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(共36张PPT)
　三角函数
专题一　任意角的三角函数
4.1　任意角和弧度制
重点
掌握象限角、终边相同的角的概念及表示方法，掌握弧度制与角度制的换算关系，掌握弧长公式和扇形的面积公式，掌握任意角的三角函数的定义，掌握特殊角的三角函数值，掌握同角三角函数的基本关系，掌握三角函数的诱导公式，掌握正弦函数、余弦函数的图像和性质，掌握两角和与差的正弦、余弦 和正切公式，掌握二倍角公式，掌握正弦型函数的图像和性质，掌握辅助角公式，掌握正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式.
难点 易错点
灵活运用三角函数的诱导公式，灵活运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角公式，熟练运用辅助角公式，运用正弦定理、余弦定理和 三角形的面积公式解决实际问题. 判断任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数在各个象限内的符号，正确使用两角和与差的正弦、余弦、正切公式.
知识点1　任意角的分类
1. 任意角按照射线的旋转方向可以分为正角、负角和零角.
正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫作正角.
负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角叫作负角.
零角：当一条射线没有做任何旋转，也认为形成了一个角，这个角叫作零角.
2. 任意角按照终边的位置可以分为象限角和界限角.
（1）象限角：将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，此时角 的终边在第几象限，就称这个角是第几象限角.
（2）界限角：如果角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象 限，称为界限角.
知识点2　终边相同的角
1. 研究终边相同的角的前提是角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负 半轴重合.一般地，所有与角α终边相同的角，包括角α在内，可以组成一个集合 S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}，即所有与角α终边相同的角都可以表示成角α与 360°的整数倍的和.
2. 终边在直线y＝kx上的角：直线y＝kx被原点O分成两条射线，取一条射线上 的一个特殊角记为α，加上180°的整数倍，即{β｜β＝α＋k·180°，k∈Z}.
5. 特殊角的弧度与角度之间的转换
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135°
弧度 0
角度 150° 180° 210° 225° 240° 270° 360°
弧度 π 2π
知识点4　弧长公式和扇形的面积公式
　设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为n°或α（rad）.
例1　下列说法正确的是（　　）.
A. 若角α的终边在第一象限，则角α是正角
B. 第二象限角一定大于第一象限角
C. 第一象限角是锐角
D. 钝角是第二象限角
【考查目标】 本题考查正角、象限角的概念.
【答案】 D
【解析】 第一象限角不一定是正角，A项错误；度数是120°的角是第二象限 角，度数为390°的角是第一象限角，但390°＞120°，B项错误；度数为390° 的角是第一象限角，但它不是锐角，C项错误；第二象限角组成的集合可表示为 S＝{α｜90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°，k∈Z}，当k＝0时，角α为钝 角，D项正确.
【解题技巧】 象限角是根据角的终边位置来确定的，与角的大小、角的正 负无关.
A. 若角α是锐角，角β是钝角，则0°＜α＋β＜180°
B. 若角α与角β的终边关于x轴对称，则 α＋β＝0
C. 界限角的终边一定在坐标轴上
D. 若两个角的终边相同，则这两个角的差是3π的整数倍
【解析】因为0°＜α＜90°，90°＜β＜180°，所以90°＜α＋β＜270° ，A项 错误；因为角α与角β的终边关于x轴对称，所以β＝－α＋2kπ（k∈Z），所以α ＋β＝2kπ（k∈Z），B项错误；若两个角的终边相同，则这两个角的差是π的偶 数倍，D项错误.
C
A. {α｜α＝135°＋k·360°，k∈Z}
B. {α｜α＝－45°＋k·180°，k∈Z}
C. {α｜α＝－45°＋kπ，k∈Z}
D. {α｜α＝－135°＋k·180°，k∈Z}
B
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
【解析】第二象限角α如图所示，故角α＋π为第四象限角.
