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浙江省金华市东阳市横店联考2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024九上·东阳月考）下列各式中表示二次函数（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、，未知数的最高次数是1，不是二次函数，故A不符合题意；
B、，分母中含有字母，不是二次函数，故B不符合题意；
C、，是二次函数，故C符合题意；
D、，化简后未知数的最高次数是1，不是二次函数，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】二次函数的定义：一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数.根据二次函数的定义对各选项逐一进行判断．
2．（2024九上·东阳月考）“明天下雨的可能性为”这句话指的是（　　）
A．明天一定下雨
B．的地区下雨，的地区不下雨
C．明天不一定下雨
D．明天的时间下雨，的时间不下雨
【答案】C
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：“明天下雨的可能性为”这句话指的是明天有很大可能下雨，但也不一定下雨，与地区和下雨时间长短无关，故明天不一定下雨，
故答案为：C
【分析】利用随机事件的定义对“明天下雨的可能性为”进行判断即可得到结果.
3．（2024九上·东阳月考）将抛物线向右平移1个单位长度，在向上平移2个单位长度后，所得的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解∶∵将抛物线向右平移1个单位长度，在向上平移2个单位长度
∴平移后所得的抛物线的解析式为．
故答案为：B
【分析】根据函数图象的平移规律“上＋下-，左+右－”即可写出平移后的解析式．
4．（2024九上·东阳月考）二次函数的图象的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：，
函数图象与轴的交点坐标为，，
函数图象的对称轴为直线，
故答案为：C.
【分析】此题给出的是抛物线的交点式，由此可得抛物线与x轴交点的坐标，进而根据抛物线的对称性可得其对称轴直线是两交点横坐标和的一半即可得出答案.
5．（2024九上·东阳月考）在一个不透明的袋子里有红球、黄球共 15个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数可能是（　　）
A．4 B．6 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵ 小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，
∴从这15个球中摸出一个球，摸到红球的概率为0.4，
∴袋子中红球的个数可能是15×0.4=6，
故答案为：B【分析】根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，得到从这15个球中摸出一个球，摸到红球的概率为0.4，再用球的总数乘以摸到红球的概率即可求出红球的个数.
6．（2024九上·东阳月考）抛物线y＝x2+4x+4与x轴的交点个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵y＝x2+4x+4，
∴=b2-4ac=16-16=0，即=0，
∴抛物线与x轴只有一个交点.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线与x轴交点个数同根的判别式符合的关系，即=0时抛物线与x轴只有一个交点，即可求解.
7．（2024九上·东阳月考）如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可知，二次函数与一次函数的交点横坐标为-1和6，当时，即s时，x的取值范围在两个交点之间，∴关于的不等式的解集是：．
故答案为：．
【分析】根据图象可知，关于x的不等式得解集就是一次函数的图象在二次函数的图象的上方对应自变量x的取值范围.
8．（2024九上·东阳月考）若两张扑克牌的牌面数字相同，则可以组成一对．如图，是甲、乙同学手中的扑克牌．若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌组成一对的概率是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：共4张牌，其中能与手中牌组成一对的有5，8，共2种情况，
∴；
故答案为C．
【分析】采用列举法，结合概率计算公式进行求解即可得到结果。
9．（2024九上·东阳月考）已知是关于的二次函数，部分y与x的对应值如表所示：
… …
… …
则关于该二次函数，下列说法错误的是（　　）
A．有最小值 B．当时，随的增大而减小
C．图象对称轴是直线 D．图象开口向上
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当时，，当时，，
对称轴直线为，故C符合题意；
又时，，由表格可知：函数有最小值，开口向上，故A、D正确，不符合题意；
当时，随的增大而减小，故B不符合题意；
故答案为：C．
【分析】先根据与的对应值得出二次函数的对称轴直线，可判断C；再根据对称轴及y值变化规律可推出图象开口方向、最值、增减性，可对A、B、D进行判断.
10．（2024九上·东阳月考）点，都在抛物线上．若，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：将点A（m-1，y1）代入抛物线得，
将点B（m，y2）代入抛物线得，
∵，
∴
解得：，
故答案为：B.
