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第三章 圆的基本性质 单元综合训练
一．选择题（共14小题）
1．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝42°，则∠CAD的度数为（　　）度．
A．56 B．78 C．84 D．112
2．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC＝6，BD＝5，则BC的长为（　　）
A．12 B．8 C．10 D．
3．如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB＝2∠BOC，则下列说法中正确的是（　　）
A．∠OBA＝∠OCA B．四边形OABC内接于⊙O
C．AB＝2BC D．∠OBA+∠BOC＝90°
4．如图，以矩形ABCD对角线AC为底边作等腰直角△ACE，连接BE，分别交AD，AC于点F，N，CD＝AF，AM平分∠BAN．下列结论：
①△CDE≌△AFE；②∠BCM＝∠NCM；③AE AM＝NE FM；④BN2+EF2＝EN2；其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图AB是⊙O的直径，所对的圆心角为60°，所对的圆心角为20°，且∠AFC＝∠BFD，∠AGD＝∠BGE，则∠FDG的度数为（　　）
A．20° B．40° C．50° D．60°
6．如图，已知AB＝AC＝AD，∠BAC＝50°，∠DAC＝30°，则∠CBD的度数为（　　）
A．15° B．25° C．50° D．65°
7．如图△ABC为等边三角形，⊙O的周长与等边三角形一边长相等，⊙O在△ABC的边上作无滑动滚动，从P点出发沿顺时针方向滚动，又回到P点，共滚动的圈数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，AD＝4，上面有一个以AD为直径的半圆，如图甲，将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图乙，这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是（　　）
A． B． C． D．
9．如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（　　）
A．3.5cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
10．如图，一车钻辘⊙O抵住高为10cm的路沿AB，此时发现轮胎与地面的接触点C与路沿下端B的距离恰好为30cm（∠ABC＝90°），则车轴辘的直径为（　　）
A．30cm B．50cm C．80cm D．100cm
11．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（　　）
A．2 B．2 C．2 D．4
12．如图， ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，BC＝2．O1，O2是边AB上的两点，半径为2的⊙O1过点A，半径为1的⊙O2过点B．P、E、F分别是边CD，⊙O1和⊙O2上的动点．则PE+PF的最小值等于（　　）
A．2 B．6 C．3+3 D．9
13．如图，AB是半⊙O的直径，点C是的中点，点D为的中点，连接AD，CE⊥AD于点E．若DE＝1，则AE的长为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．32
14．如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB'C'，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC＝60°，AC＝3，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．3π
二．填空题（共10小题）
15．如图，⊙O的直径AB＝10，P是OA上一点，弦MN过点P，且AP＝2，MP＝2，那么弦心距OQ为　 　 ．
16．图1是以AB为直径的半圆形纸片，AB＝6cm，沿着垂直于AB的半径OC剪开，将扇形OAC沿AB方向平移至扇形O′A′C′，如图2，其中O′是OB的中点，O′C′交于点F．则的长为　 　 cm．
17．如图，过点D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠BAC＝54°，那么∠ABC＝　 　 ．
18．如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，且点C是弧AB的中点，若扇形的半径为，则图中阴影部分的面积等于　 　 ．
19．已知一个圆心角为270°扇形工件，搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，若半圆的半径为3m，则圆心O所经过的路线长是 　 　 m．（结果保留π）
20．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为　 　 ．
21．如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为 　 　 ．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为　 　 ．
23．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为 　 　 ．
24．如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为　 　 ．
三．解答题（共6小题）
25．如图，是劣弧，M是的中点，B为上任意一点．自M向BC弦引垂线，垂足为D，求证：AB+BD＝DC．
26．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，求点A经过的路线长．
27．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．
