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　数列
专题二　等差数列
5.2　等差数列
知识点1　等差数列的定义
1. 等差数列的定义
一般地，当一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数 时，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用 字母d表示.
2. 等差数列的定义式：an＋1－an＝d（d为常数）.
注：①要证明一个数列为等差数列，只要证明an＋1－an＝d（d为常数）即可；
②等差数列的单调性：d＞0 递增数列，d＝0 常数列，d＜0 递减数列.
知识点2　等差数列的通项公式
1. 等差数列的通项公式
an＝a1＋（n－1）d，其中a1表示首项，n表示项数，d表示公差.
2. 等差数列通项公式的推广
an＝am＋（n－m）d（n∈N*，m∈N*）.
注：①利用等差数列的通项公式可以求数列中的任意一项；
②在公差d≠0的等差数列中，an是关于n（n∈N*）的一次函数，即an＝dn＋ b.
知识点3　等差数列的性质
1. 等差中项
2. 等差数列的性质
在等差数列{an}中，若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap ＋aq.
知识点4　等差数列前n项和
1. 等差数列前n项和公式
注：①等差数列前n项和公式共涉及a1，d，n，an，Sn五个基本量，根据其中 的三个基本量可以求出另外两个基本量；
②当已知首项a1、末项an以及项数n时，选用（1）式计算Sn较简便；
③当已知首项a1、公差d以及项数n时，选用（2）式计算Sn较简便.
2. 等差数列前n项和的性质
例1　已知数列{an}的通项公式为an＝2n－3.
（1）求数列{an}的第10项；
【解析】 （1）a10＝2×10－3＝17.
（2）判断数列{an}是否为等差数列.
【解析】 （2）∵an＝2n－3，
∴an＋1－an＝2（n＋1）－3－（2n－3）＝2.
又∵a1＝2×1－3＝－1，
∴数列{an}是首项为－1，公差为2的等差数列.
【考查目标】 本题考查根据通项公式求某项的值及等差数列的定义.
【解题技巧】 证明数列{an}是等差数列的基本方法：利用等差数列的定义来证 明，即an＋1－an＝d（d为常数）.
变式训练1
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
D
（2）已知数列{an}的通项公式是an＝－2n＋3（n∈N*）.
①求a6；
解：①a6＝－2×6＋3＝－9.
②数列{an}是不是等差数列？若是，求出首项与公差.
解：②∵an＋1－an＝[－2（n＋1）＋3]－（－2n＋3）＝－2，
∴数列{an}是等差数列，
其首项a1＝－2×1＋3＝1，公差d＝－2.
例2　（2019年安徽省职教高考真题）在数列{an}中，a1＝4，an＋1－an＝2 （n∈N*），则a6＝（　　）.
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
【考查目标】 本题考查等差数列的定义及等差数列的通项公式.
【解析】 由a1＝4，an＋1－an＝2（n∈N*），得数列{an}是首项a1＝4，公差d ＝2的等差数列，那么a6＝a1＋5d＝4＋5×2＝14.
【答案】 B
【解题技巧】 解答本题的关键：由已知条件判断出数列{an}是等差数列，再利 用等差数列的通项公式求解即可.
变式训练2
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【解析】由2an＋1－2an＝4（n∈N*），得an＋1－an＝2，故a4＝a2＋2d＝3＋ 2×2＝7.
C
例3　在等差数列{an}中，a2＝1，a9＝－13.求：
（1）等差数列{an}的通项公式；
（2）等差数列{an}的前10项和S10.
【考查目标】 本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式.
【解题技巧】 ①等差数列的通项公式an＝a1＋（n－1）d共涉及a1，d，n，an 四个基本量，由已知条件列方程组求解未知量即可；
②在求解等差数列的有关问题时，要注意等差数列的性质：若m，n，p， q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.
