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　数列
专题一　数列的概念
5.1　数列的概念
重点
理解数列的有关概念及通项公式的含义，根据数列的前n项写出数列的一个 通项公式，根据数列的通项公式写出数列中的任何一项；掌握等差数列的定 义、通项公式、性质及前n项和公式，并能熟练运用它们，解决一些实际问 题；掌握等比数列的定义、通项公式、性质及前n项和公式，并能熟练运 用它们，解决一些实际问题.
难点 易错点
等差数列的定义、通项公式、性质、前n项和公式的应用；等比数列的定 义、通项公式、性质、前n项和公式的应用. 忽略等差数列公差为0和等比数列公比为1的情况.
知识点1　数列的定义和分类
1. 数列的定义
按照一定次序排成的一列数叫作数列.数列中的每一个数叫作这个数列的项，各 项自左至右依次叫作这个数列的第一项（或首项），第二项，第三项，……，第 n项，其中反映各项在数列中位置的数字1，2，3，…，n，分别叫作对应项的项 数.数列的一般形式为a1，a2，a3，…，an（n∈N*），简记作{an}.
①有穷数列：项数有限的数列叫作有穷数列.
②无穷数列：项数无限的数列叫作无穷数列.
另外，所有项均为同一个数的数列叫作常数列.
2. 数列的分类
数列按项数的多少，可以分为有穷数列和无穷数列.
知识点2　数列的通项公式和递推公式
1. 数列的通项公式
一般地，当一个数列的第n项an与项数n之间的关系可以用一个式子来表示时， 这个式子就叫作这个数列的通项公式.
注：①数列的通项公式在形式上不唯一，如数列1，－1，1，－1，…，其通项公 式可以写成an＝（－1）n－1或an＝（－1）n＋1，还可以写成an＝－ cos nπ；
②不是所有的数列都有通项公式.
2. 数列的递推公式
（1）如果已知数列的首项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任意 一项an与它的前一项an－1（或前几项）间的关系都可以用一个式子来表示，那么 这个公式就是这个数列的递推公式.
注：一般地，把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n 项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.
【考查目标】 本题考查根据数列的通项公式，写出数列的前几项.
【解题技巧】 已知数列的通项公式求数列的前几项时，只需要将通项公式中的n 换成该项的项数，并计算即可求解.
变式训练1
设数列{an}的通项公式是an＝n2－2n.
（1）判断35是否为该数列的项，如果是，它是数列的第几项？
解：（1）设35是数列{an}的第n项，将35代入数列的通项公式an＝n2－2n中， 得n2－2n＝35，解得n＝7或n＝－5.又因为n∈N*，所以n＝7，
所以35是数列{an}中的项，并且它是数列的第7项.
（2）判断24是否为该数列的项，如果是，它是数列的第几项？
解：（2）设24是数列{an}的第n项，将24代入数列的通项公式an＝n2－2n，得 n2－2n＝24，解得n＝6或n＝－4.又因为n∈N*，所以n＝6，
所以24是数列{an}中的项，并且它是数列的第6项.
例2　根据下列各无穷数列的前4项，写出数列的一个通项公式.
（2）2，22，222，2 222，…；
【考查目标】 本题考查根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式.
【解题技巧】 求数列的通项公式的关键是找an与n的对应关系式，要根据已知条 件，挖掘隐藏条件，通过观察、类比、归纳和猜想，找出其变化规律.
注：由数列的前几项探求数列的通项公式时，答案不一定是唯一的.
变式训练2
例3　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－6n－7.
（1）求a5的值；
【解析】 （1）a5＝52－6×5－7＝－12.
（2）判断9是否是这个数列的项；
【解析】 （2）令n2－6n－7＝9得n2－6n－16＝0，解得n＝8或n＝－2（舍 去），所以9是这个数列的第8项.
（3）这个数列从第几项起都是正数？
【解析】 （3）若an＞0，则n2－6n－7＞0，解得n＜－1或n＞7，
因为n∈N*，所以这个数列从第8项起都是正数.
【考查目标】 本题考查数列的相关概念.
【解题技巧】 第（1）题是利用数列的通项公式求数列中的项，将n的值代入通 项公式即可求解；第（2）题可以通过分析关于项数n的方程是否有正整数解来 进行判断；第（3）题是通过求解符合题意的不等式得出n的取值范围.
变式训练3
已知数列{an}的通项公式为an＝－n2－n＋20.
（1）求a9的值；
解：（1）∵an＝－n2－n＋20，
∴a9＝－92－9＋20＝－70.
