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浙江省绍兴市诸暨市浣纱初级中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题
一、选择题（本题有 10 小题, 每小题 3 分, 共 30 分
1．（2024九上·诸暨月考）下列各式中，y是x的二次函数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、y是x的一次函数，不是二次函数，故A不符合题意；
B、，不是二次函数，故B不符合题意；
C、，y是x的二次函数，故C符合题意；
D、，不是二次函数，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义：形如为常数，的函数，叫二次函数，据此逐项进行判断即可.
2．（2024九上·诸暨月考）二次函数顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数图象的顶点坐标是，
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的性质，它的顶点坐标为，据此即可得到答案.
3．（2024九上·诸暨月考）已知P为线段的黄金分割点，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是线段上的一个黄金分割点，且，，
．
故选：A．
【分析】利用黄金分割的比值计算即可．
4．（2024九上·诸暨月考）下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】位似图形的概念
【解析】【解答】解：A、是位似图形，故A不满足题意；
B、是位似图形，故B不满足题意；
C、不是位似图形，故C满足题意；
D、是位似图形，故D不满足题意.
故答案为：C.
【分析】位似图形的的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形；根据位似图形的定义判断即可.
5．（2024九上·诸暨月考）如图， 在 中， 点 分别在边 上， 下列条件中不能判断 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：A、∠B=∠AED，∠A=∠A，则可判断△ADE~△ACB，故A选项错误；
B、∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE~△ACB，故B选项错误；
C、不能判定△ADE~△ACB，故C选项正确；
D、，且夹角∠A=∠A，能确定△ADE~△ACB，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的判定定理(AA、SAS、SSS)来判断给定条件是否能证明△ADE~△ACB.
6．（2024九上·诸暨月考）在同一坐标系中画出 的图象， 正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：由于抛物线y=-2x2开口向下，所以排除A，D选项.
抛物线y=ax2，|a|越大，抛物线的开口越小，
故答案为：B.
【分析】二次函数y=ax2(a≠0)的图象是抛物线，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下，|a|越大，抛物线开口越窄.
7．（2024九上·诸暨月考）如图， 已知 交 于点 ， 下列结论中错误的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB//CD//EF，
∴BH：HC=AH：HD，AD：DF=BC：CE，CD：AB=CH：HB，
故选项A、B、D正确；
∵CD//EF，
∴CD：EF=HD：HF，
故选项C错误.
故答案为：C.
【分析】根据AB//CD，结合平行线分线段成比例定理可知BH：HC=AH：HD，AD：DF=BC：CE，CD：AB=CH：HB，而根据CD//EF，应该得到CD：EF=HD：HF，而不是CD：EF=HD：DE.
8．（2024九上·诸暨月考）已知抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根是（　　）
A．0，4 B．1，5 C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2+mx的对称轴为直线x=2，
∴，
∴m=-4，
∴方程化为x2-4x=5，
∴（x+1）（x-5）=0，
∴x1=-1，x2=5，
故答案为：D.
【分析】 本题考查二次函数的性质.已知抛物线y=x2+mx的对称轴为，又因为抛物线y=x2+mx的对称轴为直线x=2，可得：，进而出m的值：m=-4.m=-4代入可得：x2-4x=5，求出一元二次方程的解，可得出答案.
9．（2024九上·诸暨月考）已知等腰直角 的斜边 ， 正方形 的边长为 ， 把 和正方形 如图放置， 点 与点 重合， 边 与 在同一条直线上， 将 沿 方向以每秒 个单位的速度匀速平行移动， 当点 与点 重合时停止移动。在移动过程中， 与正方形 重叠部分的面积 与移动时间 的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：①当0②当1设BC交FG于H，则，则，
，函数为开口方向向下的抛物线；
③当2④当3故只有选项A符合题意.
故答案为：A.
【分析】分别求出010．（2024九上·诸暨月考）已知二次函数 经过点 和点 ，交 轴于 两点， 交 轴于 . 则： (1) ； (2)该二次函数图象与 轴交于负半轴；（3）当 时， 随着 的增大而增大；（4）若 ，则 。以上说法正确的有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a >0)经过点M(-1，2)和点N(1，-2)，
∴
②-①，得2b=-4，
解得b=-2，故①b=-2正确；
②+①，得2(a+c)=0，
∴a+c=0，
∵a>0，
∴c=-a<0，故②正确；
对称轴为直线
当a≥1时，y随着x的增大而增大，
当a<1时，y不一定随着x的增大而增大，故③错误；
当a=1时，二次函数的解析式为：y=x2-2x-1.
∴当y=0时，设x2-2x-1=0的两根为x1，x2，
∴
∴，故④正确；
故答案为：B.
