资源简介

浙江省湖州市吴兴区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2024八上·吴兴期末）下列图片中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，A错误，B错误，D错误
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，C正确
故选：C．
【分析】本题考查轴对称图形的识别.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．（2024八上·吴兴期末）在平面直角坐标系中，点P（3，4）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点P（3，4）所在的象限是：第一象限．
故答案为：A．
【分析】
根据点的坐标特征“第一象限（＋，＋）；第二象限（ ，＋）；第三象限（ ， ）；第四象限（＋， ）”即可解题．
3．（2024八上·吴兴期末）不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
解得：，
故选：C．
【分析】本题考查求不等式的解集.根据不等式的性质进行移项可得：，据此可求出不等式的解集.
4．（2024八上·吴兴期末）线段首尾顺次相接组成的三角形，若=2，=5，则的长度可以是（　　）.
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵线段首尾顺次相接组成的三角形，若=2，=5，
∴
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此即可求出第三条边的取值范围，进而逐项分析即可.
5．（2024八上·吴兴期末）对于命题“若，则” 能说明它属于假命题的反例是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A、当时，且，不能说明它属于假命题，故A不符合题意 ；
B、当时，但，可以说明它属于假命题，故B符合题意 ；
C、当时，不能说明它属于假命题，故C不符合题意 ；
D、当时，且，不能说明它属于假命题，故D不符合题意 .
故答案为：B．
【分析】假命题：条件符合题意，但是结论相反；根据假命题的判断方法逐一判断即可.
6．（2024八上·吴兴期末）如图，．下列条件不能证明的是(　　)．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：A、在和中，
，
∴，故A不符合题意，A错误；
B、在和中，
，
∴，故B不符合题意，B错误；
C、∵，
∴
在和中，
，
∴，故C不符合题意，C错误；
D、在和中，，，，不能得出，故D符合题意，D正确；
故选：D．
【分析】本题考查三角形全等的判定．根据题意可得，添加AB=BC，利用全等三角形的判定定理SAS可证明，据此可判断A选项；添加 ，利用全等三角形的判定定理AAS可证明，据此可判断B选项；添加BM=CM，利用全等三角形的判定定理ASA可证明，据此可判断C选项；通过排除法可选出答案.
7．（2024八上·吴兴期末）点 和 都在直线 上，且 ，则 与 的关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解： 直线 中， ，
y随着x的增大而减小，
，
故答案为：D．
【分析】根据一次函数的解析式可得：y随着x的增大而减小，再根据可得答案。
8．（2024八上·吴兴期末）如图，将一个有角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边上．另一个顶点在纸带的另一边上，测得三角板的较短直角边与纸带边所在的直线成角，则该三角板斜边的长度为（　　）．
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，作于点，
在中，，，，
∴，
在中，，则，
∴．
故答案为：B．
【分析】作，先求出的长，在中，利用度角的直角三角形的性质解题即可．
9．（2024八上·吴兴期末）小明早晨从家里出发步行去学校（学校与家的距离是米），4分钟后爸爸发现小明数学书没带，骑电瓶车去追赶，追上小明并将数学书交给他（交接时间忽略不计），交接完成后爸爸放慢速度原路返回，小明到达学校，同时爸爸也正好到家．如图，线段与折线分别表示小明和爸爸离开家的距离（米）关于时间（分钟）的函数图象，下列说法错误的是（　　）．
A．小明步行的速度为每分钟米
B．爸爸出发时，小明距离学校还有米
C．爸爸回家时的速度是追赶小明时速度的一半
D．和时，父子俩均相距米
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A.依题意，全程根据学校与家的距离是米，
∴小明步行的速度为每分钟米，A正确；
B.根据函数图象可得爸爸出发时小明走了分钟，
∴爸爸出发时，小明距离学校还有米，B正确；
C.∵追上小明并将数学书交给他，则小明走了米，爸爸的速度为米每分钟；
回来的时间为分钟，则爸爸回家时的速度为米每分钟，即爸爸回家时的速度是追赶小明时速度的一半，C正确；
D.依题意，设分钟时父子俩均相距米，
追上之前，，解得：
追上之后，，解得：，
∴点和点分秒时，分钟时父子俩均相距米，D错误，
故选：D．
【分析】本题考查函数图象.根据题意可得小明步行的速度为每分钟米，据此可判断A选项；根据题意可求出小明距离学校还有米，据此可判断B选项；根据题意可求出爸爸的速度为米每分钟，爸爸回家时的速度为米每分钟，据此可判断C选项；设分钟时父子俩均相距米，据此可列出追上之前，追上之后的方程，，解方程可求出t的值，进而可求出答案.