28．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连接DE并延长交AB于点G，连接CD，CF．
（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．
（2）当BE＝4，CDAB时，求⊙O的直径长．
29．如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．
（1）若∠BAC＝60°，
①求证：ODOA．
②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．
（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．
30．（1）如图1，点P为矩形ABCD对角线BD上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于点E、F．若BE＝2，PF＝6，△AEP的面积为S1，△CFP的面积为S2，则S1+S2＝　 　 ；
（2）如图2，点P为 ABCD内一点（点P不在BD上），点E、F、G、H分别为各边的中点．设四边形AEPH的面积为S1，四边形PFCG的面积为S2（其中S2＞S1），求△PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；
（3）如图3，点P为 ABCD内一点（点P不在BD上），过点P作EF∥AD，HG∥AB，与各边分别相交于点E、F、G、H．设四边形AEPH的面积为S1，四边形PGCF的面积为S2（其中S2＞S1），求△PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；
（4）如图4，点A、B、C、D把⊙O四等分．请你在圆内选一点P（点P不在AC、BD上），设PB、PC、围成的封闭图形的面积为S1，PA、PD、围成的封闭图形的面积为S2，△PBD的面积为S3，△PAC的面积为S4，根据你选的点P的位置，直接写出一个含有S1、S2、S3、S4的等式（写出一种情况即可）．
第三章 圆的基本性质 单元综合训练
一．选择题（共14小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B D C C A D D B D C
题号 12 13 14
答案 B C C
一．选择题（共14小题）
1．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝42°，则∠CAD的度数为（　　）度．
A．56 B．78 C．84 D．112
【思路点拔】首先以A为圆心，AB长为半径画弧，然后可确定B、C、D同在⊙A上，再根据∠CBD＝2∠BDC可得2，然后可得∠CAD＝2∠BAC＝84°．
【解答】解：以A为圆心，AB长为半径画弧，
∵AB＝AC＝AD，
∴B、C、D同在⊙A上，
∵∠CBD＝2∠BDC，
∴2，
∴∠CAD＝2∠BAC＝84°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
2．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC＝6，BD＝5，则BC的长为（　　）
A．12 B．8 C．10 D．
【思路点拔】连接AD，由∠ACB＝90°可得AB是⊙O的直径，从而得到∠ADB＝90°，由CD是∠ACB的角平分线可得∠ACD＝∠BCD＝45°，则AD＝BD，进而得到△ABD是等腰直角三角形，最后由勾股定理进行计算即可得到答案．
【解答】解：如图，连接AD，
，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵CD是∠ACB的角平分线，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∵，
∴，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴，
∵AC＝6，
∴，
故选：B．
【点评】本题主要考查了圆周角定理及圆的基本性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理及圆的基本性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质，是解题的关键．
3．如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB＝2∠BOC，则下列说法中正确的是（　　）
A．∠OBA＝∠OCA B．四边形OABC内接于⊙O
C．AB＝2BC D．∠OBA+∠BOC＝90°
【思路点拔】过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，由垂径定理得到，于是得到，推出AE＝BE＝BC，根据三角形的三边关系得到2BC＞AB，故C错误；根据三角形内角和得到∠OBA（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，∠OCA（180°﹣∠AOC）＝90°∠BOC，推出∠OBA≠∠OCA，故A错误；由点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，得到四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；根据余角的性质得到∠OBA+∠BOC＝90°，故D正确；
【解答】解：过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，
则，
∴AE＝BE，∠AOE＝∠BOEAOB，
∵∠AOB＝2∠BOC，
∴∠AOE＝∠BOE＝∠BOC，
∴，
∴AE＝BE＝BC，
∴2BC＞AB，故C错误；
∵OA＝OB＝OC，
∴∠OBA（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，
∠OCA（180°﹣∠AOC）＝90°∠BOC，
∴∠OBA≠∠OCA，故A错误；
∵点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，
∴四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；