【分析】通过代入点M和N的坐标到二次函数表达式中，求解b的值，判断二次函数与y轴的交点位置，分析函数的增减性，以及计算特定条件下OA·OB与OC2的关系.
二、填空题（本题有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（2024九上·诸暨月考）在比例尺为的地图上，，两地间的图上距离为厘米，则，两地间的实际距离是　 　千米．
【答案】30
【知识点】比例线段；图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）
【解析】【解答】解：设A，B两地间的实际距离为x千米，
∵比例尺为1：1500000，图上距离为2cm，而2厘米=0.00002千米，
∴1：1500000=0.00002：x，
解得：x=30，
故答案为：30．
【分析】本题考查了比例尺的定义，设A，B两地间的实际距离为x千米，将2厘米变成0.00002千米，然后根据比例尺=图上距离：实际距离计算即可得答案．
12．（2024九上·诸暨月考） 将抛物线 向右平移 1 个单位， 向下平移 3 个单位得到拋物线为　 　。
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意，∵抛物线为y=2x2，
又将向右平移1个单位，向下平移3个单位，
∴根据“左加右减，上加下减”的平移规律，可得新抛物线为y=2(x-1)2-3.
故答案为：y=2(x-1)2-3.
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可.
13．（2024九上·诸暨月考）如图， 宝珠桥有一段抛物线型的拱梁， 抛物线的表达式为 ， 小明骑自行车从拱梁一端 匀速穿过拱梁部分的桥面 ，当小明骑自行车行驶 8 秒时和 24 秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面 共需　 　秒。
【答案】32
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：∵当小强骑自行车行驶8秒时和24秒时拱梁的高度相同，
∴抛物线的对称轴是直线，
∴，得b=-32a，
令y=0，则0=ax2+bx，
解得，x1=0，x2=32，
∴小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需：32-0=32秒，
故答案为：32.
【分析】根据抛物线的对称性，找到对称轴位置，利用抛物线与x轴的交点确定OC的长度，从而计算小强通过OC所需时间.
14．（2024九上·诸暨月考）已知二次函数的图象经过点和．若，则m的取值范围是　 　．
【答案】或
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∵点关于对称轴的对称点为，
∵二次函数的图象经过点和，且，
∴或．
故答案为：m＜-1或m＞5.
【分析】先判断函数的开口方向和对称轴，从而可得到其增减性，然后根据二次函数的对称性求出点P关于抛物线对称轴对称点的坐标，再结合P、Q两点纵坐标的大小，可求得m的取值范围．
15．（2024九上·诸暨月考）在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于O，则AO：OB＝　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据相似三角形的判定得，由相似三角形对应边成比例的性质求出，从而得，然后推出，得的值.
16．（2024九上·诸暨月考）如图，在矩形中，BE平分交于E，连结，在边上取一点F使，连结，交于点G，则的值为　 　．若，则的值为　 　．
【答案】；
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接，过点G作于点H，如图：
∵四边形是矩形，
∴，AD∥BC，
∵BE平分交于E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
过点G作于点H，如图：
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；．
【分析】连接，根据矩形的四个角都是直角和对边平行且相等得出AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∠A=∠D=∠ABC=90°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出∠ABE=∠CBE=45°，根据等角对等边得出AB=AE，推得AE=CD，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△FAE≌△EDC，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出EF=EC，∠AEF=∠ECD，再由等腰三角形的判定得出为等腰直角三角形，根据锐角三角函数即可求出的值；过点G作于点H，根据垂直于同一条直线的两直线互相平行得出，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出， 根据相似三角形的对应边之比相等得出，设，设，则，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出，根据，代入求出，即可求出BF和AD的值，即可求解.
三、解答题（本题有 8 小题，共 72 分）
17．（2024九上·诸暨月考）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题．
（1）若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长；
（2）若，，求a，b，c的长．
【答案】（1）解：∵是的比例中项线段，，，
∴，
解得：，（舍去），
∴长为6cm；
（2）解：设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴.
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【分析】（1）根据比例中项的定义列式得到，代入的值即可得到的长；
（2）设，然后用表示的值，再代入中得到关于的方程，求解方程得到的值，即可得到的值.
（1）解：∵c是a，b的比例中项线段，
∴，
∴（负值舍去）
即c的长为；
（2）解：设
∴
∵，
∴，
∴
∴
18．（2024九上·诸暨月考）如图抛物线经过点，，
（1）求抛物线的表达式及C点坐标；
（2）当时，求x的取值范围．
【答案】（1）解：把，代入中得：
，解得，
∴抛物线解析式为，
在中，当时，，
∴；
（2）解：由函数图象可知，当函数图象在x轴上方时，自变量的取值范围为，
∴当时，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）把，代入解析式即可求出b、c的值，再求出当时y的值解题即可；
（2）利用图象得到抛物线在x轴上方时自变量的取值范围．
（1）解：把，代入中得：，
解得，
∴抛物线解析式为，
在中，当时，，
∴；
（2）解：由函数图象可知，当函数图象在x轴上方时，自变量的取值范围为，
∴当时，．
19．（2024九上·诸暨月考） 如图， 在等腰直角 中， ， 的平分线 相交于点 .
