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浙江省绍兴市诸暨市浣纱初级中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024九上·诸暨月考）下列各式中，y是x的二次函数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、y是x的一次函数，不是二次函数，故A不符合题意；
B、，不是二次函数，故B不符合题意；
C、，y是x的二次函数，故C符合题意；
D、，不是二次函数，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义：形如为常数，的函数，叫二次函数，据此逐项进行判断即可.
2．（2024九上·诸暨月考）二次函数顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数图象的顶点坐标是，
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的性质，它的顶点坐标为，据此即可得到答案.
3．（2024九上·诸暨月考）已知P为线段的黄金分割点，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是线段上的一个黄金分割点，且，，
．
故选：A．
【分析】利用黄金分割的比值计算即可．
4．（2024九上·诸暨月考）下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】位似图形的概念
【解析】【解答】解：A、是位似图形，故A不满足题意；
B、是位似图形，故B不满足题意；
C、不是位似图形，故C满足题意；
D、是位似图形，故D不满足题意.
故答案为：C.
【分析】位似图形的的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形；根据位似图形的定义判断即可.
5．（2024九上·诸暨月考）如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由，，得，故A不符合题意；
B、由，，得，故B不符合题意；
C、由，，不能推断，故C符合题意；
D、由，，得，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定：①两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似；②有两组角对应相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似.据此逐项进行判断即可.
6．（2024九上·诸暨月考）在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，的图象，正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：∵，
∴和的函数图象开口向上，的函数图象开口向下，且图像的开口大于图像的开口，
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的图象与性质，对于二次函数，当时，图像开口向上；当时，图像开口向下；越大，则开口越小．据此结合选项进行判断即可.
7．（2024九上·诸暨月考）如图，已知，交于点H，下列结论中错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∴，故该A不符合题意；
B、∵，
∴，故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∴，故C符合题意；
D、∵，
∴，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定与性质可判断A、C；根据平行线分线段成比例的性质可判断B、D.
8．（2024九上·诸暨月考）已知抛物线 y=x2+mx的对称轴为直线 x=2 ，则关于x的方程 x2+mx=5的根是（　　）
A．0，4 B．1，5 C．1，－5 D．－1，5
【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 抛物线 y=x2+mx的对称轴为直线 x=2 ，
∴
解之：m=-4，
∴x2-4x=5即x2-4x-5=0
∴（x-5）（x+1）=0
∴x-5=0或x+1=0
解之：x1=5，x2=-1.
故答案为：D.
【分析】利用抛物线的对称轴为直线x=2，可求出m的值；将m的值代入方程，利用因式分解法求出方程的解.
9．（2024九上·诸暨月考）已知等腰直角的斜边，正方形的边长为，把和正方形如图放置，点与点重合，边与在同一条直线上，将沿方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点与点重合时停止移动．在移动过程中，与正方形重叠部分的面积与移动时间的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：①当时，，
函数图象为开口方向向上的抛物线；∴B选项不符合题意
②当时，如图，
设交于，则，
则，
，
函数图象为开口方向向下的抛物线；
③当时，；∴A选项不符合题意
④当时，同理可得，
函数图象为开口方向向下的抛物线；∴D选项不符合题意；
故只有选项C符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据题意在移动的过程中，需要分为四段，分别是，，，，依据运动特点，分别求出对应的函数关系式，根据函数关系式对函数图象进行判断即可.
10．（2024九上·诸暨月考）已知二次函数经过点和点，交x轴于A，B两点，交y轴于C．则：①；②该二次函数图象与y轴交于负半轴；③当时，y随着x的增大而增大；④若，则．以上说法正确的是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①将，代入，得，
∴由得，故①正确；
②由得，
∴，
∴，即该二次函数图象与轴交于负半轴，故②正确；
③∵二次函数，
∴对称轴为直线，
∵，
∴不能判定当时，随的增大而增大，故③错误；
④∵，
∴二次函数为，
∵，，
∴，
∴，
∴二次函数为，
当时，有，
解得：，
∵二次函数与轴交于两点，与轴交于点，
∴，，
∴，故④正确；
综上所述，说法正确的有3个，
故答案为：B.
