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浙江省金华市义乌市七校联考2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2024八上·义乌月考）下列图案是轴对称图形的为(　　)
A． B． C． D．
2．（2024八上·义乌月考）如图，△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C等于（　　）
A．100° B．80° C．60° D．40°
3．（2024八上·义乌月考）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024八上·义乌月考）下列命题中，假命题是（　　）
A．等腰三角形是轴对称图形
B．对顶角相等
C．若，则
D．如果直线，，那么直线
5．（2024八上·义乌月考）下列图形中，线段是的高线的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024八上·义乌月考）如图，图中的两个三角形全等，则等于（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八上·义乌月考）如图，已知，下列判断中，错误的是（　　）
A．若添加条件，则
B．若添加条件，则
C．若添加条件，则
D．若添加条件，则
8．（2024八上·义乌月考）以下尺规作图中，一定能得到线段AD=BD的是(　　)
A． B．
C． D．
9．（2024八上·义乌月考）如图，在中，已知点D，E分别为边，上的中点，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八上·义乌月考）如图，D为两个内角平分线的交点，若，，，，则点D到边的距离为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．（2024八上·义乌月考）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A的度数为　 　．
12．（2024八上·义乌月考）如图，AB=AC，要使ABE≌ACD，应添加的条件是　 　（添加一个条件即可）．
13．（2024八上·义乌月考）如图，在中，，，是的中垂线，则的周长为　 　．
14．（2024八上·义乌月考）等腰三角形一边长等于，另一边长等于，它的第三边长是　 　．
15．（2024八上·义乌月考）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为6和9两部分，则它的底边长是　 　.
16．（2024八上·义乌月考）如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 　 　时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（2024八上·义乌月考）如图，已知点C、E、F、B在同一直线上，，，，则．完成下面的说理过程（填空）．
证明：∵（已知）
∴（____________）
∵（已知）
∴________________________，
即____________．
在和中，
∵
∴（____________）
∴（____________）
18．（2024八上·义乌月考）图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．三个顶点均在格点上的三角形称为格点三角形．在给定的网格中，按下列要求用无刻度的直尺画出相应的格点三角形．
（1）在图1中画出以为底的等腰三角形；
（2）在图2中画出所有与全等（不包含）的．
19．（2024八上·义乌月考）如图，，点在上．
（1）求证：平分；（2）求证：．
20．（2024八上·义乌月考）如图．点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，．．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．（2024八上·义乌月考）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
22．（2024八上·义乌月考）如图，在中，的垂直平分线m交于点D，P是直线m上的一动点．
（1）连结，，求证：；
（2）连结，若，，，求的周长的最小值．
23．（2024八上·义乌月考）若三角形的两个内角与满足，那么这样的三角形是“准互余三角形”．
（1）关于“准互余三角形”，下列说法中正确的是____________（填写所有正确说法的序号）；
①在中，若，，，则是“准余三角形”；
②若是“准互余三角形”，，，则；
③“准互余三角形”一定是钝角三角形．
（2）如图1，在中，，是的角平分线，求证：是“准互余三角形”；
（3）如图2，B，C为直线l上两点，点A在直线l外，且．若P是直线l上一点，且是“准互余三角形”，请直接写出的度数．
24．（2024八上·义乌月考）【模型建立】（1）如图1，在正方形中，E，F分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
小明的探究思路如下：延长到点G，使，连接，先证明，再证明．则，，之间的数量关系为____________．
【类比探究】（2）如图2，在四边形中，，与互补，E，F分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．
【模型应用】（3）如图3，在四边形中，，，E、F分别是边，延长线上的点，且，请探究线段，，具有怎样的数量关系，并证明．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A图形是轴对称图形，故A正确；B图形不是轴对称图形，故B错误；
C图形不是轴对称图形，故C错误；
D图形不是轴对称图形，故D错误；
故答案为：A．
【分析】直接根据轴对称图形的概念对各个选项进行判断即可．
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ △ABC中，∠A=60°，∠B=40°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=80°，
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理求解即可.
