资源简介

13.2 与三角形有关的线段
暑期预习讲义
思维导图
学习目标
掌握三角形的高、中线、角平分线的定义及画法
理解三角形重心的概念及其性质
能运用三角形三边关系解决实际问题
了解三角形稳定性在实际生活中的应用
掌握三角形重要线段的性质及其相互关系
知识点讲解
三角形的高
定义：从顶点向对边所在直线作的垂线段
性质：
锐角三角形：三条高都在三角形内部
直角三角形：两条高就是直角边
钝角三角形：两条高在三角形外部
画法：用量角器或三角板作垂线
三角形的中线
定义：连接顶点和对边中点的线段
性质：
三条中线交于一点（重心）
重心将中线分为2:1的比例
画法：先找中点再连接顶点
三角形的角平分线
定义：平分内角的线段
性质：
三条角平分线交于一点（内心）
内心到三边距离相等
画法：用量角器平分角
三角形三边关系
基本定理：任意两边之和大于第三边
推论：任意两边之差小于第三边
应用：判断三条线段能否构成三角形
三角形的稳定性
原理：边长确定后形状唯一
应用：建筑结构、桥梁设计等
易错提醒
高的位置错误
钝角三角形的高容易画错位置
直角三角形的直角边也是高
中线比例混淆
容易记错重心分中线的比例（应为2:1）
忽略中线将三角形分成面积相等的两部分
角平分线性质
混淆角平分线与垂直平分线
忘记角平分线上的点到角两边距离相等
三边关系应用
仅比较两边和，忽略两边差
单位不统一导致计算错误
符号表示
中线、高、角平分线的表示方法混淆
作图时标记不完整
知识点总结
三角形的重要线段（高、中线、角平分线）是研究三角形性质的基础工具
三条中线交于重心，重心具有特殊的比例性质
三边关系定理是判断三角形能否构成的核心依据
三角形的稳定性在工程中有广泛应用
不同三角形的高具有不同位置特征，需要特别注意
作图时要规范使用尺规，准确标注各要素
理解重要线段的交点（重心、内心）的特殊性质
建议：通过实际作图加深理解，观察生活中三角形稳定性的应用案例，多做三边关系的判断练习。
巩固练习
一、选择题
1．如图，木工师傅制作门框时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的几何原理是（　　）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性 D．垂线段最短
2．对于下列两个命题：①三角形一条边的两个顶点到这条边上的中线所在直线的距离相等.②三角形一条边上的中点到另两边的距离相等.说法正确的（　　）
A．①为真命题，②为假命题 B．①为假命题，②为真命题
C．①②均为真命题 D．①②均为假命题
3．下列各图形中，分别是四位同学所画的中边上的高，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，已知点，，分别为，，的中点，若的面积为20，则四边形的面积为（　　）
A．10 B．9 C．8.5 D．7.5
5．一个三角形的两边长分别为和，则此三角形周长可能是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，F是 的重心，连接AF并延长交BC于D，连接BF并延长交AC于 若 的面积是4，则四边形CDFE的面积是（　　）

A．2 B．5 C．3 D．4
7．三条高的交点一定在三角形内部的是（　　）
A．任意三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
8．如图，在中，点在上，点在上，如果，，，那么（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．如图，建高层建筑需要用的塔吊的上部是三角形结构，其中的数学原理是　 　．
10．等腰三角形的两边长分别为4，6，则它的周长为　 　．
11．如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于　 　．
12．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，它一边长为4，则等腰的腰为　 　．
13．如图， 是的中线，，若 的周长比 的周长多2，则 的长为　 　．
14．如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则　 　 ．
15．如图，在中，、分别为、的中点，若的面积为，则的面积为　 　．
16．在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个三角形的周长分成15cm和6cm两部分，这个等腰三角形的三边长为　 　.
三、解答题
17．
（1）用三角尺分别作出锐角三角形ABC，直角三角形DEF和钝角三角形PQR的各边上的高线。
（2）观察你所作的图形，比较三个三角形中三条高线的位置，你发现高线的位置与三角形的类型有什么关系
18． 如图，已知△ABC。
（1）用刻度尺画BC边上的中线。
（2）用量角器画以C为一个端点的△ABC的角平分线。
19．把一条长为18米的细绳围成一个三角形，其中两边长分别为x米和4米.
(1)求x的取值范围；
(2)若围成的三角形是等腰三角形，求x的值.
20．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．若△ABC的面积为40，BD=5，则△BDE中BD边上的高为多少？
参考答案
1．C
2．A
3．D
4．D
5．C
6．D
7．B
8．D
9．三角形具有稳定性
10．14或16
11．1
12．或
13．8
14．5
15．6
16．10cm，10cm，1cm
17．（1）解：如图所示.
（2）解：锐角三角形的三条高线的交点在三角形的内部；直角三角形的三条高线的交点为直角顶点；钝角三角形的三条高线所在的直线的交点在三角形的外部.
18．（1）解：如图： AD即为所求；
（2）解：如图， CE即为所求；
19．(1)520．解：∵AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，
∴S△ABD＝ S△ABC，S△BDE＝ S△ABD，
∴S△BDE＝ × S△ABC＝ S△ABC，
∵△ABC的面积为40，
∴S△BDE＝ ×40＝10，
设△BDE中BD边上的高为x，
∵BD＝5，
∴ ×5 x＝10，
解得x＝4，
故△BDE中BD边上的高为4

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