【分析】①将点坐标代入函数解析式得到方程组，消去方程组中的值得的值；②由①中的方程组消去的值得到与之间的关系，借助的取值范围得；③求出函数的对称轴，然后结合的取值范围进行判断；④先求出的值，从而得二次函数解析式，由函数图象与坐标轴的交点得到，的值再进行判断.
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024九上·诸暨月考）在比例尺为的地图上，，两地间的图上距离为厘米，则，两地间的实际距离是　 　千米．
【答案】30
【知识点】比例线段；图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）
【解析】【解答】解：设A，B两地间的实际距离为x千米，
∵比例尺为1：1500000，图上距离为2cm，而2厘米=0.00002千米，
∴1：1500000=0.00002：x，
解得：x=30，
故答案为：30．
【分析】本题考查了比例尺的定义，设A，B两地间的实际距离为x千米，将2厘米变成0.00002千米，然后根据比例尺=图上距离：实际距离计算即可得答案．
12．（2024九上·诸暨月考）将抛物线向右平移1个单位，向下平移3个单位得到抛物线为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线向右平移1个单位，向下平移3个单位，
∴平移后的抛物线解析式为，
故答案为：．
【分析】根据二次函数图象平移的法则：“左加右减自变量，上加下减常数项”解答即可．
13．（2024九上·诸暨月考）如图，宝珠桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为（），小明骑自行车从拱梁一段O匀速穿过拱梁部分的桥面，当小明骑自行车行驶8秒时和24秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面共需　 　秒．
【答案】32
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：∵当小明骑自行车行驶8秒时和24秒时拱梁的高度相同，
∴抛物线的对称轴是直线，
∵抛物线的表达式为，
∴，
∴，
令，则，
将代入上式，得，
解得：，
∴小强骑自行车通过拱梁部分的桥面的时间为（秒），
故答案为：32．
【分析】先根据抛物线的对称性求得抛物线的对称轴，从而可以得到，然后令，代入的值，即可得到抛物线与轴的交点横坐标，进而可以得到的长.
14．（2024九上·诸暨月考）已知二次函数的图象经过点和．若，则m的取值范围是　 　．
【答案】或
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∵点关于对称轴的对称点为，
∵二次函数的图象经过点和，且，
∴或．
故答案为：m＜-1或m＞5.
【分析】先判断函数的开口方向和对称轴，从而可得到其增减性，然后根据二次函数的对称性求出点P关于抛物线对称轴对称点的坐标，再结合P、Q两点纵坐标的大小，可求得m的取值范围．
15．（2024九上·诸暨月考）在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于O，则AO：OB＝　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据相似三角形的判定得，由相似三角形对应边成比例的性质求出，从而得，然后推出，得的值.
16．（2024九上·诸暨月考）如图，在矩形中，BE平分交于E，连结，在边上取一点F使，连结，交于点G，则的值为　 　．若，则的值为　 　．
【答案】；
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接，过点G作于点H，如图：
∵四边形是矩形，
∴，AD∥BC，
∵BE平分交于E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
过点G作于点H，如图：
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；．
【分析】连接，根据矩形的四个角都是直角和对边平行且相等得出AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∠A=∠D=∠ABC=90°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出∠ABE=∠CBE=45°，根据等角对等边得出AB=AE，推得AE=CD，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△FAE≌△EDC，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出EF=EC，∠AEF=∠ECD，再由等腰三角形的判定得出为等腰直角三角形，根据锐角三角函数即可求出的值；过点G作于点H，根据垂直于同一条直线的两直线互相平行得出，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出， 根据相似三角形的对应边之比相等得出，设，设，则，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出，根据，代入求出，即可求出BF和AD的值，即可求解.
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．（2024九上·诸暨月考）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题．
（1）若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长；
（2）若，，求a，b，c的长．
【答案】（1）解：∵是的比例中项线段，，，
∴，
解得：，（舍去），
∴长为6cm；
（2）解：设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴.
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【分析】（1）根据比例中项的定义列式得到，代入的值即可得到的长；
（2）设，然后用表示的值，再代入中得到关于的方程，求解方程得到的值，即可得到的值.
