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浙江省温州市乐清市荆山公学2024-2025学年八年级上学期数学第一次月考试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的）
1．（2024八上·乐清月考）下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八上·乐清月考）如图是常见的化学仪器，其中主视图与左视图不相同的是（　　）
A．漏斗 B．烧瓶
C．试管 D．锥形瓶
3．（2024八上·乐清月考）下列消防标志符号，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八上·乐清月考）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024八上·乐清月考）如图，一根3m长的木头斜靠在垂直于地面的墙上，当端点A离地面的高度为1m时，木头的倾斜角的余弦的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八上·乐清月考）某中学个班参加春季植树活动，具体植树情况统计如下表
植树数目
班级数目 1 4 2 5 7 1
则该校班级种植树木的中位数和众数分别为（　　）
A．，7 B．，7 C．， D．，
7．（2024八上·乐清月考）不等式组的整数解的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．（2024八上·乐清月考）四边形具有不稳定性，教材是在平行四边形概念的基础上学习矩形定义的，教材提出的情景问题是：“在这些平行四边形中，有没有一个面积最大的平行四边形”，因此通过平行四边形变形可以得到矩形．某同学将平行四边形的边与边分别绕点A、点逆时针旋转，得到矩形，若此时、、恰好共线，cm，cm，那么边扫过的面积为（　　）
A． B． C． D．8
9．（2024八上·乐清月考）如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．（2024八上·乐清月考）如图，正方形和正方形的点在同一条直线上，点为的中点，连接，则已知下列哪条线段的长度，一定能求出线段的长（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．（2024八上·乐清月考）因式分解：　 　．
12．（2024八上·乐清月考）已知扇形的弧长为2πcm，半径为3cm，则该扇形的面积为　 　cm2．
13．（2024八上·乐清月考）一个游戏转盘如图所示，红色扇形的圆心角为，让转盘自由转动，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率是　 　．
14．（2024八上·乐清月考）若正比例函数的图象与反比例函数 的图象交于点，则的值为　 　．
15．（2024八上·乐清月考）如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛高为6cm，则像的长　 　cm．
\
16．（2024八上·乐清月考）如图，是的直径，切于点，的平分线交于点，若，，则的长为　 　．
17．（2024八上·乐清月考）在《九章算术》中描述了这样一个问题：今有客马，日行三百里．客去忘持衣，日已三分之一，主人乃觉．持衣追及，与之而还．至家视日四分之三．问：主人马不休，日行几何？翻译成现代语言是：客人的马一天能行三百里．客人早晨离去时，忘记带走自己的衣物．他走了三分之一日，主人才发觉．于是，主人拿着他的衣服骑上马去追．追上交还衣服后又立即返家，此时这一天已过去了四分之三．问：主人的马一天能跑多少里？假如主人骑马的速度不变，则主人骑马的速度为　 　里/日．
18．（2024八上·乐清月考）如图，在等腰中，，，点在边上运动，连接，将绕点顺时针旋转，交斜边于点．则点从点运动到点的过程中，点运动的路径长为　 　．
三、解答题（本题有5小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（2024八上·乐清月考）计算：
20．（2024八上·乐清月考）如图是的网格，网格边长为1，的顶点在格点上．已知的外接圆，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图（两题都要保留作图痕迹）．
（1）找出的外接圆的圆心，并求的长．
（2）在圆上找点，使得．
21．（2024八上·乐清月考）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和对称轴．
（2）P为y轴上的一点．若点P向左平移n个单位，将与抛物线上的点P1重合；若点P向右平移2n个单位，将与抛物线上的点P2重合．已知n＞0．
①求n的值．
②若点C在抛物线上，且在直线P1P2的上方（不与点P1，P2重合），求点C纵坐标的取值范围．
22．（2024八上·乐清月考）【作品设计】
如图1，是小明为趣味数学课设计的一个．其设计的意思是：三角形具有稳定性，表示大家学习数学的坚定信心，两个有公共顶点的三角形表示积极向上的态度；三个三角形合在一起表示合作学习的重要性．
【数学原理】
如图2，是小明设计时的数学原理图．即将两块形状相同，大小不相同的直角三角形纸片放入中，其中，圆心在直角边上．连接并延长，交于点．
【设计制作】
为参加评比，需要把作品制作出来．如果要求作品的，，那么小明觉得需要解决以下问题：
问题1：需要找多大的圆形材料．
问题2：需要知道点离开点的距离和点离开点的距离．
【问题解决】
