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平面几何几个重要定理
定理一：梅涅劳斯定理
(
C
B
A
) (
C
B
A
)
定理二：塞瓦定理
塞瓦定理：
(
C
B
A
)
课外作业：
定理三：托勒密定理
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．即：
(
E
D
C
B
A
)
例1 如图2，P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合)， 求证：PA=PB＋PC．
证明：由托勒密定理论证，则有PA·BC=PB·AC＋PC·AB，
∵AB=BC=AC．　∴PA=PB+PC．
例2 证明“勾股定理”：在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：AC2=AB2＋BC2
证明：如图，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是圆内接四边形．
由托勒密定理，有AC·BD=AB·CD＋AD·BC． ①
又∵ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AC=BD． ②
把②代人①，得AC2=AB2＋BC2．
例3 如图，在△ABC中，∠A的平分 线交外接∠圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)．
证明：连结CD，依托勒密定理，
有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD．
∵∠1=∠2，∴ BD=CD．
故 AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)．
例4 若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．求证：ax＋by≤1．
证明：如图作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB，
使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y．
由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的．
据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD．∵CD≤AB＝1，∴ax＋by≤1．
例5 已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b＋c)，求证：∠A=2∠B．
分析：将a2=b(b＋c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c．
证明：如图 ，作△ABC的外接圆，以 A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、DC、DA．
∵AD=BC，
∴∠ABD=∠BAC．
又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2．
　
依托勒密定理，有BC·AD=AB·CD＋BD·AC． ①
而已知a2=b(b＋c)，即a·a=b·c＋b2． ②
∴∠BAC=2∠ABC．
例6 在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4,
证明：如图，作△ABC的外接圆，作弦BD=BC，边结AD、CD．
在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理，
有AC·BD＋BC·AD=AB·CD
易证AB=AD，CD=AC，∴AC·BC＋BC·AB=AB·AC，
练习:
定理四：西姆松定理
练习题答案
定理一：
(
C
B
A
)定理二：
(
C
B
A
)
课后练习答案：
定理三：
练习一：
定理四：
练习一：
练习二：

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