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2024-2025 学年广西南宁九中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列 3，4，5，6， 的一个通项公式为( )
A. = B. = + 1 C. = + 2 D. = 2
2.( + ) ( ∈ )当 = 1，2，3，4，5，6 时展开式的二项式系数表示形式借助上面的表示形式，判断
与 的值分别是( )
A. 5，9 B. 5，10 C. 6，10 D. 6，9
3.已知从甲地直接到丙地有 3 条路线可以选择，另外还可以由甲地经乙地到丙地，由甲地到乙地有 3 条路
线可供选择，从乙地到丙地有 4 条路线可供选择，则从甲地到丙地不同的路线共有( )
A. 13 条 B. 15 条 C. 21 条 D. 36 条
4.已知等比数列{ }中，公比 = 2，其前 5 项和 5 = 93，则 3 =( )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 24
5.设抛物线 2 = 2 ( > 0)的准线与 轴交于点 ，过点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，线段 的中点
2
为 ，过点 作 轴的平行线交抛物线于点 .已知△ 的面积为 2，则直线 的斜率为( )
A. ± 22 B. ±
1
2 C. ± 2 D. ±2
6.下列函数求导正确的是( )
A. ( 1 ) =
1
′ 2 B. (
)′ = (1 + )
C. (2 ) = 1′ 2 D. ( )′ =
7.在等比数列{ }中， 3 = 16， 2 5 = 29，则 =( )
A. 2 +1 B. 2 +1 C. 4 1 D. 4 1
8.函数 ( ) = 3 12 在区间[ 3,2]上的最大值是( )
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A. 9 B. 16 C. 16 D. 9
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间向量 = (1,1,1)， = ( 1,0,2)，则下列正确的是( )
A. + = (0,1,3) B. | | = 3
C. ⊥ D. < ， >= 4
10.抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为 ，则“ = 4”表示的试验结
果是( )
A.第一枚 6 点，第二枚 2 点 B.第一枚 5 点，第二枚 1 点
C.第一枚 2 点，第二枚 6 点 D.第一枚 6 点，第二枚 1 点
11.下列选项正确的是( )
A. ( ) = 1 1 ，则 ′(3) = 9
B. = 3 + 2，则 ′ = 3 2 + 2
C. = ln(2 )，则 ′ = 12
D.设函数 ( ) = ，且 ′( 0) = 2，则 0 =
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.二项式( + )4的展开式中含 2 2项的系数为 24，则 =______．
13 5 3.已知椭圆的两个焦点坐标分别为( 2,0)，(2,0)，并且经过点( 2 , 2 )，则它的标准方程为______．
14.已知某直线满足以下两个条件，写出该直线的一个方程： . (用一般式方程表示)
①倾斜角为 30°；
②不经过坐标原点．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在数列{ }中，已知 4 6 = 64， 3 + 7 = 34．
(1)若数列{ }为等差数列，求{ }的通项公式；
(2)若数列{ }为等比数列，求{ }的通项公式．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 1 22 2 ．
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(1)求函数 ( )在 = 1 处的切线方程；
(2)求函数 ( )在[1,4]上的最小值．
17.(本小题 15 分)
若盒中装有同一型号的灯泡共 9 只，其中有 6 只合格品，3 只次品.某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议
室的一只坏灯泡，每次从中取一只灯泡，若是合格品则用它更换坏灯泡，若是次品则将其报废(不再放回原
盒中)，则按要求回答以下问题：
(1)求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数 的分布列；
(2)求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数 的分布列所对应的期望和方差．
18.(本小题 17 分)
某医院现要从 9 名男医生，8 名女医生中选出 4 名参加义诊，问：
(1)有多少种不同的选法？(用数字作答)
(2)如果要求男医生两名，女医生两名，那么有多少种不同的选法？(用数字作答)
(3)如果还要将选出的医生安排到四个社区，每个社区一名医生，那么有多少种不同的安排方法？(用数字作
答)
19.(本小题 17 分)
在四棱锥 中， ⊥平面 ，底面 是菱形，∠ = 60°且 = 2 = 4， ， 分别为 ，
的中点．
(1)若平面 与平面 的交线为 ，证明： // ；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值；
(3)若平面 与线段 交于点 ，求 的长．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.±2
13.