（1）求：的半径．
（2）求证：．
（3）求的长．
23．（2024八上·乐清月考）定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”．
例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”．
利用上述知识解答下列问题．
（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________．
（2）在四边形中，对角线平分．
①如图1，若，，求的最小值．
②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数．
③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵，
，
∴的位置距离原点最近，
故答案为：C．
【分析】比较绝对值的大小即可解题．
2．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：A、漏斗的左视图上部分是一个三角形，下部分是一个长方形且靠近下面有一条虚线，主视图上部分是一个长方形，下部分是一个梯形，故A符合题意；
B、烧瓶的主视图与主视图都是，故B不符合题意；
C、试管的主视图与主视图都是，故C不符合题意；
D、锥形瓶的主视图与主视图都是，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据三视图的概念逐一判断即可.
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，找不到一条对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称的定义“一个图形沿着一条直线折叠，两边能够互相重合的图形是轴对称图形；一个图形绕某一点旋转180度和他自身重合的图形是中心对称图形”逐项判断即可．
4．【答案】B
【知识点】分式的加减法；约分
【解析】【解答】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项正确，符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用分式的性质和分式加减运算法则判断即可．
5．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，在中，，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理得到的长，然后利用余弦的定义解题即可．
6．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由题意知，中位数为第位数的平均数即，
众数为，
故答案为：D．
【分析】利用中位数和众数的定义解答即可．
7．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
故不等式组的解集是，
其整数解有1，2，3，4共4个，
故答案为：B．
【分析】先求出每个不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”得到公共部分即可．
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，，以A为圆心，的长为半径，作，以B为圆心，的长为半径，作，
扫过的面积为，及，围成的面积，
即平行四边形的面积就是扫过的面积.
由旋转可知，， ，
是平行四边形，
中，，
，
，
故答案为：A．
【分析】连接，，先根据勾股定理求出BD长，然后根据平行四边形的面积就是扫过的面积解题即可.
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴交于点A、B，
∴抛物线对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，
即，故①正确；
对称轴为=2，
整理得4a＋b＝0，故②正确；
由图像可知，当y＞0时，即图像在x轴上方时，
x＜－2或x＞6，故③错误，
由图像可知，当x＝1时，，故④正确．
∴正确的有①②④，
故答案为：B．
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可判断 ① ；根据二次函数图象的对称性可确定对称轴，利用解析式可用a、b表示出对称轴，即可判断 ② ；观察图象可判断 ③ ；观察图象，当横坐标为1时点的位置即可判断 ④ .
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接并延长交于，如下图，
∵四边形和四边形是正方形，三点在同一直线上，
∴，，，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴是的中点，
∴在中，可有，
∵，，
∴，即，
即为等腰直角三角形，
所以知道的长度，可求出，一定能求出线段的长．
故答案为：C．
【分析】连接并延长交于，利用平行线的性质得到，再根据ASA得到，即可得到，，然后得到，解答即可．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】运用提取公因式法分解因式即可．
12．【答案】3π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的弧长为2πcm，半径为3cm，
∴扇形的面积是（cm2）.
故答案为：3π．
【分析】直接根据扇形的面积公式S=rl进行计算.
