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1.3《全等三角形的判定》同步练习
【题型1：三角形全等的判定-SSS】
1．如图，点、、、在一条直线上，，，，求证：,.
2．如图，，．求证：．
3．如图，在 ABC和中，点在同一条直线上，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
4．如图， ABC的边与的边在一条直线上，且点为的中点，，．求证：．
5．已知：如图，在与中，，点在的延长线上，连接．求证：；
6．如图，已知：，，．
(1)求证：．
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
【题型2：三角形全等的判定-SAS】
1．如图，点是 ABC的边延长线上一点，，，．求证：．
2．如图．已知，，．证明：．
3．如图，在 ABC中，延长至点，过点作，使，且．求证：．
4．如图，平分，连接，点E在上，连接．已知，，求证：．
5．如图， ABC中，于D，若．
(1)若线段，则_____；
(2)求证：．
6．如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，，，．
(1)试说明：；
(2)若，，求的长．
7．如图，在 ABC中，点D在延长线上，，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【题型3：三角形全等的判定-AAS】
1．已知：，，，求证：．
2．如图，点B，C，D在同一条直线上，，且．
(1)试说明．
(2)若，C是的中点，求的长．
3．如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
4．如图，在 ABC中，点D是边上一点，点E是边的中点，过C作，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
5．如图，与交于点，且，点在上，，．求证：．
6．王强同学用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点C在上，点A和B分别与木墙的顶端重合．由题意知，．
(1)求证：；
(2)求两堵木墙之间的距离．
7．如图，已知 ABC中，，，是过的一条直线，于，于．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【题型4：三角形全等的判定-ASA】
1．如图，在四边形ABCD中，，点E为对角线BD上一点，，且．求证：．
2．如图，四点共线．求证：．
3．如图，在 ABC中，，，，与相交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
4．如图，点E，C，D，A在同一条直线上，，，．
(1)求证：
(2)若，，求的长度．
5．如图，，，点在AC边上，，和相交于点．
求证：．
6．如图，已知，，，与交于点O．
(1)求证：．
(2)求的度数．
【题型5：三角形全等的判定-HL】
1．如图，在和中，，边与在一条直线上，．求证：．
2．已知：如图，，求证：．
3．如图，在四边形中，已知，．求证：．
4．已知，如图，点A、E、F、B在同一条直线上，，，，，
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
5．如图，四边形中，度，E是上一点，且，
(1)与全等吗？请说明理由；
(2)求证：．
6．如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，，垂足分别为F、E，，求证：
(1)．
(2)．
【题型6：添加条件使三角形全等】
1．如图，，，添加下列条件，仍不能判断的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知，从下列条件中补充一个条件后，仍不能证明的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知O是的中点，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，已知点在同一条直线上，，，添加下列条件后能证明的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知，，只添加一个条件，能判定的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，要说明添加的条件可以是 （ ）
A． B． C． D．
7．如图，下列所给出的条件中，能证明的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【题型7：全等三角形的性质和判定综合】
1．如图，与相交于点，，．
(1)求证：；
(2)若，，求度数．
2．如图，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
3．如图，已知 ABC和 ADE，，，，与交于点，点在上．
(1)试说明；
(2)若，，求的度数．
4．如图，已知，点B，E，C，F在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
参考答案
【题型1：三角形全等的判定-SSS】
1．证明：∵，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，.
2．证明：在和中，
，
∴，
∴．
3．（1）证明：∵
∴，即
又∵
∴
∴；
（2）解：∵
∴
∴
4．证明：点为的中点，
在 ABC和中，
，
，
，
．
5．证明：∵，，
∴，
∴．
6．（1）解：∵，
∴,
∴，
∵，，
∴．
（2）解：，理由如下：
由（1）得，
∴，
∴．
【题型2：三角形全等的判定-SAS】
1．证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
2．证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
在 ABC与中，，
∴．
3．证明：
在和中，
．
4．证明：∵平分，
∴，
在 ABC和中，
，
∴．
5．（1）解：∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）证明：∵，
∴；
∵，
∴，
即，
∴．
6．（1）∵，，
∴
∴
∴；
（2）∵，，
∴
∵
∴
∴．
7．（1）证明：∵，
∴．
在 ABC和中，
．
（2）解：∵，，
∴，，
∴．
【题型3：三角形全等的判定-AAS】
1．证明：∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
在和中，，
∴（）．
2．（1）证明：，
，
又，
，
，
在中，，
∵，
∴，
，
又，，
，
；
（2）解：由（1）得，
，，
又点是的中点，
，
．
3．（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴.