10．（2024八上·吴兴期末）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，过各较长直角边的中点作垂线，围成小正方形．已知为较长直角边，问，当正方形的面积是小正方形面积的倍时，两条直角边与的数量关系是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意可知，
∵正方形的面积是小正方形面积的倍，
∴
∴
∴
即
故答案为：C．
【分析】设，．即正方形ABCD的面积，然后利用正方形的面积是小正方形面积的倍，求出，解题即可．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024八上·吴兴期末）等腰三角形的顶角等于，则一个底角的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的顶角等于，
又等腰三角形的底角相等，
∴一个底角等于．
故答案为：．
【分析】利用底角相等和三角形内角和定理解题即可．
12．（2024八上·吴兴期末）命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是　 　命题（填“真”或“假”）
【答案】假
【知识点】三角形全等的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：面积相等的两个不一定三角形全等，是假命题；
故答案为：假．
【分析】全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，因为面积相等的两个三角形的底、高不一定对应相等，然后结合全等三角形的判定定理进行判断.
13．（2024八上·吴兴期末）已知关于，的方程组的解为，则一次函数与的图象交点坐标为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵关于，的方程组的解为，
∴一次函数与的图象交点坐标为，
故答案为：．
【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的关系.根据于，的方程组的解为，利用二元一次方程组的解是对应两个一次函数图象交点的横坐标和纵坐标， 据此可求出两个一次函数的交点坐标．
14．（2024八上·吴兴期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，且，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵边的垂直平分线交于点，
∴，
又∵，，
∴
故答案为：．
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质．根据边的垂直平分线交于点，利用垂直平分线的性质可得，利用线段的运算可得，代入数据可求出答案.
15．（2024八上·吴兴期末）在平面直角坐标系中，将一副三角板按如图所示的方式摆放，、分别与，重合，．动点在边上运动，动点在边上运动，的中点的坐标为，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，
∵的中点的坐标为，
∴
∵
∴当与重合时，且在上，取得最小值，最小值为的长，
∵
∴
∴，则
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
【分析】本题考查垂线段最短，勾股定理，含度角的直角三角形的性质.过点作于点，当与重合时，且在上，取得最小值，最小值为的长，利用角的运算可得，利用含度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可求出PE，进而可求出答案.
16．（2024八上·吴兴期末）图象法是函数的表示方法之一，下面我们就一类特殊的函数图象展开探究．
画函数的图象，经历列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：
探究发现：函数的图象是由向右平移个单位得到；
函数的图象是由向上平移个单位得到．
（1）函数的最小值为　 　；
（2）函数在中有最小值，则的值是　 　．
【答案】；或
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）如图所示，函数的图象是由向上平移3个单位得到．
根据函数图象可得函数的最小值为，
故答案为：．
（2）若，
当时，有最小值，
，
（舍），或
若，
当时，有最小值，不符合题意，舍去．
若，
当时，有最小值，
，
（舍），或
综上所述，或．
故答案为：或．
【分析】本题考查一次函数的图象及性质；
（1）画出的图象，通过观察图象可得函数的图象是由向上平移3个单位得到，进而可求出函数的最小值；
（2）分两种种情况：若，若，根据题意可列出方程或，解方程可求出m的值，进而可求出答案.
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（2024八上·吴兴期末）解不等式组．
【答案】解：解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查求不等式组的解集.先分别解出两个不等式可得：不等式①得：，不等式②得：，再根据求不等式组解集的口诀可求出不等式组的解集．
18．（2024八上·吴兴期末）已知是关于的一次函数，且点，在此函数图象上．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1）解：设把，代入得：
把，代入得：
∴这个函数表达式为：．
（2）
【知识点】解一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解一元一次不等式；
（1）设，将点A和点B代入解析式可列出方程组，，解方程组可求出k和b的值，据此可求出这个一次函数的表达式.
