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平面解析几何
专题二　椭圆
7.6　椭圆的几何性质
知识点　　椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
范围 ｜x｜≤a，｜y｜≤b ｜x｜≤b，｜y｜≤a
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
顶点坐标 A1（－a，0），A2（a， 0）
B1（0，－b），B2（0， b） A1（0，－a），A2（0，a）
B1（－b，0），B2（b，0）
轴长 长轴长｜A1A2｜＝2a，短轴长｜B1B2｜＝2b
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
焦点坐标 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c）
焦距 ｜F1F2｜＝2c
对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：（0，0）
离心率
a，b，c之间 的关系 a2＝b2＋c2
例1　若椭圆的长轴长为16，短轴长为10，其焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为 （　　）.
【考查目标】 本题考查椭圆的轴长及标准方程.
【答案】 B
【解题技巧】 在椭圆中，长轴长的一半是a，短轴长的一半是b.
D. 无法确定
C
A
【考查目标】 本题考查椭圆的离心率.
【答案】 A
C
（1）椭圆C的标准方程；
（2）｜MF1｜·｜MF2｜的值；
【解析】 （2）由椭圆定义可知，｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a＝10，｜F1F2｜＝ 2c＝8，
由余弦定理得｜F1F2｜2＝｜MF1｜2＋｜MF2｜2－2｜MF1｜·｜MF2｜· cos 60°，
即64＝｜MF1｜2＋｜MF2｜2－｜MF1｜·｜MF2｜，变形得64＝（｜MF1｜ ＋｜MF2｜）2－3｜MF1｜·｜MF2｜，
则｜MF1｜·｜MF2｜＝12.
（3）△F1MF2的面积.
【考查目标】 本题考查椭圆的定义、标准方程和几何性质.
【解题技巧】 解题的关键是先利用椭圆的焦点坐标以及离心率，求出a，c的 值，然后求解b，即可得到椭圆方程.其次利用余弦定理，结合椭圆的定义，求 出｜MF1｜·｜MF2｜的值，然后再求三角形的面积.
B
A. 16 B. 10 C. 8 D. 4
【解析】由题意，可知m＋16＝20，即m＝4，则该椭圆的焦点在y轴上，所以 该椭圆的长轴长为4×2＝8.
C
A. 10或1 B. 9或2 C. 8或2 D. 7或1
C
C
D
A. 3 B. 6 C. 4 D. 8
B
B
二、填空题
1
6
9. 椭圆4x2＋y2＝1的顶点坐标为 .
（4，10）∪
（10，16）
12. 设椭圆的中心为坐标原点，左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F2的一条直线 与该椭圆交于A，B两点，得边长为8的等边三角形ABF1，则该椭圆的标准方程 为 .
16
三、解答题
16. 求有两个顶点在直线3x－y＋6＝0上的椭圆的标准方程.
17. 根据已知条件求椭圆的标准方程.
（1）焦点在x轴上，焦距为8，短轴长为6的椭圆的标准方程；
解：设所求直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2），
解：由题意可知，当点P在短轴端点时，∠F1PF2是钝角即可满足题意.
由椭圆的定义可知，m＋n＝2a＝4　①，
在△PF1F2中，因为｜F1F2｜＝2c＝2，∠F1PF2＝45°，由余弦定理，得
m2＋n2－2mn cos 45°＝｜F1F2｜2，

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