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浙江省杭州市文澜中学2024-2025学年八年级下学期数学期中试卷
一、选择题(本大共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意)
1．（2025八下·杭州期中）未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·杭州期中）在平行四边形ABCD中，°，则的度数为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八下·杭州期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
4．（2025八下·杭州期中）在四边形ABCD中，，添加下列条件，能使四边形ABCD成为平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八下·杭州期中）如图，矩形中，点E在上，且平分，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·杭州期中）黑板上有一个计算方差的算式：，根据上式的信息．下列结论不正确的是（　　）
A．平均数为8 B．添加一个数8后方差不变
C．添加一个数8后标准差变小 D．
7．（2025八下·杭州期中）一份摄影作品【七寸照片(长7英寸，宽5英寸)】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外感衬纸的宽度相同，矩形衬纸的面积为照片面积的2倍，设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸(如图)，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八下·杭州期中）若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应先假设（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·杭州期中）如图，菱形ABCD中，，垂足分别为B，D，若（　　）
A．4 B． C． D．5
10．（2025八下·杭州期中）如图，在正方形ABCD中，，点是边AD上的动点，点是线段BD上的动点，若，则线段EF的长为（　　）
A． B．2 C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案写在答题卡相应的位置上）
11．（2025八下·杭州期中）四边形ABCD中，；则的度数为　 　。
12．（2025八下·杭州期中）已知关于的方程的一个解为，则　 　。
13．（2025八下·杭州期中）已知下列一组数据23，25，20，18，x，12，若中位数是20，则众数为　 　。
14．（2025八下·杭州期中）已知是方程的两个实数根，则　 　。
15．（2025八下·杭州期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点，点E在线段BO上，连接AE，若，，则菱形ABCD的面积为　 　．
16．（2025八下·杭州期中）如图是一张矩形纸片ABCD，点为AD中点，点在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为与BC相交于点的延长线过点．若则=　 　。
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025八下·杭州期中）解下列方程：
（1）
（2）
18．（2025八下·杭州期中）如图，AC是菱形ABCD的对角线．
（1）在线段AC上确定一点，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接FB，若，求的度数．
19．（2025八下·杭州期中）如图，是矩形边上的两点，．
（1）求证：；
（2）若求矩形的面积（结果保留根号）．
20．（2025八下·杭州期中）如图，在△ABC中，点是边BC的中点，点F，G在边AB上，交CG于E，．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）若，求BF的长．
21．（2025八下·杭州期中）为了解某校学生阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周阅读的总时间进行了调查，并将调查结果绘制成如图所示的统计图：
（1）抽取的学生一周阅读总时间的众数为　 　，学生一周阅读的总时间条形统计图中位数为　 　；
（2）求抽取的学生一周阅读总时间的平均数；
（3）若该校有1500名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校一周阅读的总时间小于6小时的学生有多少名．
22．（2025八下·杭州期中）某服装专卖店在销售中发现，一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“五一”劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润．据测算，每件该服装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件服装降价元．
（1）每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含的代数式表示）；
（2）每件服装降价多少元时，平均每天盈利1200元；
（3）平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由．
23．（2025八下·杭州期中）在四边形ABCD中，是边BC上的一点．若（对应顶点写在了对应位置），则点O叫做该四边形的“等形点”．
（1）正方形　 　“等形点”（填＂存在＂或＂不存在＂）；
（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点是四边形ABCD的“等形点”．已知，连接AC，求AC的长；
（3）在四边形EFGH中，．若边FG上的点是四边形EFGH的“等形点”，求的值．
24．（2025八下·杭州期中）如图，正方形ABCD边长为4，点在边AB上（点与点A、B不重合），过点作，垂足为G，AF与边BC相交于点．
（1）求证：
（2）若的面积为6，求AF的长；
（3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项A符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项B不符合题意；
C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故选项C不符合题意；
D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此进行判断即可．
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵和为相邻的两个角，且四边形ABCD为平行四边形，
∴
∴
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质和角之间的数量关系计算即可求解.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
即
∴
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的判别式可得到即解此不等式即可求解.
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵
∴
A、若仅有一组对边相等且另一组对边平行，无法确定另一组对边是否平行或相等，则不能直接判定为平行四边形，即本项不符合题意；
B、无法通过直接判定为平行四边形，即本项不符合题意；
C、若则四边形ABCD为平行四边形，则本项符合题意；
D、∵
∴则不能直接判定为平行四边形，即本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据题意得到然后根据平行四边形判定定理逐项分析即可求解．
5．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°.