2 2
10 + 6 = 1
14. 3 + 1 = 0(答案不唯一)
15.(1) ∵ { }为等差数列，∴ 4 + 6 = 3 + 7 = 34，
= 64 4 = 2 = 32又 4 6 ，可解得： = 32或
4
6 6 = 2
，

设等差数列{ }的公差为 ，则 = 6 42 = 15 或 = 15，
当 = 15 时， 1 = 4 3 = 43，
当 = 15 时， 1 = 77，
∴ = 43 + 15( 1) = 15 58 或 = 77 15( 1) = 15 + 92，
综上所述： = 15 58 或 15 + 92．
(2) ∵ { }为等比数列，∴ 4 6 = 3 7 = 64，
= 2 = 32
又 3 + 3 37 = 34，可解得： = 32或7
，
7 = 2
设等比数列{ }的公比为 ，∴ =±
4 7
=± 2 或 =±
1
，
3 2
当 = 2 1 1时， 3 1 1 21 = 2 = 2，∴ = 1 = 2 × 2 = 2 ，
当 = 2 时， = 1 1 1 1 21 2，∴ = 2 × ( 2) = ( 1) × 2 ，
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当 = 1时， = 128 1，∴ = 128 × ( ) 1 = 28 2 1 2 ，
当 = 12时， 1 = 128，∴ = 128 × (
1
2 )
1 = ( 1) 1 × 28 ，
综上所述： = 2 2或( 1) 1 × 2 2或28 或( 1) 1 × 28 ．
16.解：(1) (1) = 12 2 1 1 =
1
2，
′( ) = 2 1，
所以 切 = ′(1) = 1 2 1 = 2，
1
所以切线方程为 + 2 = 2( 1)，
所以切线方程为 4 + 2 3 = 0．
(2) ′( ) = 2 1 = ( 2)( +1) ，( > 0)，
令 ′( ) = 0，得 = 2 或 1(舍去)，
所以在(1,2)上， ′( ) < 0， ( )单调递减，
在(2,4)上， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( ) = (2) = 2 2．
17.(1)随机变量 的取值为 0，1，2，3，
1 1
( = 0) = 6 = 2 ( = 1) = 3
1
， 6
1
19 3
2 =
9 4
，
2 1 3 1
( = 2) = 3 6 = 1 3 6 1
39 14
， ( = 3) = 4 = ， 9 84
随机变量 的分布列：
0 1 2 3
2 1 1 1
3 4 14 84
(2) 2 1 1 1 3将分布列数据代入期望和方差公式可得： ( ) = 0 × 3+ 1 × 4 + 2 × 14 + 3 × 84 = 7，
( ) = 02 × 2 + 12 × 1+ 22 × 1 23 4 14 + 3 ×
1 ( 384 7 )
2 = 4598．
18.解：某医院现要从 9 名男医生，8 名女医生中选出 4 名参加义诊，
(1)从 9 名男医生，8 名女医生中选出 4 名的选法种数为： 417 =
17×16×15×14
4×3×2×1 = 2380；
(2)从 9 名男医生，8 名女医生中选出 4 名，要求男医生两名，女医生两名的选法种数为：
29 2 =
9×8 × 8×78 2×1 2×1 = 36 × 28 = 1008；
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(3)从 9 名男医生，8 名女医生中选出 4 名，再将选出的医生安排到四个社区，
每个社区一名医生的安排种数为： 417 = 17 × 16 × 15 × 14 = 57120．
19.解：(1)证明：如图所示，连接 ，因为 ， 分别是 ， 的中点，
所以 // ，
平面 ， 平面 ，那么 //平面 ，
又 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ；
(2)因为底面 为菱形，∠ = 60°，设 中点为 ，易知 ， ， 两两互相垂直，
故以点 为坐标原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意 = 2 = 4，所以 (1, 3, 0)， (0,0,4)， (2,0,0)， (1,0,2)， ( 1, 3, 0)， ( 12 ,
3
2 , 2)，
显然平面 的法向量可以是 = (0,0,4)，
而 = (0, 3, 2) 3 3， = ( 2 , 2 , 2)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，

则 ⊥
= 3 + 2 = 0
，则 ，
⊥ = 32
3
2 + 2 = 0
2 3
令 = 3，解得 = 2， = 3 ，
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2 3
所以可取 = ( 3 , 2, 3)，
|cos < , > | = | |故 =
4 3 3
| | | | 4× 5
= 5
3
所以平面 3与平面 所成角的余弦值为5；
(3)设 (0,0, )，则 ， ， ， 四点共面． = ( 1,0, 2)，
由(2)知平面 的法向量为 = ( 2 33 , 2, 3)，
= 0 2 3则 ，即 3 + 3( 2) = 0，
解得 = 8 8 43，所以 = 4 3 = 3．
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