3．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形相关概念
【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，
∴不能构成三角形；
B、∵3+5=8，
∴不能构成三角形；
C、∵4+5＜10，
∴不能构成三角形；
D、∵4+5＞6，
∴能构成三角形；
故答案为：D.
【分析】利用三角形的三边关系对每个选项一一判断即可。
4．【答案】C
【知识点】平行公理及推论；轴对称图形；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角角平分线所在的直线，是真命题，故A不符合题意；
B．对顶角相等，是真命题，故B不符合题意；
C．若，则，即，是假命题，故C符合题意；
D．如果直线，，那么直线，是真命题，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】分别根据等腰三角形、对顶角的性质，乘方的意义，平行线的判定逐一进行判断即可.
5．【答案】A
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：根据三角形高的定义可以判断出，只有选项A中的线段是的高线，
故答案为：A．
【分析】根据三角形高的定义进行判断即可.从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：根据图中信息和全等三角形的判定可知，∠1=∠α，
∵∠1=180°-50°-71°=59°，
∴∠α=∠1=59°，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内角和定理求得∠1=59°，再结合图中信息和全等三角形的判定条件可得∠1=∠α，即可得出答案.
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据已知条件可知，， BC=CB，
所以，A、当添加AB=DC时，可根据“SAS”判断△ABC≌△DCB，故A不符合题意，
B、当添加AC=DB时，不能判断△ABC≌△DCB，故B符合题意，
C、当添加∠A=∠D时，可根据“AAS”判断△ABC≌△DCB，故C不符合题意，
D、当添加∠ACB=∠DBC时，可根据“ASA”判断△ABC≌△DCB，故D不符合题意，
故答案为：B.
【分析】直接根据全等三角形的判定定理对各个选项逐一进行判断即可.
8．【答案】D
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A、根据作图过程可知，AD⊥BC，所以AD是△ABC的边BC上的高，故A不符合题意，
B、根据作图过程可知，AD是△ABC的∠BAC的平分线，故B不符合题意，
C、根据作图过程可知，D是BC的中点，AD是BC边上的中线，故C不符合题意，
D、根据作图过程可知，点D为AB的垂直平分线与BC的交点，所以AD=BD，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据各个选项的作图过程逐一进行判断即可.
9．【答案】C
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，
∴，
同理可得：，
∴
故答案为：C．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得，，然后求出即可得出答案.
10．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：过点分别作于点G，于点E，于点F，连接，如图所示：
∵点D为∠ABC和∠ACB的角平分线，且，，，
∴DE=DF=DG，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴12×5=（13+5+12）DE，
∴DE=2cm，
∴点D到边的距离为，
故答案为：A．
【分析】过点分别作于点G，于点E，于点F，连接，根据角平分线的性质得到DE=DF=DG，再根据三角形面积公式计算即可.
11．【答案】60°
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠B，
∵∠ACD=110°，∠B=50°，
∴∠A=∠ACD-∠B==110°-50°=60°，
故答案是：60°.
【分析】直接利用三角形的外角定理进行计算即可得出答案．
12．【答案】AE=AD
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=∠A，
要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A，
则可以添加AE=AD，利用SAS来判定其全等；
或添加∠B=∠C，利用ASA来判定其全等；
或添加∠AEB=∠ADC，利用AAS来判定其全等．
故答案为：AE=AD（答案不唯一）．
【分析】利用三角形全等的断定定理判断即可.
13．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是的中垂线，
∴，
∴，∵AB=AC=10，BC=6，∴，
故答案为：．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，然后推出△BCD的周长=AC+BC，代入数据进行计算即可.
