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第4章《相似三角形》单元复习与检测试卷（解析版）
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得出答案．
【详解】A.由，得出，本选项不符合题意；
B.，得出，本选项符合题意；
C.，得出，本选项不符合题意；
D.，得出，本选项不符合题意；
2．如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，
若DE＝3，DF＝8，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【详解】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵DE＝3，DF＝8，
∴，
即＝，
故选：B．
已知点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），AC＝10，那么AB的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用黄金分割比的定义即可求解．
【详解】由黄金分割比的定义可知
又AC＝10，
则
故选B．
如图，周末阳光正好，小丽和爸爸外出游园．爸爸身高m，此刻他在地面上的影长为m，
经测量小丽在地面上的影长是m，则小丽的身高为（ ）
A．m B．m C．m D．m
【答案】B
【分析】本题考查相似三角形在测量高度时的应用，设小芳的身高为，再根据同一时刻物高与影长成正比即可求出的值即可，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立数学模型来解决问题．
【详解】设小芳的身高为米，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴，
解得，
故选：．
5. 如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，
移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m，
与树距15m，那么这颗树的高度为（ ）
A．5m B．7m C．7.5m D．21m
【答案】B
【分析】先判定和相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】解：如图，
，，
，
，
，
，，，
，
解得．
这颗树的高度为，
故选：B．
如图，在三角形纸片中，，，，
则下列选项阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案．
【详解】解：三角形纸片中，，，，
A、，，对应边，则阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误；
B、，，对应边，则阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误；
C、，，对应边，则阴影部分的三角形与不相似，故此选项错误；
、，，对应边，则阴影部分的三角形与相似，故此选项正确；
故选：D．
如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，
其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，
若测得，则的长是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解．
【详解】解：根据题意得，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
如图，有一块锐角三角形材料，边高要把它加工成矩形零件，
使其一边在上，其余两个顶点分别在，，且，
则这个矩形零件的长为（ ）

