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　平面向量
专题一　平面向量的概念及线性运算
6.1　平面向量的概念及线性运算
重点 难点 易错点
了解平面向量、有向线段及有关概念， 了解单位向量、零向量、相等向量、相 反向量和共线向量的含义，理解向量的 加法、减法和数乘运算及其几何意义， 了解平面向量数量积的概念、运算和性 质，了解平面向量数量积的几何应用， 理解向量的坐标表示，了解向量坐标的 加法、减法和数量积运算. 平面向量的线性 运算，向量坐标 的加法、减法和 数量积运算，向 量平行和垂直的 充要条件. 利用坐标计算向量 数量积、模长.
知识点1　向量的概念
1. 数量和向量
只有大小，没有方向的量叫作数量，数量可以比较大小；既有大小，又有方向的 量叫作向量，向量不能比较大小.
2. 有向线段
把具有确定方向的线段叫作有向线段.
5. 几种特殊向量
名称 定义 记法 备注
零向量 模为零的向量 ｜0｜＝0，其方向是任意的
单位
向量 模为1的向量 ｜a｜ ＝1 —
平行
向量 方向相同或相反的两个非零 向量 a∥b 规定：零向量和任何一个向量 都平行
共线
向量 方向相同或相反的两个非零 向量 a∥b 平行向量也叫作共线向量
相等
向量 模相等且方向相同的两个向 量 a＝b a＝b ｜a｜＝｜b｜且a， b同向
名称 定义 记法 备注
相反
向量 与非零向量a的模相等、方 向相反的向量 －a ｜a｜＝｜－a｜
规定：零向量的相反向量仍是 零向量
知识点2　向量的加法运算
1. 定义：向量a＋b称为向量a与向量b的和，求两个向量的和的运算叫作向量 的加法.
2. 不共线的两个非零向量之和
【记忆口诀】 起点相同的两个非零向量相加，其和向量是以该起点为起点，以这 两个向量为邻边所作平行四边形的第三个顶点为终点的向量.
3. 共线的两个非零向量之和
（1）向量a，b方向相同，如图所示.
（2）向量a，b方向相反，如图所示.
4. 向量的加法运算律
（1）0＋a＝a＋0＝a；
（2）a＋（－a）＝0；
（3）a＋b＝b＋a；（交换律）
（4）（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）.（结合律）
【记忆口诀】 首首相连，尾连尾，方向指向被减量：起点相同的两个非零向量相 减，其差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点的向量.
3. 向量的减法公式：a－b＝a＋（－b）.
知识点4　向量的数乘运算
1. 定义：实数λ与向量a的乘法运算叫作数与向量的乘法运算，其结果是一个向 量，记作λa.
（1）大小：｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，即λa的模是｜a｜的｜λ｜倍.
（2）方向：当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同，此时（λa）∥a；
当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反，此时（λa）∥a；
当λ＝0或a＝0时，都有0a＝λ0＝0，所以方向是任意的.
2. 运算法则：对于任意向量a，b及任意实数λ，μ，都有以下运算法则.
（1）1a＝a；
（2）（－1）a＝－a；
（3）（λμ）a＝λ（μa）＝μ（λa）；
（4）（λ＋μ）a＝λa＋μa；
（5）λ（a＋b）＝λa＋λb.
3. 向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果 还是向量.
4. 向量共线的充要条件：当a≠0时，a∥b 存在实数λ，使得b＝λa.
5. 线性表示：一般地，λa＋μb叫作向量a，b的一个线性组合（其中实数λ，μ 均为系数）.如果l＝λa＋μb，那么称向量l可以用向量a，b线性表示.
例1　下列关于向量的说法中，正确的是（　　）.
A. 向量只有大小 B. 向量只有方向
C. 向量是有向线段 D. 向量是既有大小又有方向的量
【考查目标】 本题考查向量的定义.
【解析】 在数学中，把既有大小又有方向的量，叫作向量.向量可以用有向线段 表示，但不能说向量就是有向线段.
【答案】 D
A. 路程 B. 速度 C. 加速度 D. 力
【解析】 速度、加速度、力、位移等都是既有大小又有方向的物理量，而路程 只有大小没有方向.