14．【答案】
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：∵ 等腰三角形一边长等于4，另一边长等于9，
∴①当4为等腰三角形的腰时，它的第三边的长为4，
∵4+4＜9，
∴此等腰三角形不存在；
②当9为等腰三角形的腰时，它的第三边的长为9，
∵9-4＜9，9+9＞4，
∴此等腰三角形存在；
故答案为：9．
【分析】根据等腰三角形腰的大小分两种情况进行讨论．确定腰的长度，再根据三角形三边关系验证是否能构成三角形，最后确定第三边的长即可．
15．【答案】7或3
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图，
设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y，
∵BD是腰上的中线，
∴AD=DC=x，
有两种情况：
①若AB+AD的长为6，则2x+x=6，
解得x=2，
则x+y=9，即2+y=9，
解得y=7；
②若AB+AD的长为9，则2x+x=9，
解得x=3，
则x+y=6，即3+y=6，
解得y=3；
所以等腰三角形的底边长是7或3.
故答案为：7或3
【分析】分类讨论根据等腰三角形两腰相等，则腰上的中线与腰的交点为腰的中点，求出腰长再求出底边长
16．【答案】或
【知识点】三角形全等及其性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：设运动的时间为，动点M的速度为，
由题意得，，
∴．
∵，
∴．
情况一：当时，
∴，
解得，
∴．
情况二：当时，
∴，
解得，
∴．
综上所述，动点M的速度为或，
故答案为：或．
【分析】设运动的时间为，动点M的速度为，则，进而得到，再分当时，当时，两种情况根据全等三角形对应边相等建立方程组求解即可．
17．【答案】证明：∵（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴，
即．
在和中，
∵，
∴（）
∴（全等三角形的对应边相等），
故答案为：两直线平行，内错角相等；EF；EF；CF；AAS；全等三角形的对应边相等.
【知识点】三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】由两直线平行的内错角相等，即，再得BE=CF，即通过“AAS”证明，即可得出结论．
18．【答案】（1）解：如图所示：取格点，连接，，
由图结合勾股定理可得，，，
∴，
∴即为所求的等腰三角形.
（2）解：如图所示：取格点、、，分别连接、，、，、，
由图结合勾股定理可得，，，
，，
∴，，
∵EF=FE，
∴，
同理可得：，，
则、、即为所求的三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）取格点，使AC=BC，连接，，即可得出等腰三角形；
（2）结合全等三角形的判定画图即可.
（1）解：取格点，连接，，如图：
由网格可知，，
，
∴，
∴为等腰三角形，
则即为所求的等腰三角形；
（2）解：取格点、、，分别连接、，、，、，如图：
由网格可知，，，
，，
∴，，
在和中，
，
∴，
同理可得：，，
则即为所求的三角形．
19．【答案】解：（1）在与中，
∴
∴
∴平分；
（2）由（1）
在与中，
∴
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据SSS证△ABC≌△ADC，可得，即可求证AC平分∠BAD；（2）利用（1）的结论，利用SAS可证△BAE≌△DAE，即可得出BE=DE．
20．【答案】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴．
21．【答案】（1）解：在△ABC中，∠B=51°，∠C=63°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-51°-63°=66°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE=∠BAC=×66°=33°.
（2）解：由（1）可知，∠BAE=33°，
∵在△ABC中，AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-51°-90°=39°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=39°-33°=6°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求得∠BAC=66°，然后根据角平分线的定义可进行求解；
（2）由（1）可知，∠BAE=33°，再根据三角形的内角和定理求得∠BAD=39°，即可得出答案.
（1）解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴；
（2）解：由（1）可知，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】（1）证明：∵m是的垂直平分线，
∴BD=CD，∠PDB=∠PDC=90°，
∵DP=DP，
∴△BDP≌△CDP（SAS）
∴BP=CP.
（2）解：∵m是的垂直平分线，
∴点B、C关于直线m对称，
如图所示：设直线m交于D，
∵，
∴AP+PC=AP+BP≥AB，
∴当点P和点D重合时，的值最小，最小值等于的长，
∴的最小值=．
答：周长的最小值是．
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的性质即可得出答案；
（2）由题意可知，点B、C关于直线m对称，可得BP=CP，所以当点P与点D重合时，AP+CP的值最小，此时△APC的周长取得最小值.