D
例2　（2023年安徽省职教高考真题）角2 023°的终边在（　　）.
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【考查目标】 本题考查终边相同的角和象限角的判断.
【解析】 因为与角2 023°终边相同的角组成的集合为{β｜β＝2 023°＋ 360°·k，k∈Z}，当k＝－5时，β＝223°，又角223°为第三象限角，故角2 023°为第三象限角，即角2 023°的终边在第三象限.
【答案】 C
【解题技巧】 与角α终边相同的角组成的集合为S＝{β｜β＝α＋k·360°， k∈Z}；求某个范围内与角α终边相同的角时，一般运用赋值法.
A. 150° B. 210° C. 30° D. 330°
【解析】令－690°＝k·360°＋α（k∈Z），则 α＝－690°－k·360° （k∈Z）.令k＝－2，得α＝30°.
A. －590° B. 50° C. 130° D. 950°
【解析】与230°角终边相同的角为230°＋k·360°（k∈Z），由计算可知，只 有D选项的950°＝230°＋2×360°可化为上述形式，所以与230°角终边相同 的角为950°.
C
D
（2）5；
（3）1 125°.
【考查目标】 本题考查角度与弧度的转化.
A. －75° B. 75° C. －65° D. －85°
A
C
A. π
【答案】 （1）A
B. π C. 2π D. 4π
【考查目标】 本题考查扇形的面积公式和弧长公式.
【答案】 （2）B
B. π
A. 8 cm B. 6 cm
C. 4 cm D. 2 cm
A
C
A. 1 B. 2 D. 4
A
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
【解析】由题意可知，－α是第四象限角.
A. 17° B. 107° C. 197° D. 287°
【解析】与－73°角终边相同的角α可表示为α＝－73°＋k·360° （k∈Z）， 由题意得k＝1，所以α＝287°.
D
D
A. －60° B. －30°
D
B
A. π C. 2π
A
{α｜90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°，
k∈Z}
一、三
8. 如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形就称为“等边扇形”，则半径 为2的“等边扇形”的面积为 .
2
三、解答题
9. 在0°～360°范围内找出与下列各角终边相同的角.
（1）－110°；
解：（1）与－110°角终边相同的所有角组成的集合是{β｜β＝－110°＋ k·360°，k∈Z}，
当k＝1时，β＝1×360°－110°＝250°，故在0°～360°范围内，与－110° 角终边相同的角是250°角.
（2）645°.
解：（2）与645°角终边相同的所有角组成的集合是{β｜β＝645°＋k·360°， k∈Z}，
当k＝－1时，β＝－1×360°＋645°＝285°，故在0°～360°范围内，与 645°角终边相同的角是285°角.
11. 把下列各角写成β＝α＋k×360°（k∈Z）（0°≤α＜360°）或β＝γ＋2kπ （k∈Z）（0≤γ＜2π）的形式，并指出是第几象限角.
（1） －2 025°；
解：（1）因为－2 025°＝135°－6×360°，
所以－2 025°角是第二象限角.
12. 某机械采用齿轮传动，由主动轮A带着从动轮B转动（如图），主动轮有81 个齿，从动轮有27个齿，如果主动轮每分钟转210转，从动轮的直径为20 cm ，求 从动轮圆周上一点每秒钟转过的弧长.（注：计算结果保留π）
解：因为主动轮有81个齿，从动轮有27个齿，所以主动轮的转速∶从动轮转速＝ 1∶3，
所以从动轮每分钟转210×3＝630（转）.
设从动轮每分钟转的弧度数为α，则｜α｜＝630×2π＝1 260π，
故从动轮圆周上一点每分钟转过的弧长＝｜α｜r＝1 260π×10＝12 600π（cm）.
故从动轮圆周上一点每秒钟转过的弧长＝12 600π÷60＝210π（cm）.
解：延长AD交BC的延长线于点O，如图所示.
则AO＝36，OC＝15，

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