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2024-2025学年广西南宁九中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列，，，，的一个通项公式为( )
A. B. C. D.
2.当，，，，，时展开式的二项式系数表示形式借助上面的表示形式，判断与的值分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.已知从甲地直接到丙地有条路线可以选择，另外还可以由甲地经乙地到丙地，由甲地到乙地有条路线可供选择，从乙地到丙地有条路线可供选择，则从甲地到丙地不同的路线共有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
4.已知等比数列中，公比，其前项和，则( )
A. B. C. D.
5.设抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点，线段的中点为，过点作轴的平行线交抛物线于点已知的面积为，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
6.下列函数求导正确的是( )
A. B.
C. D.
7.在等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
8.函数在区间上的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间向量，，则下列正确的是( )
A. B.
C. D. ，
10.抛掷两枚骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为，则“”表示的试验结果是( )
A. 第一枚点，第二枚点 B. 第一枚点，第二枚点
C. 第一枚点，第二枚点 D. 第一枚点，第二枚点
11.下列选项正确的是( )
A. ，则
B. ，则
C. ，则
D. 设函数，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式的展开式中含项的系数为，则______．
13.已知椭圆的两个焦点坐标分别为，，并且经过点，则它的标准方程为______．
14.已知某直线满足以下两个条件，写出该直线的一个方程： 用一般式方程表示
倾斜角为；
不经过坐标原点．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在数列中，已知，．
若数列为等差数列，求的通项公式；
若数列为等比数列，求的通项公式．
16.本小题分
已知函数．
求函数在处的切线方程；
求函数在上的最小值．
17.本小题分
若盒中装有同一型号的灯泡共只，其中有只合格品，只次品某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只坏灯泡，每次从中取一只灯泡，若是合格品则用它更换坏灯泡，若是次品则将其报废不再放回原盒中，则按要求回答以下问题：
求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数的分布列；
求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数的分布列所对应的期望和方差．
18.本小题分
某医院现要从名男医生，名女医生中选出名参加义诊，问：
有多少种不同的选法？用数字作答
如果要求男医生两名，女医生两名，那么有多少种不同的选法？用数字作答
如果还要将选出的医生安排到四个社区，每个社区一名医生，那么有多少种不同的安排方法？用数字作答
19.本小题分
在四棱锥中，平面，底面是菱形，且，，分别为，的中点．
若平面与平面的交线为，证明：；
求平面与平面所成角的余弦值；
若平面与线段交于点，求的长．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.答案不唯一
15.为等差数列，，
又，可解得：或，
设等差数列的公差为，则或，
当时，，
当时，，
或，
综上所述：或．
为等比数列，，
又，可解得：或，
设等比数列的公比为，或，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
综上所述：或或或．
16.解：，
，
所以，
所以切线方程为，
所以切线方程为．
，，
令，得或舍去，
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以．
17.随机变量的取值为，，，，
，，
，，
随机变量的分布列：
将分布列数据代入期望和方差公式可得：，
．
18.解：某医院现要从名男医生，名女医生中选出名参加义诊，
从名男医生，名女医生中选出名的选法种数为：；
从名男医生，名女医生中选出名，要求男医生两名，女医生两名的选法种数为：
；
从名男医生，名女医生中选出名，再将选出的医生安排到四个社区，
每个社区一名医生的安排种数为：．
19.解：证明：如图所示，连接，因为，分别是，的中点，
所以，
平面，平面，那么平面，
又平面，平面平面，
所以；
因为底面为菱形，，设中点为，易知，，两两互相垂直，
故以点为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意，所以，，，，，，
显然平面的法向量可以是，
而，，
设平面的法向量为，
则，则，
令，解得，，
所以可取，
故
所以平面与平面所成角的余弦值为；
设，则，，，四点共面．，
由知平面的法向量为，
则，即，
解得，所以．
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