（1） 求证： .
（2） 若 ， 求 的长.
【答案】（1）证明：∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠CAE
∵∠ACB=90°，AC=BC
∴∠B=45°
∵CD是 AB边上的中线，
∴
∴∠ACD=∠B
∴△ACF∽△ABE
（2）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴，
∴
∵△ACF∽△ABE，
∴
∵AF =2
∴
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据AE平分∠BAC，可得∠BAE=∠CAE，再由等腰直角三角形的性质可得∠ACD=∠B，即可求证；
(2)根据勾股定理可得，再由相似三角形的性质，即可求解.
20．（2024九上·诸暨月考） 某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）。已知小明的眼睛离地面 1.6 米，凉亭顶端离地面 1.9 米， 小明到凉亭的距离为 2 米， 凉亭离城楼底部的距离为 38 米， 小亮身高为 1.7 米. 请根据以上数据求出城楼的高度。
【答案】解：过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，
由题意得：AN=2米，CN=1.9-1.6=0.3(米)，MN=38米，
∵CN//EM，
∴△ACN∽△AEM，
∴
∴
∴EM=6，
∵AB=MF=1.7米，
∴城楼的高度为：6+1.6-1.7=5.9(米)
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可.
21．（2024九上·诸暨月考） 一商场经营某种品牌商品， 该商品的进价为每件 4 元， 根据市场调查发现， 该商品每周的销售量 （件）与售价 （元/件）（ 为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
(元/件) 4 5 6
(件) 1000 950 900
（1） 求 与 的函数关系式 (不求自变量的取值范围)；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于 15 元/件，若某一周商品的销售不少于 600 件， 求这一周市商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元
【答案】（1）解：设y和x的函数表达式为y=kx+b，
则，解得
故y和x的函数表达式为y=-50x+1200
（2）解：设这一周该商场销售这种商品的利润为w元，
由题意得：，解得3≤x≤12，
则w=y(x-3)=(-50x+1200)(x-3)≤4800
∵3≤x≤12，
故x=12时，w有最大值为4800，
答：一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54800元销售单价分别为12元
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)通过表格中的数据，利用待定系数法确定一次函数关系式；
(2)将利润表示为售价的二次函数，根据3≤x≤12，由w=y(x-3)=(-50x+1200)(x-3)≤4800，即可求解.
22．（2024九上·诸暨月考）
（1） 如图 1， 在 中， 点 分别在 上， 连接 ，使 .
①求证： ；
②若 的面积为 1 ， 求四边形 的面积；
（2） 如图 2， 四边形 中 . 点 分别在 上， . 设 ， 四边形 的面积为 ， 求出 与 之间的函数关系式， 并求 的最大值.
【答案】（1）解：①∵DE//BC，EF//AB
∴四边形BFED是平行四边形，
∴DE=BF，DB=EF，
∴DE//BC，
∴△ADE∽△EFC
∴
∴
②∵CF=3DE
∴BC=4DE，
∴
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC
∴，
∵△ADE的面积为1，
∴
∴S△ABC=16，
∵AB=8，
∴AD=2，
∴BD=8-2=6，
∵四边形BFED是平行四边形
∴EF=BD=6，EF//AB，
∴△CEF∽△CAB，相似比为
∴
∵S△ABC=16，
∴S△CEF=9，
∴平行四边形BFED的面积=S△ABC-S△ADE-S△CEF=16-1-9=6，
∴平行四边形BFED的面积为6.
（2）解：过点D作DH⊥BC于点H，交EF于点M，则MH=FG=x，AD=EM=BH=8，DH=AB=20
∴DM=DH-MH=20-x，CH=BC-BH=24-8=16，
设EF=y，则MF=EF-EM=y-8，
∵矩形BEFG，
∴EF//BC，
∴△DMF∽△DHC，
∴
∴
∴
∴，
∴当x=15时，矩形BEFG面积最大，最大值为180.
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；二次函数的实际应用-几何问题；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)①证明△ADE∽△ABC即可求解；
②利用相似三角形的性质分别求出△ABC和△CEF的面积，即可求解；
(2)过点D作DH⊥BC于点H，交EF于点M，设EF=y，证明△DMF∽△DHC，得到，根据矩形面积公式即可得到S与x之间的函数关系式，再根据函数的性质即可求出面积的最大值.