A
（2）一架飞机从A处向正南方向飞行300 km，另一架飞机从A处朝北偏东 45°方向飞行300 km，两架飞机的位移相同吗？分别用有向线段表示两架 飞机的位移.
解：不相同.位移是向量.虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不同，所以 两架飞机的位移不相同.如图所示，两架飞机位移的有向线段分别表示为a与b.
例2　下列关于向量的命题中，正确的是（　　）.
A. 平行向量的方向都相同
B. 平行且模相等的两个向量是相等向量
C. 零向量的方向无法确定，所以它与任意向量都不平行
D. 单位向量的模都相等
【考查目标】 本题考查向量的相关概念.
【解析】 平行向量的方向相同或相反，A项错误；平行且模相等的两个向量也可 能是相反向量，B项错误；零向量与任何一个向量平行，C项错误.
【答案】 D
A. 共线向量是表示两个向量的有向线段一定在一条直线上
B. 向量0与非零向量a不是共线向量
C
【考查目标】 本题考查向量加法的三角形法则和加法的运算律.
【答案】 C
【考查目标】 本题考查向量加法的三角形法则和平行四边形法则.
【解析】 （方法1）如图所示，延长AD到点E，使得DE＝AD，连接BE， EC，则四边形ABEC是平行四边形.
【解题技巧】 根据三角形的中线构造出平行四边形，再利用平行四边形法则解决 问题，或多次利用三角形法则解决问题.
A
【考查目标】 本题考查向量的线性运算.
【答案】 D
C
例6　计算：3（a＋2b）－2（a－b）－a＋3b.
【考查目标】 本题考查平面向量的线性运算.
【解析】 原式＝3a＋6b－2a＋2b－a＋3b＝（3－2－1）a＋（6＋2＋3）b ＝11b.
A. A，B，D三点共线 B. A，B，C三点共线
C. B，C，D三点共线 D. A，C，D三点共线
A
【考查目标】 本题考查向量的线性运算.
【解题技巧】 涉及平行四边形的题目，解题时要利用平行四边形的性质，应用 时也要注意向量的方向与模.
C
A. 2m B. －2n C. －2m D. 2n
A
A. 重力 B. 时间 C. 加速度 D. 位移
B
B
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
A. 0
A. ｜a｜＝｜b｜ B. a＝b
C. a＝－b D. a∥b
【解析】因为a，b都是单位向量，所以｜a｜＝｜b｜＝1，A项正确；因为 a，b的方向没有说明，所以B，C，D项不一定成立.
B
A
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A. ｜0｜＝0 B. λ0＝0
C. 0a＝0 D. a＋（－a）＝0
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 梯形 D. 长方形
B
C
C
B
D
C
D
D
B
A. 2a－b B. a－2b C. 2a＋b D. a＋2b
B. 6a C. －6a
【解析】因为2x－3（x－2a）＝0，所以x＝6a.
A
B

20. 设e1和e2为两个不共线的向量，则a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2（λ∈R）共线的 充要条件是 .
（2）7（4a－b）＋5（－3a＋2b）；
解：（2）7（4a－b）＋5（－3a＋2b）
＝（28a－15a）＋（－7b＋10b）
＝13a＋3b.
（3）4（a－3b＋2c）－3（－a＋3b－c）.
解：（3）4（a－3b＋2c）－3（－a＋3b－c）
＝（4a＋3a）＋（－12b－9b）＋（8c＋3c）
＝7a－21b＋11c.
22. 如图所示，在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，试回答下列问题.
解：由平行四边形的性质可知，平行四边形的对边平行且相等，对角线互相 平分.
23. 已知｜a｜＝5，｜b｜＝3，求｜a＋b｜及｜a－b｜的最大值和最小值.
解：（1）向量a，b共线时，
①当a，b同向时，｜a＋b｜取最大值为5＋3＝8，｜a－b｜取最小值为5－3 ＝2；
②当a，b反向时，｜a＋b｜取最小值为5－3＝2，｜a－b｜取最大值为5＋3 ＝8.
（2）向量a，b不共线时，
｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a±b｜＜｜a｜＋｜b｜.
综上所述，｜a＋b｜和｜a－b｜的最大值均为8，最小值均为2.

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