∵∠BOE＝∠BOCAOB，
∵∠BOE+∠OBA＝90°，
∴∠OBA+∠BOC＝90°，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，垂径定理，三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键．
4．如图，以矩形ABCD对角线AC为底边作等腰直角△ACE，连接BE，分别交AD，AC于点F，N，CD＝AF，AM平分∠BAN．下列结论：
①△CDE≌△AFE；②∠BCM＝∠NCM；③AE AM＝NE FM；④BN2+EF2＝EN2；其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】①正确，只要证明∠EAF＝∠DCE，即可解决问题；
②正确，只要证明点M是△ABC的内心即可；
③正确．如图2中，将△ABN逆时针旋转90°得到△AFG，连接EG．想办法证明△GEF是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题；
④错误．利用反证法证明即可．
【解答】解：如图1中，连接BD交AC于O，连接OE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝OD＝OB，∠OAD＝∠ODA，
∵△ACE是等腰直角三角形，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴∠EAF＝∠DCE，
在△CDE和△AFE中，
，
∴△CDE≌△AFE（SAS），故①正确，
∵CD＝AB＝AF，∠BAF＝90°，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠FBC＝45°，
∴BM平分∠ABC，
∵AM平分∠BAC，
∴点M是△ABC的内心，
∴CM平分∠ACB，
∴∠MCB＝∠MCN，故②正确，
如图2中，将△ABN绕点A逆时针旋转90°，得到△AFG，连接EG，
∵∠NAB＝∠GAF，
∴∠GAN＝∠BAD＝90°，
∵∠EAN＝45°，
∴∠EAG＝∠EAN＝45°，
∵AG＝AN，AE＝AE，
∴△AEG≌△AEN（SAS），
∴EN＝EG，GF＝BN，
∵∠AFG＝∠ABN＝∠AFB＝45°，
∴∠GFB＝∠GFE＝90°，
∴EG2＝GF2+EF2，
∴BN2+EF2＝EN2，故④正确，
不妨设AE AM＝NE FM，
∵AE＝EC，
∴，
∴只有△ECN∽△MAF才能成立，
∴∠AMF＝∠CEN，
∴CE∥AM，
∵AE⊥CE，
∴MA⊥AE（矛盾），
∴假设不成立，故③错误，
故选：C．
【点评】本题考查了四边形综合题，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
5．如图AB是⊙O的直径，所对的圆心角为60°，所对的圆心角为20°，且∠AFC＝∠BFD，∠AGD＝∠BGE，则∠FDG的度数为（　　）
A．20° B．40° C．50° D．60°
【思路点拔】作C关于AB的对称点M，作E关于AB的对称点N，连接CM，FM，求出∠AFM＝∠BFD，推出D、F、M三点共线，D、G、N三点共线，求出弧AM＝60°，弧BN＝20°，即可求出答案．
【解答】解：作C关于AB的对称点M，作E关于AB的对称点N，连接CM，FM，CM交AB于Q
则AB⊥CM，CQ＝MQ，
∴∠CFA＝∠AFM，
∵∠AFC＝∠BFD，
∴∠DFB＝∠AFM，
即D、F、M三点共线，
同理D、G、N三点共线，
∴弧AC＝弧AM＝60°，弧BE＝弧BN＝20°，
∴弧CE＝弧MN＝180°﹣60°﹣20°＝100°，
∠FDG弧MN＝50°．
故选：C．
【点评】本题主要考查对轴对称的性质，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理，对顶角等知识点的理解和掌握，能求出弧AM和弧BN的度数是解此题的关键．
6．如图，已知AB＝AC＝AD，∠BAC＝50°，∠DAC＝30°，则∠CBD的度数为（　　）
A．15° B．25° C．50° D．65°
【思路点拔】由AB＝AC＝AD，可得B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，然后由圆周角定理，证得∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，继而可得∠CAD＝2∠BAC，∠CBD∠DAC．
【解答】解：∵AB＝AC＝AD，
∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，
∵∠CBD∠DAC＝15°，
故选：A．
【点评】此题考查了圆周角定理．注意得到B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上是解此题的关键．
7．如图△ABC为等边三角形，⊙O的周长与等边三角形一边长相等，⊙O在△ABC的边上作无滑动滚动，从P点出发沿顺时针方向滚动，又回到P点，共滚动的圈数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拔】根据直线与圆相切的性质得到圆从一边转到另一边时，圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，则圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，再加上在三边作无滑动滚动时要转三圈，这样得到它回到原出发位置点P时共转了4圈．
【解答】解：圆在AB、BC、CA三边作无滑动滚动时，
∵等边三角形的边长与和圆的周长相等，
∴圆转了3圈，
而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数，
圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，
∴圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，
∴圆回到原出发位置时，共转了4圈．
故选：D．
【点评】此题考查了弧长公式，正确理解圆在三个顶点共转1圈是解题关键，另外要求同学们熟练掌握弧长的计算公式．
