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第四章 一次函数
生活中存在着许许多多变化的量，你了解这些变量之间的关系吗 如水龙头漏水量与漏水时间，弹簧的长度与所挂物体的质量，步行时所走的路程与所用的时间……了解这些关系，可以帮助我们更好地认识世界。
函数是刻画变量之间关系的常用模型，其中最为简单的是一次函数。什么是一次函数 它对应的图象有什么特征 用一次函数可以解决现实生活中的哪些问题 ……你想了解这些吗 一起来看一看!
4.1 函数
1.掌握函数的概念以及表示方法。（重点）
2.会求函数的值，并确定自变量的取值范围。（难点）
你坐过摩天轮吗？想一想，如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离地面的高度是如何变化的？
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9101112
3
h / m
t / min
下图反映了摩天轮上某一点离地面的高度 h (单位：m)与旋转时间 t (单位：min) 之间的关系。
t / min 0 1 2 3 4 5 …
h / m …
(1)根据图填表：
(2)对于给定的时间 t ，相应的高度 h 确定吗？
11
37
45
37
3
10
确定；唯一一个
思考 1.圆柱形物体常常像下图那样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？
（1）填写下表：
1 2 3 4 5 …
…
1
3
6
10
15
（2）对于给定任一层数 n ，相应的物体总数 y 确定吗？有几个 y 值和它对应？
层数 n
物体总数 y
答:唯一一个 y 值。
物体总数 y 随着层数 n 的变化而变化
思考 2.一定质量的气体在体积不变时，若温度降低到－273.15℃，则气体的压强为零。因此，物理学把－273.15℃作为热力学温度的零度。热力学温度 T (单位：K)与摄氏温度 t (单位：℃)之间有如下数量关系：T ＝ t ＋273.15,T≥0。
解：当 t ＝－43 时，T ＝－43＋273.15＝230.15（K）；
（1）当 t 分别为 －43℃， －27℃，0℃，18℃ 时，相应的热力学温度 T 是多少？
当 t ＝－27 时，T ＝－27＋273.15＝246.15（K）；
当 t ＝0 时，T ＝0＋273.15＝273.15（K）；
当 t ＝18 时，T ＝18＋273.15＝291.15（K）。
（2）给定任一个大于－273.15 ℃的摄氏温度 t 值，相应的热力学温度T 确定吗？有几个 T 值和它对应？
思考 2.一定质量的气体在体积不变时，若温度降低到－273.15℃，则气体的压强为零。因此，物理学把－273.15℃作为热力学温度的零度。热力学温度 T (单位：K)与摄氏温度 t (单位：℃)之间有如下数量关系：T ＝ t ＋273.15,T≥0。
唯一一个 T 值
确定
探究 上面三个问题都研究了两个变量之间的关系，它们有什么相同点和不同点
①时间 t 、相应的高度 h ；
②层数 n 、物体总数 y ；
③摄氏温度 t 、热力学温度 T 。
三个实际问题 相同点 不同点
问题1
问题2
问题3 T ＝ t ＋273.15,T≥0
t ≥0
n 取正整数
t ≥－273.15
都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值。
自变量取值不同
三个实际问题 相同点 不同点
问题1 都有两个变 量，给定其 中某一个变 量的值，相 应地就确定 了另一个变 量的值。
问题2
问题3 T ＝ t ＋273.15,T≥0
图象法
表格法
关系式法
表示方法不同
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y ，并且对于变量 x 的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数，其中 x 是自变量。
注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.
列表法
图象法
关系式法(解析式法、表达式法)
表示函数的一般方法
例1 下列关于变量 x ，y 的关系式：① y ＝ 2x + 3； ② y＝x2 + 3；③ y＝2|x|；④ y2－3x＝10，其中表示 y 是 x 的函数关系的是 。
①②③
解析：①当 x ＝1 时，y＝5；当 x＝2 时，y＝7......
对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，则 y 是 x 的函数；同理②③。
④ 当 x＝1 时， y2＝13，y＝±。对于 x 的每一个确定的值，y 不唯一，则 y 不是 x 的函数。
1. 填表并回答问题：
(1) 对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应吗？答： 。
(2) y 是 x 的函数吗？为什么？
x 1 4 9 16
y＝±2x
2 和－2
8 和－8
18 和－18
32 和－32
不是
答：不是，因为 y 的值不是唯一的。
关键词：两个变量，给一个 x，得一个 y。
易错点：
顺序不要反。
思考 上述问题中，自变量能取哪些值
t / min 0 1 2 3 4 5 …
h / m 3 10 37 45 37 11 …
层数 n 1 2 3 4 5 …
物体总数 y 1 3 6 10 15 …
（3）在气体与压强的问题中：
当 t ＝－43时，T ＝－43＋273.15＝230.15（K）。
（1）在摩天轮问题中：
（2）在圆柱形物体的堆放问题中：
你发现了
什么？
对于自变量在可取值范围内的一个确定的值 a , 函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于 a 时的函数值。
即：如果y是x的函数，当 x＝a 时，y＝b，那么 b 叫做当 x＝a时的函数值。
注意：函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值。
例2 汽车的油箱中有汽油 50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y (单位：L) 随行驶里程 x (单位：km) 的增加而减少，平均耗油量为 0.1 L/km。
（1）写出表示 y 与 x 的函数关系的式子。
解：(1) 函数关系式为：y＝50－0.1x
油箱中的剩油量、汽车耗油量与油箱中原有油量之间有怎样的数量关系？
叫做函数的解析式
0.1x 表示的意义是什么？
(2) 由 x≥0 及 50－0.1x≥0　
得　0≤ x ≤500
∴自变量的取值范围是 0≤ x ≤500。
汽车行驶里程，油箱中的油量均不能为负数！
归纳 确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义。
(2) 指出自变量 x 的取值范围；
(3)汽车行驶 200 km 时，油箱中还有多少油？
(3) 当 x＝200 时，函数 y 的值为
y＝50－0.1×200＝30。
因此，当汽车行驶 200 km 时，油箱中还有油 30 L。
2.下列两个变量之间不存在函数关系的是（ ）
A.圆的面积 S 和半径 r
B.某地一天的温度 T 与时间 t
C.某班学生的身高 y 与这个班学生的学号 x
D.一个正数的平方根 b 与这个正数 a
1.下列各式中，y 不是 x 的函数的是( )
A.y＝x B.y＝x2＋1 C.y＝|x| D.y＝±x
D
D
3.在 y＝3x＋1 中，如果 x 是自变量， 是 x 的函数。
4.函数 y＝中自变量 x 的取值范围是 。
5.已知y＝＋2x－1，当 x＝1 时，函数值y＝ 。
y
x ≥ 1
2
6.已知 w＝x＋1，y＝,那么 y 是不是 x 的函数？若不是，请说明理由；若是，请写出 y 与 x 之间的函数关系式。
解：y 是 x 的函数。
∵ w＝x＋1，y＝,
∴ y＝，
对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯一的值与它对应，
所以 y 是 x 的函数。
定义：自变量、因变量、常量
函数
自变量的取值范围
函数值
函数的关系式：三种表示方法

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