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　三角函数
专题三　三角函数的图像和性质
4.7　正弦函数、余弦函数的图像和性质
注：一般地，对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义 域内任意一个值时，都有f（x＋T）＝f（x），则称函数y＝f（x）为周期函 数.如果周期函数y＝f（x）的所有周期中存在一个最小的正数T0，那么这个最 小的正数T0就称为y＝f（x）的最小正周期.如正弦函数.
2. 余弦函数的性质
（1）定义域：实数集R.
（2）值域：[－1，1].
（3）周期性：余弦函数y＝ cos x，x∈R的最小正周期为2π，周期T＝2kπ （k∈Z且k≠0）.
（4）奇偶性：余弦函数y＝ cos x，x∈R是偶函数.
（5）单调性：余弦函数y＝ cos x，x∈R在[2kπ，π＋2kπ]（k∈Z）上是减函 数，在[π＋2kπ，2π＋2kπ]（k∈Z）上是增函数.
（6）最值：当x＝2kπ（k∈Z）时，y取最大值，ymax＝1；当x＝π＋2kπ （k∈Z）时，y取最小值，ymin＝－1.
例1　作函数y＝2－ sin x，x∈R的简图，并求该函数的最大值、最小值、最小 正周期以及函数取最大值、最小值时x的集合.
【考查目标】 本题考查正弦函数的图像和性质的应用.
【解析】 列表如下，图略.
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
y＝2－ sin x 2 1 2 3 2
变式训练1
求函数y＝2 sin x，x∈R的最大值、最小值，及函数取得最大值、最小值时自变 量x的集合.
【考查目标】 本题考查正弦函数最值的应用和诱导公式.
【解题技巧】 求形如“y＝a＋b sin x”“y＝a＋b cos x”函数的最值，要按照 b＞0和b＜0进行分类讨论求解.
A. 1 B. －3 C. －1 D. 1或－1
【解析】由题意可知，a≠0，当 cos x＝1时，f（x）＝－a＋2；当 cos x＝－1 时，f（x）＝a＋2.当a＞0时，a＋2＝3，此时a＝1，函数f（x）的最小值 是－a＋2＝－1＋2＝1；当a＜0时，－a＋2＝3，此时a＝－1，函数f（x）的 最小值是a＋2＝－1＋2＝1.故函数f（x）的最小值是1.
A
【解析】由f（0）＝2，得－m cos 0－m＝2，即m＝－1，则f（x）＝ cos x＋ 1.又因为y＝ cos x的值域为[－1，1]，所以f（x）的最小值是0.
A. 1 B. －1 C. 3 D. 0
D
【解析】 （1）要使函数有意义，必须使｜ sin x｜≠0，∴ sin x≠0，∴函数的 定义域为{x｜x≠kπ，k∈Z}.
【考查目标】 本题考查三角函数的定义域.
要使函数有意义，必须使 cos x＋1≠0，即 cos x≠－1，结合图像（如图），
函数的定义域是{x｜x≠π＋2kπ，k∈Z}.
（2） sin 250°与 sin 260°.
【解析】 （2）∵180°＜250°＜260°＜270°，且正弦函数y＝ sin x在区间 [180°，270°]上是减函数，∴ sin 250°＞ sin 260°.
【考查目标】 本题考查利用三角函数的单调性比较大小.
【解题技巧】 （1）利用余弦函数y＝ cos x在区间[0，π]上是减函数判断它们的 大小；
（2）利用正弦函数y＝ sin x在区间[180°，270°]上是减函数判断它们的大小.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】y＝ cos x（2－ cos x）－ sin 2x＝2 cos x－ cos 2x－ sin 2x＝2 cos x－ 1，因为 cos x∈[－1，1]，所以该函数的最大值是1.
A
D
C. π
C
D
B. （－π＋kπ，kπ）（k∈Z）
C
＜
三、解答题
8. 已知函数y＝A sin x＋B（x∈R）的最大值为5，最小值为3，求A，B的值.
解：①当A＞0时，A＋B＝5，－A＋B＝3，解得A＝1，B＝4；
②当A＜0时，A＋B＝3，－A＋B＝5，解得A＝－1，B＝4.
综上所述，A的值为1或－1，B的值为4.
解得2≤m≤4，故实数m的取值范围是[2，4].

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