，
，
平分，
，
，
，
∴，
，
故答案为：C．
【分析】通过矩形的性质可得∠ABC=90°，通过，可得，结合角平分线的定义可得，再由直角三角形两锐角互余，即可求解．
6．【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
∴平均数为8，且各项数据为：10，9，8，7，6，
A、平均数为8，则本项不符合题意；
B、添加一个数8，则平均数还是为8，
∴新的方差为，
∴方差变小，则本项符合题意；
C、∵添加一个数8后，方差变小，则标准差也变小，则本项不符合题意；
D、则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据方差的公式得到平均数为8，且各项数据为：10，9，8，7，6，进而逐项分析即可求解．
7．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，
，
故答案为：D.
【分析】设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸面积为，然后根据＂矩形衬纸的面积为照片面积的2倍＂据此列出方程进而即可求解．
8．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：原命题为：在中，若，则，
∴若利用反证法需假设结论的反面，即
故答案为：D.
【分析】根据反证法的步骤，假设这个命题的结论反面进而即可求解．
9．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BD交AC于O，如图，
则
∵四边形ABCD为菱形，
∴
∵
∴为等边三角形，
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
解得：
∴
故答案为：B.
【分析】连接BD交AC于O，则j结合菱形的性质证明为等边三角形，则然后利用含30°角的直角三角形的性质得到AO的长度，进而得到AC长度，然后再利用＂ASA＂证明则最后结合勾股定理求出AE的长度，结合线段间的数量关系即可求解．
10．【答案】C
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在BC上截取一点E'，使得，连接EE'交BD于点G，过点E'作，交BD于点P，E'P的延长线交AD于点F，连接EF，如图，
则四边形CDFE'和四边形ABE'F均为长方形，
∵四边形ABCD为正方形，
∴
∵，
∴为等腰直角三角形，
又∵
∴，
∴BD垂直平分EE'，
∴
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】在BC上截取一点E'，使得，连接EE'交BD于点G，过点E'作，交BD于点P，E'P的延长线交AD于点F，连接EF，则四边形CDFE'和四边形ABE'F均为长方形，然后根据正方形的性质证明为等腰直角三角形，进而得到BD垂直平分EE'，则最后根据线段间数量关系和勾股定理即可求解．
11．【答案】
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD中，，
∴
故答案为：.
【分析】根据四边形的内角和为360°，进而结合角之间的数量关系计算即可．
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于的方程的一个解为，
∴
∴，
故答案为：.
【分析】根据题意把代入原方程得到进而解此方程即可．
13．【答案】20
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将已知数据从小到大排序（不含x）：12、18、20、23、25，
∵插入x后总共有6个数据，中位数为第3和第4个数的平均值，
∴第3和第4个数的平均值为20，即这两个数的和为40，
①当，只有当时，中位数才为20，
②当，则与原结论矛盾，
则，
∴众数为20，
故答案为：20.
【分析】先将已知数据从小到大排序（不含x）：12、18、20、23、25，然后根据中位数的定义可推出，最后根据众数的定义即可求解．
14．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根，
∴
∴
故答案为：-2.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到进而代入计算即可．
15．【答案】24
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设
∵四边形ABCD为菱形，
∴
∵
∴
∵
∴
则
∴
∴
∴
∴
∴菱形ABCD的面积为：
故答案为：24.
【分析】根据题意设结合菱形的性质得到进而根据线段间的数量关系得到方程，则最然后根据勾股定理求出AO的长度，最后根据菱形面积计算公式计算即可.
16．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；翻折变换（折叠问题）；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥BC，连接CE，如图，
设AB=1，GC=x，
∵
∴
∵点为AD中点，
∴
∵
∴四边形ABCD为矩形，
∴
∴四边形ABHE和四边形CDEH为矩形，
∴
由折叠得：，
∴
∵B'A'的延长线过点C，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
解得：
∴
∴
∴，
故答案为：.
【分析】过点E作EH⊥BC，连接CE，设AB=1，GC=x，则然后根据矩形、折叠的性质证明，则然后根据勾股定理得到方程，进而求出EF和BF的长度最后代入计算机即可.