【分析】分别将点， 代入代入抛物线，再根据列出关于m的不等式即可解得答案．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024九上·东阳月考）若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式：　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴解析式为．
故答案为：．
【分析】根据二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为，结合抛物线经过点，得到，选择，得到解析式为．
12．（2024九上·东阳月考）从，，，四个实数，任取一个数是有理数的概率为　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算；有理数的概念
【解析】【解答】解：四个数中，属于有理数的为：共2个，
∴任取一个数是有理数的概率为：
故答案为：.
【分析】先根据有理数的概念得到上述书中的有理数个数，进而根据概率计算公式计算即可.
13．（2024九上·东阳月考）已知，两点都在抛物线上，那么　 　．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵，两点都在抛物线上 ，
∴x1和x2是方程的两个根，即x1和x2是方程，
∴x1+x2=3.
故答案为：3.
【分析】首先得出x1和x2是方程的两个根，然后根据根与系数的关系，即可求得x1+x2=3.
14．（2024九上·东阳月考）小军和小红用2、3、4三张数字卡片做游戏，如果摆出的三位数是偶数，算小红赢，否则算小军赢，这个游戏规则　 　（填“公平“或“不公平”）．
【答案】不公平
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】解：∵当末位数字是2或4时，摆出的三位数是偶数，当末位数字为3时，摆出的三位数是奇数，
∴摆出的三位数是偶数的概率为，摆出的三位数不是偶数的概率为，
∵，
∴这个游戏不公平，
故答案为：不公平．
【分析】根据题意，采用列举法结合概率公式分别计算小红和小军的概率，进行判断即可得到结果.
15．（2024九上·东阳月考）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了　 　．
【答案】45
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：根据二次函数解析式
可知，汽车的刹车时间为，S=45
故答案为：．
【分析】
将表达式配成顶点式，根据顶点坐标公式即可求解。
16．（2024九上·东阳月考）如图，将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到一新函数图象．若一次函数的图象与新函数图象有4个公共点，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：∵抛物线，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标分别为，
∵抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折
∴新函数表达式为（-1≤x≤3），
如图，当直线y=x+m经过（3，0）时，直线y=x+m与新函数图象有3个公共点，
把（3，0）代入直线y=x+m，解得：m=-3，
当直线y=x+m与抛物线（-1≤x≤3）有一个公共点上，直线y=x+m与新函数图象有3个公共点，
联立得：，整理得，∴==21+4m=0，解得：m=，综上所示，直线y=x+m与新函数图象有4个公共点时，m的取值范围是＜m＜-3，
故答案为：＜m＜-3.
【分析】先求出抛物线与x轴的两个交点坐标分别为，再求出翻转后的函数解析式为，然后求出当函数恰好经过点时，直线y=x+m与新函数图象有3个公共点，当函数与抛物线只有一个交点时，直线y=x+m与新函数图象有3个公共点，求解即可得出m的值，进而即可得到直线y=x+m与新函数图象有4个公共点时，m的取值范围．
三、解答题（本题共8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程）
17．（2024九上·东阳月考）已知二次函数的图象经过两点．
（1）求的值．
（2）试判断点是否在此函数的图象上．
【答案】解：（1）把A（0，1），B（2，-1）代入y=x2+px+q，
得，
解得：，
∴p，q的值分别为-3，1；
（2）把x=-1代入y=x2-3x+1，得y=5，
∴点P（-1，2）不在此函数的图象上．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把A、B两点坐标代入 ，即可求出p，q的值；
（2）利用p、q的值写出解析式，把x=-1代入解析式，算一下y的值是否为2，即可得出答案．
18．（2024九上·东阳月考）计算下列事件发生的可能性大小，并将它们按可能性从小到大进行排列．
（1）从写有数字的9张卡片中任取一张，其上的数字是4的倍数；
（2）铁块丢入水中后，浮在水面；
（3）投掷一枚硬币，落地后反面朝上．
【答案】（1）数字中有和两个数为4的倍数，
从写有数字的9张卡片中任取一张，其上的数字是4的倍数的可能性为；

（2）铁块丢入水中后，浮在水面是不可能事件，故该事件的可能性为；
（3）投掷一枚硬币，落地后反面朝上的可能性为．
，
可能性从小到大排列为（2）（1）（3）．
【知识点】可能性的大小
【解析】【分析】（1）利用列举法可得到结果；
（2）利用随机事件的定义，结合生活常识进行判断；
（3）先得出落地后反面朝上的可能性，接着结合（1）（2）进行比较即可得到结果.