13．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由图可得：红色区域所对的圆心角为，
∴；
故答案为：．
【分析】先得到红色区域所对的圆心角为，再利用概率公式解题即可．
14．【答案】10
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：联立，
∴，
∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，
∴是方程的两个解，
∴，
∴，
∴，代入，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
∴，
故答案为：10．
【分析】先联立方程组，整理得，根据正比例函数与反比例函数的交点问题可知是方程的两个解，利用一元二次方程根与系数的关系求出，从而得，将点的坐标分别代入两个函数的解析式中，即可求出，，最后求和即可.
15．【答案】3
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：3．
【分析】先得到，然后根据对应边成比例解题即可．
16．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：过点P作于点D，如图所示：
∵是的直径，切于点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵的平分线交于点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【分析】过点P作于点D，利用勾股定理得到AB长，再利用角平分线的性质可得，即可得到，得出，设，然后根据勾股定理可得，解出x值即可．
17．【答案】780
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设主人的马的速度为x里/日，
根据题意，得，
解得，
即主人骑马的速度为780里/日．
故答案为：780．
【分析】设主人的马的速度为x里/日，利用两人行驶路程相等列方程解题即可．
18．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】过点E作，
等腰中，，
是等腰直角三角形，
且，
，
，
，
设，，则，
，
，
整理得∶（关于x的方程有解）
，
，且，
令得，
， ，(舍去)
，
即y最小值为0，y最大值为，
，
最大值为
E点从B点出发运动至处，再
返回B点，
E点运动路径为．
故答案为：．
【分析】过点E作，即可得到，即可证明，设，，可得，根据方程有解即可得到，求出y的最大值和最小值，即可得到，根据往返求出路程即可.
19．【答案】解：原式
【知识点】求有理数的绝对值的方法；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先利用零指数次幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，绝对值计算，然后合并解题即可．
20．【答案】（1）解：如图点就是所求作的圆心，
∵半径，，
∴，
∴，
∴
（2）解：如图，作直线平行，交圆于点D和E，
得到等腰梯形
可得，
从而．
【知识点】勾股定理的逆定理；确定圆的条件；弧长的计算
【解析】【分析】（1）作AB、BC边的垂直平分线交于点O，然后求出圆心角和半径，利用弧长公式解题即可；
（2）作直线平行，交圆于点D、点E，得到等腰梯形，即可得到，然后利用，得到点D即所求点．
21．【答案】（1）把点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
又∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1；
（2）①∵点P向左平移n个单位，将与抛物线上的点P1重合；若点P向右平移2n个单位，将与抛物线上的点P2重合．
∴设点P（0，p），则P1（-n，p），P2（2n，p），
∴，
解得：n1=0，n2=2，
∵n＞0．
∴n=2；
②∵n=2，点P1（-n，p）在抛物线上，
∴，
∴，
∴直线P1P2为y=-5，
∵，
∴当x=1时，y有最大值4，
∴点C在抛物线上，且在直线P1P2的上方（不与点P1，P2重合），点C纵坐标的取值范围为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【分析】（1）把点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，可得到抛物线解析式，再化为顶点式，即可求解；
（2）①设点P（0，p），可用p、n表示出P1、P2两点坐标，将P1、P2坐标带入抛物线解析式可得关于n的方程，求解即可；
②由①可得P1、P2两点坐标，从而得到直线P1P2的解析式，再利用抛物线的解析式求出 y的最大值 ，即可分析求点C纵坐标的取值范围 ．
（1）解：把点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1；
（2）解：①∵点P向左平移n个单位，将与抛物线上的点P1重合；若点P向右平移2n个单位，将与抛物线上的点P2重合．
∴设点P（0，p），则P1（-n，p），P2（2n，p），
∴，
解得：n1=0，n2=2，
∵n＞0．
∴n=2；
②∵n=2，
∴，
∴，
∴直线P1P2为y=-5，
∵，
∴当x=1时，y有最大值4，
∴点C在抛物线上，且在直线P1P2的上方（不与点P1，P2重合），点C纵坐标的取值范围为．
22．【答案】（1）解：，圆心在边上，
．
在中，
．
在中，
，
，解得．
的半径为
（2）解：，，
．
，
，
．
，
（3）解：，，
，解得．
在中，．
，
∴，
，即，
【知识点】垂径定理；求正弦值；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得，然后再在中，根据勾股定理得到AB长．在中，利用勾股定理得到解题即可．
（2）先得到，再根据等边对等角得到，再根据，即可得到结论；
（3）利用，，可以得到，求出．在中，利用勾股定理得到DE长．再根据，得到解题．
23．【答案】（1）菱形、正方形
（2）解：①当，时，与最小，∴此时最小；
∵，对角线平分．
∴
∴，
∴
答：的最小值为4；
