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2024-2025 学年广东省东莞市万江中学等三校高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算正确的是( )
A. ( )′ = 1 B. (
)′ = C. ( 2 )′ =
1
2 D. (sin
) 3 ′ = cos 3
2.3 名同学选报 4 门校本选修课，每个同学可自由选择一门，则不同的选择种数是( )
A. 81 B. 64 C. 24 D. 12
3.( 1 10 4 ) 的展开式中 的系数是( )
A. 210 B. 120 C. 120 D. 210
4 1.已知随机变量 的分布列为 ( = ) = , = 1,2,3, 2 ，则 (1 < 6) =( )
A. 17 B. 1532 32 C.
33 31
64 D. 64
5 3 9.气象资料表明，某地区每年七月份刮台风的概率为5，在刮台风的条件下，下大雨的概率为10，则该地区
七月份既刮台风又下大雨的概率为( )
A. 23 B.
27
50 C.
9 D. 310 10
6.函数 ( )的导函数 ′( )的图象如图所示，则下面说法正确的是( )
A.函数 ( )在区间(1,3)上单调递减 B.函数 ( )在区间( 2,1)上单调递增
C. = 3 为函数 ( )的极小值点 D. = 2 为函数 ( )的极大值点
7.今天是星期二，经过 7 天后还是星期二，那么经过8100天后是( )
A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四
8.已知函数 ( )的定义域为 ，且 ( ) > ′( ) + 1， (0) = 3，则不等式 ( ) > 2 + 1 的解集为( )
A. ( ∞,0) B. (0, + ∞) C. ( ∞,1) D. (1, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数 ( ) = 3 + 2 的图象在点 处的切线平行于直线 = 4 1，则 点的坐标可以为( )
A. (1,0) B. (2,8) C. ( 1, 4) D. (1,4)
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10.下列说法正确的是( )
A. 4 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有 24 种报名方法
B. 4 名同学都参加了跑步、跳高、跳远三个项目，则这三个项目的冠军共有 64 种不同结果
C. 4 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，每项至少一人，共有 24 种报名方法
D. 4 名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项报一人，每人至多报一项，共有 24 种报名方法
11.关于函数 ( ) = 2 + ，下列判断正确的是( )
A. = 2 是 ( )的切线方程且平行于 轴
B.函数 = ( ) 有且只有 1 个零点
C.存在正实数 ，使得 ( ) > 成立
D. 1对两个不相等的正实数 1， 2，若 ( 1) = ( 2)，则 ( 1 + 2) > 2 + 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若 2 = 1 +1，则 ! = ．
13.甲和乙两个箱子里各装有 6 个球，其中甲箱中有 3 个红球、3 个白球，乙箱中有 4 个红球、2 个白球．掷
一枚质地均匀的骰子，如果点数不超过 2，从甲箱子中摸出 1 个球；如果点数超过 2，从乙箱子中摸出 1
个球，则摸到红球的概率为 ．
14 1 1.已知 ， 分别是函数 ( ) = + 和 ( ) = + 的零点，且 > 1， > ，则 + =
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 3 3 2 24 + 20．
(1)求函数 ( )的单调区间；
(2)求函数 ( )在区间[ 1,5]上的最大值和最小值．
16.(本小题 15 分)
在下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解．
条件①：第 3 项与第 7 项的二项式系数相等；
条件②：只有第 5 项的二项式系数最大；
条件③：所有项的二项式系数的和为 256．
1
问题：在( 3 ) ( > 0)的展开式中，_____．
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(1)求 的值；
(2)若其展开式中的常数项为 112，求其展开式中所有项的系数的和．
17.(本小题 15 分)
记 ″( ) = ( ′( ))′， ′( )为 ( )的导函数.若对 ∈ ， ″( ) > 0，则称函数 = ( )为 上的“凸
1
函数”.已知函数 ( ) = 3
3 2 1， ∈ ．
(1)若函数 ( )为 上的凸函数，求 的取值范围；
(2)若函数 = ( )在(1, + ∞)上有极值，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
在我校歌咏比赛中，甲班、乙班、丙班、丁班均可从 ， ， 三首不同曲目中任选一首．
(1)求甲、乙两班选择不同曲目的概率；
(2)设这四个班级总共选取了 首曲目，求 的分布列．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + 2 ．
(1)当 = 3 时，求 ( )的单调区间；
(2)①若 ( ) ≤ 2 1 恒成立，求 的值；
1 1 1 1
②求证：对任意正整数 ( ≥ 2)，都有(1 + 22 )(1 + 32 )(1 + 42 ) (1 + 2 ) < (其中 为自然对数的底数)
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.6
13.1118
14.1
15.解：(1) ( )的定义域为 ， ′( ) = 3 2 6 24 = 3( + 2)( 4)，
令 ′( ) = 0，解得 1 = 2， 2 = 4，
当 < 2 时， ′( ) > 0，当 2 < < 4 时， ′( ) < 0，当 > 4 时， ′( ) > 0，
所以函数 ( )在区间( ∞, 2]和[4, + ∞)上单调递增，在区间( 2,4)上单调递减，
故 ( )的单调递减区间为( 2,4)，单调递增区间为( ∞, 2]，[4, + ∞)．
(2)由(1)得，当 在区间[ 1,5]上变化时， ′( )， ( )的变化情况如下表所示．
1 ( 1,4) 4 (4,5) 5
′( ) 0 +
( ) 40 单调递减 60 单调递增 50
所以函数 ( )在区间[ 1,5]上的最小值为 60，最大值为 40．
16.解：(1)选①：因为 2 = 6 ，所以 = 8；