（1）证明：∵m是的垂直平分线，P是直线m上的一动点，
∴；
（2）解：∵直线m垂直平分，
∴B、C关于直线m对称，
设直线m交于D，如图：
∵，
∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，
周长的最小值是：
．
23．【答案】（1）①③
（2）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠ABD，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴2∠ABD+∠A=90°，
∴△ABD是“准互余三角形”.
（3）解：如图所示，按点P的位置分两种情况讨论：
①当点在点右侧时：当时，，
当时，，
∴
②当点在点左侧时：∵，
∴，
∴当时，；
当时，；
综上所述：，，，时，是“准互余三角形”．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：（1）①∵在△ABC中，，，
，
∴根据“准互余三角形”的定义可知，是“准互余三角形”．
故①正确；
②根据“准互余三角形”的定义可知，α+β＜90°，
∴三角形的第三个角大于90°，
由已知∠C＞90°得∠A+2∠B=90°，
∵∠A=60°，∠B=20°，
∴∠A+2∠B=100°≠90°，
故②错误；
③由②可知，“准互余三角形”中，α+β＜90°，
∴三角形的第三个角大于90°，
故③正确，
故答案为：①③．
【分析】（1）直接根据“准互余三角形”的定义进行判断即可；
（2）根据角平分线平分角得出∠ABC=2∠ABD，结合“准互余三角形”的定义推出，即可得出结论；
（3）直接根据“准互余三角形”的定义，按点P的位置分两种情况讨论即可解决问题．
（1）解：①，，
，
是“准互余三角形”．
故①正确．
②三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”，
，
三角形的第三个角大于，
由已知得
又，
故②错误，
③正确．②中已经证明．
故答案为①③．
（2）在中，，
，
是的角平分线，
，
，
是“准互余三角形”．
（3）当点在点左侧时：
∵，
∴，
∴当时，；
当时，；
当点在点右侧时：当时，，
当时，，
∴，
综上：，，，时，满足条件，是“准互余三角形”．
24．【答案】解：（1）EF=BE+DF；
（2），
理由：延长至点M，使得，连接，如图：
∵与互补，
∴，
∵，
∴；
在△ABM和△ADF中，
∴，
∴∠BAM=∠DAF，AM=AF，
，
，
，
∴∠EAM=∠EAF，
在△EAM和△EAF中，
，
∴△EAM≌△EAF（SAS），
∴EM=EF，
∴BE+BM=EF，
∴BE+DF=EF，即EF=BE+DF；
（3），
理由：在上截取BN，使BN=DF，连接AN，如图所示，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠DAF+∠DAE=∠BAD，
∴∠BAN+∠DAE=∠BAD，
∴∠EAN=∠BAD，
∴∠EAF=∠EAN，
在△EAF和△EAN中，
∴△EAF≌△EAN（SAS）
∴EF=EN
∴EF=BE-BN
∴EF=BE-DF.
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：（1），
理由：按着小明的思路证明，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=∠D=∠ABC=∠ABG=90°，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）
∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠ABE=90°-∠EAF=45°，
∴∠BAG+∠ABE=∠EAG=45°，
∴∠EAF=∠EAG，
在△AEG和△AEF中，
，
∴△AEG≌△AEF（SAS）
∴EG=EF，
∴BE+BG=EF，
∴EF=BE+DF，
故答案为：EF=BE+DF.
【分析】（1）按照小明的思路，先证△ABG≌△ADF（SAS），得出∠DAF=∠BAG，AF=AG，进而得出∠EAF=∠EAG，再证△AEG≌△AEF（SAS）即可得出结论；
（2）延长至点M，使得，连接，先证，得出∠BAM=∠DAF，AM=AF，进而得出∠EAM=∠EAF，再证，即可得出结论；
（3）在上截取BN，使BN=DF，连接AN，证明，得出，，进而得出∠EAF=∠EAN，再证明△EAF≌△EAN（SAS），即可得出结论．
1 / 1浙江省金华市义乌市七校联考2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2024八上·义乌月考）下列图案是轴对称图形的为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A图形是轴对称图形，故A正确；B图形不是轴对称图形，故B错误；
C图形不是轴对称图形，故C错误；
D图形不是轴对称图形，故D错误；
故答案为：A．
【分析】直接根据轴对称图形的概念对各个选项进行判断即可．
2．（2024八上·义乌月考）如图，△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C等于（　　）
A．100° B．80° C．60° D．40°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ △ABC中，∠A=60°，∠B=40°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=80°，
故答案为：B．
【分析】根据三角形内角和定理求解即可.