17．【答案】（1）解：提公因式得：
∴
（2）解：移项得：
配方得：
∴
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先提公因式，得到：，然后根据若两个因式的乘积为零，则至少有一个因式为零，据此即可求解；
（2）通过配方将二次方程转化为完全平方形式，然后解方程.
18．【答案】（1）解：如图
.
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，，
∴
∴
∵
∴
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；菱形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）结合线段垂直平分线的性质作线段AB的垂直平分线即可；
（2）根据菱形的性质和等腰三角形的性质得到最后角之间的数量关系计算即可．
19．【答案】（1）解：证明：∵四边形是矩形，
∴，
在和中，
∴（），
∴．
∴，
即；
（2）解：∵在中，，，
∴．
∴，
∴，
∴矩形的面积为：．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和全等三角形的判定（HL）得到，从而得到BF=CE，最后通过灯饰的性质得到BE=CF；
（2）根据含的特殊直角三角形的性质得到AF的长，然后根据勾股定理得到BF的长，最后根据矩形面积公式得到结果.
20．【答案】（1）证明：∵
∴
∵点是边BC的中点，
∴
∴DE为的中位线，
∴
∵
∴四边形BDEF为平行四边形
（2）解：∵四边形BDEF为平行四边形，
∴
∵点D和点E分别为BC、GC的中点，
∴
∵
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）感觉等腰三角形的三线合一得到然后根据三角形中位线定理得到进而即可求证；
（2）根据平行四边形的性质得到然后根据中位线定理得到进而即可求解.
21．【答案】（1）6；6
（2）解：总时间=4小时×5人 +5小时×5人+6小时×25人+7小时×15人=20+25+150+105=300小时，
∴平均数=总时间÷总人数=300÷60=6小时
（3）解： 小于6小时的人数为5+5=10人，占总样本60人的，
∴名
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由统计图可知，阅读时间为6小时的人数最多（25人），故众数为6小时，
∵总共有60个数据，
∴中位数为第30和31个数据的平均值，
∴中位数为：
故答案为：6，6.
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求解；
（2）根据平均数的计算法则计算即可；
（3）先计算出本次调查结果中小于6小时的人数所占的比例，最后乘以500即可求解.
22．【答案】（1）解：设每件服装降价x元，则每天销售量为件，
∴每件盈利：
（2）解：设每件服装降价x元，则每天销售量为件，
∴
解得：
∵要扩大销售量，
∴每件服装降价20元时，平均每天盈利1200元
（3）解：
展开并整理：
=∴方程无实数解，故无法达到2000元利润
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件服装降价x元，然后根据利润的计算公式计算即可；
（2）设每件服装降价x元，则每天销售量为件，结合题意得到方程，解此方程即可求解；
（3）根据题意得到方程，整理得到，然后计算其判别式即可.
23．【答案】（1）不存在
（2）解：过点A作AM⊥BC，如图，
∵点是四边形ABCD的"等形点"，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
设则，
在和中，
∴，
解得：即
∴
∴在中，
（3）解：如图，
∵点是四边形EFGH的“等形点”，
∴
∴
∵，
∴
∴根据则
∴
∵
∴
∴
【知识点】勾股定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）假设正方形ABCD存在"等形点"点O，则
在正方形ABCD中，点O在边BC上，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵点O在BC上，
∴DO与BC交于点O，
∴假设不成立，则正方形ABCD不存在"等形点"点O．
故答案为：不存在．
【分析】（1）根据"等形点"的定义，利用反证法即可判断；
（2）过点A作AM⊥BC，根据"等形点"的定义得到设则，根据勾股定理得到方程：，据此求出AM的长度，最后在中利用勾股定理计算即可求解；
（3）根据"等形点"的定义得到然后根据，得到进而得到进而即可求解.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴
∵
∴
∴
∴
在和中
∴.
（2）解：∵，
∴设则
∴
即
解得：
∴
∴
（3）解：连接AM并延长交CD于P，连接PF，如图，
∵点M为DE中点，
∴
∵在正方形ABCD中，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵MN为中位线，
∴
【知识点】正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到结合垂直的定义，并利用"ASA"即可证明；
（2）结合（1）设则进而根据割补法列出方程进而求出AE的长度，最后根据勾股定理计算即可；
（3）连接AM并延长交CD于P，连接PF，利用"AAS"证明则然后利用勾股定理求出PF的长度，最后根据三角形中位线定理即可求解.