（2）根据题意可列出不等式，解不等式可求出实数x的取值范围.
（1）解：设
把，代入得：
把，代入得：
∴这个函数表达式为：．
（2）
19．（2024八上·吴兴期末）如图，在中，是上一点，与相交于点，是的中点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
是的中点，
，
又，
；
（2）解：，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题考查全等三角形的性质与判定．
（1）根据，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得，再根据对顶角相等，中点的性质得出，，利用全等三角形的判定定理可证明；；
（2）根据全等三角形的性质可得，再根据线段的运算可得，代入数据进行计算可求出答案．
（1）证明：，
，
是的中点，
，
又，
；
（2）解：，
，
．
20．（2024八上·吴兴期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是．
（1）在平面直角坐标系中画出；
（2）平移，使点与点重合，分别是的对应点，请写出的坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：如图所示即为所求
（2）如图所示；
（3）
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】本题考查平面直角坐标系，平移的性质，三角形的面积.（1）根据坐标，先进行描点，再进行连接可得；
（2）根据点的平移方式确定的平移方式，从而得到点的坐标；
（3）根据面积分割法可得：的面积等于用长方形面积减去小三角形的面积，再根据长方形的面积计算公式和三角形的面积计算公式可列出式子，再进行计算可求出答案．
（1）解：如图所示即为所求
（2）如图所示；
（3）
21．（2024八上·吴兴期末）如图，在中，，、、分别是、、的中点，连结、，求证：．
针对这道题，三位同学进行了如下讨论-- 小胡：“需要利用全等证明．” 小吴：“要证中线相等，我想到了直角三角形．” 小明：“我觉得你们都对，但还有别的方法．”
请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．
【答案】小胡的证明方法：，
，
、、、分别是、、的中点，
，，，
，
，
．
小吴的证明方法：如图，连结，
，是的中点，
，即和为直角三角形，
、分别是、的中点，
∴，，
．
小明的证明方法：如图，连结，，和交于点，
，是的中点，
是的角平分线，
、分别是、的中点，
，，
，
是边的中垂线，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂直平分线的性质与判定.小胡的方法：根据，利用等边对等角可得，由、、、分别是、、的中点，根据中点的性质可推出，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可证明；
小吴的方法：连结，根据，是的中点，利用等腰三角形的性质可得和为直角三角形，再根据、分别是、的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明；
小明的方法：连结，，和交于点，根据，是的中点，利用等腰三角形的性质可证明是的角平分线，根据中点的性质可得，进而可得是边的中垂线，利用中垂线的性质可证明．
22．（2024八上·吴兴期末）【问题情境】
小明所在的班级准备开展知识竞赛，需要购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品．
素材：已知甲、乙两个商店均有价格、款式相同的两种运动盲盒出售，在无促销活动时，若买个A款运动盲盒、个B款运动盲盒，共需元；若买个A款运动盲盒、个B款运动盲盒，共需元．
素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销活动：
甲商店：用元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的折出售已知小明在此之前不是该商店的会员；乙商店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的折出售．
【解决问题】
（1）在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？
（2）小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个（），若小明在甲商店成为会员购买，共需要____________元；若在乙商店购买，共需要___________元．（均用含m的代数式表示）
（3）请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量m在什么范围内时，去甲商店更合算？
【答案】（1）解：设在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元，
由题意得，，
解得，
答：在无促销活动时，款盲盒销售单价为10元，款单价销售单价为8元；
（2）；
（3）当，
解得，
