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(共39张PPT)
　平面向量
专题三　平面向量的坐标表示
6.3　平面向量的坐标表示
知识点1　平面向量的坐标表示
1. 平面向量的坐标表示
对于平面直角坐标系中的任一向量a，都存在一对有序实数对（x，y），使得a ＝xi＋yj（其中i，j分别为x轴、y轴正方向上的单位向量），则有序实数对 （x，y）叫作向量a的坐标，记作a＝（x，y）.
2. 用向量的起点和终点坐标求向量的坐标
3. 相等向量的坐标
两个相等向量的坐标相同，坐标相同的两个向量相等.
知识点2　向量线性运算的坐标表示
1. 和向量的坐标表示：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝（x1＋ x2，y1＋y2）.
2. 差向量的坐标表示：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a－b＝（x1－ x2，y1－y2）.
3. 数乘向量的坐标表示：设a＝（x1，y1），则λa＝（λx1，λy1），其中λ∈R.
知识点3　向量数量积的坐标表示
1. 求向量的数量积：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则有a·b＝x1x2＋ y1y2.
即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
即向量的模等于其坐标平方和的算术平方根.
4. 向量垂直的充要条件：设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a与b都是非零 向量，则有a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
C
【考查目标】 本题考查平面向量的坐标表示、共线向量以及单位向量的求法.
【答案】 D
A. （2，2） B. （1，1）
C. （2，4） D. （1，2）
【考查目标】 本题考查向量坐标的简单运算.
【答案】 B
【解题技巧】 解答本类题目时，常用“两个相等向量的坐标相同”这一结论，通 过建立方程或方程组来求解.
例4　已知向量a＝（1，2），b＝（－1，3），c＝（2，－1），且c＝xa－ yb.求实数x，y的值.
【考查目标】 本题考查利用待定系数法求向量线性运算中的未知量.
【解题技巧】 本类题目可以利用待定系数法求解.利用题目中给出的向量c与向 量a，b的线性关系，再结合相等向量建立一个关于x，y的二元一次方程组，进 而求出x，y的值.
A. （4，－3） B. （4，0）
C. （6，－3） D. （6，－2）
【解析】a＋2b＝（2，－4）＋2（2，1）＝（2，－4）＋（4，2）＝
（6，－2）.
D
B
例5　（2023年安徽省职教高考真题）已知向量a＝（1，2），b＝（－2，m）. 若a∥b，则a＋b＝（　　）.
A. （－1，－2） B. （－1，2）
C. （－3，6） D. （3，－6）
【考查目标】 本题考查向量共线的坐标表示和坐标运算.
【解析】 因为a∥b，所以1×m＝2×（－2），得m＝－4，所以a＋b＝（－ 1，－2）.
【答案】 A
【解题技巧】 本题是共线向量充要条件的应用，不仅要掌握向量线性运算的坐标 表示，还要掌握共线向量的坐标表示.
A. 4 B. 1
C. －4 D. －1
【解析】由a∥b可知，1×x－2×（－2）＝0，得x＝－4.
A. 1 B. 2或－2 C. －2 D. 2
C
D
【解析】由题意，得－3＝（1＋x）（1－x），整理得x2＝4，解得x＝－2或x ＝2.当x＝－2时，m＝（1，－1），n＝（3，－3），不符合题意；当x＝2 时，m＝（1，3），n＝（－1，－3），符合题意.
（3）已知向量a＝（1，2），b＝（－3，2）.求当实数λ为何值时，λa＋b与a －3b平行.
解：因为a＝（1，2），b＝（－3，2），
所以λa＋b＝λ（1，2）＋（－3，2）＝（λ－3，2λ＋2），
a－3b＝（1，2）－3（－3，2）＝（10，－4）.
因为（λa＋b）∥（a－3b），
所以－4×（λ－3）－10×（2λ＋2）＝0，
例6　已知向量a＝（－1，2），b＝（－3，1），求a·b，｜a｜，｜b｜及＜ a，b＞.
【考查目标】 本题考查向量数量积的坐标表示.
A. 2 B. －2
A. 5 B. －5 C. －6 D. 6
D
A
例7　已知向量a＝（2，－1），b＝（－3，4），且ma＋b与a－b垂直.求实 数m的值.
【考查目标】 本题考查向量线性运算及向量垂直.