8．有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，AD＝4，上面有一个以AD为直径的半圆，如图甲，将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图乙，这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拔】根据折叠和直角三角形的边角关系可求出∠DAC＝30°，进而求出阴影部分所在的圆心角的度数为120°，再根据锐角三角函数求出△ODF的底和高，最后根据S阴影部分＝S扇形DOF﹣S△ODF进行计算即可．
【解答】解：设阴影部分所在的圆心为O，AD与半圆弧交于点F，如图，连接OF，过点O作OM⊥DF交DF于点M，
∵AD＝4，CD＝2，
∴∠DAC＝30°，
∵OD∥BC，OD＝OF＝2，
∴∠ODF＝∠OFD＝∠DAC＝30°，
∴∠DOF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
在Rt△DOM中，
OM＝OD sin30°＝21，
DM＝OD cos30°＝2，
∴DF＝2DM＝2，
∴S阴影部分＝S扇形DOF﹣S△ODF
21
，
故选：D．
【点评】本题考查折叠轴对称，直角三角形的边角关系，扇形、三角形面积计算，掌握扇形和三角形面积计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径是正确计算的关键．
9．如图所示，矩形纸片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（　　）
A．3.5cm B．4cm C．4.5cm D．5cm
【思路点拔】设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．
【解答】解：设AB＝xcm，则DE＝（6﹣x）cm，
根据题意，得π（6﹣x），
解得x＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
10．如图，一车钻辘⊙O抵住高为10cm的路沿AB，此时发现轮胎与地面的接触点C与路沿下端B的距离恰好为30cm（∠ABC＝90°），则车轴辘的直径为（　　）
A．30cm B．50cm C．80cm D．100cm
【思路点拔】将实际问题转化为关于圆的问题解答．
【解答】解：连接OC，则OC⊥BC，过A作AD⊥OC于D，则可得矩形ABCD，
且有AD＝BC＝30cm，DC＝AB＝10cm，
连接OA，设⊙O半径为x cm，在Rt△OAD中，
由勾股定理得方程，（x﹣10）2+302＝x2，
解得，x＝50，
∴2x＝100，
答：车轱辘的直径为100cm．
解得，x＝50，
∴2x＝100，
答：车轱辘的直径为100cm．
故选：D．
【点评】此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径的计算的问题，常把半弦长，弦心距转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线
11．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（　　）
A．2 B．2 C．2 D．4
【思路点拔】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，由垂径定理得出DF＝CF，AG＝BGAB＝3，得出EG＝AG﹣AE＝2，由勾股定理得出OG2，证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG＝45°，OEOG＝2，求出∠OEF＝30°，由直角三角形的性质得出OFOE，由勾股定理得出DF，即可得出答案．
【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：
则DF＝CF，AG＝BGAB＝3，
∴EG＝AG﹣AE＝2，
在Rt△BOG中，OG2，
∴EG＝OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°，OEOG＝2，
∵∠DEB＝75°，
∴∠OEF＝30°，
∴OFOE，
在Rt△ODF中，DF，
∴CD＝2DF＝2；
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
12．如图， ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，BC＝2．O1，O2是边AB上的两点，半径为2的⊙O1过点A，半径为1的⊙O2过点B．P、E、F分别是边CD，⊙O1和⊙O2上的动点．则PE+PF的最小值等于（　　）
A．2 B．6 C．3+3 D．9
【思路点拔】作O2关于CD的对称点O，连接OO1交CD于P，连接OO2交⊙O2于F，连接PO1交⊙O1于E，则此时，PE+PF的值最小，PE+PF的最小值＝OO1﹣EO1﹣FO2，连接OO2交CD于G，过B作BH⊥CD于H，则BH＝O2G，根据平行四边形的性质得到∠C＝∠A＝60°，求得BHBC＝3，得到OO2＝2O2G＝2BC＝6，根据已知条件得到⊙O1，⊙O2外切，得到O1O2＝3，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：作O2关于CD的对称点O，连接OO1交CD于P，
连接OO2交⊙O2于F，连接PO1交⊙O1于E，
则此时，PE+PF的值最小，PE+PF的最小值＝OO1﹣EO1﹣FO2，
连接OO2交CD于G，
过B作BH⊥CD于H，则BH＝O2G，
∵在 ABCD中，∠A＝60°，AB＝6，BC＝2，
∴∠C＝∠A＝60°，
∵BHBC＝3，
∴OO2＝2O2G＝2BH＝6，
∵AB＝6，半径为2的⊙O1过点A，半径为1的⊙O2过点B，
∴⊙O1，⊙O2外切，
∴O1O2＝3，
∵AB∥CD，
OO2⊥CD，
∴OO2⊥AB，
∴∠AO2O＝90°，
∴OO19，
∴PE+PF的最小值＝9﹣1﹣2＝6，
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质以及相切两圆的性质，勾股定理等知识，根据题意得出P点位置是解题关键．
13．如图，AB是半⊙O的直径，点C是的中点，点D为的中点，连接AD，CE⊥AD于点E．若DE＝1，则AE的长为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．32
