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2.5　直线与圆的位置关系
第1课时　直线与圆的三种位置关系
1. (1) 直线与圆有　　　　个公共点时,叫做直线与圆相交;
(2) 直线与圆有　　　　公共点时,叫做直线与圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做　　　　;
(3) 直线与圆　　　　公共点时,叫做直线与圆相离.
2. 如果☉O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么(1) 直线l与☉O　　　　 dr.
1. 　　　　
如果直线l与☉O有公共点,那么直线l与☉O的位置关系是 (　　)
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相交
2. (2023·宿迁)在同一平面内,已知☉O的半径为2,圆心O到直线l的距离为3,P为☉O上的一个动点,则点P到直线l的最大距离是 (　　)
A. 2 B. 5 C. 6 D. 8
第3题
3. 如图,☉O的直径为20cm,弦AB的长为16cm,OD⊥AB,垂足为D,则当AB沿射线OD的方向平移　　　　cm时,可与☉O相切.
4. 已知直线AB与☉O相交,点O到AB的距离为10cm,则☉O的半径r的取值范围是　　　　　　.
5. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2,以AB的中点P为圆心画圆.
(1) 如果☉P与AC相切,求☉P的半径r;
(2) 当☉P的半径r=时,试判断☉P与直线AC、BC的位置关系.
第5题
第2课时　圆的切线的判定
1. 经过　　　　的外端并且垂直于　　　　　　的直线是圆的切线.
2. 根据直线与圆的位置关系,我们还可以得到直线是圆的切线的另外两个判定方法:(1) 与圆有　　　　公共点的直线是圆的切线;(2) 与　　　　的距离等于半径(即d=r)的直线是圆的切线.
1. 　　　　
如图,☉O与△OAB有公共点C.若☉O的半径为1,AB=4,且△OAB的面积为2,则☉O与直线AB的位置关系是 (　　)
第1题
A. 相离
B. 相交
C. 相切
D. 无法确定
2. (数形结合思想)已知☉O的半径为R,点O到直线l的距离为d,且R、d是方程x2-6x+9=0的两根,则直线l与☉O的位置关系是　　　　.
3. 在平面直角坐标系中,O为坐标原点,则直线y=x+与以点O为圆心、1为半径的圆的位置关系为　　　　.
4. (2024·资阳)如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的弦,点D在☉O外,延长DC、AB相交于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交AC于点G,DG=DC.求证:DE是☉O的切线.
第4题
5. (2024·绥化)如图,O是正方形ABCD对角线上一点,以点O为圆心,OC为半径的☉O与AD相切于点E,与AC相交于点F.求证:AB与☉O相切.
第5题
第3课时　直线与圆相切的性质
直线与圆相切的性质:
(1) 圆的切线与圆有　　　　公共点;
(2) 圆心到圆的切线的距离等于　　　　;
(3) 圆的切线垂直于经过　　　　的半径.
1. (2023·重庆A卷改编)如图,AB与☉O相切于点C,OA=OB.若☉O的直径为8cm,AB=10cm,则OA的长为 (　　)
A. cm B. 2cm C. cm D. 2cm
　　　　　　
2. 如图,AB是☉O的直径,弦AD平分∠BAC,过点D的切线交AC于点E,∠EAD=25°,连接OD,则下列结论错误的是 (　　)
A. AE⊥DE B. AE∥OD C. DE=OD D. ∠BOD=50°
3. (2024·哈尔滨)如图,AB是☉O的切线,A为切点,连接OA,OB.若∠OBA=40°,则∠AOB=　　　　°.
4. (2023·青岛)如图,在平面直角坐标系中,点A(1,0)、P(-1,0),☉P过原点O,且与x轴交于另一点D,AB为☉P的切线,B为切点,BC是☉P的直径,则∠BCD的度数为　　　　.
5. (2024·贵州改编)如图,AB为半圆O的直径,点F在半圆上,点P在AB的延长线上,PC与半圆相切于点C,与OF的延长线相交于点D,AC与OF相交于点E,DC=DE.
(1) 求证:OD⊥AB;
(2) 若OA=2OE,DF=2,求AB的长.
第5题
第4课时　三角形的内切圆
1. 与三角形各边都　　　　的圆叫做三角形的内切圆.　　　　　　　叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的　　　　三角形.
2. 如图,在锐角三角形ABC中,∠A=α,点I是△ABC的内心,点O是△ABC的外心,则∠BIC=　　　　,∠BOC=　　　　(用含α的代数式表示).
1. 　　　　
三角形的内心是 (　　)
A. 三条高的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点
2. (教材P70练习第1题变式)如图,点I是△ABC的内心,若∠I=130°,则∠A的度数为 (　　)
A. 130° B. 80° C. 70° D. 65°
　　　　　　
3. 如图,☉O内切于Rt△ABC,过点O分别作AC、BC的垂线,垂足分别为M、N,则四边形MCNO的形状是　　　　.
4. (1) 若△ABC的周长为14cm,内切圆的半径为1.3cm,则△ABC的面积为　　　　cm2;
(2) 已知直角三角形的两条直角边的长分别是5和12,则该三角形内切圆的半径为　　　　.
5. 如图所示为△ABC.
(1) 求作☉O,使得☉O与△ABC的各边都相切(不写作法,保留作图痕迹);
(2) 连接OC,若∠BAC=70°,求∠BOC的度数.
