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5.3 二元一次方程组的应用
第1课时 二元一次方程组的应用(1)
1.能根据具体问题的数量关系，列出二元一次方程组
解决简单的实际问题。（重点）
2.体会方程（组）是刻画现实世界数量关系的有效数
学模型，发展模型思想和应用意识。（难点）
《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题：今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何
(1)这个问题涉及哪些量 这些量之间有怎样的等量关系
(2)你能列方程解决这个有趣的问题吗
解：(1)①涉及的量：鸡的数量、兔的数量、头的总数、脚的总数。
②等量关系：
鸡头数＋兔头数量＝35，
鸡脚数量 ＋ 兔脚数量 ＝ 94。
《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题：今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何
(2)你能列方程解决这个有趣的问题吗
设兔有 x 只，鸡有 y 只，
脚数
35
只数
合计
鸡
兔
94
x
y
4x
2y
4x＋2y＝94
x＋y＝35
解：设鸡为 x 只,兔为 y 只。则
①×2 ，得 2x＋2y＝70，③
②-③ ，得 y＝12，
答：有鸡23只，兔12只。
x＋y＝35， ①
2x＋4y＝94。 ②
原方程组的解是
x＝23,
y＝12。
把 y＝12 代入①，得 x＝23。
加减消元
《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题：今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何
你能用其他方
法解决这个问
题吗!
方法2：
《孙子算经》中记载的算法：金鸡独立，兔子站起。
1
2
脚数：94÷2 = 47（只）
头数：
兔：47－35 = 12（只）
鸡：35－12 = 23（只）
方法3：
设免有 x 只，则鸡有(35－x)只，
4x＋2(35－x)＝94
解得 x＝23
即 35－x＝12
答：鸡有 23 只，兔有 12 只。
《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题：今有雉(鸡)兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何
解题小结：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
(1) 审题：弄清题意和题目中的_________；
(2) 设元：用___________表示题目中的未知数；
(3) 列方程组：根据___个等量关系列出方程组；
(4) 解方程组：利用__________法或___________解
出未知数的值；
(5) 检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，
然后作答。
数量关系
字母
2
代入消元
加减消元法
思考 列方程组求解下面的问题：
若甲从乙处得到 7 第纳尔，则甲拥有的钱数是乙的 5 倍；若乙从甲处得到 5 第纳尔，则乙拥有的钱数是甲的 7 倍。甲、乙两人原来各拥有多少第纳尔 (选自意大利数学家斐波那契的《计算之书》)
等量关系：甲的钱数＋7＝(乙的钱数－7)×5
乙的钱数＋5＝(甲的钱数－5)×7
等量关系：甲的钱数＋7＝(乙的钱数－7)×5；
乙的钱数＋5＝(甲的钱数－5)×7
解：设甲原来拥有 x 第纳尔，乙原来拥有 y 第纳尔。
根据题意，得
解这个方程组，得
所以，甲原来拥有 第纳尔，乙原来拥有 第纳尔。
例 今有甲、乙怀钱，各不知其数。甲得乙十钱，多乙余钱五倍。乙得甲十钱，适等。问甲、乙怀钱各几何 (选自《张丘建算经》)
题目大意：甲、乙两人各带了若干钱。如果甲得到乙的 10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多 5 倍；如果乙得到甲的 10钱，那么两人钱数相等。甲、乙两人各带了多少钱
分析：题目涉及哪些数量关系 你能用含未知量的式子表示这些数量关系吗
甲的钱币数＋10＝(乙的钱币数－10)×5；
甲的钱币数-10＝乙的钱币数＋10。
解：设甲带的钱数为 x,乙带的钱数为 y,
根据题意，得
解这个方程组，得
所以，甲带了 38 钱，乙带了 18 钱。
两个未知数，
需要有两个条件!
探究 列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题有什么区别和联系
一元一次方程 二元一次方程组
区别 方程形式
未知数
联 系 一个等式
两个等式
1 个
2 个
可以相互转化
1.《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡、七鸭共重 24 千克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重。问：每只鸡、鸭平均各重多少千克 设每只鸡平均重 x 千克，每只鸭平均重 y 千克，根据题意可列出方程组为( )
A. B.
C. D.
A
解：设原来有米 x 斗，再向桶加粟 y 斗，
由题意得：，
解得：，
答：原来有米 2.5 斗。
2.《九章算术》中有这样一道题：今有米在十斗桶中，不知其数。满中添粟而舂之，得粟七斗，问故米几何 (粟米之法：粟率五十，粝米三十。)大意为：今有米在容量为 10 斗的桶中，但不知道数量是多少；再向桶加满粟，再舂成米，共得米 7 斗。问原来有米多少斗 (出米率为 )请解答上面问题。
一般步骤：审、设、列、解、验、答
列方程组解决问题
关键：找等量关系

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