3．（2024八上·义乌月考）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形相关概念
【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，
∴不能构成三角形；
B、∵3+5=8，
∴不能构成三角形；
C、∵4+5＜10，
∴不能构成三角形；
D、∵4+5＞6，
∴能构成三角形；
故答案为：D.
【分析】利用三角形的三边关系对每个选项一一判断即可。
4．（2024八上·义乌月考）下列命题中，假命题是（　　）
A．等腰三角形是轴对称图形
B．对顶角相等
C．若，则
D．如果直线，，那么直线
【答案】C
【知识点】平行公理及推论；轴对称图形；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角角平分线所在的直线，是真命题，故A不符合题意；
B．对顶角相等，是真命题，故B不符合题意；
C．若，则，即，是假命题，故C符合题意；
D．如果直线，，那么直线，是真命题，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】分别根据等腰三角形、对顶角的性质，乘方的意义，平行线的判定逐一进行判断即可.
5．（2024八上·义乌月考）下列图形中，线段是的高线的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：根据三角形高的定义可以判断出，只有选项A中的线段是的高线，
故答案为：A．
【分析】根据三角形高的定义进行判断即可.从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.
6．（2024八上·义乌月考）如图，图中的两个三角形全等，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：根据图中信息和全等三角形的判定可知，∠1=∠α，
∵∠1=180°-50°-71°=59°，
∴∠α=∠1=59°，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的内角和定理求得∠1=59°，再结合图中信息和全等三角形的判定条件可得∠1=∠α，即可得出答案.
7．（2024八上·义乌月考）如图，已知，下列判断中，错误的是（　　）
A．若添加条件，则
B．若添加条件，则
C．若添加条件，则
D．若添加条件，则
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据已知条件可知，， BC=CB，
所以，A、当添加AB=DC时，可根据“SAS”判断△ABC≌△DCB，故A不符合题意，
B、当添加AC=DB时，不能判断△ABC≌△DCB，故B符合题意，
C、当添加∠A=∠D时，可根据“AAS”判断△ABC≌△DCB，故C不符合题意，
D、当添加∠ACB=∠DBC时，可根据“ASA”判断△ABC≌△DCB，故D不符合题意，
故答案为：B.
【分析】直接根据全等三角形的判定定理对各个选项逐一进行判断即可.
8．（2024八上·义乌月考）以下尺规作图中，一定能得到线段AD=BD的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：A、根据作图过程可知，AD⊥BC，所以AD是△ABC的边BC上的高，故A不符合题意，
B、根据作图过程可知，AD是△ABC的∠BAC的平分线，故B不符合题意，
C、根据作图过程可知，D是BC的中点，AD是BC边上的中线，故C不符合题意，
D、根据作图过程可知，点D为AB的垂直平分线与BC的交点，所以AD=BD，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据各个选项的作图过程逐一进行判断即可.
9．（2024八上·义乌月考）如图，在中，已知点D，E分别为边，上的中点，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：∵点D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，
∴，
同理可得：，
∴
故答案为：C．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得，，然后求出即可得出答案.
10．（2024八上·义乌月考）如图，D为两个内角平分线的交点，若，，，，则点D到边的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：过点分别作于点G，于点E，于点F，连接，如图所示：
∵点D为∠ABC和∠ACB的角平分线，且，，，
∴DE=DF=DG，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴12×5=（13+5+12）DE，
∴DE=2cm，
∴点D到边的距离为，
故答案为：A．
【分析】过点分别作于点G，于点E，于点F，连接，根据角平分线的性质得到DE=DF=DG，再根据三角形面积公式计算即可.