；
答：购买A款运动盲盒的数量在范围内时，去甲商店更合算．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）依题意，若在甲商店购买，共需要（元，
若在乙商店购买，共需要（元，
故答案为：；．
【分析】（1）设款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元，根据“ 买个A款运动盲盒、个B款运动盲盒，共需元；若买个A款运动盲盒、个B款运动盲盒，共需元 ”列二元一次方程组解题即可；
（2）根据甲、乙商店的优惠方案列代数式即可；
（3）根据题意列一元一次不等式解题即可．
（1）解：设在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元，
由题意得，，
解得，
答：在无促销活动时，款盲盒销售单价为10元，款单价销售单价为8元；
（2）依题意，若在甲商店购买，共需要（元，
若在乙商店购买，共需要（元，
故答案为：；．
（3）当，
解得，
；
答：购买A款运动盲盒的数量在范围内时，去甲商店更合算．
23．（2024八上·吴兴期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点，连结，将线段绕点 顺时针旋转到，将点向左平移5个单位长度至点，连接．
（1）求点、点的坐标；
（2）将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，求直线的函数表达式；
（3）现有一动点从出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动，运动时间为秒．请探究：当等于多少时，为等腰三角形．
【答案】（1）解：过、分别作、垂直于轴，垂足分别为，
将线段绕点 顺时针旋转到，
，
，
，
，，
，
由题意得，，
；
（2）解：直线绕点顺时针旋转，∴，
如图所示，设，分别交轴于点，则是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将点，，代入得：
，
解得： ，
即直线的解析式为；
（3）解：如图所示，
∵以每秒个单位长度的速度沿射线运动，运动时间为秒，则，
①当时，秒；
②当时，
设，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
，
秒；
③当时，则的横坐标为，
代入，得，
∴，
，
秒，
综上所述：或或秒．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，旋转的性质，因式分解法解一元二次方程，全等三角形的性质与判定，坐标与图形.（1）过、分别作、垂直于轴，垂足分别为，利用旋转的性质可得：，利用角的运算可得，利用全等三角形的判定定理AAS可证明，利用全等三角形的性质可得，，据此可求出的坐标，根据平移的性质得出的坐标；
（2）设，分别交轴于点，则是等腰直角三角形，根据点C的坐标可求出，进而可得，进而可求出，设直线的解析式为，再根据点，可列出方程组，解方程组可求出k和b的值，进而可求出直线的解析式；
（3）根据题意得出，分三种情况：，据此可列出对应的方程可求出对应的t的值，进而可求出答案.
（1）解：过、分别作、垂直于轴，垂足分别为，
将线段绕点 顺时针旋转到，
，
，
，
，，
，
由题意得，，
；
（2）解：直线绕点顺时针旋转，
∴，
如图所示，设，分别交轴于点，则是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将点，，代入得：
，
解得： ，
即直线的解析式为；
（3）解：如图所示，
∵以每秒个单位长度的速度沿射线运动，运动时间为秒，则，
①当时，秒；
②当时，
设，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
，
秒；
③当时，则的横坐标为，
代入，得，
∴，
，
秒，
综上所述：或或秒．
24．（2024八上·吴兴期末）如图1，为等腰直角三角形，，动点从出发沿线段向终点运动，连结，以为直角边向右作等腰直角，斜边与交于点，连结．
（1）求证：；
（2）如图2，过分别作于点于点．请探究：三条线段之间的数量关系；
（3）在(2)的条件下，若，当等于多少时，的面积最大？并求出最大值．
【答案】（1）解：证明：与均为等腰直角三角形
，，
，
在与中，
；
（2），
，
，
又
，
在与中，
，
；
（3），
，
，
要使最大，只要使最小即可，
当时，最小，
此时，，，，
当时，最大，最大为1．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理；
（1）根据与均为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可推出，再根据AB=BC，BD=BE，利用全等三角形的判定定理可证明；
（2）根据，利用垂直的定义可得，利用角的运算可证明，再利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，，利用线段的运算可得，进而可证明结论；
（3）根据全等三角形的性质可得，又，则要使最大，只要使最小即可，当时，最小，此时，，，，据此可求出答案.