【思路点拔】连接AC，BC，CD，在EA上取一点T，使得EC＝ET，连接CT．证明TA＝TCEC，EC＝DE，可得结论．
【解答】解：如图，连接AC，BC，CD，在EA上取一点T，使得EC＝ET，连接CT．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵点C是的中点，
∴，
∴AC＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∵点D为的中点，
∴，
∴∠CAD＝∠DAB＝22.5°，
∵∠ADC＝∠ABC＝45°，CE⊥DE，DE＝1，
∴∠CED＝90°，
∴∠ECD＝∠EDC＝45°，
∴EC＝DE＝1，
∴EC＝DE＝1，CT，
∵∠ETC＝45°＝∠TAC+∠ACT，
∴∠TAC＝∠TCA＝22.5°，
∴AT＝TC，
∴AE＝AT+TE1．
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
14．如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB'C'，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC＝60°，AC＝3，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．3π
【思路点拔】图中S阴影＝S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝3，
∴∠ABC＝30°．
∴AB＝2AC＝6．
根据旋转的性质知△ABC≌△AB′C′，则S△ABC＝S△AB′C′，AB＝AB′．
∴S阴影＝S扇形ABB′+S△AB′C′﹣S△ABC
．
故选：C．
【点评】本题考查了扇形面积的计算、旋转的性质．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．
二．填空题（共10小题）
15．如图，⊙O的直径AB＝10，P是OA上一点，弦MN过点P，且AP＝2，MP＝2，那么弦心距OQ为　　 ．
【思路点拔】先根据AB＝10，AP＝2求出OP及OA的长，连接OM，则在Rt△OMQ及Rt△OPQ中利用勾股定理可得出关于OQ，PQ的方程组，进而可得出OQ的长．
【解答】解：∵直径AB＝10，AP＝2，
∴OA＝OM＝5，OP＝3，
在Rt△OMQ中，OM2＝OQ2+（MP+PQ）2，即52＝OQ2+（2PQ）2①，
在Rt△OPQ中，OP2＝OQ2+PQ2，即32＝OQ2+PQ2②，
①②联立可得OQ，PQ．
故答案为：．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
16．图1是以AB为直径的半圆形纸片，AB＝6cm，沿着垂直于AB的半径OC剪开，将扇形OAC沿AB方向平移至扇形O′A′C′，如图2，其中O′是OB的中点，O′C′交于点F．则的长为　π　 cm．
【思路点拔】连接OF计算出圆心角，根据弧长公式计算即可．
【解答】解：连接OF，
∵O′是OB的中点，OB′＝OF，
∴OO′OF，
∴∠OFO′＝30°
∴∠FOO′＝60°
∴π．
【点评】本题的关键是求出圆心角．
17．如图，过点D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果∠BAC＝54°，那么∠ABC＝　24°　 ．
【思路点拔】首先连接DE，由过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，根据圆内接四边形的性质可得：，继而可求得，又由三角形内角和定理，即可求得答案．
【解答】解：连接DE，
∵过D、A、C三点的圆的圆心为E，
∴，
∵过B、E、F三点的圆的圆心为D，
∴∠BED＝∠B，
∴∠AED＝180°﹣∠B，
∴，
∵∠A+∠C+∠B＝180°，
∴，
解得：∠B＝24°．
故答案为：24°．
【点评】此题考查了圆周角定理以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合与方程思想的应用．
18．如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，且点C是弧AB的中点，若扇形的半径为，则图中阴影部分的面积等于　π﹣2　 ．
【思路点拔】根据扇形的面积公式求出面积，再过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，然后证明△CMG与△CNH全等，从而得到中间空白区域的面积等于以2为对角线的正方形的面积，从而得出阴影部分的面积．
【解答】解：两扇形的面积和为：π，
过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，
则四边形EMCN是矩形，
∵点C是的中点，
∴EC平分∠AEB，
∴CM＝CN，
∴矩形EMCN是正方形，
∵∠MCG+∠FCN＝90°，∠NCH+∠FCN＝90°，
∴∠MCG＝∠NCH，
在△CMG与△CNH中，，
∴△CMG≌△CNH（ASA），
∴中间空白区域面积相当于对角线是的正方形面积，
∴空白区域的面积为：1，
∴图中阴影部分的面积＝两个扇形面积和﹣2个空白区域面积的和＝π﹣2．
故答案为：π﹣2．
【点评】此题主要考查了扇形的面积求法，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，得出四边形EGCH的面积是解决问题的关键．
19．已知一个圆心角为270°扇形工件，搬动前如图所示，A、B两点触地放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，若半圆的半径为3m，则圆心O所经过的路线长是 　6π　 m．（结果保留π）
【思路点拔】O经过的路线是两个半径是3，圆心角为45°的弧，平移的距离是半径为3，圆心角是270°的弧长，二者的和就是所求的路线长．
【解答】解：∠AOB＝360°﹣270°＝90°，则∠ABO＝45°，
则∠OBO＝45°，
O旋转的长度是：2；
O移动的距离是：，
则圆心O所经过的路线长是：6π，
故答案为：6π．
【点评】本题考查了弧长的计算公式，正确理解O经过的路线是关键．