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．（2024八上·义乌月考）如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A的度数为　 　．
【答案】60°
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠B，
∵∠ACD=110°，∠B=50°，
∴∠A=∠ACD-∠B==110°-50°=60°，
故答案是：60°.
【分析】直接利用三角形的外角定理进行计算即可得出答案．
12．（2024八上·义乌月考）如图，AB=AC，要使ABE≌ACD，应添加的条件是　 　（添加一个条件即可）．
【答案】AE=AD
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=∠A，
要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A，
则可以添加AE=AD，利用SAS来判定其全等；
或添加∠B=∠C，利用ASA来判定其全等；
或添加∠AEB=∠ADC，利用AAS来判定其全等．
故答案为：AE=AD（答案不唯一）．
【分析】利用三角形全等的断定定理判断即可.
13．（2024八上·义乌月考）如图，在中，，，是的中垂线，则的周长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是的中垂线，
∴，
∴，∵AB=AC=10，BC=6，∴，
故答案为：．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD=BD，然后推出△BCD的周长=AC+BC，代入数据进行计算即可.
14．（2024八上·义乌月考）等腰三角形一边长等于，另一边长等于，它的第三边长是　 　．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：∵ 等腰三角形一边长等于4，另一边长等于9，
∴①当4为等腰三角形的腰时，它的第三边的长为4，
∵4+4＜9，
∴此等腰三角形不存在；
②当9为等腰三角形的腰时，它的第三边的长为9，
∵9-4＜9，9+9＞4，
∴此等腰三角形存在；
故答案为：9．
【分析】根据等腰三角形腰的大小分两种情况进行讨论．确定腰的长度，再根据三角形三边关系验证是否能构成三角形，最后确定第三边的长即可．
15．（2024八上·义乌月考）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为6和9两部分，则它的底边长是　 　.
【答案】7或3
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图，
设等腰三角形的腰长AB=AC=2x，BC=y，
∵BD是腰上的中线，
∴AD=DC=x，
有两种情况：
①若AB+AD的长为6，则2x+x=6，
解得x=2，
则x+y=9，即2+y=9，
解得y=7；
②若AB+AD的长为9，则2x+x=9，
解得x=3，
则x+y=6，即3+y=6，
解得y=3；
所以等腰三角形的底边长是7或3.
故答案为：7或3
【分析】分类讨论根据等腰三角形两腰相等，则腰上的中线与腰的交点为腰的中点，求出腰长再求出底边长
16．（2024八上·义乌月考）如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 　 　时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等．
【答案】或
【知识点】三角形全等及其性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：设运动的时间为，动点M的速度为，
由题意得，，
∴．
∵，
∴．
情况一：当时，
∴，
解得，
∴．
情况二：当时，
∴，
解得，
∴．
综上所述，动点M的速度为或，
故答案为：或．
【分析】设运动的时间为，动点M的速度为，则，进而得到，再分当时，当时，两种情况根据全等三角形对应边相等建立方程组求解即可．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（2024八上·义乌月考）如图，已知点C、E、F、B在同一直线上，，，，则．完成下面的说理过程（填空）．
证明：∵（已知）
∴（____________）
∵（已知）
∴________________________，
即____________．
在和中，
∵
∴（____________）
∴（____________）
【答案】证明：∵（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴，
即．
在和中，
∵，
∴（）
∴（全等三角形的对应边相等），
故答案为：两直线平行，内错角相等；EF；EF；CF；AAS；全等三角形的对应边相等.
【知识点】三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】由两直线平行的内错角相等，即，再得BE=CF，即通过“AAS”证明，即可得出结论．
18．（2024八上·义乌月考）图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．三个顶点均在格点上的三角形称为格点三角形．在给定的网格中，按下列要求用无刻度的直尺画出相应的格点三角形．
（1）在图1中画出以为底的等腰三角形；
（2）在图2中画出所有与全等（不包含）的．
【答案】（1）解：如图所示：取格点，连接，，
由图结合勾股定理可得，，，
∴，
∴即为所求的等腰三角形.