【解析】 因为a＝（2，－1），b＝（－3，4），
所以ma＋b＝m（2，－1）＋（－3，4）＝（2m－3，4－m），
a－b＝（2，－1）－（－3，4）＝（5，－5）.
因为ma＋b与a－b垂直，
所以5×（2m－3）＋（－5）×（4－m）＝0，
D
A. （3，2） B. （－3，2）
C. （3，－2） D. （－3，－2）
B
A. 5 B. 3 C. 2 D. 1
【解析】①如果两个单位向量的方向不同，那么它们就不是相等向量，错 误；②向量的模可以比较大小，而向量不能比较大小，错误；③对于两个非 零向量，相等的向量一定平行，正确；④对于两个非零向量a，b，才有 a⊥b a·b＝0，错误；⑤只有起点在坐标原点的向量的坐标在数值上才等于 向量的终点坐标，错误.
D
A. （－4，－9） B. （－9，－4）
C. （－4，9） D. （4，－9）
B. 2 C. －2
【解析】∵＜a，3b＞＝90°，∴＜a，b＞＝90°，∴a⊥b，∴（－1）× （－2）＋x＝0，解得x＝－2.
A
C
A. 1，3 B. 3，1 C. 1，－5 D. 5，－1
B
A. 6 B. －6
B
B. 0 C. π
【解析】由m＝（－2，1），n＝（4，－2），得n＝－2m，即向量m与n共 线且方向相反，故＜m，n＞＝π.
A. 0 B. 2 C. 3 D. 5
C
A
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】因为a＋b＝0 a∥b，而 a∥b /a＋b＝0，所以“a∥b”是“a＋ b＝0”的必要不充分条件.
D. d＝（1，0）
B
A
A. 2 B. 8 C. －2 D. －8
【解析】∵a＝（1，－1），b－a＝（1，3），∴a·（b－a）＝1×1＋（－ 1）×3＝－2.
A. －1 B. 1 C. 4 D. －4
【解析】由a·b＝－｜a｜｜b｜，得a与b的方向相反，所以a∥b，故2×2＝ －4×（－x），则x＝1.
C
B
A. －12 B. －3 C. －2 D. －1
A. 3a＋b B. 3a－b
C. －a＋3b D. a＋3b
B
B
A. m＋n＝（1，－2） B. m·n＝8
C. ｜n｜＝2｜m｜ D. m∥n
B
二、填空题
16. 已知向量a＝（3，4），b＝（1，2），则｜a－2b｜＝ .
17. 已知向量a＝（x，－3），向量b＝（－1，1），且2a－b与b共线，则x ＝ .
【解析】因为a＝（x，－3），b＝（－1，1），所以2a－b＝（2x＋1，－ 7），又2a－b与b共线，则（2x＋1）×1－（－1）×（－7）＝0，解得x＝3.
1
3
18. 若向量a＝（－2，1），b＝（4，m），当a⊥b时，3a＋2b的坐标 为 .
【解析】由a⊥b，得a·b＝－8＋m＝0，解得m＝8，则3a＋2b＝3（－2， 1）＋2（4，8）＝（2，19）.
19. 若向量a＝（3，－2），b＝（x，6），且a与b的夹角为钝角，则实数x的 取值范围是 .（用区间表示）
（2，19）
（－∞，－9）∪（－9，4）
三、解答题
20. 设向量a＝（1，－2），b＝（－2，3），求下列向量的坐标.
（1）a＋b；
解：（1）a＋b＝（1，－2）＋（－2，3）＝（－1，1）.
（2）－3a；
解：（2）－3a＝－3（1，－2）＝（－3，6）.
（3）3a－2b.
解：（3）3a－2b＝3（1，－2）－2（－2，3）＝（3，－6）－（－4，6）＝ （7，－12）.
（2）若四边形ABCD是平行四边形，求另一个顶点D的坐标.
22. 已知向量a＝（2，－3），b＝（3，2），当实数k为何值时：
（1）向量a－2b与ka＋b垂直；
解：由题意，得a－2b＝（2，－3）－2（3，2）＝（－4，－7），
ka＋b＝k（2，－3）＋（3，2）＝（2k＋3，－3k＋2）.
（1）由向量a－2b与ka＋b垂直，得
（a－2b）·（ka＋b）＝0，
即－4（2k＋3）＋（－7）（－3k＋2）＝0，解得k＝2.
（2）向量a－2b与ka＋b平行.

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