20．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为　　 ．
【思路点拔】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出即可．
【解答】解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CBAB1，
即CD的最大值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．
21．如图物体由两个圆锥组成．其主视图中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为 　　 ．
【思路点拔】先证明△ABD为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BDAB，再证明△CBD为等边三角形得到BC＝BDAB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积．
【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝AD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，BDAB，
∵∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝60°，
而CB＝CD，
∴△CBD为等边三角形，
∴BC＝BDAB，
∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，
∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，
∴下面圆锥的侧面积1．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为　　 ．
【思路点拔】如图，连接OM，作OH⊥AB于H，CK⊥AB于K．由题意MN＝2MH＝2，OM，推出欲求MN的最大值，只要求出OH的最小值即可．
【解答】解：如图，连接OM，作OH⊥AB于H，CK⊥AB于K．
∵OH⊥MN，
∴MH＝HN，
∴MN＝2MH＝2，
∵∠DCE＝90°，OD＝OE，
∴OC＝OD＝OE＝OM，
∴欲求MN的最大值，只要求出OH的最小值即可，
∵OC，
∴点O的运动轨迹是以C为圆心为半径的圆，
在Rt△ACB中，∵BC＝3，AC＝4，
∴AB＝5，
∵ AB CK AC BC，
∴CK，
当C，O，H共线，且与CK重合时，OH的值最小，
∴OH的最小值为，
∴MN的最大值＝2，
故答案为．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
23．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（20，0），点B的坐标是（16，0），点C、D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为 　（2，6）　 ．
【思路点拔】过点M作MF⊥CD于点F，则CFCD＝8，过点C作CE⊥OA于点E，由勾股定理可求得MF的长，从而得出OE的长，然后写出点C的坐标．
【解答】解：∵四边形OCDB是平行四边形，B（16，0），
∴CD∥OA，CD＝OB＝16，
过点M作MF⊥CD于点F，则CFCD＝8，
过点C作CE⊥OA于点E，
∵MF⊥CD，CD∥OB，
∴MF⊥OB，
∴∠CFM＝∠EMF＝90°，
又∵∠OEM＝90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∵A（20，0），
∴OE＝OM﹣ME＝OM﹣CF＝10﹣8＝2．
连接MC，则MCOA＝10，
∴在Rt△CMF中，由勾股定理得MF6
∴点C的坐标为（2，6）
故答案为：（2，6）．
【点评】本题考查了勾股定理、垂径定理以及平行四边形的性质，正确作出辅助线构造出直角三角形是解题关键．
24．如图所示，在直角坐标系中放置一个边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴的正方向无滑动的在x轴上滚动，当点A离开原点后第一次落在x轴上时，点A运动的路径线与x轴围成的面积为　π+1　 ．
【思路点拔】根据旋转的性质作出图形，再利用勾股定理列式求出正方形的对角线，然后根据点A运动的路径线与x轴围成的面积为三个扇形的面积加上两个直角三角形的面积，列式计算即可得解．
【解答】解：如图，∵正方形ABCD的边长为1，
∴对角线长：，
点A运动的路径线与x轴围成的面积为：
1×11×1
πππ
＝π+1．
故答案为：π+1．
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，扇形的面积，读懂题意并作出图形，观察出所求面积的组成部分是解题的关键，作出图形更形象直观．
三．解答题（共6小题）
25．如图，是劣弧，M是的中点，B为上任意一点．自M向BC弦引垂线，垂足为D，求证：AB+BD＝DC．
【思路点拔】首先在CD上取点N，使CN＝AB，连接CM，MN，然后证明△ABM≌△CNM，从而得到BM＝MN，再根据等腰三角形的性质可得BD＝ND，进而可得AB+BD＝DC．
【解答】证明：在CD上取点N，使CN＝AB，连接CM，MN
∵M是的中点，
∴，
∴AM＝CM（等弧对等弦），
又∵∠BAM＝∠BCM，
在△ABM和△CNM中，
，
∴△ABM≌△CNM（SAS），
∴BM＝MN，
∴△BMN为等腰三角形（BN为底），
又∵MD⊥BN，
∴D为BN中点（等腰三角形三线合一），
∴BD＝DN
∴AB+BD＝CD．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，以及全等三角形的判定与性质，关键是正确作出辅助线．
26．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，边CD在直线l上，将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，求点A经过的路线长．