（1）解：∵c是a，b的比例中项线段，
∴，
∴（负值舍去）
即c的长为；
（2）解：设
∴
∵，
∴，
∴
∴
18．（2024九上·诸暨月考）如图抛物线经过点，，
（1）求抛物线的表达式及C点坐标；
（2）当时，求x的取值范围．
【答案】（1）解：把，代入中得：
，解得，
∴抛物线解析式为，
在中，当时，，
∴；
（2）解：由函数图象可知，当函数图象在x轴上方时，自变量的取值范围为，
∴当时，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）把，代入解析式即可求出b、c的值，再求出当时y的值解题即可；
（2）利用图象得到抛物线在x轴上方时自变量的取值范围．
（1）解：把，代入中得：，
解得，
∴抛物线解析式为，
在中，当时，，
∴；
（2）解：由函数图象可知，当函数图象在x轴上方时，自变量的取值范围为，
∴当时，．
19．（2024九上·诸暨月考）如图，在等腰中，，，的平分线交边上的中线于点．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明∶∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出，根据等边对等角和三角形内角和是180° 得出，根据等腰三角形三线合一的性质得出，根据如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似即可证明；根据平分，可得，再由等腰直角三角形的性质可得，即可求证；
（2）根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得，根据相似三角形的对应边之比相等即可求解.
20．（2024九上·诸暨月考）某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的跟晴离地面米，凉亭顶端离地面米，小明到凉亭的距离为米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高为米．请根据以上数据求出城楼的高度．
【答案】解：如图，过点作于点，交于点，
由题意得，四边形和四边形都是矩形，
，
由题意得：米，米，米，
∴米，
，
，
，即，
解得（米），
则城楼的高度为（米），
答：城楼的高度为米．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】如图，过点作于点，交于点，先根据矩形的判定与性质可得相关线段的长度，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质可得，由此可得的长，最后根据即可得出答案．
21．（2024九上·诸暨月考）一商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件4元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件） 4 5 6
y（件） 1000 950 900
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件，若某一周商品的销售不少于600件，求这一周市商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
【答案】（1）解：设与的函数关系式为，
根据题意，得，
解得：，
∴与的函数关系式为；
（2）解：设这一周该商场销售这种商品的利润为元，
∵一周商品的销售不少于600件，
∴，
解得：，
∵为正整数，且销售单价不低于成本价，且不高于15元/件，
∴自变量取值范围为，
∴，
根据题意，得，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为4800，
∴一周该商场销售这种商品获得的最大利润为4800元，销售单价为12元．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）设这一周该商场销售这种商品的利润为元，先根据“某一周商品的销售不少于600件”得到关于的不等式，解不等式以及结合”销售单价不低于成本价，且不高于15元/件“求出的取值范围，然后根据“总利润=销售量×单件利润”得关于的二次函数表达式，最后根据二次函数的最值知识进行求解.
（1）解：设y和x的函数表达式为，则
，
解得，
故y和x的函数表达式为
（2）解：设这一周该商场销售这种商品的利润为w元，则
∵，x为正整数，
∵销售不少于600件，
∴，
∴，
∵销售单价不低于成本价，且不高于15元/件，
∴自变量取值范围为，
∴，
∴当时，w有最大值，最大值为4800，
答：一周该商场销售这种商品获得的最大利润为4800元，销售单价为12元．
22．（2024九上·诸暨月考）（1）如图1，在中，点、、分别在、、上，连接、，使，．
①求证：；
②若，，的面积为，求四边形的面积；
（2）如图2，四边形中，，，．点、、分别在、、上，，．设，四边形的面积为，求出与之间的函数关系式，并求的最大值．
【答案】解：（1）∵，，
∴，
∴；
②∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∵的面积为，
∴，
解得：，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴平行四边形的面积为，
∴平行四边形的面积为；
（2）如图，过点作于点，交于点，
则，，，
∴，，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，矩形面积最大，最大值为．
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）①根据平行线分线段成比例可得，进行等量代换后即可得证结论；
②先证明四边形是平行四边形，得，从而得，然后推出，根据相似三角形对应边成比例的性质得，由相似三角形面积比等于相似比的平方得，接下来由平行四边形的性质求出，证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得，最后求的值即可得平行四边形的面积；
（2）过点作于点，交于点，设，证明，得到，根据矩形面积公式即可得到与之间的函数关系式，最后再根据二次函数的最值知识求出面积的最大值．
23．（2024九上·诸暨月考）小明在研究某二次函数时，函数值与自变量的部分对应值如表：
（1）求该二次函数的表达式．
（2）当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求的值．
（3）已知点是该二次函数图象与轴的交点，把点向下平移（）个单位得到点．若点向左平移（）个单位，将与该二次函数图象上的点重合；若点向右平移个单位，将与该二次函数图象上的点重合，求，的值．