23．（2024九上·诸暨月考）小明在研究某二次函数时，函数值 与自变量 的部分对应值如表：
-1 2 3 5
-8 1 0 -8
（1） 求该二次函数的表达式.
（2） 当 时， 该二次函数的最大值与最小值的差为 1 ， 求 的值.
（3） 已知点 是该二次函数图象与 轴的交点， 把点 向下平移 个单位得到点 . 若点 向左平移 个单位， 将与该二次函数图象上的点 重合； 若点 向右平移 个单位， 将与该二次函数图象上的点 重合， 求 的值.
【答案】（1）解：设该二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
由题意得：
解得
∴该二次函数的表达式为y=-x2+4x-3
（2）解：∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线的顶点坐标为(2，1)，
∵a=-1<0，
∴当x<2时，二次函数的值随x的增大而增大；当x=2时，该二次函数的最大值为1，
∴当p≤x≤2时，该二次函数的最大值与最小值的差为1，
∴1-[-(p-2)2+1]=1，
解得，(舍)，
∴p=1
（3）解：点M向左平移n(n>0)个单位，将与该二次函数图象上的点P重合；若点M向右平移5n个单位，将与该二次函数图象上的点Q重合，
∴点P的横坐标为-n，点Q的横坐标为5n，且两点纵坐标相同，
∴
解得n=1，
当x=0时，y=-3，
∴点C的坐标为(0，-3)
∵点C向下平移m(m>0)个单位得到点M
∴点M的坐标为(0，-3-m)，
∴点P的坐标为(-1，-3-m)，
将P(-1，-m)代入y=-(x-2)2+1，得-3-m=-(-1-2)2+1=-8，
∴m=5，
故m=5，n=1
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)求得抛物线的对称轴和顶点坐标，知当x=2时，该二次函数的最大值为1，根据题意列得方程1-[-(p-2)2+1]=1，据此求解即可；
(3)先求得点P的横坐标为-n，点Q的横坐标为5n，且两点纵坐标相同，利用抛物线的对称性，列式计算求得n-1；求得点C的坐标为(0，-3)，得到点P的坐标为(-1，-3-m)，据此求解即可.
24．（2024九上·诸暨月考） 【阅读与思考】
下面是一位同学的数学学习笔记， 请仔细阅读并完成相应的任务.
任务：
（1） 笔记中横线部分应填写①　 　；
②　 　∽　 　，　 　∽　 　.
（2） 如图 2， 在 中， 点 分别在 边上， 连接 交于点 . 若 ， ， 猜测 与 的数量关系， 并说明理由.
（3） 如图 3， 在平行四边形 中， 点 分别是 的中点， ， ， 求 长.
【答案】（1）DE是△ABC的中位线；△BDE；△BAC；△DEG；△ACG
（2）解：KF=HF，理由如下：
连接KL
∵，
∴
∴△KML∽△NMH
∴
∴KL∥NH
∴△KFL∽△HFN
∴
∴KF=HF
（3）解：连接AC，EC
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD∥BC
∴点E，F分别是AD，BC的中点
∴AE=CE
∴四边形AFCE是平行四边形
∴AF=CE
∵AD∥BC
∴△AEQ∽△CBQ
∴
设AQ=a，EQ=b，则CQ=2a，BQ=2b
∵点E，G分别是AD，CD的中点
∴EG是△ACD的中位线
∴EG∥AC
∵BE⊥EG
∴BE⊥AC
∵
即
∴
∴
∴
在Rt△EQC中，
∴CE=4
∴AF=4
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图，在△ABC中，中线AD，CE相交于点G，连接DE
∵D，E分别是BC，AB的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DE∥AC，且
∴△BDE∽△BAC，△DEG∽△ACG
∴
【分析】（1）根据三角形中位线定理及相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）连接KL，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得△KML∽△NMH，则，再由相似三角形判定定理可得△KFL∽△HFN，则，即KF=HF，即可求出答案.
（3）连接AC，EC，根据平行四边形性质可得AD=BC，AD∥BC，再根据平行四边形判定定理可得四边形AFCE是平行四边形，则AF=CE，由相似三角形判定定理可得△AEQ∽△CBQ，则，设AQ=a，EQ=b，则CQ=2a，BQ=2b，根据三角形中位线判定定理可得EG是△ACD的中位线，则EG∥AC，即BE⊥AC，根据勾股定理可得，，在Rt△EQC中，再根据勾股定理即可求出答案.
