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2025南非数学奥林匹克
1.四位数2025具有以下性质：其名位数字之和能被9整除，且恰好有一个数字（非首位）为
0.
问有务少个四位数满足此性质？
2.一个由字母A、B、或D组成的序列称为交替序列，如果满足：
·任意两个A之间至少有一个B:
·任意两个B之间至少有一个A:
·任意两个C之间至少有一个D:
·任意两个D之间至少有一个C。
计算长度为6的交苔序列的总数。
3.设ABC为等边三角形，D为段AB上一点。
取点E使得ADE也是等边三角形，且E与C位于AB的异侧：
设F为直线CD与BE的交点。
证明：P既在过A、B、C的圆上，也在过A、D、D的圆上。
4.定义整数序列a1,a2,·,其中a1=2,且对于n>1,
n十am若a能被17整除
an+1
n·an
若am一1能被17整除
其他情况。
计算a2025除以17的余数。
5.证明存在无穷多个函数f:Z→Z,使得对所有满足xy+yz+江=一1的整数x,,2
,均有
fx)2+f)2+f()2-fx)ff()=4.
6.设n为正整数。称一个n×的整数网格为好网格，如果：
·它包含1到m的每个整数恰好一次：
·对于每一行，该行的最大数同时也是其所在列的最大数。
问有多少个m×的好网格？

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