【答案】（1）解：设该二次函数的表达式为，
将，，代入表达式，得，
解得：，
∴该二次函数的表达式为；
（2）解：由（1）得，
∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为，
∵，
∴当时，随的增大而增大，当时，该二次函数的最大值为1，
∵当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
（3）解：∵点向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点重合，点向右平移个单位，将与该二次函数图象上的点重合，
∴点的横坐标为，点的横坐标为，且两点纵坐标相同，
∴，
解得：，
∵点是该二次函数的图象与轴的交点，
∴当时，有，
∴，
∵点向下平移个单位得到点，
∴，
∴，
将代入，得，
解得：，
∴，．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）将二次函数表达式化为顶点式，从而求得抛物线的对称轴和顶点坐标，进可知当时，该二次函数的最大值为1，然后根据题意列得关于的方程，求解方程即可；
（3）先求得点的横坐标为，点的横坐标为，且两点纵坐标相同，然后根据抛物线的对称性列式计算求得，接下来求得点的坐标，则可求出点坐标，于是得到点的坐标，将点坐标代入二次函数表达式即可求出.
（1）解：设该二次函数的表达式为，
由题意得，
解得，
∴该二次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为，抛物线的顶点坐标为，
∵，
∴当时，二次函数的值随的增大而增大；
当时，该二次函数的最大值为1，
∵当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，
∴，解得或（舍去），
∴；
（3）解：∵点M向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点P重合；若点M向右平移个单位，将与该二次函数图象上的点Q重合，
∴点P的横坐标为，点Q的横坐标为，且两点纵坐标相同，
∴，解得，
当时，，
∴点C的坐标为，
∵点C向下平移个单位得到点M，
∴点M的坐标为，
∴点P的坐标为，
将代入，得，
∴，
∴，．
24．（2024九上·诸暨月考）【阅读与思考】
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
如图1，在中，中线相交于点G，连接，
∵D，E分别是边的中点，
∴①_____________________．
∴，且．
∴②______∽______，______∽______
∴，
任务：
（1）笔记中横线部分应填写①_____________；②______∽______，______∽______
（2）如图2，在中，点K，L分别在边上，连接交于点F．若，，猜测与的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在平行四边形中，点E、F、G分别是的中点，，，，求长．
【答案】（1）是的中位线，，
（2）解：连接，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：如图，连接
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴点分别是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则
∵点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴
∴
由勾股定理得，，
即，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴
∴
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】（1）证明：如图1，在中，中线相交于点G，连接，
∵D，E分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴，且．
∴②，
∴，
【分析】（1）根据三角形中位线定理和相似三角形的判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据相似三角形判定定理可得，则，由直线平行判定定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）连接根据平行四边形性质可得，再根据中点性质可得，由平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，设，则根据三角形中位线判定定理可得是的中位线，则再根据勾股定理建立方程，解方程可得，，在中，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）证明：如图1，在中，中线相交于点G，连接，
∵D，E分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴，且．
∴②，
∴，
（2）解：连接，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：如图，连接
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴点分别是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则
∵点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴
∴
由勾股定理得，，
即，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴
∴
1 / 1浙江省绍兴市诸暨市浣纱初级中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024九上·诸暨月考）下列各式中，y是x的二次函数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·诸暨月考）二次函数顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·诸暨月考）已知P为线段的黄金分割点，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·诸暨月考）下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·诸暨月考）如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九上·诸暨月考）在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，的图象，正确的是(　　)