第5题
第5课时　切线长定理
1. 在经过圆外一点的圆的切线上,这点与切点之间的　　　　的长,叫做这点到圆的切线长.
2. 过圆外一点所画的圆的两条切线长　　　　.
1. 　　　　
如图,过☉O外一点P作☉O的两条切线PA、PB,切点分别为A、B,连接AB,交OP于点C,连接OB.给出下列结论:① OP垂直平分AB;② ∠O=∠APB;③ △ACP≌△BCP;④ 若∠APB=80°,则∠ABO=40°.其中,正确的有 (　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
　　　　　　　　　
2. 如图,PA、PB是☉O的切线,A、B是切点.若∠P=70°,则∠ABO的度数为 (　　)
A. 30° B. 35° C. 45° D. 55°
3. 如图,☉O是△ABC的内切圆,D、E分别为边AB、AC上的点,且DE为☉O的切线.若△ABC的周长为25,BC的长为9,则△ADE的周长为　　　　.
4. (新情境·现实生活)(2023·泰安)为了测量一张圆形光盘的半径,小明把直尺、光盘和三角尺按如图所示的位置放置于桌面上,并量出AB=4cm,则这张圆形光盘的半径是　　　　cm(结果精确到0.1cm,参考数据:≈1.73).
5. 如图,正方形ABCD的边长为4,以正方形的一边BC为直径在正方形内作半圆O,再过点A作半圆的切线,与半圆切于点F,与DC交于点E.
(1) AF的长为　　　　;
(2) 求△ADE的面积.
第5题
2.5　直线与圆的位置关系
第1课时　直线与圆的三种位置关系
1. (1) 两　(2) 唯一　切点　(3) 没有　2. (1) 相交
(2) 相切　(3) 相离
1. D　2. B　3. 4　4. r>10cm
5. (1) 过点P作PD⊥AC于点D.在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=2,∴ 易得AB=2BC=4.∵ P是AB的中点,∴ AP=AB=2.在Rt△APD中,∠A=30°,AP=2,∴ 易得PD=AP=1.∵ ☉P与AC相切,∴ ☉P的半径r=1　(2) 由(1),得AD==,AC==2,∴ CD=AC-AD=,∴ 当☉P的半径为时,☉P与直线AC相交,与直线BC相切
第2课时　圆的切线的判定
1. 半径　这条半径　2. (1) 唯一　(2) 圆心
1. C　2. 相切　3. 相切
4. 连接OC.∵ DG=DC,∴ ∠DGC=∠DCG.∵ ∠DGC=∠AGF,∴ ∠DCG=∠AGF.∵ OC=OA,∴ ∠A=∠ACO.∵ DF⊥AB,∴ ∠AFG=90°,∴ 在Rt△AFG中,∠A+∠AGF=90°,∴ ∠ACO+∠DCG=90°,即∠DCO=90°,∴ OC⊥DE.∵ OC是☉O的半径,∴ DE是☉O的切线
5. 如图,连接OE,过点O作OG⊥AB于点G.∵ ☉O与AD相切于点E,∴ OE⊥AD.∵ 四边形ABCD是正方形,∴ ∠BAC=∠DAC.∵ OE⊥AD,OG⊥AB,∴ OE=OG,即OG是☉O的半径,∴ AB与☉O相切
第3课时　直线与圆相切的性质
(1) 唯一　(2) 半径　(3) 切点
1. A　2. C　3. 50　4. 60°
5. (1) 连接OC.∵ PC与半圆相切于点C,∴ OC⊥PC,∴ ∠OCD=90°,即∠DCE+∠ACO=90°.∵ OA=OC,∴ ∠OAC=∠ACO.∵ DC=DE,∴ ∠DCE=∠DEC.∵ ∠DEC=∠AEO,∴ ∠OAC+∠AEO=90°,∴ 在△AOE中,∠AOE=90°,∴ OD⊥AB　(2) 设OE=x.∵ OA=2OE,∴ OA=OF=OC=OB=2x,∴ EF=OF-OE=x.∵ DF=2,∴ DC=DE=x+2,OD=2x+2.在Rt△OCD中,由勾股定理,得OC2+CD2=OD2,即(2x)2+(x+2)2=(2x+2)2,解得x1=4,x2=0(不合题意,舍去).∴ AB=OA+OB=4x=16
第4课时　三角形的内切圆
1. 相切　内切圆的圆心　外切　2. 90°+α　2α
1. C　2. B　3. 正方形　4. (1) 9.1　(2) 2
5. (1) 如图　(2) 如图.由题意,得∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6.又∵ ∠7=∠1+∠5,∠8=∠3+∠6,∴ ∠7+∠8=(∠1+∠3)+(∠5+∠6)=(∠ABC+∠ACB)+∠BAC=(180°-∠BAC)+∠BAC=90°+∠BAC=90°+×70°=125°,即∠BOC=125°
第5课时　切线长定理
1. 线段　2. 相等
1. C　2. B　3. 7　4. 6.9
5. (1) 4　(2) 设EF=x,则CE=x,DE=4-x,AE=4+x.在Rt△ADE中,∵ DE2+AD2=AE2,∴ (4-x)2 +42=(4+x)2,解得x=1,∴ DE=4-1=3,∴ S△ADE=AD·DE=×4×3=6

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