（1）解：数字中有和两个数为4的倍数，
从写有数字的9张卡片中任取一张，其上的数字是4的倍数的可能性为；
（2）解：铁块丢入水中后，浮在水面是不可能事件，故该事件的可能性为；
（3）解：投掷一枚硬币，落地后反面朝上的可能性为．
，
可能性从小到大排列为（2）（1）（3）．
19．（2024九上·东阳月考）已知二次函数（为常数，且）.
（1）求证：该函数的图象与轴总有两个公共点；
（2）若点，在函数图象上，比较与的大小；
【答案】（1）证明：令，即，
或，
∴，，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
该函数的图象与轴总有两个公共点；
（2）解：点，在函数图象上，
当时，，
当时，，
，
当或时，；
当时，；
当时，．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；因式分解的应用-比较大小
【解析】【分析】（1）令，则，可求出，，即得出方程有两个不相等的解，可证该函数的图象与轴总有两个公共点；
（2）将，代入，得：，，可求出，最后分类讨论解答即可．
（1）证明：令，即，
或，
∴，，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
该函数的图象与轴总有两个公共点；
（2）解：点，在函数图象上，
当时，，
当时，，
，
当或时，；
当时，；
当时，．
20．（2024九上·东阳月考）小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜．
（1）小明赢的事件是　 　事件．（选填：必然，随机或不可能．）
（2）这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由．
【答案】（1）随机
（2）这个游戏对双方不公平．理由如下：画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，
∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为，
又∵，
∴这个游戏对双方不公平．
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】解：（1）解：共有种等可能的结果数：、、、、、、、、，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为，
∵小明和小亮获胜是随机事件，
∴小明赢的事件是随机事件，
故答案为：随机；
【分析】（1）利用列举法，将总的事件进行列举，分别找出满足的事件，接着结合概率公式分别计算小明与小亮胜的概率，接着利用随机事件定义进行判断即可得到结果；
（2）利用树状图将所有事件进行列举，结合概率公式与随机事件定义进行比较判断即可得到结果.
（1）解：共有种等可能的结果数：、、、、、、、、，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，
∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为，
∵小明和小亮获胜是随机事件，
∴小明赢的事件是随机事件，
故答案为：随机；
（2）这个游戏对双方不公平．理由如下：
画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，
∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为，
又∵，
∴这个游戏对双方不公平．
21．（2024九上·东阳月考）已知二次函数．
（1）将写成的形式，并写出它的顶点坐标；
（2）当时，直接写出函数值的取值范围；
【答案】（1）解：因为，
所以顶点坐标为：；
（2）解：因为，所以对称轴为直线，开口向上，
所以当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
又，
所以当时，，
当时，，
所以当时，函数的取值范围为．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）利用完全平方差公式转化为顶点式，根据顶点式写出顶点坐标；
（2）利用二次函数的性质求出的取值范围；
（1）解：，
则得顶点坐标为：；
（2）解：
∴对称轴为直线，开口向上，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
又，
当时，，
当时，，
当时，函数的取值范围为．
22．（2024九上·东阳月考）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地面竖直高度为米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离为米．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式：
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
（3）若米，则灌溉车行驶时喷出的水　 　（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
【答案】（1）如图2，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又抛物线过点，
代入得，
，
上边缘抛物线的函数解析式为；
（2）上边缘抛物线的对称轴为直线，
点的对称点为，
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
当时，，
解得， （舍去），
点的坐标为，
点的坐标为，
（3）不能
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：（3）米，米，米，
点的坐标为，
当时，，
当时，随的增大而减小，
灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
故答案为：不能．
【分析】（1）利用待定系数法，根据顶点坐标先假设出方程：，接着代入点求出a的值即可得到结果；
（2）先利用关于对称轴得到对称点为得到点的平移关系，接着利用求出点的坐标为进而得到结果；
（3）利用表达式先求出的坐标为的坐标，接着利用函数的增减性进行判断即可得到结果.