（2）判断该数列有多少个正数项.
解：（2）令an＞0得－n2－n＋20＞0，
∴n2＋n－20＜0，解得－5＜n＜4.
又∵n∈N*，∴n＝1，2，3，
∴该数列有3个正数项.
例4　已知数列{an}的首项a1＝2，an＋1＝an＋3（n∈N*），求a2，a3，a4，a5.
【考查目标】 本题考查数列的递推公式.
【解析】 由a1＝2，an＋1＝an＋3（n∈N*），得
当n＝1时，a2＝a1＋3＝2＋3＝5；
当n＝2时，a3＝a2＋3＝5＋3＝8；
当n＝3时，a4＝a3＋3＝8＋3＝11；
当n＝4时，a5＝a4＋3＝11＋3＝14.
【解题技巧】 利用数列相邻两项之间的关系，由前一项递推出后一项，从而确定 每一项.
变式训练4
已知数列{an}的首项a1＝3，an＋1＝3an－1（n∈N*），求a2，a3，a4，a5.
解：由a1＝3，an＋1＝3an－1（n∈N*），得
当n＝1时，a2＝3a1－1＝8；
当n＝2时，a3＝3a2－1＝23；
当n＝3时，a4＝3a3－1＝68；
当n＝4时，a5＝3a4－1＝203.
A. 数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列
B. 同一个数可以在数列中重复出现
C. 数列2，4，6，8与数列2，4，6，8，…是相同的数列
D. 数列2，4，6，8可以表示为{2，4，6，8}
【解析】数列2，4，6，8与数列8，6，4，2不是相同的数列，A项错误；同 一个数可以在数列中重复出现，B项正确；数列2，4，6，8与数列2，4， 6，8，…不是相同的数列，C项错误；数列2，4，6，8不可以表示为{2， 4，6，8}，D项错误.
B
A. 23 B. 22 C. 21 D. 20
A. 31 B. 55 C. 70 D. 110
【解析】当n＝10时，a10＝10×（10＋1）＝110.
A. 16 B. 17 C. 32 D. 33
B
D
D
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【解析】由已知条件得n2－4n－12＞0，得n＞6或n＜－2（舍去），因此该数 列从第7项起为正数.
B
C
①1，2，3，4，…；②2，－2，2，－2，…；③6，6，6，6；④9，8，7，6，5.
A. 这四个数列都是无穷数列 B. 这四个数列都是常数列
C. 这四个数列都是有穷数列 D. 数列③是常数列
【解析】在题给的四个数列中，数列①②是无穷数列，数列③④是有穷数列， A，C项错误；数列③是常数列，B项错误，D项正确.
A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项
D
B
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【解析】由Sn＝n2＋n，得S1＝a1＝2，S2＝a1＋a2＝22＋2＝6，所以a2＝S2－ S1＝4.
C
B
C
二、填空题
12. 已知数列{an}的通项公式为an＝2n－1，则a8＝ .
【解析】因为an＝2n－1，所以a8＝2×8－1＝15.
13. 数列6，66，666，6 666，…的一个通项公式是 .
14. 已知数列{an}的通项公式为an＝－2n＋10，则该数列从第 项开始 为负数.
15. 已知数列{an}的通项公式为an＝n（n－1），则a2＋a5的值为 .
16. 在数列{an}中，a1＝2，a2＝5，且an＋2＝an＋1－an，则a5＝ .
【解析】令n＝1，得a3＝a2－a1＝3；令n＝2，得a4＝a3－a2＝－2；令n＝3， 得a5＝a4－a3＝－5.
15
6
22
－5
三、解答题
17. 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－10n－11.
（1）写出这个数列的第8项和第20项的值；
解：（1）∵an＝n2－10n－11，
∴a8＝82－10×8－11＝－27，
a20＝202－10×20－11＝189.
（2）该数列的哪几项为负数？
解：（2）令an＜0，则n2－10n－11＜0，
∴（n－11）（n＋1）＜0，
∴－1＜n＜11.
又∵n∈N*，
∴n的最小值是1，最大值是10，
∴该数列的前10项为负数.
（3）该数列的最小项是第几项？其值是多少？
18. 已知数列{an}的首项a1＝2，an＋1＝2an＋1（n∈N*），求a2，a3，a4，a5.
解：由a1＝2，an＋1＝2an＋1（n∈N*），得
当n＝1时，a2＝2a1＋1＝5；
当n＝2时，a3＝2a2＋1＝11；
当n＝3时，a4＝2a3＋1＝23；
当n＝4时，a5＝2a4＋1＝47.

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