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2024-2025学年广东省广州市奥林匹克中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算的值是( )
A. B. C. D.
2.函数的图象在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
3.把本不同的书分给名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.已知函数，其导函数的图象如图所示，则( )
A. 有个极值点
B. 在处取得极小值
C. 有极大值，没有极小值
D. 在上单调递减
5.广东省第十二届大学生运动会将于年月日至月日在广州市举行某电视台为了报道此次运动会，计划从甲、乙、丙、丁、戊名记者中选派人前往现场进行报道若记者甲被选中，则记者乙也被选中的概率为( )
A. B. C. D.
6.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.如图，某种雨伞架前后两排共个孔，编号分别为号若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知离散型随机变量的分布列如表所示，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
10.个人坐在一排个座位上，则下列说法正确的是( )
A. 共有种不同的坐法 B. 空位不相邻的坐法有种
C. 空位相邻的坐法有种 D. 两端不是空位的坐法有种
11.已知直线与函数的图象相交于，两点，与函数的图象相交于，两点，，，的横坐标分别为，，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.现有道四选一的单选题，甲对其中道题有思路，道题完全没有思路有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为甲从这道题中随机选择题，则甲做对该题的概率是______．
13.除以的余数是______．
14.已知函数，关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在点处的切线与直线垂直．
求；
求的单调区间和极值．
16.本小题分
已知的展开式中，第项与第项的二项式系数之比为：．
求的值及展开式中的常数项；
求展开式中系数最大项．
17.本小题分
某物理实验技能竞赛分基本操作与技能操作两步，第一项基本操作：每位参赛选手从类道题中任选题进行操作，操作完后正确操作超过两题的否则终止比赛，才能进行第二步技能操作：从类道题中任选题进行操作，直至操作完为止类题操作正确得分，类题操作正确得分以两步操作得分总和决定优胜者总分分或分为二等奖，分为一等奖某校选手李明类题中有题会操作，类题中每题正确操作的概率均为，且各题操作互不影响．
求李明被终止比赛的概率；
求李明获一等奖的概率；
现已知李明类题全部操作正确，求李明类题操作完后总分的期望．
18.本小题分
某医学研究院为寻找防治甲流的新技术，对甲流疑似病例进行检测与诊断研究员抽取了名甲流疑似病例，假设其中仅有一名感染甲流，需要通过化验血液来确认感染甲流的人，若化验结果只有阳性和阴性两种，且化验结果呈阳性，则为甲流感染者，化验结果呈阴性，则不是甲流感染者现有两个检测方案：
方案一：先从人中随机抽取人，将其血液混合，进行次检测，若呈阳性，则选择这人中的人检测即可；若呈阴性，则对另外人进行检测，每次检测人，找到甲流感染者则停止检测．
方案二：对人进行逐个检测，找到甲流感染者则停止检测．
分别求出利用方案一、方案二所需检测次数的分布列与数学期望；
已知检测前需一次性花费固定成本元，检测费用为元次，请分别计算利用两种方案检测的总费用的期望值，并以此作为决策依据，判断选择哪个方案更好．
19.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
设函数，求证：当时，恰有两个零点．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，则，
由题意可得，解得；
由，故，
则，，
故当时，，当时，，当时，，
故的单调递增区间为、，的单调递减区间为，
故有极大值，
有极小值．
16.由题意，可得二项式展开式的通项为：，，，，，．
因为第项与第项的二项式系数之比为：，可得，即，
解得，
所以，令，得，
所以展开式的常数项为．
设展开式中第项的系数最大，
则，可得，解得，
因为，所以，
所以系数最大的项为．
17.设事件“李明被终止比赛”，
则；
设“李明获一等奖”，
则；
设李明在竞赛中，类题全部操作正确后得分为，
则，，，，
又类题正确操作题数，
可得；
；；
，
所以．
18.设方案一所需检测次数为随机变量，则随机变量的取值为，，
时，有如下两种情况：
第次检测人的混合血液呈阳性，第次任选这人中的人检测即可确定甲流感染者，其概率为；
第次检测人的混合血液呈阴性，第次检测另外人中的人呈阳性，其概率为；
所以可以得到，
当时，第次检测人的混合血液呈阴性，第次检测另外人中人呈阴性，第次从剩余人中任选人检测即可确定甲流感染者，
所以可以得到，
则随机变量的分布列如下所示：
将表格数据代入期望公式可得：；
设方案二所需检测次数为随机变量，则随机变量的取值为，，，，
可以得到，
则随机变量的分布列如下所示：
将表格数据代入期望公式可得：；
设方案一、方案二的检测总费用分别为随机变量，，
通过题意可以得到：，，
方案一的期望值元，
方案二的期望值元，
因为，所以选择方案一更好．
19.解：函数的定义域为，
，
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，则，
若，则，所以在上单调递增；
若，则，所以在上单调递增，在上单调递减；
若，则，所以在上单调递减，
综上所述，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减．
证明：当时，，，
当时，恒成立，
所以只需考虑时，的零点个数，即可，
此时有，，
所以在上恒成立，即在上单调递减，
又，，
所以存在使得成立，
所以当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减，
又，，，
由零点存在性定理知，存在和使得，
故当时，恰有两个零点．
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