与两条平行线间的距离
1. 点到直线的距离
当点P在直线l外时，称点P到直线l的垂线段的长度为点P到直线l的距离.
2. 两条平行直线间的距离
先在其中一条直线上取一个坐标数值比较简单的点，然后利用点到直线的距离公 式，求出这个点到另一条直线的距离，即为两条平行直线间的距离.
例1　已知直线l过A（－4，3），B（－2，1）两点，则直线l的斜率为 （　　）.
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
【考查目标】 本题考查直线斜率的计算.
【答案】 A
【解题技巧】 已知直线上两点的坐标时，直接根据两点的纵坐标之差与横坐标之 差的比来计算直线的斜率.
B
C. 1
【考查目标】 本题考查直线斜率的计算.
【答案】 B
【解题技巧】 直线l的倾斜角的正切值就是直线l的斜率.
B
A. x＋2y＋1＝0 B. x＋2y＝0
C. x－2y＋4＝0 D. x－2y＝0
【考查目标】 本题考查直线的点斜式方程.
【答案】 B
【解题技巧】 根据直线的点斜式方程y－y0＝k（x－x0）求直线的方程时要注 意符号问题.
A. （－1，1） B. （1，1）
C. （1，－1） D. （－1，－1）
【解析】由x－ay＋a＋1＝0，得x＋1－a（y－1）＝0，故直线l恒过点
（－1，1）.
A
例4　在y轴上的截距为－2，且倾斜角为60°的直线的斜截式方程是（　　）.
【考查目标】 本题考查直线的斜截式方程.
【答案】 C
【解题技巧】 先根据倾斜角求出直线的斜率，然后根据截距用斜截式求直 线方程.
A. x－y－3＝0 B. x－y＋3＝0
C. x＋y＋3＝0 D. x＋y－3＝0
【解析】由斜率公式可得直线的斜率k＝tan 45°＝1，故该直线方程为y＝（x －3）×1，写成一般式为x－y－3＝0.
A
例5　（2021年安徽省职教高考真题）若直线l经过点M（1，1），且与直线x－ 2y＋6＝0平行，则直线l的方程为（　　）.
A. 2x＋y－3＝0 B. 2x－y－1＝0
C. x－2y＝0 D. x－2y＋1＝0
【考查目标】 本题考查两条直线的位置关系（平行）及直线方程的求法.
【答案】 D
【解题技巧】 两条斜率存在的直线平行，不仅要满足两条直线的斜率相等，还要 满足两条直线在y轴上的截距不相等.
变式训练5
A. 9 B. －9
C. 4 D. －4
D
例6　（2020年安徽省职教高考真题）若直线l与直线y＝－2x垂直，则直线l的 斜率是（　　）.
C. 2 D. －2
【考查目标】 本题考查两条直线垂直.
【答案】 A
【解题技巧】 （1）当两条直线互相垂直且两条直线的斜率都存在时，两条直线 的斜率的乘积为－1；（2）斜率不存在的直线与斜率为零的直线相互垂直.
变式训练6
C. －2 D. 2
B
例7　求过直线x－2y＋4＝0与直线－x＋4y－6＝0的交点，且平行于直线x＋y －3＝0的直线方程.
【考查目标】 本题考查两条直线的交点坐标与两条直线平行.
【解题技巧】 先联立已知的两条直线方程，求出交点坐标，再由两直线平行时的 斜率关系求出所求直线的斜率，最后用点斜式求出所求直线方程.
A. 2x＋y＋5＝0 B. x＋2y＋5＝0
C. x＋2y－5＝0 D. 2x＋y－5＝0
D
例8　（2024年安徽省职教高考真题）点（3，1）到直线y＝x－4的距离为 （　　）.
B. 2 D. 6
【考查目标】 本题考查点到直线的距离公式.
【答案】 A
【解题技巧】 直线方程一定要化成一般式方程，然后直接将点的坐标代入点到直 线的距离公式求解即可.
A. 7 B. 5 C. 3 D. 1
A
例9　求两条平行直线3x＋4y＋2＝0与3x＋4y－5＝0之间的距离.
【考查目标】 本题考查两条平行直线间的距离.
【解题技巧】 两条平行直线间的距离就是其中一条直线上的任意一点到另一条直 线的距离.
B. 5 D. 4
B
A. 所有直线都有斜率
B. 所有直线都有倾斜角
C. 平行于x轴的直线的倾斜角为180°
D. 平行于y轴的直线的斜率为0
B
A. x＝5
C. y＝－1
B
A. －1 B. 1 C. －1或1 D. 0
【解析】由题意可知，直线x－y＋m＝0与直线x－my－1＝0平行，所以两条 直线的斜率相等，故m＝1.
B
A. a＝－b B. a＝b
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
A
A
A. 4x－3y＋8＝0 B. 3x－4y＋6＝0
C. x－y＋2＝0 D. 4x－3y－6＝0
A
C
二、填空题
8. 已知△ABC的三个顶点A（2，4），B（－2，2），C（4，－2），则△ABC 的BC边上的高所在的直线的一般式方程为 .
9. 点A（－2，3）到直线y＋2＝0的距离为 .
3x－2y＋2＝0
5
10. 直线x＋y＋1＝0与直线x－y＋3＝0的交点坐标为 .
（－2，1）
11. 已知直线mx－y＋2m－1＝0在两坐标轴上的截距相等，则m＝ .
12. 若三点A（5，6），B（4，7），C（－a，8）在一条直线上，则a的值 为 .
－3
三、解答题
13. 已知△ABC的三个顶点为A（2，2），B（3，－5），C（5，3）.求：
（1）AC边所在的直线的一般式方程；
（2）BC边上的中线所在的直线的一般式方程.
14. 求经过直线l1：3x－2y－4＝0与l2：x＋2y－4＝0的交点，且在两坐标轴上 的截距相等的直线的一般式方程.
因为所求直线在两坐标轴上的截距相等，分为两种情况：①斜率为－1，
由点斜式方程，得y－1＝－（x－2），
即x＋y－3＝0.
15. 已知点A（－2，5），B（6，－1），求线段AB的垂直平分线的一般式 方程.
17. 已知点A（2，6），B（3，－4），直线l：x＝0，在直线l上找一点P，使 得｜PA｜＋｜PB｜最小，求直线PA的方程及此时｜PA｜＋｜PB｜的值.

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