②如图1，过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G，
①
又平分，平分
，
②
①×2－②得
∵，，，
又平分，平分
∴，
平分
∴
③如图2
过作，，
又∵平分
∴
∵
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴
则，，，四点共圆
∴，
当时，如图3
∴
∴
∴
∴
∴，
∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
．
当时，如图4
∵，
∴
∴
∵
∴同理可求得，，，
．
综上，四边形的面积为或
【知识点】角平分线的性质；正方形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】（1）解：∵平行四边形、矩形的对角线不一定平分平行四边形、矩形的角，
∴平行四边形、矩形不一定是“可折四边形”；
∵菱形、正方形的对角线平分一组对角，
∴菱形、正方形一定是“可折四边形”；
故答案为：菱形、正方形．
【分析】（1）根据 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，利用“ 可折四边形 ”的定义解题；
（2）①当，时，与最小，此时最小；根据30°的直角三角形的性质解题即可；
②过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G，即可得到，，进而求得，根据角平分线的判定解题即可；
③先得到，，，四点共圆，然后分为两种情况：当和时，利用勾股定理解题即可．
1 / 1浙江省温州市乐清市荆山公学2024-2025学年八年级上学期数学第一次月考试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的）
1．（2024八上·乐清月考）下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：∵，
，
∴的位置距离原点最近，
故答案为：C．
【分析】比较绝对值的大小即可解题．
2．（2024八上·乐清月考）如图是常见的化学仪器，其中主视图与左视图不相同的是（　　）
A．漏斗 B．烧瓶
C．试管 D．锥形瓶
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：A、漏斗的左视图上部分是一个三角形，下部分是一个长方形且靠近下面有一条虚线，主视图上部分是一个长方形，下部分是一个梯形，故A符合题意；
B、烧瓶的主视图与主视图都是，故B不符合题意；
C、试管的主视图与主视图都是，故C不符合题意；
D、锥形瓶的主视图与主视图都是，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据三视图的概念逐一判断即可.
3．（2024八上·乐清月考）下列消防标志符号，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B．找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，找不到一条对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意；
C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，找不到一点旋转后与原图重合，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，也可以到一点旋转后与原图重合，是中心对称图形，故选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称的定义“一个图形沿着一条直线折叠，两边能够互相重合的图形是轴对称图形；一个图形绕某一点旋转180度和他自身重合的图形是中心对称图形”逐项判断即可．
4．（2024八上·乐清月考）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式的加减法；约分
【解析】【解答】解：A．，故选项错误，不符合题意；
B．，故选项正确，符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用分式的性质和分式加减运算法则判断即可．
5．（2024八上·乐清月考）如图，一根3m长的木头斜靠在垂直于地面的墙上，当端点A离地面的高度为1m时，木头的倾斜角的余弦的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，在中，，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理得到的长，然后利用余弦的定义解题即可．
6．（2024八上·乐清月考）某中学个班参加春季植树活动，具体植树情况统计如下表
植树数目
班级数目 1 4 2 5 7 1
则该校班级种植树木的中位数和众数分别为（　　）
A．，7 B．，7 C．， D．，
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由题意知，中位数为第位数的平均数即，
众数为，
故答案为：D．
【分析】利用中位数和众数的定义解答即可．
7．（2024八上·乐清月考）不等式组的整数解的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
故不等式组的解集是，
其整数解有1，2，3，4共4个，
故答案为：B．
【分析】先求出每个不等式的解集，然后根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”得到公共部分即可．
8．（2024八上·乐清月考）四边形具有不稳定性，教材是在平行四边形概念的基础上学习矩形定义的，教材提出的情景问题是：“在这些平行四边形中，有没有一个面积最大的平行四边形”，因此通过平行四边形变形可以得到矩形．某同学将平行四边形的边与边分别绕点A、点逆时针旋转，得到矩形，若此时、、恰好共线，cm，cm，那么边扫过的面积为（　　）
A． B． C． D．8
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接，，以A为圆心，的长为半径，作，以B为圆心，的长为半径，作，
扫过的面积为，及，围成的面积，
即平行四边形的面积就是扫过的面积.