（1）解：证明：与均为等腰直角三角形
，，
，
在与中，
；
（2），
，
，
又
，
在与中，
，
；
（3），
，
，
要使最大，只要使最小即可，
当时，最小，
此时，，，，
当时，最大，最大为1．
1 / 1浙江省湖州市吴兴区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（2024八上·吴兴期末）下列图片中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·吴兴期末）在平面直角坐标系中，点P（3，4）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024八上·吴兴期末）不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八上·吴兴期末）线段首尾顺次相接组成的三角形，若=2，=5，则的长度可以是（　　）.
A．3 B．5 C．7 D．9
5．（2024八上·吴兴期末）对于命题“若，则” 能说明它属于假命题的反例是（　　）．
A． B． C． D．
6．（2024八上·吴兴期末）如图，．下列条件不能证明的是(　　)．
A． B． C． D．
7．（2024八上·吴兴期末）点 和 都在直线 上，且 ，则 与 的关系是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八上·吴兴期末）如图，将一个有角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边上．另一个顶点在纸带的另一边上，测得三角板的较短直角边与纸带边所在的直线成角，则该三角板斜边的长度为（　　）．
A．2 B． C． D．3
9．（2024八上·吴兴期末）小明早晨从家里出发步行去学校（学校与家的距离是米），4分钟后爸爸发现小明数学书没带，骑电瓶车去追赶，追上小明并将数学书交给他（交接时间忽略不计），交接完成后爸爸放慢速度原路返回，小明到达学校，同时爸爸也正好到家．如图，线段与折线分别表示小明和爸爸离开家的距离（米）关于时间（分钟）的函数图象，下列说法错误的是（　　）．
A．小明步行的速度为每分钟米
B．爸爸出发时，小明距离学校还有米
C．爸爸回家时的速度是追赶小明时速度的一半
D．和时，父子俩均相距米
10．（2024八上·吴兴期末）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，过各较长直角边的中点作垂线，围成小正方形．已知为较长直角边，问，当正方形的面积是小正方形面积的倍时，两条直角边与的数量关系是（　　）．
A． B． C． D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024八上·吴兴期末）等腰三角形的顶角等于，则一个底角的度数为　 　．
12．（2024八上·吴兴期末）命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是　 　命题（填“真”或“假”）
13．（2024八上·吴兴期末）已知关于，的方程组的解为，则一次函数与的图象交点坐标为　 　．
14．（2024八上·吴兴期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，且，，则的长为　 　．
15．（2024八上·吴兴期末）在平面直角坐标系中，将一副三角板按如图所示的方式摆放，、分别与，重合，．动点在边上运动，动点在边上运动，的中点的坐标为，则的最小值是　 　．
16．（2024八上·吴兴期末）图象法是函数的表示方法之一，下面我们就一类特殊的函数图象展开探究．
画函数的图象，经历列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示：
探究发现：函数的图象是由向右平移个单位得到；
函数的图象是由向上平移个单位得到．
（1）函数的最小值为　 　；
（2）函数在中有最小值，则的值是　 　．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．（2024八上·吴兴期末）解不等式组．
18．（2024八上·吴兴期末）已知是关于的一次函数，且点，在此函数图象上．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当时，求的取值范围．
19．（2024八上·吴兴期末）如图，在中，是上一点，与相交于点，是的中点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
20．（2024八上·吴兴期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是．
（1）在平面直角坐标系中画出；
（2）平移，使点与点重合，分别是的对应点，请写出的坐标；
（3）求的面积．
21．（2024八上·吴兴期末）如图，在中，，、、分别是、、的中点，连结、，求证：．
针对这道题，三位同学进行了如下讨论-- 小胡：“需要利用全等证明．” 小吴：“要证中线相等，我想到了直角三角形．” 小明：“我觉得你们都对，但还有别的方法．”
请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．
22．（2024八上·吴兴期末）【问题情境】
小明所在的班级准备开展知识竞赛，需要购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品．
素材：已知甲、乙两个商店均有价格、款式相同的两种运动盲盒出售，在无促销活动时，若买个A款运动盲盒、个B款运动盲盒，共需元；若买个A款运动盲盒、个B款运动盲盒，共需元．
素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销活动：
甲商店：用元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的折出售已知小明在此之前不是该商店的会员；乙商店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的折出售．
【解决问题】
（1）在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？