【思路点拔】如图根据旋转的性质知，点A经过的路线长是三段：①以90°为圆心角，AD长为半径的扇形的弧长；②以90°为圆心角，AB长为半径的扇形的弧长；③90°为圆心角，矩形ABCD对角线长为半径的扇形的弧长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，
∴BC＝AD＝3，∠ADC＝90°，对角线AC（BD）＝5．
∵根据旋转的性质知，∠ADA′＝90°，AD＝A′D＝BC＝3，
∴点A第一次翻滚到点A′位置时，则点A′经过的路线长为：．
同理，点A′第一次翻滚到点A″位置时，则点A′经过的路线长为：2π．
点A″第一次翻滚到点A1位置时，则点A″经过的路线长为：．
则当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为：2π6π．
【点评】本题考查了弧长的计算、矩形的性质以及旋转的性质．根据题意画出点A运动轨迹，是突破解题难点的关键．
27．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．
【思路点拔】（1）根据等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠B，根据平行线的性质得出∠ADF＝∠B，求出∠ADF＝∠CFD，根据平行线的判定得出BD∥CF，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）求出∠AEF＝∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠ECF+∠EAF＝180°，根据平行线的性质得出∠ECF+∠B＝180°，求出∠AEF＝∠EAF，根据等腰三角形的判定得出即可．
【解答】证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∵∠BAC＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴BD∥CF，
∵DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；
（2）连接AE，
∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF+∠EAF＝180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B＝180°，
∴∠EAF＝∠B，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AF＝EF．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，平行四边形的判定，圆内接四边形，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
28．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连接DE并延长交AB于点G，连接CD，CF．
（1）求证：四边形DCFG是平行四边形．
（2）当BE＝4，CDAB时，求⊙O的直径长．
【思路点拔】（1）连接AE，由∠BAC＝90°，得到CF是⊙O的直径，根据圆周角定理得到∠AED＝90°，即GD⊥AE，推出CF∥DG，推出AB∥CD，于是得到结论；
（2）设CD＝3x，AB＝8x，得到CD＝FG＝3x，于是得到AF＝CD＝3x，求得BG＝8x﹣3x﹣3x＝2x，求得BC＝6+4＝10，根据勾股定理得到AB8＝8x，求得x＝1，在Rt△ACF中，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵∠BAC＝90°，
∴CF是⊙O的直径，
∵AC＝EC，
∴，
∴CF⊥AE，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
即GD⊥AE，
∴CF∥DG，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ACD+∠BAC＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形DCFG是平行四边形；
（2）解：由CDAB，
设CD＝3x，AB＝8x，
∴CD＝FG＝3x，
∵∠AOF＝∠COD，
∴AF＝CD＝3x，
∴BG＝8x﹣3x﹣3x＝2x，
∵GE∥CF，
∴，
∵BE＝4，
∴AC＝CE＝6，
∴BC＝6+4＝10，
∴AB8＝8x，
∴x＝1，
在Rt△ACF中，AF＝3，AC＝6，
∴CF3，
即⊙O的直径长为3．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，平行四边形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
29．如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．
（1）若∠BAC＝60°，
①求证：ODOA．
②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．
（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．
【思路点拔】（1）①连接OB、OC，则∠BODBOC＝∠BAC＝60°，即可求解；②BC长度为定值，△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，即可求解；
（2）∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx∠BOC＝∠DOC，而∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，即可求解．
【解答】解：（1）①连接OB、OC，
则∠BOD∠BOC＝∠BAC＝60°，
∴∠OBC＝30°，
∴ODOBOA；
②∵BC长度为定值，
∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，
当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD，
△ABC面积的最大值BC×AD2OBsin60°；
（2）如图2，连接OC，
