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4.2 认识一次函数
第2课时 一次函数与正比例函数的概念
1. 掌握一次函数、正比例函数的概念；（重点）
2. 能根据实际情况列一次函数。（难点）
一个蛤蟆一张嘴，
两只眼睛四条腿，
扑通一声跳下水。
两个蛤嫫两张嘴，
四只眼睛八条腿，
扑通、扑通跳下水。
如果设蛤蟆的数量为 x，y 分别表示蛤蟆嘴的数量，眼睛的数量，腿的数量，扑通声，你能列出相应的函数关系式吗？
在弹性限度内，某弹簧的长度 y (单位：cm)与所挂物体的质量 x (单位：kg)的关系如下表所示：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5
(1)随着所挂物体质量 x 的增加，弹簧长度 y 的增长是“均匀”的吗？
解：观察表格，每次所挂物体质量增加 1 kg，弹簧长度都增长 0.5 cm，所以随着所挂物体质量 x 的增加，弹簧长度 y 的增长是“均匀”的。
在弹性限度内，某弹簧的长度 y (单位：cm)与所挂物体的质量 x (单位：kg)的关系如下表所示：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5
(2)写出 y 与 x 之间的关系式，并说明理由。
解：y＝0.5x＋3.0由前面可知，所挂物体质量每增加 1 kg，弹簧长度增长 0.5 cm，
且当 x＝0 时，y＝3 cm，
∴ y 与 x 之间的关系式为 y＝3＋0.5x。
思考 某辆汽车油箱中原有汽油 40 L，汽车每行驶 50 km 耗油 4 L。
（1）完成下表：
行驶路程 x/km 0 50 100 150 200 250 300
耗油量 y/L
（2）写出耗油量 y 与汽车行驶路程 x 之间的关系式。
（3）写出油箱剩余油量 z (单位：L)与汽车行驶 x 之间的关系式。
0
4
8
12
16
20
24
解：由题意，得汽车每行驶1km的耗油量为 L，
∴ 耗油量 y 与汽车行驶路程 x 之间的关系式为 y＝x。
解：z＝40－x。
函数解析式 函数 常量 自变量
y＝3＋0.5x
探究 （1）在前面情境中，我们得到下列关系式，它们有什么共同的特征？
这些函数解析式都包含常数与自变量的乘积的形式！
3 ,0.5
x
y
x
y
y
40 ,－
x
y
k
x
＝
这些函数解析式有什么共同点？
b ＋
（2）请你写出具有一个这种特点的关系式。
a＝5＋2b
如果两个变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，那么称 y 是 x 的一次函数。
注意 对一次函数而言，自变量每增加 1，函数值就增加 k，函数值的变化是“均匀”的。
一次函数的概念：
特别地，当 b = 0 时，称 y 是 x 的正比例函数。
函数是一次函数
函数是正比例函数
关系式为：y＝kx
( k 为常数，k≠0)
关系式为：y＝kx＋b
(k，b为常数，k≠0)
1．下列函数中，正比例函数是（ ）
A.y＝2x＋1 B.y＝x2＋1 C.y＝x D.y＝
2．下列函数：①y＝2x；②y＝4x－1；③y＝3－x；
④y＝。其中一次函数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
C
D
1.判定一个函数是一次函数的条件：
2.判定一个函数是正比例函数的条件：
① k，b为常数，k≠0；
② x 的次数是 1。
① k，b为常数，k≠0；
③ b = 0。
一次函数
正比例函数
正比例函数是一种特殊的一次函数。
② x 的次数是 1；
例1 写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式，并判断：y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 y (单位：km)与行驶时间 x (单位：h)之间的关系；
（2）圆的面积 y (单位：cm2)与它的半径 x (单位：cm)之间的关系；
解：由路程＝速度×时间，得 y＝60x，
y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数。
解：由圆的面积公式，得 y＝πx2，
