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第5章 二元一次方程组
你能解决上面的“鸡兔同笼”问题吗？
事实上，利用方程（组）可以很简单地解决这一问题.方程（组）是刻画现实世界中等量关系的有效模型，许多现实问题都可归结为方程问题.
本章将学习二元一次方程组及其解法，并利用二元一次方程组解决一些有趣的现实问题.
5.1 认识二元一次方程组
1.了解二元一次方程（组）及其解的定义。（重点）
2.会列二元一次方程组，并检验一组数是不是某个二元一次方程组的解。（难点）
1.什么叫方程？
含有未知数的等式叫做方程。
2.什么叫一元一次方程？
在一个方程中，只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1（次）这样的方程叫做一元一次方程。
3.什么叫方程的解？
使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
存在含有 2 个未知数的方程吗？
小明和小颖参加课外种植实践活动，他们分别栽种了若干株绿植。已知小明栽种的绿植比小颖多 2 株，如果将小颖栽种的绿植给小明 1 株，那么小明的绿植株数是小颖的 2 倍。
(1)这个情境涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系?
相关量
等量
关系
小明栽种的绿植株数、小颖栽种的绿植株数。
小明栽种的绿植株数＝小颖栽种的绿植株数＋2
小明栽种的绿植株数＋1＝2(小颖栽种的绿植株数－1)
(2)设小明栽种了 x 株绿植，小颖栽种了 y 株绿植，由此你能得到怎样的方程?
相关量
等量
关系
小明栽种的绿植株数、小颖栽种的绿植株数。
小明栽种的绿植株数＝小颖栽种的绿植株数＋2
小明栽种的绿植株数＋1＝2(小颖栽种的绿植株数－1)
解：由（1）的等量关系，得
x＝y＋2
x＋1＝2×(y－1)
思考 周末，小亮一家和朋友们到公园徒步锻炼，他们一共 8 个人，买门票花了 34 元。已知每张成人票 5 元，每张学生票 3 元。
(1)这个情境涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系?
成人人数＋学生人数＝8
成人票款＋学生票款＝34
涉及的量有总人数、成人票单价、学生票单价、买门票总花费。
思考 周末，小亮一家和朋友们到公园徒步锻炼，他们一共 8 个人，买门票花了 34 元。已知每张成人票 5 元，每张学生票 3 元。
(2)设他们中有 x 个成人、y 名学生，由此你能得到怎样的方程?
成人人数＋学生人数＝8
成人票款＋学生票款＝34
x＋y＝8
5x＋3y＝34
x－ y＝2
x＋1＝2(y －1)
思考 通过前面的情境，得到下列方程，观察并思考它们有什么共同特征?
x ＋ y ＝8
5x＋3y＝34
与一元一次方程比较有什么区别？
共同特征：含有 2 个未知数；未知数的次数为 1；
整式方程。
含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程的概念：
?提示：方程的两边都是整式。
1.有下列方程：① xy＝1; ② 2x＝3y; ③ ????4＝3y－1；
④ x2＋y＝3; ⑤ x－1????＝2; ⑥ ax2＋2x＋3y＝0(a＝0)，其中，二元一次方程有(　　)　
A．1个　 B．2个　 C．3个 　 D．4个
?
C
?归纳 判断要点：
①是否为整式方程；②是否含两个未知数；③未知数次数是否为 1；④化简后未知数的系数不为 0。
例1 已知 |m－1|x|m|＋y2n－1＝3 是关于 x、y 的二元一次方程，则 m＋n＝_____。
0
解析：|????|=1|?????1|≠02?????1=1 → ????＝?1????=1 → m＋n＝0
?
探究 前面的方程 x＋y＝8 和 5x＋3y＝34 中，x 所代表的对象相同吗? y呢?
x，y 所表示的对象分别相同且同时满足这两个方程。即同一字母必须代表同一个量。
把它们联立起来，得????+????=8，5????+3????=34。
?
共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组。
二元一次方程组的概念：
例如，?????????=2????+1=2(?????1)和????+2????=73????+1=2。
?
2.请问下列方程组是二元一次方程组吗？
（1）3?????2????=9????+5????=0； （2）?????3????+9????=8????+3????=5；
（3）????=2????=1； （4）3????+5????=4?????????=0；
（5）????=1????+????=5。
?
√
√
√
三个未知数
未知数出现在分母中
思考 （1）x＝6, y＝2 满足方程 x＋y＝8 吗? x＝5,y＝3 呢?
x＝4,y＝4 呢?
(2) x＝5,y＝3 满足方程 5x＋3y＝34 吗? x＝2, y＝8呢?
将 x＝6 , y＝2 代入方程 x＋y＝8 的左边，
得 x＋y＝6＋2＝8，
左边的值＝右边的值。
所以 x＝6, y＝2 满足方程 x＋y＝8。
你还能找到其他 x,y 的值适合方程 x＋y＝8 吗?
同理，x＝5,y＝3；x＝4,y＝4 也满足方程 x＋y＝8。
使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解。
例如: x＝6 , y＝2 是方程x＋y＝8 的一个解,
记作????=6，????=2。
?
思考 （3）你能找到一组 x, y 的值，同时满足方程 x＋y＝8 和 5x＋3y＝34 吗?
由（1）（2）得，x＝5,y＝3同时满足方程 x＋y＝8 和 5x＋3y＝34。
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解。
例如，????=5，????=3就是二元一次方程组????+????=8，5????+3????=34的解。
?
例2 若????=?2，????=3是关于 x、y 的方程 x－ky＝1 的解，则 k 的值为 。
?
－1
针对练习 3. 二元一次方程组????+2????=10，????=2????的解是 ( )
A. ????=4????=3 B. ????=3????=6 C. ????=2????=4 D. ????=4????=2
?
?归纳 一般地，二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组只有一个解。
C
例3 加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成 900 件，第二道工序每人每天可完成 1 200 件。现有 7 位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？请列出符合题意的二元一次方程组。
解：设安排第一道工序为 x 人，第二道工序为 y 人。根据题意，得 ????+????=7，900????=1200????。
?
1．下列不属于二元一次方程组的是( )
D
2.篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜 1 场得 2 分，负 1 场得 1 分，某队在 10 场比赛中得到 16 分．若设该队胜的场数为 x，负的场数为 y，则可列方程组为( )
A. B. C. D.
A
4．已知甲、乙两数的和是 12，甲数是乙数的 3 倍。若设甲数为 x，乙数为 y，则根据题意可列方程组为 。
3.若 是关于 x、y 的二元一次方程 ax＋y＝3的解，则 a＝__。
1
????+????=12，????=3????
?
5.某商店准备购进 A，B 两种类型的电子产品共 10 件，总价为5800 元，其中 A 型电子产品的单价为 550 元，B 型电子产品的单价为 700 元。设该商店准备购进 A 型电子产品 x 件，B 型电子产品 y 件。
(1)根据题意列出相应的方程组；
(2)????=8，????=2是方程组的解吗？请说明理由。
?
解：（1）????+????=10，550????+700????=5800。
（2）是。理由如下：
当 ????=8，????=2时，
x＋y＝10，550x＋700y＝5800，
∴ ????=8，????=2是方程组的解。
?
二元一次方程组的定义
认识二元一次方程组
二元一次方程组的解

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