（2）解：如图所示：取格点、、，分别连接、，、，、，
由图结合勾股定理可得，，，
，，
∴，，
∵EF=FE，
∴，
同理可得：，，
则、、即为所求的三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）取格点，使AC=BC，连接，，即可得出等腰三角形；
（2）结合全等三角形的判定画图即可.
（1）解：取格点，连接，，如图：
由网格可知，，
，
∴，
∴为等腰三角形，
则即为所求的等腰三角形；
（2）解：取格点、、，分别连接、，、，、，如图：
由网格可知，，，
，，
∴，，
在和中，
，
∴，
同理可得：，，
则即为所求的三角形．
19．（2024八上·义乌月考）如图，，点在上．
（1）求证：平分；（2）求证：．
【答案】解：（1）在与中，
∴
∴
∴平分；
（2）由（1）
在与中，
∴
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据SSS证△ABC≌△ADC，可得，即可求证AC平分∠BAD；（2）利用（1）的结论，利用SAS可证△BAE≌△DAE，即可得出BE=DE．
20．（2024八上·义乌月考）如图．点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，．．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴．
21．（2024八上·义乌月考）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，．
（1）求的度数；
（2）求的度数．
【答案】（1）解：在△ABC中，∠B=51°，∠C=63°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-51°-63°=66°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE=∠BAC=×66°=33°.
（2）解：由（1）可知，∠BAE=33°，
∵在△ABC中，AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-51°-90°=39°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=39°-33°=6°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求得∠BAC=66°，然后根据角平分线的定义可进行求解；
（2）由（1）可知，∠BAE=33°，再根据三角形的内角和定理求得∠BAD=39°，即可得出答案.
（1）解：∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴；
（2）解：由（1）可知，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴．
22．（2024八上·义乌月考）如图，在中，的垂直平分线m交于点D，P是直线m上的一动点．
（1）连结，，求证：；
（2）连结，若，，，求的周长的最小值．
【答案】（1）证明：∵m是的垂直平分线，
∴BD=CD，∠PDB=∠PDC=90°，
∵DP=DP，
∴△BDP≌△CDP（SAS）
∴BP=CP.
（2）解：∵m是的垂直平分线，
∴点B、C关于直线m对称，
如图所示：设直线m交于D，
∵，
∴AP+PC=AP+BP≥AB，
∴当点P和点D重合时，的值最小，最小值等于的长，
∴的最小值=．
答：周长的最小值是．
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的性质即可得出答案；
（2）由题意可知，点B、C关于直线m对称，可得BP=CP，所以当点P与点D重合时，AP+CP的值最小，此时△APC的周长取得最小值.
（1）证明：∵m是的垂直平分线，P是直线m上的一动点，
∴；
（2）解：∵直线m垂直平分，
∴B、C关于直线m对称，
设直线m交于D，如图：
∵，
∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，
周长的最小值是：
．
23．（2024八上·义乌月考）若三角形的两个内角与满足，那么这样的三角形是“准互余三角形”．
（1）关于“准互余三角形”，下列说法中正确的是____________（填写所有正确说法的序号）；
①在中，若，，，则是“准余三角形”；
②若是“准互余三角形”，，，则；
③“准互余三角形”一定是钝角三角形．
（2）如图1，在中，，是的角平分线，求证：是“准互余三角形”；
（3）如图2，B，C为直线l上两点，点A在直线l外，且．若P是直线l上一点，且是“准互余三角形”，请直接写出的度数．
【答案】（1）①③
（2）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠ABD，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴2∠ABD+∠A=90°，
∴△ABD是“准互余三角形”.