（2）解：∵，
由（1）得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
4．（1）证明：点E是边的中点，
∵
∴∠A=∠FCE,∠ADE=∠F,
；
（2），，
，
5．证明：，
，
，
，
在 ABC和中，
，
，
．
6．（1）证明：，，
，
又，
，，
，
在和中，
，
（2）解：由题意得：，，
，
∴，，
，
答：两堵木墙之间的距离为．
7．（1）证明：，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：由（1）知，，
，，
，
，
，，
．
【题型4：三角形全等的判定-ASA】
1.解：
，
在和中，
，
；
2.证明：∵，
∴AE+EC=CF+EC，
∴，
∵在 ABC和中
∴，
∴．
3.（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
4.（1）证明：∵，
，
在 ABC和中
，
；
（2）解：由（1）知，
，
，
．
5.证明：∵和相交于点，
∴．
在和中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
在和中，
，
∴，
∴．
6.（1）证明：∵，，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴．
【题型5：三角形全等的判定-HL】
1．证明：∵，
∴，即．
在和Rt中，
，
∴，
．
2．证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
3．证明：连接，
∵，
∴ ABC与是直角三角形，
在与中，
，
∴；
∴．
4．（1）证明：，，
CAF和是直角三角形，
，
，即，
在和中，
，
；
（2）解：，
，
，
∴∠D=90°，
．
5．（1）解：．理由如下：
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴．
6．（1）证明：，
，即，
又，
，
在和Rt DCE中，
，
．
（2）解：由（1）得，
，
．
【题型6：添加条件使三角形全等】
1．A
【分析】本题考查的是添加条件判定三角形全等，本题先把转化为证明全等三角形的直接条件，再逐一分析每个选项结合全等三角形的判定方法可得结论；熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．
【详解】解：∵，∴，
A、，，，是，不能判断三角形全等，此选项符合题意；
B、∵，，，利用可得三角形全等，不符合题意；
C、∵
∴，即
∵，，，利用可得三角形全等，不符合题意；
D、∵，
∴，
∴，，，利用可得三角形全等，不符合题意；
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，全等三角形的判定定理有，，，（直角三角形还有）．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．由全等三角形的判定方法，即可判断．
【详解】解：，
，
为公共边，
、由判定，故不符合题意；
、由判定，故不符合题意；
、和，分别是和的对角，不能判定，故符合题意；
、由判定，故不符合题意．
故选：．
3．C
【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三角形的判定条件进行判断即可．
【详解】解：∵O是的中点，
∴，
又∵，
∴当时，；故A选项不符合题意；
当时，；故B选项不符合题意；
当时，不能得到；故C选项符合题意；
当时，；故D选项不符合题意；
故选C．
4．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定，由已知可得，再根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
即，
、当时，，
∵，，
∴，该选项符合题意；
、当时，由两边及一边的对角不能证明，该选项不合题意；
、当时，，由两边及一边的对角不能证明，该选项不合题意；
、当时，由两边及一边的对角不能证明，该选项不合题意；
故选：．
5．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先根据等式的性质可得：，然后根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．
【详解】解：，
，
，
A、，
和不一定全等，故A不符合题意；
B、，
，故B符合题意；
C、，
和不一定全等，故C不符合题意；
D、，
，
，
和不一定全等，故D不符合题意；
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：∵，，
、当添加时，对应条件为，不能证明，该选项不合题意；
、当添加时，不能证明，该选项不符合题意；
、当添加时，不能证明，该选项不符合题意；
、当添加时，，即，根据能证明，该选项符合题意．
故选：D．
7．C
【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．
根据全等三角形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、由，，，与不是对应边，不能证明，故A选项不符合题意；
B、由，，，不能证明，故B选项不符合题意；
C、在和中，
，
，故C选项符合题意；
D、由，，，模型，不能证明，故D选项不符合题意；
故选：C．
【题型7：全等三角形的性质和判定综合】
1．（1）证明：∵，，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
2．（1）证明：∵，
∴，即：．
在 ABC与中，
，
∴．
（2）解：∵
∴，
∴．
3．（1）证明：∵，
∴，
∴，
在 ABC和 ADE，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
4．（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴

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