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(共34张PPT)
　平面解析几何
专题一　直线与圆的方程
7.4　直线与圆的位置关系及应用
知识点1　直线与圆的位置关系
1. 直线与圆的位置关系有三种，即相离、相交、相切.
2. 判断直线与圆的位置关系有两种常用的方法：
（1）代数法：联立直线方程与圆的方程，消去一个未知量，得到一个一元二次 方程，计算判别式Δ＝b2－4ac.
①当Δ＞0时，直线与圆相交；
②当Δ＝0时，直线与圆相切；
③当Δ＜0时，直线与圆相离.
（2）几何法：比较圆心到直线的距离d与半径r的大小关系.
①当d＞r时，直线与圆相离；
②当d＝r时，直线与圆相切；
③当d＜r时，直线与圆相交.
知识点2　弦长公式
计算圆被直线截得的弦长有两种常用的方法：
知识点3　圆的切线
1. 求解此类问题首先要确定点与圆的位置关系，即比较圆心到点的距离与半径的 大小关系，确定点在圆内、圆上还是圆外.若点在圆内，则过该点的圆的切线不 存在；若点在圆上，则过该点的圆的切线有且仅有一条；若点在圆外，则过该点 的圆的切线有两条，它们关于过该点与圆心的直线对称.
2. 求解切线方程时要注意切线斜率不存在的情况，防止漏解.
3. 理解并掌握：圆心到切线的距离等于半径，过切点的半径所在的直线与 切线垂直.
例1　（2024届安徽省“江淮十校”职教高考第七次联考）直线x sin α＋y cos α－ 2＝0与圆x2＋y2＝2的位置关系为（　　）.
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定
【考查目标】 本题考查直线与圆的位置关系及同角三角函数的基本关系式.
【答案】 C
【解题技巧】 直线与圆的位置关系通常用几何法，即用圆心到直线的距离与圆的 半径进行比较，从而得出直线与圆的位置关系.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定
B
B
【解析】由x2＋y2－2x＝0得（x－1）2＋y2＝1，所以该圆的圆心坐标为（1， 0），半径r＝1.因为圆心（1，0）到直线x＝2的距离d＝1＝r，所以直线与圆 相切，因此直线与圆只有一个公共点.
A. －1＜b＜3 B. －1≤b≤3
C. －3＜b＜1 D. －3≤b≤1
A
例2　（2023届安徽省“江淮十校”职教高考第一次联考）过圆（x－1）2＋（y －2）2＝2上一点（2，3）作圆的切线，则切线方程为（　　）.
A. x＋y－5＝0 B. x＋y＋1＝0
C. x－y－5＝0 D. x－y＋1＝0
【考查目标】 本题考查圆的切线方程.
【答案】 A
【解题技巧】 求过圆上一点与圆相切的直线方程时，要知道切线的性质定理：圆 的切线垂直于过切点的半径.先求过圆心和切点的直线的斜率，再由垂直关系求 出切线的斜率，然后由点斜式求出切线的方程.
A. 1条 B. 2条 C. 0条 D. 无数条
A
例3　已知点P（3，6）是圆C：x2＋（y－1）2＝6外一点，过点P作圆C的一 条切线PA，切点为A，则切线长｜PA｜为（　　）.
A. 5 D. 6
【考查目标】 本题考查过圆外一点作圆的切线，求切线长.
【答案】 B
变式训练3
过x轴上一点P作圆C：（x－15）2＋y2＝25的切线PA，切点为A，若｜PA｜ ＝12，求点P的坐标.
例4　求圆x2＋y2－4x＋4y＋7＝0被直线x－y－5＝0截得的弦长.
【考查目标】 本题考查圆被直线截得的弦长.
变式训练4
求圆（x－2）2＋（y＋3）2＝25被直线x－y－6＝0截得的弦长.
解：将直线方程写成斜截式得y＝x－6，
将其代入圆的方程并整理可得x2－5x－6＝0，
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定
A. －2 B. 2
A
A
A. 3 B. －3
C. 2 D. －2
D
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定
A
A. 1 C. 2
B. 3 D. 5
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
A
C
二、填空题
8. 已知圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线3x－4y＋m＝0的距离为2，则m ＝ .
9. 经过点M（2，1）且被圆（x－3）2＋（y－2）2＝8截得的弦最长的直线的方 程是 .
10. 过圆内一异于圆心的点作直线与圆相交，所得的弦中最长弦是直径，最短弦 是与最长弦垂直的弦.已知圆C：（x－1）2＋（y＋2）2＝25，点P（1，1）是 圆C内一点，过点P作直线与圆C交于A，B两点，弦AB的最小长度是 .
15或－5
x－y－1＝0
8
11. 已知直线l：3x＋4y＋m＝0与圆C：（x－2）2＋y2＝12交于A，B两点， 若△CAB为等边三角形，则实数m的值为 .
－21或9
三、解答题
12. 已知圆的方程为x2＋y2＝1，直线l的方程为y＝x＋b，求当b为何值时，直 线l与圆相交、相切或相离.
13. 求圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0被直线x＋y＋3＝0截得的弦长.
14. 求经过点P（3，1）且与圆C：（x－1）2＋（y＋1）2＝8相切的直线l的 方程.
解：由圆C：x2＋（y＋2）2＝16知圆心C（0，－2），半径r＝4.
解得k＝2或k＝－2.
16. 已知圆C：x2＋y2－2x－8＝0内有一点P（3，1），过点P作直线l交圆C 于A，B两点.
（1）当线段AB最长时，求直线l的方程；
（2）当线段AB被点P平分时，求直线l的方程；
（3）当直线l的倾斜角为135°时，求线段AB的长.
解：（3）因为直线l的倾斜角为135°，
所以kl＝tan 135°＝－1，
则直线l的方程为y－1＝－（x－3），
即y＝－x＋4.
将直线l的方程代入圆的方程，整理后得
x2－5x＋4＝0.

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