选②：因为只有第 5 项的二项式系数最大，所以2 = 4，则 = 8；
选③：因为所有项的二项式系数的和为 256，则2 = 256，则 = 8；
4
(2) 1 1二项式( 8 8 8 8 3 ) 的展开式的通项公式为 +1 = 8( ) 3 = 8 ( 1)
3 ，

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8 4令 3 = 0，解得 = 6，所以展开式的常数项为
6
8 2 = 112，得 2 = 4，又 > 0，所以 = 2，
令 = 1 可得展开式的所有项的系数和为( 1)8 = (2 1)8 = 1．
17.(1) 1已知函数 ( ) = 33
2 1，
则 ′( ) = 2 2 ， ″( ) = 2 2 ，
因为函数 ( )为 上的凸函数，
则 2 2 > 0 恒成立，
设 ( ) = 2 2 ，
则 ′( ) = 2，
则 > 2 时， ′( ) > 0，函数 ( )为增函数， < 2 时， ′( ) < 0，函数 ( )为减函数，
即 ( ) = ( 2) = 2 2 2 2 ，
由题意可得：2 2 2 2 > 0，
即 < 1 2，
即 的取值范围为( ∞,1 2)；
(2)函数 = ( )在(1, + ∞)上有极值，
即方程 2 2 = 0 在(1, + ∞)有变号根，
2 =

即方程 在(1, + ∞)有变号根，

设 ( ) = ， ∈ (1, + ∞)，
2
则 ′( ) = ( 1) 2 ，
令 ( ) = ( 1) 2， > 1，
则 ′( ) = ( 2) > 0，
即 ( )在(1, + ∞)单调递增，
又 (1) < 0， (2) > 0，
即存在 0 ∈ (1,2)使得 ( 0) = 0，此时 0( 0 1) 20 = 0，
2
即 0 = 0 ，0 1
即函数 ( )在(1, 0)单调递减，在( 0, + ∞)单调递增，
0
则 ( ) = (
0 1
0) = 0 = 1 0 = 1 + 1 0，0 0 0
显然 = 1 + 1 1 0在(1,2)为减函数，0
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1 + 1 1则 0 1
0 > 1 + 2 1 2 = 0，
即 ( ) > 0，
即 2 > 0，
即 > 0，
即 的取值范围为(0, + ∞)．
18.(1)在我校歌咏操比赛中，甲班、乙班均可从 、 、 三首不同曲目中任选一首，
此时共有32 = 9 种选法，
其中甲、乙两班选择不同的曲目共有 23 = 6 种选法，
6 2
则甲、乙两班选择不同曲目的概率为 = 9 = 3．
(2)因为这四个班级总共选取了 首曲目，
所以 的所有可能取值为 1，2，3，
1
此时 ( = 1) = 3 134 = 27，
2 4
( = 2) = 3(2 2) 1434 = 27，
2 3 ( = 3) = 4 3 434 = 9，
则 的分布列为：
1 2 3
1 14 4
27 27 9
2
19.解：(1) ( ) 3 2 3 +2 ( 1)( 2)的定义域为(0, + ∞) ′( ) = 1 2 = 2 = 2
令 ′( ) = 0 得 = 1 或 = 2，
∈ (0,1)时， ′( ) < 0； ∈ (1,2)时， ′( ) > 0； ∈ (2, + ∞)时， ′( ) < 0
所以， ( )的单调增区间是(1,2)，单调减区间是(0,1)，(2, + ∞)．
(2) 2①解：由 ( ) ≤ 1，得 + 1 ≤ 0 对 ∈ (0, + ∞)恒成立．
记 ( ) = + 1( > 0)其中 (1) = 0，
′( ) = 1 = ，
当 ≤ 0 时， ′( ) < 0 恒成立， ( )在(0, + ∞)上单调递减， ∈ (0,1)时， ( ) > (1) = 0，不符合题意；
当 > 0 时，令 ′( ) = 0，得 = ，
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∈ (0, )时， ′( ) > 0， ∈ ( , + ∞)时， ′( ) < 0，
所以 ( )在(0, )上单调递增，在( , + ∞)上单调递减，
∴ ( ) = ( ) = + 1 ≤ 0，
记 ( ) = + 1( > 0)， ′( ) = ．
令 ′( ) = 0 得 = 1，
∴ ∈ (0,1)时 ′( ) < 0； ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0，
( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增．
( ) = + 1 ≥ (1) = 0，即 ( ) ≥ 0，∴ ( ) = 0．
又 (1) = 0，故 = 1
②证明：由①可知： ≤ 1，(当且仅当 = 1 时等号成立)．
= 1 + 1令 2，则 ln(1 +
1 1 1 1 1
2 ) < 2 < ( 1) = 1 ，( ≥ 2)．
ln(1 + 122 ) + ln(1 +
1
32 ) + …… + ln(1 +
1 1 1 1 1 1 1
2 ) < 1 2+ 2 3 + …… + 1 = 1 < 1 = ，
∴ (1 + 122 )(1 +
1
32 )(1 +
1
42 ) (1 +
1
2 ) < ．
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