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　平面解析几何
专题三　双曲线
7.8　双曲线的几何性质
1. 范围：x≤－a或x≥a，即双曲线的两支分别位于直线x＝－a的左侧与直线 x＝a的右侧（如图所示）.焦点坐标分别为F1（－c，0），F2（c，0），焦 距｜F1F2｜＝2c.
3. 顶点：双曲线和它的对称轴的两个交点叫作双曲线的顶点.双曲线有两个顶 点，即A1（－a，0）和A2（a，0）.双曲线与y轴没有交点，但我们仍将B1 （0，－b）与B2（0，b）画在y轴上（如图所示）.线段A1A2，B1B2分别叫作双 曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为2a和2b，即｜A1A2｜＝2a，｜B1B2｜＝ 2b，a和b分别表示双曲线的实半轴长和虚半轴长.
2. 对称性：双曲线关于x轴、y轴和坐标原点对称.x轴与y轴都叫作双曲线的对 称轴，坐标原点叫作双曲线的对称中心（简称中心）.
1. 范围：y≤－a或y≥a，即双曲线的两支分别位于直线y＝－a的下侧与直线 y＝a的上侧（如图所示）.焦点坐标分别为F1（0，－c），F2（0，c），焦 距｜F1F2｜＝2c.
2. 对称性：双曲线关于x轴、y轴和坐标原点对称.x轴与y轴都叫作双曲线的对 称轴，坐标原点叫作双曲线的对称中心（简称中心）.
3. 顶点：双曲线和它的对称轴的两个交点叫作双曲线的顶点.双曲线有两个顶 点，即A1（0，－a）和A2（0，a）.双曲线与x轴没有交点，但我们仍将B1 （－b，0）与B2（b，0）画在x轴上（如图所示）.线段A1A2，B1B2分别叫作双 曲线的实轴和虚轴，它们的长分别为2a和2b，即｜A1A2｜＝2a，｜B1B2｜＝ 2b，a和b分别表示双曲线的实半轴长和虚半轴长.
B. y＝±2x
D. y＝±4x
A

【解题技巧】 当根据题意不能判断出焦点所在的坐标轴时，两种情况都要考虑. 双曲线中的隐含条件是c2＝a2＋b2.
D
D
【考查目标】 本题考查双曲线的离心率和渐近线方程.
【答案】 B
变式训练3
A. y＝±2x
D
A. 4 B. 3 C. 2
B. 2
C
B
A. 2 B. 3 C. 9 D. 27
B
【考查目标】 本题考查双曲线的标准方程与几何性质.
【答案】 A
【解题技巧】 根据双曲线离心率的取值范围，确定参数a，b的大小关系，再根 据双曲线的渐近线方程和其他已知条件，确定双曲线的焦点位置及双曲线的标准 方程形式，准确的求出a，b的值，从而求出双曲线的标准方程.
D. 2
C
B. 2 C. 4 D. 8
D
B
A. 离心率大小与m的值无关
B. 渐近线方程与m的值无关
C. 实轴长与虚轴长之比与m的值无关
D. 顶点与焦点间的距离与m的值无关
D
A. a B. b C. c
A
B
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
C
（－∞，－5）
∪（10，＋∞）

12. 根据已知条件求双曲线的标准方程.
（1）虚轴长是6，焦距是8的双曲线的标准方程；
解：（1）由题意得2b＝6，2c＝8，
∴b＝3，b2＝9，c＝4，
∴a2＝c2－b2＝16－9＝7.

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