A． B．
C． D．
7．（2024九上·诸暨月考）如图，已知，交于点H，下列结论中错误的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九上·诸暨月考）已知抛物线 y=x2+mx的对称轴为直线 x=2 ，则关于x的方程 x2+mx=5的根是（　　）
A．0，4 B．1，5 C．1，－5 D．－1，5
9．（2024九上·诸暨月考）已知等腰直角的斜边，正方形的边长为，把和正方形如图放置，点与点重合，边与在同一条直线上，将沿方向以每秒个单位的速度匀速平行移动，当点与点重合时停止移动．在移动过程中，与正方形重叠部分的面积与移动时间的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024九上·诸暨月考）已知二次函数经过点和点，交x轴于A，B两点，交y轴于C．则：①；②该二次函数图象与y轴交于负半轴；③当时，y随着x的增大而增大；④若，则．以上说法正确的是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024九上·诸暨月考）在比例尺为的地图上，，两地间的图上距离为厘米，则，两地间的实际距离是　 　千米．
12．（2024九上·诸暨月考）将抛物线向右平移1个单位，向下平移3个单位得到抛物线为　 　．
13．（2024九上·诸暨月考）如图，宝珠桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为（），小明骑自行车从拱梁一段O匀速穿过拱梁部分的桥面，当小明骑自行车行驶8秒时和24秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面共需　 　秒．
14．（2024九上·诸暨月考）已知二次函数的图象经过点和．若，则m的取值范围是　 　．
15．（2024九上·诸暨月考）在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于O，则AO：OB＝　 　．
16．（2024九上·诸暨月考）如图，在矩形中，BE平分交于E，连结，在边上取一点F使，连结，交于点G，则的值为　 　．若，则的值为　 　．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17．（2024九上·诸暨月考）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题．
（1）若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长；
（2）若，，求a，b，c的长．
18．（2024九上·诸暨月考）如图抛物线经过点，，
（1）求抛物线的表达式及C点坐标；
（2）当时，求x的取值范围．
19．（2024九上·诸暨月考）如图，在等腰中，，，的平分线交边上的中线于点．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
20．（2024九上·诸暨月考）某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的跟晴离地面米，凉亭顶端离地面米，小明到凉亭的距离为米，凉亭离城楼底部的距离为米，小亮身高为米．请根据以上数据求出城楼的高度．
21．（2024九上·诸暨月考）一商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件4元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件） 4 5 6
y（件） 1000 950 900
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件，若某一周商品的销售不少于600件，求这一周市商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
22．（2024九上·诸暨月考）（1）如图1，在中，点、、分别在、、上，连接、，使，．
①求证：；
②若，，的面积为，求四边形的面积；
（2）如图2，四边形中，，，．点、、分别在、、上，，．设，四边形的面积为，求出与之间的函数关系式，并求的最大值．
23．（2024九上·诸暨月考）小明在研究某二次函数时，函数值与自变量的部分对应值如表：
（1）求该二次函数的表达式．
（2）当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，求的值．
（3）已知点是该二次函数图象与轴的交点，把点向下平移（）个单位得到点．若点向左平移（）个单位，将与该二次函数图象上的点重合；若点向右平移个单位，将与该二次函数图象上的点重合，求，的值．
24．（2024九上·诸暨月考）【阅读与思考】
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．
如图1，在中，中线相交于点G，连接，
∵D，E分别是边的中点，
∴①_____________________．
∴，且．
∴②______∽______，______∽______
∴，
任务：
（1）笔记中横线部分应填写①_____________；②______∽______，______∽______
（2）如图2，在中，点K，L分别在边上，连接交于点F．若，，猜测与的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在平行四边形中，点E、F、G分别是的中点，，，，求长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、y是x的一次函数，不是二次函数，故A不符合题意；
B、，不是二次函数，故B不符合题意；
C、，y是x的二次函数，故C符合题意；
D、，不是二次函数，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义：形如为常数，的函数，叫二次函数，据此逐项进行判断即可.
2．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数图象的顶点坐标是，
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的性质，它的顶点坐标为，据此即可得到答案.