（2）小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个（），若小明在甲商店成为会员购买，共需要____________元；若在乙商店购买，共需要___________元．（均用含m的代数式表示）
（3）请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量m在什么范围内时，去甲商店更合算？
23．（2024八上·吴兴期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点，连结，将线段绕点 顺时针旋转到，将点向左平移5个单位长度至点，连接．
（1）求点、点的坐标；
（2）将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，求直线的函数表达式；
（3）现有一动点从出发，以每秒个单位长度的速度沿射线运动，运动时间为秒．请探究：当等于多少时，为等腰三角形．
24．（2024八上·吴兴期末）如图1，为等腰直角三角形，，动点从出发沿线段向终点运动，连结，以为直角边向右作等腰直角，斜边与交于点，连结．
（1）求证：；
（2）如图2，过分别作于点于点．请探究：三条线段之间的数量关系；
（3）在(2)的条件下，若，当等于多少时，的面积最大？并求出最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，A错误，B错误，D错误
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，C正确
故选：C．
【分析】本题考查轴对称图形的识别.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点P（3，4）所在的象限是：第一象限．
故答案为：A．
【分析】
根据点的坐标特征“第一象限（＋，＋）；第二象限（ ，＋）；第三象限（ ， ）；第四象限（＋， ）”即可解题．
3．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
解得：，
故选：C．
【分析】本题考查求不等式的解集.根据不等式的性质进行移项可得：，据此可求出不等式的解集.
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵线段首尾顺次相接组成的三角形，若=2，=5，
∴
故答案为：B.
【分析】根据三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此即可求出第三条边的取值范围，进而逐项分析即可.
5．【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A、当时，且，不能说明它属于假命题，故A不符合题意 ；
B、当时，但，可以说明它属于假命题，故B符合题意 ；
C、当时，不能说明它属于假命题，故C不符合题意 ；
D、当时，且，不能说明它属于假命题，故D不符合题意 .
故答案为：B．
【分析】假命题：条件符合题意，但是结论相反；根据假命题的判断方法逐一判断即可.
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：A、在和中，
，
∴，故A不符合题意，A错误；
B、在和中，
，
∴，故B不符合题意，B错误；
C、∵，
∴
在和中，
，
∴，故C不符合题意，C错误；
D、在和中，，，，不能得出，故D符合题意，D正确；
故选：D．
【分析】本题考查三角形全等的判定．根据题意可得，添加AB=BC，利用全等三角形的判定定理SAS可证明，据此可判断A选项；添加 ，利用全等三角形的判定定理AAS可证明，据此可判断B选项；添加BM=CM，利用全等三角形的判定定理ASA可证明，据此可判断C选项；通过排除法可选出答案.
7．【答案】D
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解： 直线 中， ，
y随着x的增大而减小，
，
故答案为：D．
【分析】根据一次函数的解析式可得：y随着x的增大而减小，再根据可得答案。
8．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，作于点，
在中，，，，
∴，
在中，，则，
∴．
故答案为：B．
【分析】作，先求出的长，在中，利用度角的直角三角形的性质解题即可．
9．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A.依题意，全程根据学校与家的距离是米，
∴小明步行的速度为每分钟米，A正确；
B.根据函数图象可得爸爸出发时小明走了分钟，
∴爸爸出发时，小明距离学校还有米，B正确；
C.∵追上小明并将数学书交给他，则小明走了米，爸爸的速度为米每分钟；
回来的时间为分钟，则爸爸回家时的速度为米每分钟，即爸爸回家时的速度是追赶小明时速度的一半，C正确；
D.依题意，设分钟时父子俩均相距米，
追上之前，，解得：
追上之后，，解得：，
∴点和点分秒时，分钟时父子俩均相距米，D错误，
故选：D．
【分析】本题考查函数图象.根据题意可得小明步行的速度为每分钟米，据此可判断A选项；根据题意可求出小明距离学校还有米，据此可判断B选项；根据题意可求出爸爸的速度为米每分钟，爸爸回家时的速度为米每分钟，据此可判断C选项；设分钟时父子俩均相距米，据此可列出追上之前，追上之后的方程，，解方程可求出t的值，进而可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意可知，
∵正方形的面积是小正方形面积的倍，
∴
∴
∴
即
故答案为：C．
【分析】设，．即正方形ABCD的面积，然后利用正方形的面积是小正方形面积的倍，求出，解题即可．
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的顶角等于，
又等腰三角形的底角相等，
∴一个底角等于．
故答案为：．
【分析】利用底角相等和三角形内角和定理解题即可．
12．【答案】假
【知识点】三角形全等的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：面积相等的两个不一定三角形全等，是假命题；
故答案为：假．
【分析】全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，因为面积相等的两个三角形的底、高不一定对应相等，然后结合全等三角形的判定定理进行判断.