（1）如图2，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又抛物线过点，
代入得，
，
上边缘抛物线的函数解析式为；
（2）上边缘抛物线的对称轴为直线，
点的对称点为，
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
当时，，
解得， （舍去），
点的坐标为，
点的坐标为，
（3）米，米，米，
点的坐标为，
当时，，
当时，随的增大而减小，
灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
故答案为：不能．
23．（2024九上·东阳月考）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数，
（1）当，时，请求出该函数的完美点；
（2）已知二次函数的图像上有且只有一个完美点，请求出该函数；
（3）在（2）的条件下，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围．
【答案】解：（1）设该完美点的坐标为（m，m），∵a=1，c=2，
∴二次函数解析式为y=x2+4x+2，
∴m2+4m+2=m，
解得：m1=-1，m2=-2，
∴该函数的完美点为（-1，-1）和（-2，-2）．
（2）∵二次函数的图像上有且只有一个完美点，
∴方程ax2+4x+c=x即ax2+3x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=9-4ac=0，即4ac=9，
∵完美点坐标为，
∴方程ax2+3x+c=0的根为=，
解得：a=-1，
∴c=，
∴该函数解析式为y=-x2+4x．
（3）∵y=-x2+4x-=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，
∴对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，1），
∵-1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴x＞2时，y随x的增大而减小，x＜2时，y随x的增大而增大，
当y=-3时，-x2+4x-3=-3，
解得：x1=0，x2=4，
∵当时，函数的最小值为，最大值为，
∴m的取值范围为：2≤m≤4．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）先假设完美点坐标（m，m）代入解析式中求出未知数，即可得到结果；
（2）根据题意，将问题转化成求方程ax2+4x+c=x即ax2+3x+c=0有两个相等的实数根，结合跟的判别式以及点的坐标求解饥渴得到结果；
（3）有解析式为y=-x2+4x-=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，结合函数的顶点以及增减性进行判断化简即可得到结果.
24．（2024九上·东阳月考）综合与实践：
如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值；
（3）小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标．
【答案】（1）∵抛物线与轴交于点和点，∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，
过点作轴交线段于点，垂足为点，∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
设直线的表达式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
设点，则点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积有最大值，面积的最大值为；
（3）如图2，当点在直线的上方的抛物线上时，∵，
∴，
∴点，的纵坐标相等，即点的纵坐标为，
当时，则，
解得，，，
∴，
如图3，当点在直线的下方的抛物线上时，
设交轴于点，
∵，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：， ，
∴，
综上所述，点D的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法将和点代入解析式求解得到结果；
（2）根据题意，得到，进而求出直线的方程，接着假设点和点以及，结合三角形面积公式进行化简，结合二次函数最值进行计算即可得到结果；
（3）根据题意，分两种情况进行求解；当点在直线的上方的抛物线上时，利用代入方程求解；当点在直线的下方的抛物线上时，利用中，求出的成，接着求出直线的解析式，进而联立方程进而求出D的坐标.
