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2024-2025学年北京十四中高二（下）期中数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知数列的首项，且满足，则( )
A. B. C. D.
2.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.已知数列是等比数列，其前项和为，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
4.某一批种子的发芽率为从中随机选择颗种子进行播种，那么恰有颗种子发芽的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知某高山滑雪运动员在一次滑雪训练中滑行的位移单位：与时间单位：之间的关系为则当时，该运动员的滑雪速度为( )
A. B. C. D.
6.定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论错误的是( )
A. 函数在区间单调递增
B. 函数在区间单调递减
C. 函数在处取得极小值
D. 函数在处取得极小值
7.函数在区间上的最小值为( )
A. B. C. D.
8.在等差数列中，“”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，都有，则称数列是有界的若这样的正数不存在，则称数列是无界的记数列的前项和为，下列结论错误的是( )
A. 若，则数列是无界的
B. 若，则数列是有界的
C. 若，则数列是有界的
D. 若，则数列是有界的
10.已知函数若，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.已知函数，则______．
12.若随机变量的分布列为
则 ______，为随机变量的方差，则 ______用数字作答
13.在公差为的等差数列中，，则等于______．
14.已知函数，则的极小值点是______；若在区间的极小值也是最小值，则的取值范围是______．
15.已知数列满足，
当时， ______；
当为递增数列时，的取值集合是______．
四、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在等比数列中，，公比，设．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若是和的等差中项，求的值；
Ⅲ求数列的前项和．
17.在道试题中有道代数题和道几何题，每次从中不放回地随机抽出道题．
Ⅰ求第次抽到代数题且第次也抽到代数题的概率；
Ⅱ求在第次抽到代数题的条件下，第次抽到代数题的概率；
Ⅲ判断事件“第次抽到代数题”与“第次抽到代数题”是否互相独立．
18.已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求函数的极值．
19.某学校开展健步走活动，要求学校教职员工上传月日至月日的步数信息教师甲、乙这七天的步数情况如图所示．
Ⅰ从月日至月日中随机选取一天，求这一天甲比乙的步数多的概率；
Ⅱ从月日至月日中随机选取三天，记乙的步数不少于的天数为，求的分布列及数学期望；
Ⅲ根据月日至月日某一天的数据制作的全校名教职员工步数的频率分布直方图如图所示已知这一天甲与乙的步数在全校名教职员工中从多到少的排名分别为第名和第名，判断这是哪一天的数据只需写出结论
20.已知函数．
当时，若曲线在点处的切线倾斜角为锐角，求的取值范围；
当时，求函数的单调递增区间；
若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围．
21.设集合，其中，，，，若对任意的向量，存在向量，使得，则称是“集”．
设，，判断，是否为“集”若不是，请说明理由；
已知是“集”．
若中的元素由小到大排列成等差数列，求；
若，为常数，求有穷数列，，，，的通项公式．
参考答案
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15.
16.解：Ⅰ因为等比数列中，，公比，
所以；
Ⅱ因为，
所以，
又因为，所以和的等差中项；
Ⅲ因为，
所以
．
17.解：Ⅰ设事件表示“第次抽到代数题”，事件表示“第次抽到几何题”，
则，；
Ⅱ由Ⅰ可得，在第次抽到代数题的条件下，第次抽到几何题的概率；
Ⅲ由Ⅰ可知，，
又因为，
所以，
所以事件“第次抽到代数题”与“第次抽到代数题”不互相独立．
18.函数的定义域是，
，
，，
切线方程是：，
故切线方程为：；
，
令，解得：，令，解得：，
在递增，在递减，
．
19.解：Ⅰ设“甲比乙的步数多”为事件．
在月日至月日这七天中，月日与月日这两天甲比乙步数多，
所以，
即这一天甲比乙的步数多的概率为．
Ⅱ由图可知，天中乙的步数不少于步的天数共天，
的所有可能取值为，，，
，
则的分布列为：
即．
Ⅲ月日．
20.当时，，因此，
因曲线在点处的切线倾斜角为锐角，
因此，得，
因此的取值范围为．
当时，，
因此，
由，即，解得或，
因此，当时，函数的单调递增区间为、．
因为，因此，
令，因为函数在上有且只有一个极值点，
因此函数在上有一个变号零点，
当时，对任意的，，不符合题意；
当时，函数的对称轴，因此在上单调递增，
因为，只需，符合题意；
当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线，
因为，只需或，不符合题意，舍去．
实数的取值范围是．
21.解：是“集”；不是“集”．
理由如下：对于向量，若存在，使得，
所以，故，中必有一个为，此时另一个为或，显然不符合．
因为中的元素由小到大排列成等差数列，所以该等差数列的首项为，公差为，故，．
对于向量，若存在，使得，
所以向量的坐标中必含，设另一坐标为，
则或．
所以或，
所以或，所以或，所以或，
所以或，，即，．
此时，，不满足；
或，，满足；
所以只可能为．
经检验是“集”，所以．
设，，
则由得：，
由条件可变形为．
设集合，
则是“集”，当且仅当关于原点对称．
因为是中唯一负数，，，，，共个数，
所以也只有个数．
因为，所以，已有个数．
对以下三角数阵：，
，
，
，
，
注意到，所以．
又因为为常数，
所以有穷数列，，，为等比数列，且通项公式为，，，，．
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