1 / 1浙江省绍兴市诸暨市浣纱初级中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题
一、选择题（本题有 10 小题, 每小题 3 分, 共 30 分
1．（2024九上·诸暨月考）下列各式中，y是x的二次函数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·诸暨月考）二次函数顶点坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·诸暨月考）已知P为线段的黄金分割点，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·诸暨月考）下列各选项的两个图形中，不是位似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024九上·诸暨月考）如图， 在 中， 点 分别在边 上， 下列条件中不能判断 的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·诸暨月考）在同一坐标系中画出 的图象， 正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024九上·诸暨月考）如图， 已知 交 于点 ， 下列结论中错误的是 ( )
A． B． C． D．
8．（2024九上·诸暨月考）已知抛物线的对称轴为直线，则关于的方程的根是（　　）
A．0，4 B．1，5 C． D．
9．（2024九上·诸暨月考）已知等腰直角 的斜边 ， 正方形 的边长为 ， 把 和正方形 如图放置， 点 与点 重合， 边 与 在同一条直线上， 将 沿 方向以每秒 个单位的速度匀速平行移动， 当点 与点 重合时停止移动。在移动过程中， 与正方形 重叠部分的面积 与移动时间 的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024九上·诸暨月考）已知二次函数 经过点 和点 ，交 轴于 两点， 交 轴于 . 则： (1) ； (2)该二次函数图象与 轴交于负半轴；（3）当 时， 随着 的增大而增大；（4）若 ，则 。以上说法正确的有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
二、填空题（本题有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（2024九上·诸暨月考）在比例尺为的地图上，，两地间的图上距离为厘米，则，两地间的实际距离是　 　千米．
12．（2024九上·诸暨月考） 将抛物线 向右平移 1 个单位， 向下平移 3 个单位得到拋物线为　 　。
13．（2024九上·诸暨月考）如图， 宝珠桥有一段抛物线型的拱梁， 抛物线的表达式为 ， 小明骑自行车从拱梁一端 匀速穿过拱梁部分的桥面 ，当小明骑自行车行驶 8 秒时和 24 秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面 共需　 　秒。
14．（2024九上·诸暨月考）已知二次函数的图象经过点和．若，则m的取值范围是　 　．
15．（2024九上·诸暨月考）在如图的正方形格点纸中，每个小的四边形都是边长为1的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于O，则AO：OB＝　 　．
16．（2024九上·诸暨月考）如图，在矩形中，BE平分交于E，连结，在边上取一点F使，连结，交于点G，则的值为　 　．若，则的值为　 　．
三、解答题（本题有 8 小题，共 72 分）
17．（2024九上·诸暨月考）已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题．
（1）若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长；
（2）若，，求a，b，c的长．
18．（2024九上·诸暨月考）如图抛物线经过点，，
（1）求抛物线的表达式及C点坐标；
（2）当时，求x的取值范围．
19．（2024九上·诸暨月考） 如图， 在等腰直角 中， ， 的平分线 相交于点 .
（1） 求证： .
（2） 若 ， 求 的长.
20．（2024九上·诸暨月考） 某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）。已知小明的眼睛离地面 1.6 米，凉亭顶端离地面 1.9 米， 小明到凉亭的距离为 2 米， 凉亭离城楼底部的距离为 38 米， 小亮身高为 1.7 米. 请根据以上数据求出城楼的高度。
21．（2024九上·诸暨月考） 一商场经营某种品牌商品， 该商品的进价为每件 4 元， 根据市场调查发现， 该商品每周的销售量 （件）与售价 （元/件）（ 为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
(元/件) 4 5 6
(件) 1000 950 900
（1） 求 与 的函数关系式 (不求自变量的取值范围)；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于 15 元/件，若某一周商品的销售不少于 600 件， 求这一周市商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元
22．（2024九上·诸暨月考）
（1） 如图 1， 在 中， 点 分别在 上， 连接 ，使 .
①求证： ；
②若 的面积为 1 ， 求四边形 的面积；
（2） 如图 2， 四边形 中 . 点 分别在 上， . 设 ， 四边形 的面积为 ， 求出 与 之间的函数关系式， 并求 的最大值.
23．（2024九上·诸暨月考）小明在研究某二次函数时，函数值 与自变量 的部分对应值如表：
-1 2 3 5
-8 1 0 -8
（1） 求该二次函数的表达式.
（2） 当 时， 该二次函数的最大值与最小值的差为 1 ， 求 的值.
（3） 已知点 是该二次函数图象与 轴的交点， 把点 向下平移 个单位得到点 . 若点 向左平移 个单位， 将与该二次函数图象上的点 重合； 若点 向右平移 个单位， 将与该二次函数图象上的点 重合， 求 的值.
24．（2024九上·诸暨月考） 【阅读与思考】
下面是一位同学的数学学习笔记， 请仔细阅读并完成相应的任务.
任务：
（1） 笔记中横线部分应填写①　 　；
②　 　∽　 　，　 　∽　 　.