（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点作轴交线段于点，垂足为点，
∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
设直线的表达式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
设点，则点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积有最大值，面积的最大值为；
（3）如图2，当点在直线的上方的抛物线上时，
∵，
∴，
∴点，的纵坐标相等，即点的纵坐标为，
当时，则，
解得，，，
∴，
如图3，当点在直线的下方的抛物线上时，
设交轴于点，
∵，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：， ，
∴，
综上所述，点D的坐标为或．
1 / 1浙江省金华市东阳市横店联考2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024九上·东阳月考）下列各式中表示二次函数（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024九上·东阳月考）“明天下雨的可能性为”这句话指的是（　　）
A．明天一定下雨
B．的地区下雨，的地区不下雨
C．明天不一定下雨
D．明天的时间下雨，的时间不下雨
3．（2024九上·东阳月考）将抛物线向右平移1个单位长度，在向上平移2个单位长度后，所得的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·东阳月考）二次函数的图象的对称轴是（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
5．（2024九上·东阳月考）在一个不透明的袋子里有红球、黄球共 15个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的个数可能是（　　）
A．4 B．6 C．9 D．10
6．（2024九上·东阳月考）抛物线y＝x2+4x+4与x轴的交点个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2024九上·东阳月考）如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B．
C． D．或
8．（2024九上·东阳月考）若两张扑克牌的牌面数字相同，则可以组成一对．如图，是甲、乙同学手中的扑克牌．若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌组成一对的概率是（　　）
A． B． C． D．1
9．（2024九上·东阳月考）已知是关于的二次函数，部分y与x的对应值如表所示：
… …
… …
则关于该二次函数，下列说法错误的是（　　）
A．有最小值 B．当时，随的增大而减小
C．图象对称轴是直线 D．图象开口向上
10．（2024九上·东阳月考）点，都在抛物线上．若，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（2024九上·东阳月考）若一个二次函数的二次项系数为2，且经过点，请写出一个符合上述条件的二次函数表达式：　 　．
12．（2024九上·东阳月考）从，，，四个实数，任取一个数是有理数的概率为　 　．
13．（2024九上·东阳月考）已知，两点都在抛物线上，那么　 　．
14．（2024九上·东阳月考）小军和小红用2、3、4三张数字卡片做游戏，如果摆出的三位数是偶数，算小红赢，否则算小军赢，这个游戏规则　 　（填“公平“或“不公平”）．
15．（2024九上·东阳月考）某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了　 　．
16．（2024九上·东阳月考）如图，将抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到一新函数图象．若一次函数的图象与新函数图象有4个公共点，则m的取值范围是　 　．
三、解答题（本题共8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程）
17．（2024九上·东阳月考）已知二次函数的图象经过两点．
（1）求的值．
（2）试判断点是否在此函数的图象上．
18．（2024九上·东阳月考）计算下列事件发生的可能性大小，并将它们按可能性从小到大进行排列．
（1）从写有数字的9张卡片中任取一张，其上的数字是4的倍数；
（2）铁块丢入水中后，浮在水面；
（3）投掷一枚硬币，落地后反面朝上．
19．（2024九上·东阳月考）已知二次函数（为常数，且）.
（1）求证：该函数的图象与轴总有两个公共点；
（2）若点，在函数图象上，比较与的大小；
20．（2024九上·东阳月考）小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜．
（1）小明赢的事件是　 　事件．（选填：必然，随机或不可能．）
（2）这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由．
21．（2024九上·东阳月考）已知二次函数．
（1）将写成的形式，并写出它的顶点坐标；
（2）当时，直接写出函数值的取值范围；
22．（2024九上·东阳月考）如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地面竖直高度为米，建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口0.4米，灌溉车到绿化带的距离为米．
（1）求上边缘抛物线的函数解析式：
（2）求下边缘抛物线与x轴交点B的坐标；
（3）若米，则灌溉车行驶时喷出的水　 　（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．
23．（2024九上·东阳月考）在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数，
（1）当，时，请求出该函数的完美点；
（2）已知二次函数的图像上有且只有一个完美点，请求出该函数；
（3）在（2）的条件下，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围．
24．（2024九上·东阳月考）综合与实践：
如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值；
（3）小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、，未知数的最高次数是1，不是二次函数，故A不符合题意；
B、，分母中含有字母，不是二次函数，故B不符合题意；
C、，是二次函数，故C符合题意；
D、，化简后未知数的最高次数是1，不是二次函数，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】二次函数的定义：一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数.根据二次函数的定义对各选项逐一进行判断．
2．【答案】C
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：“明天下雨的可能性为”这句话指的是明天有很大可能下雨，但也不一定下雨，与地区和下雨时间长短无关，故明天不一定下雨，
故答案为：C
【分析】利用随机事件的定义对“明天下雨的可能性为”进行判断即可得到结果.