13．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵关于，的方程组的解为，
∴一次函数与的图象交点坐标为，
故答案为：．
【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的关系.根据于，的方程组的解为，利用二元一次方程组的解是对应两个一次函数图象交点的横坐标和纵坐标， 据此可求出两个一次函数的交点坐标．
14．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵边的垂直平分线交于点，
∴，
又∵，，
∴
故答案为：．
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质．根据边的垂直平分线交于点，利用垂直平分线的性质可得，利用线段的运算可得，代入数据可求出答案.
15．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，
∵的中点的坐标为，
∴
∵
∴当与重合时，且在上，取得最小值，最小值为的长，
∵
∴
∴，则
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
【分析】本题考查垂线段最短，勾股定理，含度角的直角三角形的性质.过点作于点，当与重合时，且在上，取得最小值，最小值为的长，利用角的运算可得，利用含度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可求出PE，进而可求出答案.
16．【答案】；或
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）如图所示，函数的图象是由向上平移3个单位得到．
根据函数图象可得函数的最小值为，
故答案为：．
（2）若，
当时，有最小值，
，
（舍），或
若，
当时，有最小值，不符合题意，舍去．
若，
当时，有最小值，
，
（舍），或
综上所述，或．
故答案为：或．
【分析】本题考查一次函数的图象及性质；
（1）画出的图象，通过观察图象可得函数的图象是由向上平移3个单位得到，进而可求出函数的最小值；
（2）分两种种情况：若，若，根据题意可列出方程或，解方程可求出m的值，进而可求出答案.
17．【答案】解：解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查求不等式组的解集.先分别解出两个不等式可得：不等式①得：，不等式②得：，再根据求不等式组解集的口诀可求出不等式组的解集．
18．【答案】（1）解：设把，代入得：
把，代入得：
∴这个函数表达式为：．
（2）
【知识点】解一元一次不等式；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解一元一次不等式；
（1）设，将点A和点B代入解析式可列出方程组，，解方程组可求出k和b的值，据此可求出这个一次函数的表达式.
（2）根据题意可列出不等式，解不等式可求出实数x的取值范围.
（1）解：设
把，代入得：
把，代入得：
∴这个函数表达式为：．
（2）
19．【答案】（1）证明：，
，
是的中点，
，
又，
；
（2）解：，
，
．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题考查全等三角形的性质与判定．
（1）根据，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等可得，再根据对顶角相等，中点的性质得出，，利用全等三角形的判定定理可证明；；
（2）根据全等三角形的性质可得，再根据线段的运算可得，代入数据进行计算可求出答案．
（1）证明：，
，
是的中点，
，
又，
；
（2）解：，
，
．
20．【答案】（1）解：如图所示即为所求
（2）如图所示；
（3）
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】本题考查平面直角坐标系，平移的性质，三角形的面积.（1）根据坐标，先进行描点，再进行连接可得；
（2）根据点的平移方式确定的平移方式，从而得到点的坐标；
（3）根据面积分割法可得：的面积等于用长方形面积减去小三角形的面积，再根据长方形的面积计算公式和三角形的面积计算公式可列出式子，再进行计算可求出答案．
（1）解：如图所示即为所求
（2）如图所示；
（3）
21．【答案】小胡的证明方法：，
，
、、、分别是、、的中点，
，，，
，
，
．
小吴的证明方法：如图，连结，
，是的中点，
，即和为直角三角形，
、分别是、的中点，
∴，，
．
小明的证明方法：如图，连结，，和交于点，
，是的中点，
是的角平分线，
、分别是、的中点，
，，
，