由旋转可知，， ，
是平行四边形，
中，，
，
，
故答案为：A．
【分析】连接，，先根据勾股定理求出BD长，然后根据平行四边形的面积就是扫过的面积解题即可.
9．（2024八上·乐清月考）如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴交于点A、B，
∴抛物线对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，
即，故①正确；
对称轴为=2，
整理得4a＋b＝0，故②正确；
由图像可知，当y＞0时，即图像在x轴上方时，
x＜－2或x＞6，故③错误，
由图像可知，当x＝1时，，故④正确．
∴正确的有①②④，
故答案为：B．
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可判断 ① ；根据二次函数图象的对称性可确定对称轴，利用解析式可用a、b表示出对称轴，即可判断 ② ；观察图象可判断 ③ ；观察图象，当横坐标为1时点的位置即可判断 ④ .
10．（2024八上·乐清月考）如图，正方形和正方形的点在同一条直线上，点为的中点，连接，则已知下列哪条线段的长度，一定能求出线段的长（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接并延长交于，如下图，
∵四边形和四边形是正方形，三点在同一直线上，
∴，，，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴是的中点，
∴在中，可有，
∵，，
∴，即，
即为等腰直角三角形，
所以知道的长度，可求出，一定能求出线段的长．
故答案为：C．
【分析】连接并延长交于，利用平行线的性质得到，再根据ASA得到，即可得到，，然后得到，解答即可．
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11．（2024八上·乐清月考）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】运用提取公因式法分解因式即可．
12．（2024八上·乐清月考）已知扇形的弧长为2πcm，半径为3cm，则该扇形的面积为　 　cm2．
【答案】3π
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的弧长为2πcm，半径为3cm，
∴扇形的面积是（cm2）.
故答案为：3π．
【分析】直接根据扇形的面积公式S=rl进行计算.
13．（2024八上·乐清月考）一个游戏转盘如图所示，红色扇形的圆心角为，让转盘自由转动，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率是　 　．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由图可得：红色区域所对的圆心角为，
∴；
故答案为：．
【分析】先得到红色区域所对的圆心角为，再利用概率公式解题即可．
14．（2024八上·乐清月考）若正比例函数的图象与反比例函数 的图象交于点，则的值为　 　．
【答案】10
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：联立，
∴，
∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，
∴是方程的两个解，
∴，
∴，
∴，代入，得，
解得：，
把代入，得，
解得：，
∴，
故答案为：10．
【分析】先联立方程组，整理得，根据正比例函数与反比例函数的交点问题可知是方程的两个解，利用一元二次方程根与系数的关系求出，从而得，将点的坐标分别代入两个函数的解析式中，即可求出，，最后求和即可.