3．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是线段上的一个黄金分割点，且，，
．
故选：A．
【分析】利用黄金分割的比值计算即可．
4．【答案】C
【知识点】位似图形的概念
【解析】【解答】解：A、是位似图形，故A不满足题意；
B、是位似图形，故B不满足题意；
C、不是位似图形，故C满足题意；
D、是位似图形，故D不满足题意.
故答案为：C.
【分析】位似图形的的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形；根据位似图形的定义判断即可.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由，，得，故A不符合题意；
B、由，，得，故B不符合题意；
C、由，，不能推断，故C符合题意；
D、由，，得，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定：①两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似；②有两组角对应相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似.据此逐项进行判断即可.
6．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：∵，
∴和的函数图象开口向上，的函数图象开口向下，且图像的开口大于图像的开口，
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的图象与性质，对于二次函数，当时，图像开口向上；当时，图像开口向下；越大，则开口越小．据此结合选项进行判断即可.
7．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∴，故该A不符合题意；
B、∵，
∴，故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∴，故C符合题意；
D、∵，
∴，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定与性质可判断A、C；根据平行线分线段成比例的性质可判断B、D.
8．【答案】D
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 抛物线 y=x2+mx的对称轴为直线 x=2 ，
∴
解之：m=-4，
∴x2-4x=5即x2-4x-5=0
∴（x-5）（x+1）=0
∴x-5=0或x+1=0
解之：x1=5，x2=-1.
故答案为：D.
【分析】利用抛物线的对称轴为直线x=2，可求出m的值；将m的值代入方程，利用因式分解法求出方程的解.
9．【答案】C
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：①当时，，
函数图象为开口方向向上的抛物线；∴B选项不符合题意
②当时，如图，
设交于，则，
则，
，
函数图象为开口方向向下的抛物线；
③当时，；∴A选项不符合题意
④当时，同理可得，
函数图象为开口方向向下的抛物线；∴D选项不符合题意；
故只有选项C符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据题意在移动的过程中，需要分为四段，分别是，，，，依据运动特点，分别求出对应的函数关系式，根据函数关系式对函数图象进行判断即可.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①将，代入，得，
∴由得，故①正确；
②由得，
∴，
∴，即该二次函数图象与轴交于负半轴，故②正确；
③∵二次函数，
∴对称轴为直线，
∵，
∴不能判定当时，随的增大而增大，故③错误；
④∵，
∴二次函数为，
∵，，
∴，
∴，
∴二次函数为，
当时，有，
解得：，
∵二次函数与轴交于两点，与轴交于点，
∴，，
∴，故④正确；
综上所述，说法正确的有3个，
故答案为：B.
【分析】①将点坐标代入函数解析式得到方程组，消去方程组中的值得的值；②由①中的方程组消去的值得到与之间的关系，借助的取值范围得；③求出函数的对称轴，然后结合的取值范围进行判断；④先求出的值，从而得二次函数解析式，由函数图象与坐标轴的交点得到，的值再进行判断.
11．【答案】30
【知识点】比例线段；图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）
【解析】【解答】解：设A，B两地间的实际距离为x千米，
∵比例尺为1：1500000，图上距离为2cm，而2厘米=0.00002千米，
∴1：1500000=0.00002：x，
解得：x=30，
故答案为：30．
【分析】本题考查了比例尺的定义，设A，B两地间的实际距离为x千米，将2厘米变成0.00002千米，然后根据比例尺=图上距离：实际距离计算即可得答案．
12．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线向右平移1个单位，向下平移3个单位，
∴平移后的抛物线解析式为，
故答案为：．
【分析】根据二次函数图象平移的法则：“左加右减自变量，上加下减常数项”解答即可．
13．【答案】32
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：∵当小明骑自行车行驶8秒时和24秒时拱梁的高度相同，
∴抛物线的对称轴是直线，
∵抛物线的表达式为，
∴，
∴，
令，则，
将代入上式，得，
解得：，
∴小强骑自行车通过拱梁部分的桥面的时间为（秒），
故答案为：32．
【分析】先根据抛物线的对称性求得抛物线的对称轴，从而可以得到，然后令，代入的值，即可得到抛物线与轴的交点横坐标，进而可以得到的长.