1 / 1浙江省杭州市文澜中学2024-2025学年八年级下学期数学期中试卷
一、选择题(本大共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意)
1．（2025八下·杭州期中）未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故选项A符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故选项B不符合题意；
C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故选项C不符合题意；
D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故选项D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此进行判断即可．
2．（2025八下·杭州期中）在平行四边形ABCD中，°，则的度数为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵和为相邻的两个角，且四边形ABCD为平行四边形，
∴
∴
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质和角之间的数量关系计算即可求解.
3．（2025八下·杭州期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
即
∴
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的判别式可得到即解此不等式即可求解.
4．（2025八下·杭州期中）在四边形ABCD中，，添加下列条件，能使四边形ABCD成为平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵
∴
A、若仅有一组对边相等且另一组对边平行，无法确定另一组对边是否平行或相等，则不能直接判定为平行四边形，即本项不符合题意；
B、无法通过直接判定为平行四边形，即本项不符合题意；
C、若则四边形ABCD为平行四边形，则本项符合题意；
D、∵
∴则不能直接判定为平行四边形，即本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据题意得到然后根据平行四边形判定定理逐项分析即可求解．
5．（2025八下·杭州期中）如图，矩形中，点E在上，且平分，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的性质；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°.
，
，
平分，
，
，
，
∴，
，
故答案为：C．
【分析】通过矩形的性质可得∠ABC=90°，通过，可得，结合角平分线的定义可得，再由直角三角形两锐角互余，即可求解．
6．（2025八下·杭州期中）黑板上有一个计算方差的算式：，根据上式的信息．下列结论不正确的是（　　）
A．平均数为8 B．添加一个数8后方差不变
C．添加一个数8后标准差变小 D．
【答案】B
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
∴平均数为8，且各项数据为：10，9，8，7，6，
A、平均数为8，则本项不符合题意；
B、添加一个数8，则平均数还是为8，
∴新的方差为，
∴方差变小，则本项符合题意；
C、∵添加一个数8后，方差变小，则标准差也变小，则本项不符合题意；
D、则本项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据方差的公式得到平均数为8，且各项数据为：10，9，8，7，6，进而逐项分析即可求解．
7．（2025八下·杭州期中）一份摄影作品【七寸照片(长7英寸，宽5英寸)】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外感衬纸的宽度相同，矩形衬纸的面积为照片面积的2倍，设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸(如图)，下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，
，
故答案为：D.
【分析】设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸面积为，然后根据＂矩形衬纸的面积为照片面积的2倍＂据此列出方程进而即可求解．
8．（2025八下·杭州期中）若用反证法证明命题“在中，若，则”，则应先假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：原命题为：在中，若，则，
∴若利用反证法需假设结论的反面，即
故答案为：D.
【分析】根据反证法的步骤，假设这个命题的结论反面进而即可求解．
9．（2025八下·杭州期中）如图，菱形ABCD中，，垂足分别为B，D，若（　　）
A．4 B． C． D．5
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BD交AC于O，如图，
则
∵四边形ABCD为菱形，
∴
∵
∴为等边三角形，
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
解得：
∴
故答案为：B.
【分析】连接BD交AC于O，则j结合菱形的性质证明为等边三角形，则然后利用含30°角的直角三角形的性质得到AO的长度，进而得到AC长度，然后再利用＂ASA＂证明则最后结合勾股定理求出AE的长度，结合线段间的数量关系即可求解．
10．（2025八下·杭州期中）如图，在正方形ABCD中，，点是边AD上的动点，点是线段BD上的动点，若，则线段EF的长为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在BC上截取一点E'，使得，连接EE'交BD于点G，过点E'作，交BD于点P，E'P的延长线交AD于点F，连接EF，如图，
则四边形CDFE'和四边形ABE'F均为长方形，
∵四边形ABCD为正方形，
∴
∵，
∴为等腰直角三角形，
又∵
∴，
∴BD垂直平分EE'，
∴
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】在BC上截取一点E'，使得，连接EE'交BD于点G，过点E'作，交BD于点P，E'P的延长线交AD于点F，连接EF，则四边形CDFE'和四边形ABE'F均为长方形，然后根据正方形的性质证明为等腰直角三角形，进而得到BD垂直平分EE'，则最后根据线段间数量关系和勾股定理即可求解．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请把答案写在答题卡相应的位置上）
11．（2025八下·杭州期中）四边形ABCD中，；则的度数为　 　。
【答案】
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD中，，
∴
故答案为：.