设：∠OED＝x，
则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，
则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx∠BOC＝∠DOC，
∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，
∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，
∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x，
即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x，
化简得：m﹣n+2＝0．
备注：此题还可采用以下解法：
连接OB，延长DO交AB于点K，
设∠OED＝α，则∠AOK＝2α，
∴∠BKD＝90°﹣mα，
则∠BOA＝180°﹣2∠BAO＝180°﹣2（∠BKD﹣∠AOK）＝180°﹣2（90°﹣mα﹣2α）＝2mα+4α＝2∠C＝2nα，
∴m﹣n+2＝0．
【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到解直角三角形、三角形内角和公式，其中（2），∠AOD＝∠COD+∠AOC是本题容易忽视的地方，本题难度适中．
30．（1）如图1，点P为矩形ABCD对角线BD上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于点E、F．若BE＝2，PF＝6，△AEP的面积为S1，△CFP的面积为S2，则S1+S2＝　12　 ；
（2）如图2，点P为 ABCD内一点（点P不在BD上），点E、F、G、H分别为各边的中点．设四边形AEPH的面积为S1，四边形PFCG的面积为S2（其中S2＞S1），求△PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；
（3）如图3，点P为 ABCD内一点（点P不在BD上），过点P作EF∥AD，HG∥AB，与各边分别相交于点E、F、G、H．设四边形AEPH的面积为S1，四边形PGCF的面积为S2（其中S2＞S1），求△PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；
（4）如图4，点A、B、C、D把⊙O四等分．请你在圆内选一点P（点P不在AC、BD上），设PB、PC、围成的封闭图形的面积为S1，PA、PD、围成的封闭图形的面积为S2，△PBD的面积为S3，△PAC的面积为S4，根据你选的点P的位置，直接写出一个含有S1、S2、S3、S4的等式（写出一种情况即可）．
【思路点拔】（1）如图1中，求出△PFC的面积，证明△APE的面积＝△PFC的面积即可．
（2）如图2中，连接PA，PC，在△APB中，因为点E是AB的中点，可设S△APE＝S△PBE＝a，同理，S△APH＝S△PDH＝b，S△PDG＝S△PGC＝c，S△PFC＝S△PBF＝d，证明S四边形AEPH+S四边形PFCG＝S四边形PEBF+S四边形PHDG＝S1+S2，推出S△ABDS平行四边形ABCD＝S1+S2，根据S△PBD＝S△ABD﹣（S1+S△PBE+S△PHD）＝S1+S2﹣（S1+a+S1﹣a）＝S2﹣S1．可得结论．
（3）如图3中，由题意四边形EBGP，四边形HPFD都是平行四边形，利用平行四边形的性质求解即可．
（4）分四种情形：如图4﹣1中，结论：S2﹣S1＝S3+S4．设线段PB，线段PA，弧AB围成的封闭图形的面积为x，线段PC，线段PD，弧CD的封闭图形的面积为y．由题意：S1+x+S4＝S1+y+S3，推出x﹣y＝S3﹣S4，由题意S1+S2+x+y＝2（S1+x+S4），可得S2﹣S1＝x﹣y+2S4＝S3+S4．其余情形同法可求．
【解答】解：（1）如图1中，
过点P作PM⊥AD于M，交BC于N．
∵四边形ABCD是矩形，EF∥BC，
∴四边形AEPM，四边形MPFD，四边形BNPE，四边形PNCF都是矩形，
∴BE＝PN＝CF＝2，S△PFCPF×CF＝6，S△AEP＝S△APM，S△PEB＝S△PBN，S△PDM＝S△PFD，S△PCN＝S△PCF，S△ABD＝S△BCD，
∴S矩形AEPM＝S矩形PNCF，
∴S1＝S2＝6，
∴S1+S2＝12，
故答案为12．
（2）如图2中，连接PA，PC，
在△APB中，∵点E是AB的中点，
∴可设S△APE＝S△PBE＝a，同理，S△APH＝S△PDH＝b，S△PDG＝S△PGC＝c，S△PFC＝S△PBF＝d，
∴S四边形AEPH+S四边形PFCG＝a+b+c+d，S四边形PEBF+S四边形PHDG＝a+b+c+d，
∴S四边形AEPH+S四边形PFCG＝S四边形PEBF+S四边形PHDG＝S1+S2，
∴S△ABDS平行四边形ABCD＝S1+S2，
∴S△PBD＝S△ABD﹣（S1+S△PBE+S△PHD）＝S1+S2﹣（S1+a+S1﹣a）＝S2﹣S1．
（3）如图3中，由题意四边形EBGP，四边形HPFD都是平行四边形，
∴S四边形EBGP＝2S△EBP，S四边形HPFD＝2S△HPD，
∴S△ABDS平行四边形ABCD（S1+S2+2S△EBP+2S△HPD）（S1+S2）+S△EBP+S△HPD，
∴S△PBD＝S△ABD﹣（S1+S△EBP+S△HPD）（S2﹣S1）．
（4）如图4﹣1中，结论：S2﹣S1＝S3+S4．
理由：设线段PB，线段PA，弧AB围成的封闭图形的面积为x，线段PC，线段PD，弧CD的封闭图形的面积为y．
由题意：S1+x+S4＝S1+y+S3，
∴x﹣y＝S3﹣S4，
∵S1+S2+x+y＝2（S1+x+S4），
∴S2﹣S1＝x﹣y+2S4＝S3+S4．
同法可证：图4﹣2中，有结论：S1﹣SS3+S4．
图4﹣3中和图4﹣4中，有结论：|S1﹣S2|＝|S3﹣S4|．
【点评】本题属于圆综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，圆的有关知识等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，学会用分类讨的思想思考问题，属于中考压轴题．

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