（3）解：如图所示，按点P的位置分两种情况讨论：
①当点在点右侧时：当时，，
当时，，
∴
②当点在点左侧时：∵，
∴，
∴当时，；
当时，；
综上所述：，，，时，是“准互余三角形”．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；余角
【解析】【解答】解：（1）①∵在△ABC中，，，
，
∴根据“准互余三角形”的定义可知，是“准互余三角形”．
故①正确；
②根据“准互余三角形”的定义可知，α+β＜90°，
∴三角形的第三个角大于90°，
由已知∠C＞90°得∠A+2∠B=90°，
∵∠A=60°，∠B=20°，
∴∠A+2∠B=100°≠90°，
故②错误；
③由②可知，“准互余三角形”中，α+β＜90°，
∴三角形的第三个角大于90°，
故③正确，
故答案为：①③．
【分析】（1）直接根据“准互余三角形”的定义进行判断即可；
（2）根据角平分线平分角得出∠ABC=2∠ABD，结合“准互余三角形”的定义推出，即可得出结论；
（3）直接根据“准互余三角形”的定义，按点P的位置分两种情况讨论即可解决问题．
（1）解：①，，
，
是“准互余三角形”．
故①正确．
②三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”，
，
三角形的第三个角大于，
由已知得
又，
故②错误，
③正确．②中已经证明．
故答案为①③．
（2）在中，，
，
是的角平分线，
，
，
是“准互余三角形”．
（3）当点在点左侧时：
∵，
∴，
∴当时，；
当时，；
当点在点右侧时：当时，，
当时，，
∴，
综上：，，，时，满足条件，是“准互余三角形”．
24．（2024八上·义乌月考）【模型建立】（1）如图1，在正方形中，E，F分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
小明的探究思路如下：延长到点G，使，连接，先证明，再证明．则，，之间的数量关系为____________．
【类比探究】（2）如图2，在四边形中，，与互补，E，F分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．
【模型应用】（3）如图3，在四边形中，，，E、F分别是边，延长线上的点，且，请探究线段，，具有怎样的数量关系，并证明．
【答案】解：（1）EF=BE+DF；
（2），
理由：延长至点M，使得，连接，如图：
∵与互补，
∴，
∵，
∴；
在△ABM和△ADF中，
∴，
∴∠BAM=∠DAF，AM=AF，
，
，
，
∴∠EAM=∠EAF，
在△EAM和△EAF中，
，
∴△EAM≌△EAF（SAS），
∴EM=EF，
∴BE+BM=EF，
∴BE+DF=EF，即EF=BE+DF；
（3），
理由：在上截取BN，使BN=DF，连接AN，如图所示，
∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠DAF+∠DAE=∠BAD，
∴∠BAN+∠DAE=∠BAD，
∴∠EAN=∠BAD，
∴∠EAF=∠EAN，
在△EAF和△EAN中，
∴△EAF≌△EAN（SAS）
∴EF=EN
∴EF=BE-BN
∴EF=BE-DF.
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：（1），
理由：按着小明的思路证明，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=∠D=∠ABC=∠ABG=90°，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS）
∴∠DAF=∠BAG，AF=AG，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠ABE=90°-∠EAF=45°，
∴∠BAG+∠ABE=∠EAG=45°，
∴∠EAF=∠EAG，
在△AEG和△AEF中，
，
∴△AEG≌△AEF（SAS）
∴EG=EF，
∴BE+BG=EF，
∴EF=BE+DF，
故答案为：EF=BE+DF.
【分析】（1）按照小明的思路，先证△ABG≌△ADF（SAS），得出∠DAF=∠BAG，AF=AG，进而得出∠EAF=∠EAG，再证△AEG≌△AEF（SAS）即可得出结论；
（2）延长至点M，使得，连接，先证，得出∠BAM=∠DAF，AM=AF，进而得出∠EAM=∠EAF，再证，即可得出结论；
（3）在上截取BN，使BN=DF，连接AN，证明，得出，，进而得出∠EAF=∠EAN，再证明△EAF≌△EAN（SAS），即可得出结论．
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