3．【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解∶∵将抛物线向右平移1个单位长度，在向上平移2个单位长度
∴平移后所得的抛物线的解析式为．
故答案为：B
【分析】根据函数图象的平移规律“上＋下-，左+右－”即可写出平移后的解析式．
4．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：，
函数图象与轴的交点坐标为，，
函数图象的对称轴为直线，
故答案为：C.
【分析】此题给出的是抛物线的交点式，由此可得抛物线与x轴交点的坐标，进而根据抛物线的对称性可得其对称轴直线是两交点横坐标和的一半即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵ 小明通过多次实验发现，摸到红球的频率稳定在0.4左右，
∴从这15个球中摸出一个球，摸到红球的概率为0.4，
∴袋子中红球的个数可能是15×0.4=6，
故答案为：B【分析】根据大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，得到从这15个球中摸出一个球，摸到红球的概率为0.4，再用球的总数乘以摸到红球的概率即可求出红球的个数.
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵y＝x2+4x+4，
∴=b2-4ac=16-16=0，即=0，
∴抛物线与x轴只有一个交点.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线与x轴交点个数同根的判别式符合的关系，即=0时抛物线与x轴只有一个交点，即可求解.
7．【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由图象可知，二次函数与一次函数的交点横坐标为-1和6，当时，即s时，x的取值范围在两个交点之间，∴关于的不等式的解集是：．
故答案为：．
【分析】根据图象可知，关于x的不等式得解集就是一次函数的图象在二次函数的图象的上方对应自变量x的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：共4张牌，其中能与手中牌组成一对的有5，8，共2种情况，
∴；
故答案为C．
【分析】采用列举法，结合概率计算公式进行求解即可得到结果。
9．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当时，，当时，，
对称轴直线为，故C符合题意；
又时，，由表格可知：函数有最小值，开口向上，故A、D正确，不符合题意；
当时，随的增大而减小，故B不符合题意；
故答案为：C．
【分析】先根据与的对应值得出二次函数的对称轴直线，可判断C；再根据对称轴及y值变化规律可推出图象开口方向、最值、增减性，可对A、B、D进行判断.
10．【答案】B
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：将点A（m-1，y1）代入抛物线得，
将点B（m，y2）代入抛物线得，
∵，
∴
解得：，
故答案为：B.
【分析】分别将点， 代入代入抛物线，再根据列出关于m的不等式即可解得答案．
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴解析式为．
故答案为：．
【分析】根据二次函数的二次项系数为2，设抛物线解析式为，结合抛物线经过点，得到，选择，得到解析式为．
12．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算；有理数的概念
【解析】【解答】解：四个数中，属于有理数的为：共2个，
∴任取一个数是有理数的概率为：
故答案为：.
【分析】先根据有理数的概念得到上述书中的有理数个数，进而根据概率计算公式计算即可.
13．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵，两点都在抛物线上 ，
∴x1和x2是方程的两个根，即x1和x2是方程，
∴x1+x2=3.
故答案为：3.
【分析】首先得出x1和x2是方程的两个根，然后根据根与系数的关系，即可求得x1+x2=3.
14．【答案】不公平
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】解：∵当末位数字是2或4时，摆出的三位数是偶数，当末位数字为3时，摆出的三位数是奇数，
∴摆出的三位数是偶数的概率为，摆出的三位数不是偶数的概率为，
∵，
∴这个游戏不公平，
故答案为：不公平．
【分析】根据题意，采用列举法结合概率公式分别计算小红和小军的概率，进行判断即可得到结果.
15．【答案】45
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：根据二次函数解析式
可知，汽车的刹车时间为，S=45
故答案为：．
【分析】
将表达式配成顶点式，根据顶点坐标公式即可求解。
16．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：∵抛物线，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标分别为，
∵抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折
∴新函数表达式为（-1≤x≤3），
如图，当直线y=x+m经过（3，0）时，直线y=x+m与新函数图象有3个公共点，
把（3，0）代入直线y=x+m，解得：m=-3，
当直线y=x+m与抛物线（-1≤x≤3）有一个公共点上，直线y=x+m与新函数图象有3个公共点，
联立得：，整理得，∴==21+4m=0，解得：m=，综上所示，直线y=x+m与新函数图象有4个公共点时，m的取值范围是＜m＜-3，
故答案为：＜m＜-3.