14．【答案】或
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∵点关于对称轴的对称点为，
∵二次函数的图象经过点和，且，
∴或．
故答案为：m＜-1或m＞5.
【分析】先判断函数的开口方向和对称轴，从而可得到其增减性，然后根据二次函数的对称性求出点P关于抛物线对称轴对称点的坐标，再结合P、Q两点纵坐标的大小，可求得m的取值范围．
15．【答案】
【知识点】相似三角形的判定；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据相似三角形的判定得，由相似三角形对应边成比例的性质求出，从而得，然后推出，得的值.
16．【答案】；
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接，过点G作于点H，如图：
∵四边形是矩形，
∴，AD∥BC，
∵BE平分交于E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
过点G作于点H，如图：
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；．
【分析】连接，根据矩形的四个角都是直角和对边平行且相等得出AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∠A=∠D=∠ABC=90°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出∠ABE=∠CBE=45°，根据等角对等边得出AB=AE，推得AE=CD，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△FAE≌△EDC，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出EF=EC，∠AEF=∠ECD，再由等腰三角形的判定得出为等腰直角三角形，根据锐角三角函数即可求出的值；过点G作于点H，根据垂直于同一条直线的两直线互相平行得出，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出， 根据相似三角形的对应边之比相等得出，设，设，则，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出，根据，代入求出，即可求出BF和AD的值，即可求解.
17．【答案】（1）解：∵是的比例中项线段，，，
∴，
解得：，（舍去），
∴长为6cm；
（2）解：设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴.
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【分析】（1）根据比例中项的定义列式得到，代入的值即可得到的长；
（2）设，然后用表示的值，再代入中得到关于的方程，求解方程得到的值，即可得到的值.
（1）解：∵c是a，b的比例中项线段，
∴，
∴（负值舍去）
即c的长为；
（2）解：设
∴
∵，
∴，
∴
∴
18．【答案】（1）解：把，代入中得：
，解得，
∴抛物线解析式为，
在中，当时，，
∴；
（2）解：由函数图象可知，当函数图象在x轴上方时，自变量的取值范围为，
∴当时，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）把，代入解析式即可求出b、c的值，再求出当时y的值解题即可；
（2）利用图象得到抛物线在x轴上方时自变量的取值范围．
（1）解：把，代入中得：，
解得，
∴抛物线解析式为，
在中，当时，，
∴；
（2）解：由函数图象可知，当函数图象在x轴上方时，自变量的取值范围为，
∴当时，．
19．【答案】（1）证明∶∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵是边上的中线，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出，根据等边对等角和三角形内角和是180° 得出，根据等腰三角形三线合一的性质得出，根据如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似即可证明；根据平分，可得，再由等腰直角三角形的性质可得，即可求证；
（2）根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可得，根据相似三角形的对应边之比相等即可求解.
20．【答案】解：如图，过点作于点，交于点，
由题意得，四边形和四边形都是矩形，
，
由题意得：米，米，米，
∴米，
，
，
，即，
解得（米），
则城楼的高度为（米），
答：城楼的高度为米．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】如图，过点作于点，交于点，先根据矩形的判定与性质可得相关线段的长度，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质可得，由此可得的长，最后根据即可得出答案．
21．【答案】（1）解：设与的函数关系式为，
根据题意，得，
解得：，
∴与的函数关系式为；
（2）解：设这一周该商场销售这种商品的利润为元，
∵一周商品的销售不少于600件，
∴，
解得：，
∵为正整数，且销售单价不低于成本价，且不高于15元/件，
∴自变量取值范围为，
∴，
根据题意，得，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为4800，
∴一周该商场销售这种商品获得的最大利润为4800元，销售单价为12元．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）设这一周该商场销售这种商品的利润为元，先根据“某一周商品的销售不少于600件”得到关于的不等式，解不等式以及结合”销售单价不低于成本价，且不高于15元/件“求出的取值范围，然后根据“总利润=销售量×单件利润”得关于的二次函数表达式，最后根据二次函数的最值知识进行求解.
