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第1课时 确定一次函数的表达式
4.4 一次函数的应用
1.掌握确定一次函数表达式的方法。（重点）
2.体会函数与方程间的联系。（难点）
函数 解析式 图象
正比例函数 y＝kx (k 是常数，k ≠0) 一条过____点的___线
一次函数 y＝kx＋b(k，b 是常数，k≠0) 一条___线
y
x
o
y
x
o
原
直
直
　　前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出两个具体的一次函数解析式吗？如何画出它们的图象？
思考：
　　反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？
两点法——两点确定一条直线
某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v（单位：m/s）与其下滑时间 t (单位：s)的关系如图所示：
问题：从图象中你能得到什么条件？
过原点的射线
正比例函数的表达式
v＝kt
从形到数
(1)请写出 v 与 t 的关系式。
解：(1)设 v＝kt,
∵（2，5）在函数图像上，
∴ 将（2，5）代入 v＝kt 中，
有 2k＝5，
解得 k＝2.5
∴ v 与 t 的关系式为 v＝2.5t。
(2)下滑 3 s 时物体的速度是多少？
解：当 t＝3时，v＝2.5×3＝7.5(m/s)
1.已知一个正比例函数的图象如图所示。
(1)求该函数的表达式；
(2)若点(－3，m)也在该函数图象上，求 m 的值。
解：(1)设该正比例函数的表达式为 y＝kx(k≠0)。
由图象，得该正比例函数经过(1，2)，则有 k＝2。
所以该函数的表达式为 y＝2x。
(2)∵ 点(－3，m)在该函数图象上，
∴ m＝2×(－3)＝－6。
探究 如图，已知一次函数的图象经过 P (0，－1)，
Q (1，1) 两点。怎样确定这个一次函数的解析式呢？
因为一次函数的一般形式是 y＝kx＋b (k，b为常数，k≠0)，要求出一次函数的解析式，关键是要确定 k 和 b 的值(即待定系数)。
函数解析式
y = kx + b
满足条件的两点
(x1，y1)，(x2，y2)
一次函数的图象直线 l
选取
代入解出
画出
选取
解：∵ P (0，-1)和 Q (1，1)都在该函数图象上，
∴它们的坐标都满足 y＝kx＋b ，将这两点坐标代入该式中，得
b＝-1，k＋b＝1，
解这个方程组，得
k＝2，b＝-1。
∴ 这个一次函数的解析式为 y＝2x－1。
(1)设：设一次函数的一般形式 ；
(2)列：把图象上的点(x1，y1)，(x2，y2)代入一次函数的解析式；
(3)解：解方程得 k，b；
(4)写：把 k，b 的值代入所涉解析式中，写出表达式。
y = kx + b (k ≠ 0)
待定系数法求一次函数解析式的步骤：
一个(求出 k 的值)
两个(求出 k 和 b 的值)
思考 确定正比例函数的表达式需要几个条件？
确定一次函数的表达式呢？
函数解析式
y＝kx＋b
一次函数的图象直线 l
从数到形
从形到数
数学的基本思想方法：数形结合
例1 在弹性限度内，弹簧的长度 y（单位：cm）是所挂物体质量 x（单位：kg）的一次函数。一根弹簧不挂物体时长 14.5 cm；当所挂物体的质量为 3 kg 时，弹簧长 16 cm。请写出 y 与 x 之间的关系式，并求当所挂物体的质量为 4 kg 时弹簧的长度。
解：设 y＝kx＋b(k≠0)
由题意得：14.5＝b,
16＝3k＋b,
解得：b＝14.5 ; k＝0.5.
所以在弹性限度内，y＝0.5x＋14.5.
当 x＝4 时，y＝0.5×4＋14.5＝16.5。
故当所挂物体的质量为 4 kg时弹簧的长度为 16.5 cm。
x＝0，y＝14.5
x＝3，y＝16
例2 若一次函数的图象经过点 A(2，0)，且与直线 y＝-x＋3 平行，求其解析式。
解：设这个一次函数的解析式为 y＝kx＋b。
k＝-1，2k＋b＝0，
由题意得
k＝-1，b＝2。
解得
∴ y＝- x＋2。
思考 某根蜡烛燃烧前长 30 cm；燃烧时，剩下的长度 y (单位：cm)是燃烧时间 x (单位：h)的一次函数。当这根蜡烛燃烧 2 h 时，其长度为 12 cm。
(1)写出 y 与 x 之间的关系式；
解：设 y＝kx＋b(k、b为常数)。
由题意，得30＝b, ①
12＝2k＋30。 ②
将①代入②，得 k＝-9。
∴ y 与 x 之间的关系式为 y＝-9x＋30。
思考 某根蜡烛燃烧前长 30 cm；燃烧时，剩下的长度 y (单位：cm)是燃烧时间 x (单位：h)的一次函数。当这根蜡烛燃烧 2 h 时，其长度为 12 cm。
(2)这根蜡烛最多能燃烧多长时间
解：当蜡烛燃烧完时，剩下长度 y＝0,
则 0＝-9x＋30。
解得 x＝。
∴这根蜡烛最多能燃烧 小时。
1.某正此例函数的图象如图所示，则这个
函数的表达式为( )
A.y＝x B.y＝－x
C.y＝－3x D.y＝－
B
2.过点(0,0)和点(2,3)的正比例函数的表达式为（ ）
A.y＝x B.y＝x C.－y＝x D.－y＝x
A
4.已知正比例函数 y＝kx,当 x＝2时，y＝4，若这个正比例函数的图象经过点(3，m)，则 m＝ 。
5.若一次函数 y＝kx－3 的图象过点(－1，3)，则 k＝ 。
3.已知直线 y＝kx＋b 经过 A(0,2)和 B(3,0)两点，那么 y 与 x 之间的函数表达式为（ ）
A.y＝x＋3 B.y＝－x＋2 C.y＝x＋2 D.y＝x＋1
6
－6
B
6.已知 y＋2 与 x 成正比例，且当 x＝5 时，y＝3。
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）当 x＝－1 时，y 的值是多少？
（3）当 y＝4 时，x 的值是多少？
解：(1)根据题意，设 y＋2＝kx。
把 x＝5，y＝3 代入，得 3＋2＝5k，解得 k＝1。
所以 y＋2＝x，
即 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝x－2。
(2)把 x＝－1 代入 y＝x－2，得 y＝－3。
(3)把 y＝4 代入 y＝x－2，得 4＝x－2,解得 x＝6。
确定正比例函数的表达式
一次函数的应用
确定正比例函数的表达式需要知道除原点（0,0）外的一个点的坐标或者自变量与函数的一对对应值。
确定一次函数的表达式需要知道两个点的坐标或者自变量与函数的两对对应值。
确定一次函数的表达式
方法
用待定系数法确定一次函数表达式的步骤：
（1）设：设一次函数表达式；
（2）代：把已知条件代入表达式列出方程；
（3）求：解方程；
（4）写：将求出的k，b代回写出表达式。

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