【分析】先求出抛物线与x轴的两个交点坐标分别为，再求出翻转后的函数解析式为，然后求出当函数恰好经过点时，直线y=x+m与新函数图象有3个公共点，当函数与抛物线只有一个交点时，直线y=x+m与新函数图象有3个公共点，求解即可得出m的值，进而即可得到直线y=x+m与新函数图象有4个公共点时，m的取值范围．
17．【答案】解：（1）把A（0，1），B（2，-1）代入y=x2+px+q，
得，
解得：，
∴p，q的值分别为-3，1；
（2）把x=-1代入y=x2-3x+1，得y=5，
∴点P（-1，2）不在此函数的图象上．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把A、B两点坐标代入 ，即可求出p，q的值；
（2）利用p、q的值写出解析式，把x=-1代入解析式，算一下y的值是否为2，即可得出答案．
18．【答案】（1）数字中有和两个数为4的倍数，
从写有数字的9张卡片中任取一张，其上的数字是4的倍数的可能性为；

（2）铁块丢入水中后，浮在水面是不可能事件，故该事件的可能性为；
（3）投掷一枚硬币，落地后反面朝上的可能性为．
，
可能性从小到大排列为（2）（1）（3）．
【知识点】可能性的大小
【解析】【分析】（1）利用列举法可得到结果；
（2）利用随机事件的定义，结合生活常识进行判断；
（3）先得出落地后反面朝上的可能性，接着结合（1）（2）进行比较即可得到结果.
（1）解：数字中有和两个数为4的倍数，
从写有数字的9张卡片中任取一张，其上的数字是4的倍数的可能性为；
（2）解：铁块丢入水中后，浮在水面是不可能事件，故该事件的可能性为；
（3）解：投掷一枚硬币，落地后反面朝上的可能性为．
，
可能性从小到大排列为（2）（1）（3）．
19．【答案】（1）证明：令，即，
或，
∴，，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
该函数的图象与轴总有两个公共点；
（2）解：点，在函数图象上，
当时，，
当时，，
，
当或时，；
当时，；
当时，．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；因式分解的应用-比较大小
【解析】【分析】（1）令，则，可求出，，即得出方程有两个不相等的解，可证该函数的图象与轴总有两个公共点；
（2）将，代入，得：，，可求出，最后分类讨论解答即可．
（1）证明：令，即，
或，
∴，，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
该函数的图象与轴总有两个公共点；
（2）解：点，在函数图象上，
当时，，
当时，，
，
当或时，；
当时，；
当时，．
20．【答案】（1）随机
（2）这个游戏对双方不公平．理由如下：画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，
∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为，
又∵，
∴这个游戏对双方不公平．
【知识点】游戏公平性
【解析】【解答】解：（1）解：共有种等可能的结果数：、、、、、、、、，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为，
∵小明和小亮获胜是随机事件，
∴小明赢的事件是随机事件，
故答案为：随机；
【分析】（1）利用列举法，将总的事件进行列举，分别找出满足的事件，接着结合概率公式分别计算小明与小亮胜的概率，接着利用随机事件定义进行判断即可得到结果；
（2）利用树状图将所有事件进行列举，结合概率公式与随机事件定义进行比较判断即可得到结果.