（1）解：设y和x的函数表达式为，则
，
解得，
故y和x的函数表达式为
（2）解：设这一周该商场销售这种商品的利润为w元，则
∵，x为正整数，
∵销售不少于600件，
∴，
∴，
∵销售单价不低于成本价，且不高于15元/件，
∴自变量取值范围为，
∴，
∴当时，w有最大值，最大值为4800，
答：一周该商场销售这种商品获得的最大利润为4800元，销售单价为12元．
22．【答案】解：（1）∵，，
∴，
∴；
②∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∵的面积为，
∴，
解得：，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴平行四边形的面积为，
∴平行四边形的面积为；
（2）如图，过点作于点，交于点，
则，，，
∴，，
设，则，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，矩形面积最大，最大值为．
【知识点】二次函数的最值；平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）①根据平行线分线段成比例可得，进行等量代换后即可得证结论；
②先证明四边形是平行四边形，得，从而得，然后推出，根据相似三角形对应边成比例的性质得，由相似三角形面积比等于相似比的平方得，接下来由平行四边形的性质求出，证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得，最后求的值即可得平行四边形的面积；
（2）过点作于点，交于点，设，证明，得到，根据矩形面积公式即可得到与之间的函数关系式，最后再根据二次函数的最值知识求出面积的最大值．
23．【答案】（1）解：设该二次函数的表达式为，
将，，代入表达式，得，
解得：，
∴该二次函数的表达式为；
（2）解：由（1）得，
∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点坐标为，
∵，
∴当时，随的增大而增大，当时，该二次函数的最大值为1，
∵当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，
∴，
解得：或（舍去），
∴；
（3）解：∵点向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点重合，点向右平移个单位，将与该二次函数图象上的点重合，
∴点的横坐标为，点的横坐标为，且两点纵坐标相同，
∴，
解得：，
∵点是该二次函数的图象与轴的交点，
∴当时，有，
∴，
∵点向下平移个单位得到点，
∴，
∴，
将代入，得，
解得：，
∴，．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）将二次函数表达式化为顶点式，从而求得抛物线的对称轴和顶点坐标，进可知当时，该二次函数的最大值为1，然后根据题意列得关于的方程，求解方程即可；
（3）先求得点的横坐标为，点的横坐标为，且两点纵坐标相同，然后根据抛物线的对称性列式计算求得，接下来求得点的坐标，则可求出点坐标，于是得到点的坐标，将点坐标代入二次函数表达式即可求出.
（1）解：设该二次函数的表达式为，
由题意得，
解得，
∴该二次函数的表达式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为，抛物线的顶点坐标为，
∵，
∴当时，二次函数的值随的增大而增大；
当时，该二次函数的最大值为1，
∵当时，该二次函数的最大值与最小值的差为，
∴，解得或（舍去），
∴；
（3）解：∵点M向左平移个单位，将与该二次函数图象上的点P重合；若点M向右平移个单位，将与该二次函数图象上的点Q重合，
∴点P的横坐标为，点Q的横坐标为，且两点纵坐标相同，
∴，解得，
当时，，
∴点C的坐标为，
∵点C向下平移个单位得到点M，
∴点M的坐标为，
∴点P的坐标为，
将代入，得，
∴，
∴，．
24．【答案】（1）是的中位线，，
（2）解：连接，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：如图，连接
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴点分别是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则
∵点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴
∴
由勾股定理得，，
即，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴
∴
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】（1）证明：如图1，在中，中线相交于点G，连接，
∵D，E分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴，且．
∴②，
∴，
【分析】（1）根据三角形中位线定理和相似三角形的判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据相似三角形判定定理可得，则，由直线平行判定定理可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（3）连接根据平行四边形性质可得，再根据中点性质可得，由平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，设，则根据三角形中位线判定定理可得是的中位线，则再根据勾股定理建立方程，解方程可得，，在中，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）证明：如图1，在中，中线相交于点G，连接，
∵D，E分别是边的中点，
∴是的中位线，
∴，且．
∴②，
∴，
（2）解：连接，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：如图，连接
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴点分别是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则
∵点分别是的中点，
∴是的中位线，
∴
∴
由勾股定理得，，
即，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴
∴
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