y 不是 x 的正比例函数，也不是 x 的一次函数。
例1 写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式，并判断：y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？
（3）某水池有水 15 m3，现打开进水管进水，进水速度 5 m3/h,经过 x h 这个水池内有水 y m3。
解：这个水池每小时增加水 5 m3，x h 增加水 5 x m3，
因而 y＝15＋5x，y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数。
例2 已知函数 y＝(m－5)＋m＋1。
(1) 若它是一次函数，求 m 的值；
解：∵ y＝(m－5)＋m＋1 是一次函数，
∴ m2－24＝1 且 m－5≠0。
∴ m＝±5 且 m≠5。
∴ m＝－5。
∴ 当 m＝－5 时，函数 y＝(m－5)＋m＋1
是一次函数。
解：∵ y＝(m－5)＋m＋1 是正比例函数，
∴ m2－24＝1 且 m－5≠0 且 m＋1＝0。
∴ m＝±5 且 m≠5 且 m＝－1。
这样的 m 不存在。
∴ y＝(m－5)＋m＋1 不可能是正比例函数。
例2 已知函数 y＝(m－5)＋m＋1。
(2) 它可能是正比例函数吗？若能，求出 m 的值。
探究 (1)例(1)中，两个一次函数的一次项系数 k 和常数项 b 分别是多少，它们的实际意义是什么？
解：例(1)中的两个一次函数分别是 y＝60x 和 y＝15＋5x，
k 表示自变量每增加 1 个单位时因变量的变化量，
b 表示当自变量为 0 时因变量的值。
(2)一般地，k，b 对一次函数 y＝kx＋b 有怎样的影响？
k 决定函数图象的升降及陡峭程度，
b 决定函数图象与 y 轴的交点位置。
y＝60x 的一次项系数 k＝60 ，常数项 b＝0；
y＝15＋5x 的一次项系数 k＝5 ，常数项 b＝15。
例3 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过 1 s 其速度减少
35 km/h。
（1）假设该汽车以 120 km/h 的速度行驶，试写出该汽车刹车后的速度 y (单位：km/h)与刹车后所经过的时间 t (单位：s)之间的关系式 y＝kt＋b，并说明 k 和 b 的实际意义。
解：刹车开始时汽车的速度为 120 km/h，
每过 1 s 汽车的速度减少 35 km/h，
于是经过 t s 汽车的速度减少了 35 t km/h，
所以 y 与 t 的关系式是 y＝－35t＋120。
其中，k＝－35表示每秒汽车速度的变化量，
b＝120 表示刹车开始时汽车的速度。
例3 在一次测试中，某汽车紧急刹车后，每过 1 s 其速度减少 35 km/h。
（2）求出（1）中汽车从刹车到停止所需的时间。
解：汽车停止时速度 y＝0，
解方程 0＝－35t＋120，
得 t＝≈3.43。
因此，该汽车从刹车到停止所需的时间大约为 3.43 s。
1．一段导线，在 0 ℃ 时的电阻为 2 欧，温度每增加 1 ℃，电阻增加 0.008 欧，那么电阻 R （欧）表示为温度 t （℃）的函数关系为（ ）
A．R＝－1.992t＋2 B．R＝0.008t＋2
C．R＝2.008t＋2 D．R＝2t＋2
B
2．如果 y＝kx＋2k＋x 是关于 x 的正比例函数，则 k 的值为 。
0
3．当 m＝ 时，函数 y＝＋(3－m)是一次函数。
±3
4. 有一块 10 公顷的成熟麦田，用一台收割速度为 0.5 公顷每小时的小麦收割机来收割。
(1) 求收割的面积 y (单位：公顷) 与收割时间 x (单位：时) 之间的函数关系式；
(2) 求收割完这块麦田需用的时间。
解：(1) y＝0.5x；
(2) 把 y＝10 代入 y＝0.5x 中，得 10＝0.5x。
解得 x＝20，即收割完这块麦田需要 20 小时。
形式：________
特别地，当 b＝0时，_ _______ 是正比例函数
一次函数与正比例函数的概念
根据条件列一次函数、正比例函数
实际情境中 k，b 的意义
y = kx + b (k ≠ 0)
y = kx (k ≠ 0)

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