15．（2024八上·乐清月考）如图，是凸透镜的主光轴，点是光心，点是焦点．若蜡烛的像为，测量得到，蜡烛高为6cm，则像的长　 　cm．
\
【答案】3
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：3．
【分析】先得到，然后根据对应边成比例解题即可．
16．（2024八上·乐清月考）如图，是的直径，切于点，的平分线交于点，若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：过点P作于点D，如图所示：
∵是的直径，切于点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵的平分线交于点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【分析】过点P作于点D，利用勾股定理得到AB长，再利用角平分线的性质可得，即可得到，得出，设，然后根据勾股定理可得，解出x值即可．
17．（2024八上·乐清月考）在《九章算术》中描述了这样一个问题：今有客马，日行三百里．客去忘持衣，日已三分之一，主人乃觉．持衣追及，与之而还．至家视日四分之三．问：主人马不休，日行几何？翻译成现代语言是：客人的马一天能行三百里．客人早晨离去时，忘记带走自己的衣物．他走了三分之一日，主人才发觉．于是，主人拿着他的衣服骑上马去追．追上交还衣服后又立即返家，此时这一天已过去了四分之三．问：主人的马一天能跑多少里？假如主人骑马的速度不变，则主人骑马的速度为　 　里/日．
【答案】780
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设主人的马的速度为x里/日，
根据题意，得，
解得，
即主人骑马的速度为780里/日．
故答案为：780．
【分析】设主人的马的速度为x里/日，利用两人行驶路程相等列方程解题即可．
18．（2024八上·乐清月考）如图，在等腰中，，，点在边上运动，连接，将绕点顺时针旋转，交斜边于点．则点从点运动到点的过程中，点运动的路径长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】过点E作，
等腰中，，
是等腰直角三角形，
且，
，
，
，
设，，则，
，
，
整理得∶（关于x的方程有解）
，
，且，
令得，
， ，(舍去)
，
即y最小值为0，y最大值为，
，
最大值为
E点从B点出发运动至处，再
返回B点，
E点运动路径为．
故答案为：．
【分析】过点E作，即可得到，即可证明，设，，可得，根据方程有解即可得到，求出y的最大值和最小值，即可得到，根据往返求出路程即可.
三、解答题（本题有5小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．（2024八上·乐清月考）计算：
【答案】解：原式
【知识点】求有理数的绝对值的方法；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先利用零指数次幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，绝对值计算，然后合并解题即可．
20．（2024八上·乐清月考）如图是的网格，网格边长为1，的顶点在格点上．已知的外接圆，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图（两题都要保留作图痕迹）．
（1）找出的外接圆的圆心，并求的长．
（2）在圆上找点，使得．
【答案】（1）解：如图点就是所求作的圆心，
∵半径，，
∴，
∴，
∴
（2）解：如图，作直线平行，交圆于点D和E，
得到等腰梯形
可得，
从而．
【知识点】勾股定理的逆定理；确定圆的条件；弧长的计算
【解析】【分析】（1）作AB、BC边的垂直平分线交于点O，然后求出圆心角和半径，利用弧长公式解题即可；
（2）作直线平行，交圆于点D、点E，得到等腰梯形，即可得到，然后利用，得到点D即所求点．
21．（2024八上·乐清月考）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和对称轴．
（2）P为y轴上的一点．若点P向左平移n个单位，将与抛物线上的点P1重合；若点P向右平移2n个单位，将与抛物线上的点P2重合．已知n＞0．
①求n的值．
②若点C在抛物线上，且在直线P1P2的上方（不与点P1，P2重合），求点C纵坐标的取值范围．
【答案】（1）把点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
又∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1；
（2）①∵点P向左平移n个单位，将与抛物线上的点P1重合；若点P向右平移2n个单位，将与抛物线上的点P2重合．
∴设点P（0，p），则P1（-n，p），P2（2n，p），
∴，
解得：n1=0，n2=2，
∵n＞0．
∴n=2；
②∵n=2，点P1（-n，p）在抛物线上，
∴，
∴，
∴直线P1P2为y=-5，
∵，
∴当x=1时，y有最大值4，