A．mm B．mm C．mm D．mm
【答案】A
【分析】设矩形的宽mm,则长mm,由矩形的性质得到，，推出，，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式，然后进行计算即可求得结果．
【详解】解：设矩形的宽mm，则长mm，
四边形为矩形，
，，
，，
，，
，，
，
，
解得：，
mm，mm，
故选：A．
9 . 现有一张Rt△ABC纸片，直角边BC长为12cm，另一直角边AB长为24cm．
现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图．已知剪得的纸条中有一张是正方形，
则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
【答案】C
【分析】截取正方形以后所剩下的三角形与原三角形相似，根据相似三角形对应边上的比等于相似比即可求解．
【详解】
设这张正方形纸条是第n张.
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴=，
解得：n=6.
故答案选：C.
10． 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，
连接、，与相交于点，
给出下列结论：①；②；③；④
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【分析】①正确．利用直角三角形度角的性质即可解决问题． ②正确，根据两角相等两个三角形相似即可判断． ③错误．通过计算证明，即可判断． ④正确．利用的性质即可证明．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，故①正确，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故②正确，
∵，
∴与不相似，故③错误，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确，
故选：C．
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在题中横线上．
11. 已知，且，则的值为 ．
【答案】12
【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b-2c=6，得出答案．
【详解】解：∵，
∴设a=6x，b=5x，c=4x，
∵a+b-2c=6，
∴6x+5x-8x=6，
解得：x=2，
故a=12．
故答案为12．
为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，
使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D．
此时，测得，，，则两岸间的距离是 ．
【答案】/米
【分析】根据垂直定义可得，然后证明8字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13 .如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：
①；②；③；④中的一个，
能得出和相似的是： （填序号）．
【答案】①②③
【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论．
【详解】解：①，时，，故①符合题意；
②，时，，故②符合题意；
③，时， ，故③符合题意；
④，时，不能推出，故④不符合题意，
故答案为：①②③．
14. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，
△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，
使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是 ．
【答案】图见解析，（4，2）或（﹣4，﹣2）．
【详解】试题分析：把A、B、C的横纵坐标分别乘以2或﹣2得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可．
试题解析：如图，如图△A1B1C1使或△A′1B′1C′1为所，点B的对应点B1的坐标为（4，2）或（﹣4，﹣2）．
15. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，
点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，
问经过 秒钟，与相似．
【答案】2或5/5或2
【分析】分和两种情况解答即可．
【详解】解：设P、Q运动时间为秒，
根据题意，，，则，
当时，则，即，
解得：；
当时，则，即，
解得：，
综上，当经过2或5秒钟，与相似．
故答案为：2或5．
如图，的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，
且，，连接OE．下列结论：
①；②；③．
其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）
【答案】①③
【分析】先判定△EBC是等边三角形，得到AE=EB=BC=EC，证明△ABC直角三角形，根据平行四边形的性质，证明OE是△ABC的中位线，得证OE⊥AC；利用三角形中位线定理，BF=2OF即OF：OB=1：3，得证；根据，，从而得证即可判断．
【详解】∵，CE平分∠BCD，，
∴DC∥AB，∠DCE=∠BCE，
∴∠ECB=∠CEB=∠ABC=60°，
∴△EBC是等边三角形，
∴EB=BC=EC，
∵AB=2BC，
∴AE=EB=BC=EC=AB，
∴△ABC直角三角形，
∴AC⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，
∴OE⊥AC；
∴结论①正确；
∵OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，，
△OEF∽△BCF，
∴，
∴BF=2OF即OF：OB=1：3，
∴；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴；
∴，
∴结论②错误；
∵，，
∴，
∴，
∴结论③正确．
故答案为：①③．
三、解答题：本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．如图，相交于点P，连接，且，若，求的长度．
【答案】6
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．根据8字型模型证明两个三角形相似即可解答．
【详解】解：，
，
∴，
，
∴，
．
18. 汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），
其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，
能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，
对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，
驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形,
且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，求汽车盲区的长度．
【答案】
【分析】本题考查视点、视角和盲区，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题．如图，过点P作于点N，交于点M．理由相似三角形的性质求解．
【详解】解：如图，过点P作于点N，交于点M．
，
，
∵四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
答：汽车盲区的长度为．
如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，
交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）4.9
【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论；
（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，
∴∠AMB=∠EAF，
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°，
∴∠B=∠AFE，
∴△ABM∽△EFA；
（2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5，
∴AM==13，AD=12，
∵F是AM的中点，
∴AF=AM=6.5，
∵△ABM∽△EFA，
∴，
即，
∴AE=16.9，
∴DE=AE－AD=4.9．
20．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如果AB=3，EC=，求DC的长．
【答案】（1）见解析；（2）DC=1或DC=2．
【分析】（1）△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，AB=AC，推出∠BAD=∠CDE，得到△ABD∽△DCE；
（2）由△ABD∽△DCE，得到，然后代入数值求得结果．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=AC，
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°，
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△DCE；
（2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE，
∴，
设CD=x，则BD=3﹣x，
∴=
∴x=1或x=2，
∴DC=1或DC=2．
21 .如图，在平面直角坐标系中，已知，．
点从点开始沿边向终点以的速度移动；
点从点开始沿边向终点以的速度移动．有一点到达终点，
另一点也停止运动．若、同时出发，运动时间为．