（2） 如图 2， 在 中， 点 分别在 边上， 连接 交于点 . 若 ， ， 猜测 与 的数量关系， 并说明理由.
（3） 如图 3， 在平行四边形 中， 点 分别是 的中点， ， ， 求 长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、y是x的一次函数，不是二次函数，故A不符合题意；
B、，不是二次函数，故B不符合题意；
C、，y是x的二次函数，故C符合题意；
D、，不是二次函数，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义：形如为常数，的函数，叫二次函数，据此逐项进行判断即可.
2．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：二次函数图象的顶点坐标是，
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的性质，它的顶点坐标为，据此即可得到答案.
3．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是线段上的一个黄金分割点，且，，
．
故选：A．
【分析】利用黄金分割的比值计算即可．
4．【答案】C
【知识点】位似图形的概念
【解析】【解答】解：A、是位似图形，故A不满足题意；
B、是位似图形，故B不满足题意；
C、不是位似图形，故C满足题意；
D、是位似图形，故D不满足题意.
故答案为：C.
【分析】位似图形的的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形；根据位似图形的定义判断即可.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的判定-SSS
【解析】【解答】解：A、∠B=∠AED，∠A=∠A，则可判断△ADE~△ACB，故A选项错误；
B、∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE~△ACB，故B选项错误；
C、不能判定△ADE~△ACB，故C选项正确；
D、，且夹角∠A=∠A，能确定△ADE~△ACB，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】利用相似三角形的判定定理(AA、SAS、SSS)来判断给定条件是否能证明△ADE~△ACB.
6．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：由于抛物线y=-2x2开口向下，所以排除A，D选项.
抛物线y=ax2，|a|越大，抛物线的开口越小，
故答案为：B.
【分析】二次函数y=ax2(a≠0)的图象是抛物线，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下，|a|越大，抛物线开口越窄.
7．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB//CD//EF，
∴BH：HC=AH：HD，AD：DF=BC：CE，CD：AB=CH：HB，
故选项A、B、D正确；
∵CD//EF，
∴CD：EF=HD：HF，
故选项C错误.
故答案为：C.
【分析】根据AB//CD，结合平行线分线段成比例定理可知BH：HC=AH：HD，AD：DF=BC：CE，CD：AB=CH：HB，而根据CD//EF，应该得到CD：EF=HD：HF，而不是CD：EF=HD：DE.
8．【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2+mx的对称轴为直线x=2，
∴，
∴m=-4，
∴方程化为x2-4x=5，
∴（x+1）（x-5）=0，
∴x1=-1，x2=5，
故答案为：D.
【分析】 本题考查二次函数的性质.已知抛物线y=x2+mx的对称轴为，又因为抛物线y=x2+mx的对称轴为直线x=2，可得：，进而出m的值：m=-4.m=-4代入可得：x2-4x=5，求出一元二次方程的解，可得出答案.
9．【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：①当0②当1设BC交FG于H，则，则，
，函数为开口方向向下的抛物线；
③当2④当3故只有选项A符合题意.
故答案为：A.
【分析】分别求出010．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a >0)经过点M(-1，2)和点N(1，-2)，
∴
②-①，得2b=-4，
解得b=-2，故①b=-2正确；
②+①，得2(a+c)=0，
∴a+c=0，
∵a>0，
∴c=-a<0，故②正确；
对称轴为直线
当a≥1时，y随着x的增大而增大，
当a<1时，y不一定随着x的增大而增大，故③错误；
当a=1时，二次函数的解析式为：y=x2-2x-1.
∴当y=0时，设x2-2x-1=0的两根为x1，x2，
∴
∴，故④正确；
故答案为：B.
【分析】通过代入点M和N的坐标到二次函数表达式中，求解b的值，判断二次函数与y轴的交点位置，分析函数的增减性，以及计算特定条件下OA·OB与OC2的关系.
11．【答案】30
【知识点】比例线段；图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）
【解析】【解答】解：设A，B两地间的实际距离为x千米，
∵比例尺为1：1500000，图上距离为2cm，而2厘米=0.00002千米，
∴1：1500000=0.00002：x，
解得：x=30，
故答案为：30．
【分析】本题考查了比例尺的定义，设A，B两地间的实际距离为x千米，将2厘米变成0.00002千米，然后根据比例尺=图上距离：实际距离计算即可得答案．
12．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意，∵抛物线为y=2x2，
又将向右平移1个单位，向下平移3个单位，
∴根据“左加右减，上加下减”的平移规律，可得新抛物线为y=2(x-1)2-3.
故答案为：y=2(x-1)2-3.
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可.