∴点C在抛物线上，且在直线P1P2的上方（不与点P1，P2重合），点C纵坐标的取值范围为．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【分析】（1）把点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，可得到抛物线解析式，再化为顶点式，即可求解；
（2）①设点P（0，p），可用p、n表示出P1、P2两点坐标，将P1、P2坐标带入抛物线解析式可得关于n的方程，求解即可；
②由①可得P1、P2两点坐标，从而得到直线P1P2的解析式，再利用抛物线的解析式求出 y的最大值 ，即可分析求点C纵坐标的取值范围 ．
（1）解：把点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线x=1；
（2）解：①∵点P向左平移n个单位，将与抛物线上的点P1重合；若点P向右平移2n个单位，将与抛物线上的点P2重合．
∴设点P（0，p），则P1（-n，p），P2（2n，p），
∴，
解得：n1=0，n2=2，
∵n＞0．
∴n=2；
②∵n=2，
∴，
∴，
∴直线P1P2为y=-5，
∵，
∴当x=1时，y有最大值4，
∴点C在抛物线上，且在直线P1P2的上方（不与点P1，P2重合），点C纵坐标的取值范围为．
22．（2024八上·乐清月考）【作品设计】
如图1，是小明为趣味数学课设计的一个．其设计的意思是：三角形具有稳定性，表示大家学习数学的坚定信心，两个有公共顶点的三角形表示积极向上的态度；三个三角形合在一起表示合作学习的重要性．
【数学原理】
如图2，是小明设计时的数学原理图．即将两块形状相同，大小不相同的直角三角形纸片放入中，其中，圆心在直角边上．连接并延长，交于点．
【设计制作】
为参加评比，需要把作品制作出来．如果要求作品的，，那么小明觉得需要解决以下问题：
问题1：需要找多大的圆形材料．
问题2：需要知道点离开点的距离和点离开点的距离．
【问题解决】
（1）求：的半径．
（2）求证：．
（3）求的长．
【答案】（1）解：，圆心在边上，
．
在中，
．
在中，
，
，解得．
的半径为
（2）解：，，
．
，
，
．
，
（3）解：，，
，解得．
在中，．
，
∴，
，即，
【知识点】垂径定理；求正弦值；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得，然后再在中，根据勾股定理得到AB长．在中，利用勾股定理得到解题即可．
（2）先得到，再根据等边对等角得到，再根据，即可得到结论；
（3）利用，，可以得到，求出．在中，利用勾股定理得到DE长．再根据，得到解题．
23．（2024八上·乐清月考）定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”．
例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”．
利用上述知识解答下列问题．
（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________．
（2）在四边形中，对角线平分．
①如图1，若，，求的最小值．
②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数．
③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积．
【答案】（1）菱形、正方形
（2）解：①当，时，与最小，∴此时最小；
∵，对角线平分．
∴
∴，
∴
答：的最小值为4；
②如图1，过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G，
①
又平分，平分
，
②
①×2－②得
∵，，，
又平分，平分
∴，
平分
∴
③如图2
过作，，
又∵平分
∴
∵
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴
则，，，四点共圆
∴，
当时，如图3
∴
∴
∴
∴
∴，
∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
．
当时，如图4
∵，
∴
∴
∵
∴同理可求得，，，
．
综上，四边形的面积为或
【知识点】角平分线的性质；正方形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】（1）解：∵平行四边形、矩形的对角线不一定平分平行四边形、矩形的角，
∴平行四边形、矩形不一定是“可折四边形”；
∵菱形、正方形的对角线平分一组对角，
∴菱形、正方形一定是“可折四边形”；
故答案为：菱形、正方形．
【分析】（1）根据 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，利用“ 可折四边形 ”的定义解题；
（2）①当，时，与最小，此时最小；根据30°的直角三角形的性质解题即可；
②过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G，即可得到，，进而求得，根据角平分线的判定解题即可；
③先得到，，，四点共圆，然后分为两种情况：当和时，利用勾股定理解题即可．
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