(1)用含t的代数式分别表示线段和的长；
(2)当t为何值时，与相似？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用勾股定理列式求出，再表示出和；
（2）分和是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】（1）解：，，
，
点的速度是每秒1个单位，点的速度是每秒1个单位，
，；
（2）①是直角时，，
，
即，
解得，舍去；
②是直角时，，
，
即，
解得，
综上所述，时，与相似．
一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，
如图①，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
求证：△AEF∽△ABC；
如果把它加工成矩形零件，如图②，当EG为多少时，矩形EGHF有最大面积？最大面积是多少？
【答案】(1)证明见解析；
(2)当时，矩形EGHF的面积最大，最大面积是．
【分析】（1）根据矩形的对边平行得到BC∥EF，
利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，
得到的三角形与原三角形相似”判定即可．
（2）根据矩形面积公式得到关于a的二次函数，根据二次函数求出矩形的最大值．
【详解】（1）解：（1）∵正方形EGHF，
∴EF∥BC，
，
∴△AEF∽△ABC；
（2）设EG＝a，
∵矩形EGHF，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴，
∴EF＝120a，
∴矩形面积S＝a（120a）a2+120a（a﹣40）2+2400，
当a＝40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2，
即：当EG＝40时，此时矩形面积最大，最大面积是2400mm2．
23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
【答案】（1）见解析
（2）见解析
（3）
【分析】（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，
然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC2=AB AD．
由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，
即可证得CE=AB=AE，从而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD．
易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值，从而得到的值．
【详解】（1）证明：∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠CAB．
∵∠ADC=∠ACB=90°
∴△ADC∽△ACB．
∴
即AC2=AB AD．
（2）证明：∵E为AB的中点
∴CE=AB=AE
∴∠EAC=∠ECA．
∵∠DAC=∠CAB
∴∠DAC=∠ECA
∴CE∥AD．
（3）解：∵CE∥AD
∴△AFD∽△CFE
∴．
∵CE=AB
∴CE=×6=3．
∵AD=4
∴
∴．
24．【问题发现】
（1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，
使，，连接，则和的数量关系为 　 　；
【拓展延伸】
（2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），
在的右侧作等腰，使，，
连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
【归纳应用】
在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，
请直接写出当时的长．
【答案】（1）相等（2）成立，理由见解析（3）6或2
【分析】（1）利用证明 ，得；
（2）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立；
（3）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立．
【详解】解：（1）相等，∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：相等；
（2）成立，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴∠；
（3）当点D在线段上时，如图2，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
当点D在线段的延长线上时，如图3，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
综上可知，的长为2或6．
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第4章《相似三角形》单元复习与检测试卷
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
已知，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2． 如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别与直线l1、l2、l3分别交于点A、B、C、D、E、F，
若DE＝3，DF＝8，则的值为（ ）

A． B． C． D．
已知点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC），AC＝10，那么AB的长是（ ）
A． B． C． D．
如图，周末阳光正好，小丽和爸爸外出游园．爸爸身高m，此刻他在地面上的影长为m，
经测量小丽在地面上的影长是m，则小丽的身高为（ ）
A．m B．m C．m D．m
5. 如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，
移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m，
与树距15m，那么这颗树的高度为（ ）
A．5m B．7m C．7.5m D．21m
如图，在三角形纸片中，，，，
则下列选项阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ）

A． B．
C． D．
如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，
其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，
若测得，则的长是（ ）

A． B． C． D．
如图，有一块锐角三角形材料，边高要把它加工成矩形零件，
使其一边在上，其余两个顶点分别在，，且，
则这个矩形零件的长为（ ）

A．mm B．mm C．mm D．mm
9 . 现有一张Rt△ABC纸片，直角边BC长为12cm，另一直角边AB长为24cm．
现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图．已知剪得的纸条中有一张是正方形，
则这张正方形纸条是（ ）
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
10． 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，
连接、，与相交于点，
给出下列结论：①；②；③；④
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①③④
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在题中横线上．
11. 已知，且，则的值为 ．
为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，
使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D．
此时，测得，，，则两岸间的距离是 ．
13 .如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：
①；②；③；④中的一个，
能得出和相似的是： （填序号）．
14. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，
△ABC的三个顶点均在格点(网格线的交点)上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，
使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是 ．
15. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，
点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若点P、Q分别从点A、B同时出发，
问经过 秒钟，与相似．
如图，的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD于点F，
且，，连接OE．下列结论：
①；②；③．
其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．如图，相交于点P，连接，且，若，求的长度．
18. 汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），
其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，
能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，
对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，
驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为，车宽，车头近似看成一个矩形,
且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，求汽车盲区的长度．
如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，
交AD的延长线于点E，交DC于点N．
（1）求证：△ABM∽△EFA；
（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．
20．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）如果AB=3，EC=，求DC的长．
21 .如图，在平面直角坐标系中，已知，．
点从点开始沿边向终点以的速度移动；
点从点开始沿边向终点以的速度移动．有一点到达终点，
另一点也停止运动．若、同时出发，运动时间为．

(1)用含t的代数式分别表示线段和的长；
(2)当t为何值时，与相似？
一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，
如图①，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
求证：△AEF∽△ABC；
如果把它加工成矩形零件，如图②，当EG为多少时，矩形EGHF有最大面积？最大面积是多少？
23．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC2=AB AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD=4，AB=6，求的值．
24．【问题发现】
（1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，
使，，连接，则和的数量关系为 　 　；
【拓展延伸】
（2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），
在的右侧作等腰，使，，
连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
【归纳应用】
在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，
请直接写出当时的长．
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