【分析】根据四边形的内角和为360°，进而结合角之间的数量关系计算即可．
12．（2025八下·杭州期中）已知关于的方程的一个解为，则　 　。
【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于的方程的一个解为，
∴
∴，
故答案为：.
【分析】根据题意把代入原方程得到进而解此方程即可．
13．（2025八下·杭州期中）已知下列一组数据23，25，20，18，x，12，若中位数是20，则众数为　 　。
【答案】20
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将已知数据从小到大排序（不含x）：12、18、20、23、25，
∵插入x后总共有6个数据，中位数为第3和第4个数的平均值，
∴第3和第4个数的平均值为20，即这两个数的和为40，
①当，只有当时，中位数才为20，
②当，则与原结论矛盾，
则，
∴众数为20，
故答案为：20.
【分析】先将已知数据从小到大排序（不含x）：12、18、20、23、25，然后根据中位数的定义可推出，最后根据众数的定义即可求解．
14．（2025八下·杭州期中）已知是方程的两个实数根，则　 　。
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根，
∴
∴
故答案为：-2.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到进而代入计算即可．
15．（2025八下·杭州期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点，点E在线段BO上，连接AE，若，，则菱形ABCD的面积为　 　．
【答案】24
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设
∵四边形ABCD为菱形，
∴
∵
∴
∵
∴
则
∴
∴
∴
∴
∴菱形ABCD的面积为：
故答案为：24.
【分析】根据题意设结合菱形的性质得到进而根据线段间的数量关系得到方程，则最然后根据勾股定理求出AO的长度，最后根据菱形面积计算公式计算即可.
16．（2025八下·杭州期中）如图是一张矩形纸片ABCD，点为AD中点，点在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为与BC相交于点的延长线过点．若则=　 　。
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；翻折变换（折叠问题）；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥BC，连接CE，如图，
设AB=1，GC=x，
∵
∴
∵点为AD中点，
∴
∵
∴四边形ABCD为矩形，
∴
∴四边形ABHE和四边形CDEH为矩形，
∴
由折叠得：，
∴
∵B'A'的延长线过点C，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
解得：
∴
∴
∴，
故答案为：.
【分析】过点E作EH⊥BC，连接CE，设AB=1，GC=x，则然后根据矩形、折叠的性质证明，则然后根据勾股定理得到方程，进而求出EF和BF的长度最后代入计算机即可.
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025八下·杭州期中）解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：提公因式得：
∴
（2）解：移项得：
配方得：
∴
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先提公因式，得到：，然后根据若两个因式的乘积为零，则至少有一个因式为零，据此即可求解；
（2）通过配方将二次方程转化为完全平方形式，然后解方程.
18．（2025八下·杭州期中）如图，AC是菱形ABCD的对角线．
（1）在线段AC上确定一点，使得（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接FB，若，求的度数．
【答案】（1）解：如图
.
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，，
∴
∴
∵
∴
∴
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；菱形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）结合线段垂直平分线的性质作线段AB的垂直平分线即可；
（2）根据菱形的性质和等腰三角形的性质得到最后角之间的数量关系计算即可．
19．（2025八下·杭州期中）如图，是矩形边上的两点，．
（1）求证：；
（2）若求矩形的面积（结果保留根号）．
【答案】（1）解：证明：∵四边形是矩形，
∴，
在和中，
∴（），
∴．
∴，
即；
（2）解：∵在中，，，
∴．
∴，
∴，
∴矩形的面积为：．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和全等三角形的判定（HL）得到，从而得到BF=CE，最后通过灯饰的性质得到BE=CF；
（2）根据含的特殊直角三角形的性质得到AF的长，然后根据勾股定理得到BF的长，最后根据矩形面积公式得到结果.
20．（2025八下·杭州期中）如图，在△ABC中，点是边BC的中点，点F，G在边AB上，交CG于E，．
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）若，求BF的长．
【答案】（1）证明：∵
∴
∵点是边BC的中点，
∴
∴DE为的中位线，
∴
∵
∴四边形BDEF为平行四边形
（2）解：∵四边形BDEF为平行四边形，
∴
∵点D和点E分别为BC、GC的中点，
∴
∵
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）感觉等腰三角形的三线合一得到然后根据三角形中位线定理得到进而即可求证；
（2）根据平行四边形的性质得到然后根据中位线定理得到进而即可求解.