（1）解：共有种等可能的结果数：、、、、、、、、，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，
∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为，
∵小明和小亮获胜是随机事件，
∴小明赢的事件是随机事件，
故答案为：随机；
（2）这个游戏对双方不公平．理由如下：
画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，
∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为，
又∵，
∴这个游戏对双方不公平．
21．【答案】（1）解：因为，
所以顶点坐标为：；
（2）解：因为，所以对称轴为直线，开口向上，
所以当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
又，
所以当时，，
当时，，
所以当时，函数的取值范围为．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）利用完全平方差公式转化为顶点式，根据顶点式写出顶点坐标；
（2）利用二次函数的性质求出的取值范围；
（1）解：，
则得顶点坐标为：；
（2）解：
∴对称轴为直线，开口向上，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，
又，
当时，，
当时，，
当时，函数的取值范围为．
22．【答案】（1）如图2，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又抛物线过点，
代入得，
，
上边缘抛物线的函数解析式为；
（2）上边缘抛物线的对称轴为直线，
点的对称点为，
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
当时，，
解得， （舍去），
点的坐标为，
点的坐标为，
（3）不能
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：（3）米，米，米，
点的坐标为，
当时，，
当时，随的增大而减小，
灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
故答案为：不能．
【分析】（1）利用待定系数法，根据顶点坐标先假设出方程：，接着代入点求出a的值即可得到结果；
（2）先利用关于对称轴得到对称点为得到点的平移关系，接着利用求出点的坐标为进而得到结果；
（3）利用表达式先求出的坐标为的坐标，接着利用函数的增减性进行判断即可得到结果.
（1）如图2，由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又抛物线过点，
代入得，
，
上边缘抛物线的函数解析式为；
（2）上边缘抛物线的对称轴为直线，
点的对称点为，
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
当时，，
解得， （舍去），
点的坐标为，
点的坐标为，
（3）米，米，米，
点的坐标为，
当时，，
当时，随的增大而减小，
灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
故答案为：不能．
23．【答案】解：（1）设该完美点的坐标为（m，m），∵a=1，c=2，
∴二次函数解析式为y=x2+4x+2，
∴m2+4m+2=m，
解得：m1=-1，m2=-2，
∴该函数的完美点为（-1，-1）和（-2，-2）．
（2）∵二次函数的图像上有且只有一个完美点，
∴方程ax2+4x+c=x即ax2+3x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=9-4ac=0，即4ac=9，
∵完美点坐标为，
∴方程ax2+3x+c=0的根为=，
解得：a=-1，
∴c=，
∴该函数解析式为y=-x2+4x．
（3）∵y=-x2+4x-=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，
∴对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，1），
∵-1＜0，
∴抛物线开口向下，
∴x＞2时，y随x的增大而减小，x＜2时，y随x的增大而增大，
当y=-3时，-x2+4x-3=-3，
解得：x1=0，x2=4，
∵当时，函数的最小值为，最大值为，
∴m的取值范围为：2≤m≤4．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）先假设完美点坐标（m，m）代入解析式中求出未知数，即可得到结果；
（2）根据题意，将问题转化成求方程ax2+4x+c=x即ax2+3x+c=0有两个相等的实数根，结合跟的判别式以及点的坐标求解饥渴得到结果；
（3）有解析式为y=-x2+4x-=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，结合函数的顶点以及增减性进行判断化简即可得到结果.
24．【答案】（1）∵抛物线与轴交于点和点，∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，
过点作轴交线段于点，垂足为点，∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
设直线的表达式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
设点，则点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积有最大值，面积的最大值为；
（3）如图2，当点在直线的上方的抛物线上时，∵，
∴，
∴点，的纵坐标相等，即点的纵坐标为，
当时，则，
解得，，，
∴，
如图3，当点在直线的下方的抛物线上时，
设交轴于点，
∵，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：， ，
∴，
综上所述，点D的坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法将和点代入解析式求解得到结果；
（2）根据题意，得到，进而求出直线的方程，接着假设点和点以及，结合三角形面积公式进行化简，结合二次函数最值进行计算即可得到结果；
（3）根据题意，分两种情况进行求解；当点在直线的上方的抛物线上时，利用代入方程求解；当点在直线的下方的抛物线上时，利用中，求出的成，接着求出直线的解析式，进而联立方程进而求出D的坐标.
（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图1，过点作轴交线段于点，垂足为点，
∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
设直线的表达式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
设点，则点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积有最大值，面积的最大值为；
（3）如图2，当点在直线的上方的抛物线上时，
∵，
∴，
∴点，的纵坐标相等，即点的纵坐标为，
当时，则，
解得，，，
∴，
如图3，当点在直线的下方的抛物线上时，
设交轴于点，
∵，
∴，
设，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：， ，
∴，
综上所述，点D的坐标为或．
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