13．【答案】32
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：∵当小强骑自行车行驶8秒时和24秒时拱梁的高度相同，
∴抛物线的对称轴是直线，
∴，得b=-32a，
令y=0，则0=ax2+bx，
解得，x1=0，x2=32，
∴小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需：32-0=32秒，
故答案为：32.
【分析】根据抛物线的对称性，找到对称轴位置，利用抛物线与x轴的交点确定OC的长度，从而计算小强通过OC所需时间.
14．【答案】或
【知识点】二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∵点关于对称轴的对称点为，
∵二次函数的图象经过点和，且，
∴或．
故答案为：m＜-1或m＞5.
【分析】先判断函数的开口方向和对称轴，从而可得到其增减性，然后根据二次函数的对称性求出点P关于抛物线对称轴对称点的坐标，再结合P、Q两点纵坐标的大小，可求得m的取值范围．
15．【答案】
【知识点】相似三角形的判定；A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据相似三角形的判定得，由相似三角形对应边成比例的性质求出，从而得，然后推出，得的值.
16．【答案】；
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接，过点G作于点H，如图：
∵四边形是矩形，
∴，AD∥BC，
∵BE平分交于E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴；
过点G作于点H，如图：
则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；．
【分析】连接，根据矩形的四个角都是直角和对边平行且相等得出AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∠A=∠D=∠ABC=90°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出∠ABE=∠CBE=45°，根据等角对等边得出AB=AE，推得AE=CD，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△FAE≌△EDC，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出EF=EC，∠AEF=∠ECD，再由等腰三角形的判定得出为等腰直角三角形，根据锐角三角函数即可求出的值；过点G作于点H，根据垂直于同一条直线的两直线互相平行得出，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出， 根据相似三角形的对应边之比相等得出，设，设，则，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出，根据，代入求出，即可求出BF和AD的值，即可求解.
17．【答案】（1）解：∵是的比例中项线段，，，
∴，
解得：，（舍去），
∴长为6cm；
（2）解：设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴.
【知识点】比例的性质；比例线段
【解析】【分析】（1）根据比例中项的定义列式得到，代入的值即可得到的长；
（2）设，然后用表示的值，再代入中得到关于的方程，求解方程得到的值，即可得到的值.
（1）解：∵c是a，b的比例中项线段，
∴，
∴（负值舍去）
即c的长为；
（2）解：设
∴
∵，
∴，
∴
∴
18．【答案】（1）解：把，代入中得：
，解得，
∴抛物线解析式为，
在中，当时，，
∴；
（2）解：由函数图象可知，当函数图象在x轴上方时，自变量的取值范围为，
∴当时，．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）把，代入解析式即可求出b、c的值，再求出当时y的值解题即可；
（2）利用图象得到抛物线在x轴上方时自变量的取值范围．
（1）解：把，代入中得：，
解得，
∴抛物线解析式为，
在中，当时，，
∴；
（2）解：由函数图象可知，当函数图象在x轴上方时，自变量的取值范围为，
∴当时，．
19．【答案】（1）证明：∵AE平分∠BAC
∴∠BAE=∠CAE
∵∠ACB=90°，AC=BC
∴∠B=45°
∵CD是 AB边上的中线，
∴
∴∠ACD=∠B
∴△ACF∽△ABE
（2）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴，
∴
∵△ACF∽△ABE，
∴
∵AF =2
∴
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据AE平分∠BAC，可得∠BAE=∠CAE，再由等腰直角三角形的性质可得∠ACD=∠B，即可求证；
(2)根据勾股定理可得，再由相似三角形的性质，即可求解.
20．【答案】解：过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，
由题意得：AN=2米，CN=1.9-1.6=0.3(米)，MN=38米，
∵CN//EM，
∴△ACN∽△AEM，
∴
∴
∴EM=6，
∵AB=MF=1.7米，
∴城楼的高度为：6+1.6-1.7=5.9(米)
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】根据题意构造直角三角形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可.
21．【答案】（1）解：设y和x的函数表达式为y=kx+b，
则，解得
故y和x的函数表达式为y=-50x+1200
（2）解：设这一周该商场销售这种商品的利润为w元，
由题意得：，解得3≤x≤12，
则w=y(x-3)=(-50x+1200)(x-3)≤4800
∵3≤x≤12，
故x=12时，w有最大值为4800，
答：一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54800元销售单价分别为12元
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)通过表格中的数据，利用待定系数法确定一次函数关系式；
(2)将利润表示为售价的二次函数，根据3≤x≤12，由w=y(x-3)=(-50x+1200)(x-3)≤4800，即可求解.