21．（2025八下·杭州期中）为了解某校学生阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周阅读的总时间进行了调查，并将调查结果绘制成如图所示的统计图：
（1）抽取的学生一周阅读总时间的众数为　 　，学生一周阅读的总时间条形统计图中位数为　 　；
（2）求抽取的学生一周阅读总时间的平均数；
（3）若该校有1500名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校一周阅读的总时间小于6小时的学生有多少名．
【答案】（1）6；6
（2）解：总时间=4小时×5人 +5小时×5人+6小时×25人+7小时×15人=20+25+150+105=300小时，
∴平均数=总时间÷总人数=300÷60=6小时
（3）解： 小于6小时的人数为5+5=10人，占总样本60人的，
∴名
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由统计图可知，阅读时间为6小时的人数最多（25人），故众数为6小时，
∵总共有60个数据，
∴中位数为第30和31个数据的平均值，
∴中位数为：
故答案为：6，6.
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求解；
（2）根据平均数的计算法则计算即可；
（3）先计算出本次调查结果中小于6小时的人数所占的比例，最后乘以500即可求解.
22．（2025八下·杭州期中）某服装专卖店在销售中发现，一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“五一”劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润．据测算，每件该服装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件服装降价元．
（1）每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含的代数式表示）；
（2）每件服装降价多少元时，平均每天盈利1200元；
（3）平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由．
【答案】（1）解：设每件服装降价x元，则每天销售量为件，
∴每件盈利：
（2）解：设每件服装降价x元，则每天销售量为件，
∴
解得：
∵要扩大销售量，
∴每件服装降价20元时，平均每天盈利1200元
（3）解：
展开并整理：
=∴方程无实数解，故无法达到2000元利润
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件服装降价x元，然后根据利润的计算公式计算即可；
（2）设每件服装降价x元，则每天销售量为件，结合题意得到方程，解此方程即可求解；
（3）根据题意得到方程，整理得到，然后计算其判别式即可.
23．（2025八下·杭州期中）在四边形ABCD中，是边BC上的一点．若（对应顶点写在了对应位置），则点O叫做该四边形的“等形点”．
（1）正方形　 　“等形点”（填＂存在＂或＂不存在＂）；
（2）如图，在四边形ABCD中，边BC上的点是四边形ABCD的“等形点”．已知，连接AC，求AC的长；
（3）在四边形EFGH中，．若边FG上的点是四边形EFGH的“等形点”，求的值．
【答案】（1）不存在
（2）解：过点A作AM⊥BC，如图，
∵点是四边形ABCD的"等形点"，
∴
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
设则，
在和中，
∴，
解得：即
∴
∴在中，
（3）解：如图，
∵点是四边形EFGH的“等形点”，
∴
∴
∵，
∴
∴根据则
∴
∵
∴
∴
【知识点】勾股定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）假设正方形ABCD存在"等形点"点O，则
在正方形ABCD中，点O在边BC上，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵点O在BC上，
∴DO与BC交于点O，
∴假设不成立，则正方形ABCD不存在"等形点"点O．
故答案为：不存在．
【分析】（1）根据"等形点"的定义，利用反证法即可判断；
（2）过点A作AM⊥BC，根据"等形点"的定义得到设则，根据勾股定理得到方程：，据此求出AM的长度，最后在中利用勾股定理计算即可求解；
（3）根据"等形点"的定义得到然后根据，得到进而得到进而即可求解.
24．（2025八下·杭州期中）如图，正方形ABCD边长为4，点在边AB上（点与点A、B不重合），过点作，垂足为G，AF与边BC相交于点．
（1）求证：
（2）若的面积为6，求AF的长；
（3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴
∵
∴
∴
∴
在和中
∴.
（2）解：∵，
∴设则
∴
即
解得：
∴
∴
（3）解：连接AM并延长交CD于P，连接PF，如图，
∵点M为DE中点，
∴
∵在正方形ABCD中，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵MN为中位线，
∴
【知识点】正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到结合垂直的定义，并利用"ASA"即可证明；
（2）结合（1）设则进而根据割补法列出方程进而求出AE的长度，最后根据勾股定理计算即可；
（3）连接AM并延长交CD于P，连接PF，利用"AAS"证明则然后利用勾股定理求出PF的长度，最后根据三角形中位线定理即可求解.
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