变式训练3
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
B
A. 128 B. 92 C. 80 D. 64
D
A. 5 B. －5 C. 3 D. －3
【解析】由S6－S9＝15，得S9－S6＝a7＋a8＋a9＝－15，又因为a7＋a9＝2a8， 所以3a8＝－15，即a8＝－5.
B
例4　（2021年安徽省职教高考真题）已知等差数列{an}的前5项和S5＝5，且a2 ＝－2，则a4＝（　　）.
A. 6 B. 4
C. 3 D. 2
【考查目标】 本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式.
【解析】 因为S5＝5a1＋10d＝5，且a2＝a1＋d＝－2，所以d＝3，a1＝－5， 所以a4＝a1＋3d＝－5＋3×3＝4.
【答案】 B
【解题技巧】 利用等差数列的通项公式及前n项和公式，求出a1，d的值，即可 求出a4的值.
变式训练4
A. 14 B. 16
C. 18 D. 20
B
A. 12 B. 9 C. 6 D. 3
B
例5　已知等差数列{an}的通项公式为an＝2n－27，当n为何值时，其前n项和 Sn取最小值？最小值是多少？
【考查目标】 本题考查等差数列的前n项和.
【解题技巧】 ①在等差数列{an}中，当a1＜0，d＞0时，其前n项和Sn有最小 值；当a1＞0，d＜0时，其前n项和Sn有最大值；
②因为当公差d≠0时，Sn是关于n（n∈N*）的二次函数，即Sn＝an2＋bn，所 以在求关于前n项和Sn的最值时，可借助二次函数求解.
变式训练5
A. 5 B. 6 C. 7 D. 6或7
【解析】∵a1＞0，S4＝S9，∴a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，∴a6＞0，a7＝0，a8＜ 0，∴Sn取最大值时，n为6或7.
D
一、选择题
A. －9 B. －8
C. －7 D. －2
【解析】 a1＝a3－2d＝－2－6＝－8.
A. 28 B. 48
C. 58 D. 68
B
C
A. 11 B. 8
C. 20 D. 35
【解析】 a5＝S5－S4＝20－12＝8.
A. 20 B. 40
C. 60 D. 80
B
B
A. 180 B. 135
C. 90 D. 45
C
A. 6，9 B. 15，9
C. 15，6 D. 1，3
C
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
C
A. 1 B. 5
C. 8 D. 12
【解析】由等差数列的定义可知，a3＋a4＝（a1＋2d）＋（a2＋2d）＝a1＋a2 ＋4d，即 45＝25＋4d，解得d＝5.
B
A. 6 B. 4 C. 3 D. 9
C
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【解析】因为a4，a6分别是方程x2－10x＋24＝0的两实数根，所以a4＋a6＝2a5 ＝10，所以a5＝5.
C
二、填空题
11.1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝ .
12. 在等差数列{an}中，若a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10＝ .
13. 在等差数列{an}中，若a3＝25，a5＝15，则a7＝ .
【解析】由题意可得，a3＋a7＝2a5，即a7＝2a5－a3＝2×15－25＝5.
n2
24
5
14. 已知等差数列2，4，6，8，…，则该数列的前n项和Sn＝ .
15. 在等差数列{an}中，若a1＝3，an＋1＝an＋4（n∈N*），则a4＝ .
【解析】由an＋1＝an＋4（n∈N*），得an＋1－an＝4（n∈N*），所以这个数 列是首项a1＝3，公差d＝4的等差数列，故a4＝a1＋3d＝3＋3×4＝15.
n2＋n
15
三、解答题
16. 已知三个数成等差数列，它们的和等于12，它们的平方和等于50，求这 三个数.
17. 已知数列{an}是首项为23，公差为整数的等差数列，且a6＞0，a7＜0.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列前n项和Sn的最大值；
（3）当Sn＞0时，求n的最大值.
解：（3）令Sn＞0得－2n2＋25n＞0，
18. 某学校礼堂共有20排座位，后一排比前一排多三个座位，最后一排共有77个 座位，则该学校礼堂共有多少个座位？

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