22．【答案】（1）解：①∵DE//BC，EF//AB
∴四边形BFED是平行四边形，
∴DE=BF，DB=EF，
∴DE//BC，
∴△ADE∽△EFC
∴
∴
②∵CF=3DE
∴BC=4DE，
∴
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC
∴，
∵△ADE的面积为1，
∴
∴S△ABC=16，
∵AB=8，
∴AD=2，
∴BD=8-2=6，
∵四边形BFED是平行四边形
∴EF=BD=6，EF//AB，
∴△CEF∽△CAB，相似比为
∴
∵S△ABC=16，
∴S△CEF=9，
∴平行四边形BFED的面积=S△ABC-S△ADE-S△CEF=16-1-9=6，
∴平行四边形BFED的面积为6.
（2）解：过点D作DH⊥BC于点H，交EF于点M，则MH=FG=x，AD=EM=BH=8，DH=AB=20
∴DM=DH-MH=20-x，CH=BC-BH=24-8=16，
设EF=y，则MF=EF-EM=y-8，
∵矩形BEFG，
∴EF//BC，
∴△DMF∽△DHC，
∴
∴
∴
∴，
∴当x=15时，矩形BEFG面积最大，最大值为180.
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；二次函数的实际应用-几何问题；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】(1)①证明△ADE∽△ABC即可求解；
②利用相似三角形的性质分别求出△ABC和△CEF的面积，即可求解；
(2)过点D作DH⊥BC于点H，交EF于点M，设EF=y，证明△DMF∽△DHC，得到，根据矩形面积公式即可得到S与x之间的函数关系式，再根据函数的性质即可求出面积的最大值.
23．【答案】（1）解：设该二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
由题意得：
解得
∴该二次函数的表达式为y=-x2+4x-3
（2）解：∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线的顶点坐标为(2，1)，
∵a=-1<0，
∴当x<2时，二次函数的值随x的增大而增大；当x=2时，该二次函数的最大值为1，
∴当p≤x≤2时，该二次函数的最大值与最小值的差为1，
∴1-[-(p-2)2+1]=1，
解得，(舍)，
∴p=1
（3）解：点M向左平移n(n>0)个单位，将与该二次函数图象上的点P重合；若点M向右平移5n个单位，将与该二次函数图象上的点Q重合，
∴点P的横坐标为-n，点Q的横坐标为5n，且两点纵坐标相同，
∴
解得n=1，
当x=0时，y=-3，
∴点C的坐标为(0，-3)
∵点C向下平移m(m>0)个单位得到点M
∴点M的坐标为(0，-3-m)，
∴点P的坐标为(-1，-3-m)，
将P(-1，-m)代入y=-(x-2)2+1，得-3-m=-(-1-2)2+1=-8，
∴m=5，
故m=5，n=1
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)求得抛物线的对称轴和顶点坐标，知当x=2时，该二次函数的最大值为1，根据题意列得方程1-[-(p-2)2+1]=1，据此求解即可；
(3)先求得点P的横坐标为-n，点Q的横坐标为5n，且两点纵坐标相同，利用抛物线的对称性，列式计算求得n-1；求得点C的坐标为(0，-3)，得到点P的坐标为(-1，-3-m)，据此求解即可.
24．【答案】（1）DE是△ABC的中位线；△BDE；△BAC；△DEG；△ACG
（2）解：KF=HF，理由如下：
连接KL
∵，
∴
∴△KML∽△NMH
∴
∴KL∥NH
∴△KFL∽△HFN
∴
∴KF=HF
（3）解：连接AC，EC
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD∥BC
∴点E，F分别是AD，BC的中点
∴AE=CE
∴四边形AFCE是平行四边形
∴AF=CE
∵AD∥BC
∴△AEQ∽△CBQ
∴
设AQ=a，EQ=b，则CQ=2a，BQ=2b
∵点E，G分别是AD，CD的中点
∴EG是△ACD的中位线
∴EG∥AC
∵BE⊥EG
∴BE⊥AC
∵
即
∴
∴
∴
在Rt△EQC中，
∴CE=4
∴AF=4
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图，在△ABC中，中线AD，CE相交于点G，连接DE
∵D，E分别是BC，AB的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DE∥AC，且
∴△BDE∽△BAC，△DEG∽△ACG
∴
【分析】（1）根据三角形中位线定理及相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）连接KL，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得△KML∽△NMH，则，再由相似三角形判定定理可得△KFL∽△HFN，则，即KF=HF，即可求出答案.
（3）连接AC，EC，根据平行四边形性质可得AD=BC，AD∥BC，再根据平行四边形判定定理可得四边形AFCE是平行四边形，则AF=CE，由相似三角形判定定理可得△AEQ∽△CBQ，则，设AQ=a，EQ=b，则CQ=2a，BQ=2b，根据三角形中位线判定定理可得EG是△ACD的中位线，则EG∥AC，即BE⊥AC，根据勾股定理可得，，在Rt△EQC中，再根据勾股定理即可求出答案.
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