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平面解析几何
专题四　抛物线
7.10　抛物线的几何性质
知识点　　抛物线的几何性质
焦点 位置 x轴正半轴 x轴负半轴 y轴正半轴 y轴负半轴
图形
焦点 位置 x轴正半轴 x轴负半轴 y轴正半轴 y轴负半轴
标准 方程 y2＝2px（p＞ 0） y2＝－2px（p ＞0） x2＝2py（p＞ 0） x2＝－2py（p＞ 0）
焦点 坐标
准线 方程
焦点 位置 x轴正半轴 x轴负半轴 y轴正半轴 y轴负半轴
范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0
对称 轴 x轴 y轴
顶点 抛物线和对称轴的交点：原点O（0，0）
离心 率 抛物线上的点M到焦点的距离与点M到准线的距离之比：e＝1
　注：p＞0，其几何意义是焦点到准线的距离.
（2）顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线2x－y＝4上.
【考查目标】 本题考查抛物线的标准方程和几何性质.
【解析】 （2）因为抛物线的焦点在坐标轴上，且又在直线2x－y＝4上，则焦 点是直线2x－y＝4与坐标轴的交点，即（2，0）或（0，－4），所以该抛物线 的标准方程为y2＝8x或x2＝－16y.
【解题技巧】 我们学习的抛物线都是以坐标轴为对称轴，坐标原点为顶点，焦点 都在坐标轴上，其标准方程是y2＝±2px（p＞0）或x2＝±2py（p＞0），故解 这类题的关键是确定抛物线的焦点在哪个半轴上，注意多种情况，然后再确定p 的值，求出抛物线的标准方程.
A. x2＝8y B. x2＝－4y
C. x2＝4y D. x2＝－8y
C
【解析】由题意可知抛物线的焦点F在y轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为
C
B. 3 C. 6 D. 12
（3）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过点（－2，－ 4），求该抛物线的标准方程.
例2　（2024年安徽省职教高考真题）已知直线l过抛物线y2＝4x的焦点，且与 该抛物线交于A，B两点.若线段AB的中点C到直线x＝－1的距离等于3，则直 线l的斜率为（　　）.
A. ±1 D. ±2
【考查目标】 本题考查抛物线的定义和标准方程.
【答案】 B
【解题技巧】 涉及圆锥曲线与直线相交成弦的“弦中点”的问题可以使用“代点 作差法”，设直线与圆锥曲线的交点坐标并代入圆锥曲线方程，建立直线的斜率 与弦中点坐标间的关系，再由直线上其他已知点的坐标与弦中点坐标间的关系构 建方程，求出弦中点坐标和斜率.
A. x2＝12y B. x2＝12y或x2＝－12y
C. y2＝8x D. y2＝8x或y2＝－8x
A. 3 B. 5 C. 6 D. 8
B
C
例3　已知点F为抛物线y2＝8x的焦点，过焦点F且倾斜角为45°的直线l与抛物 线交于A，B两点，求线段AB的长度.
【考查目标】 本题考查直线与抛物线的综合应用.
【解析】 由题意得焦点F的坐标为（2，0），直线l的斜率k＝tan 45°＝1，所 以直线l的方程为y－0＝x－2，即y＝x－2.设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由抛物线的方程可知x1≥0，x2≥0，联立抛物线方程和直线方程并消去y得x2－ 12x＋4＝0，所以x1＋x2＝12，于是根据抛物线的定义得｜AB｜＝｜AF｜ ＋｜BF｜＝｜x1｜＋2＋｜x2｜＋2＝x1＋x2＋4＝16.
A. x2＝5y B. x2＝10y
C. x2＝15y D. x2＝20y
B
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
D
A. 2∶1 B. 1∶2 C. 1∶4 D. 4∶1
D
A. x＝－1 B. y＝0 C. x＝0 D. y＝－1
B
C
C. 1 D. 2
A. 3 B. 6 C. 12 D. 24
A. 9 B. 18 C. 24 D. 36
D
B
B
A. 3 C. 4 D. 6
A
B
B. 1 C. 2
D
二、填空题
9. 抛物线y2＝－6x的焦点坐标为 ，离心率为 .
10. 过点P（3，6）的直线与抛物线y2＝12x只有一个公共点，则这样的直线共 有 条.
【解析】由题意可知点P（3，6）在抛物线y2＝12x上，故过点P（3，6）且与 抛物线y2＝12x只有一个公共点时只能是①过点P（3，6）且与抛物线y2＝12x 相切；②过点P（3，6）且平行于抛物线的对称轴.∴过点P（3，6）且与抛物 线y2＝12x有且只有一个公共点的直线有2条.

1
2
11. 已知抛物线y2＝6x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：8x－6y＋28＝0 的距离为d2，则d1＋d2的最小值为 .
4
12. 已知点M（b，3）在抛物线ax2＋y＝0上，且点M与抛物线焦点的距离等于 7，则a＝ .
13. 已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一 点，且满足｜MO｜＝｜MF｜＝3，则p＝ .
4
三、解答题
14. 已知抛物线y2＝kx经过点（－1，4），求k的值，并写出抛物线的焦点坐 标、顶点坐标、对称轴、准线方程和离心率.
解：因为抛物线y2＝kx经过点（－1，4），
所以42＝k·（－1），解得k＝－16.
故抛物线y2＝－16x的焦点坐标为（－4，0），顶点坐标为（0，0），对称轴为 x轴，准线方程为x＝4，离心率e＝1.
16. 已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，M（a，b），N（c，d）为抛 物线上的两点，若｜MF｜＝3，｜NF｜＝2，且b＝2d，求该抛物线的标准 方程.

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