是边的中垂线，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、垂直平分线的性质与判定.小胡的方法：根据，利用等边对等角可得，由、、、分别是、、的中点，根据中点的性质可推出，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可证明；
小吴的方法：连结，根据，是的中点，利用等腰三角形的性质可得和为直角三角形，再根据、分别是、的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明；
小明的方法：连结，，和交于点，根据，是的中点，利用等腰三角形的性质可证明是的角平分线，根据中点的性质可得，进而可得是边的中垂线，利用中垂线的性质可证明．
22．【答案】（1）解：设在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元，
由题意得，，
解得，
答：在无促销活动时，款盲盒销售单价为10元，款单价销售单价为8元；
（2）；
（3）当，
解得，
；
答：购买A款运动盲盒的数量在范围内时，去甲商店更合算．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）依题意，若在甲商店购买，共需要（元，
若在乙商店购买，共需要（元，
故答案为：；．
【分析】（1）设款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元，根据“ 买个A款运动盲盒、个B款运动盲盒，共需元；若买个A款运动盲盒、个B款运动盲盒，共需元 ”列二元一次方程组解题即可；
（2）根据甲、乙商店的优惠方案列代数式即可；
（3）根据题意列一元一次不等式解题即可．
（1）解：设在无促销活动时，款盲盒销售单价为元，款盲盒销售的单价为元，
由题意得，，
解得，
答：在无促销活动时，款盲盒销售单价为10元，款单价销售单价为8元；
（2）依题意，若在甲商店购买，共需要（元，
若在乙商店购买，共需要（元，
故答案为：；．
（3）当，
解得，
；
答：购买A款运动盲盒的数量在范围内时，去甲商店更合算．
23．【答案】（1）解：过、分别作、垂直于轴，垂足分别为，
将线段绕点 顺时针旋转到，
，
，
，
，，
，
由题意得，，
；
（2）解：直线绕点顺时针旋转，∴，
如图所示，设，分别交轴于点，则是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将点，，代入得：
，
解得： ，
即直线的解析式为；
（3）解：如图所示，
∵以每秒个单位长度的速度沿射线运动，运动时间为秒，则，
①当时，秒；
②当时，
设，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
，
秒；
③当时，则的横坐标为，
代入，得，
∴，
，
秒，
综上所述：或或秒．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，旋转的性质，因式分解法解一元二次方程，全等三角形的性质与判定，坐标与图形.（1）过、分别作、垂直于轴，垂足分别为，利用旋转的性质可得：，利用角的运算可得，利用全等三角形的判定定理AAS可证明，利用全等三角形的性质可得，，据此可求出的坐标，根据平移的性质得出的坐标；
（2）设，分别交轴于点，则是等腰直角三角形，根据点C的坐标可求出，进而可得，进而可求出，设直线的解析式为，再根据点，可列出方程组，解方程组可求出k和b的值，进而可求出直线的解析式；
（3）根据题意得出，分三种情况：，据此可列出对应的方程可求出对应的t的值，进而可求出答案.
（1）解：过、分别作、垂直于轴，垂足分别为，
将线段绕点 顺时针旋转到，
，
，
，
，，
，
由题意得，，
；
（2）解：直线绕点顺时针旋转，
∴，
如图所示，设，分别交轴于点，则是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将点，，代入得：
，
解得： ，
即直线的解析式为；
（3）解：如图所示，
∵以每秒个单位长度的速度沿射线运动，运动时间为秒，则，
①当时，秒；
②当时，
设，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
，
秒；
③当时，则的横坐标为，
代入，得，
∴，
，
秒，
综上所述：或或秒．
24．【答案】（1）解：证明：与均为等腰直角三角形
，，
，
在与中，
；
（2），
，
，
又
，
在与中，
，
；
（3），
，
，
要使最大，只要使最小即可，
当时，最小，
此时，，，，
当时，最大，最大为1．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理；
（1）根据与均为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可推出，再根据AB=BC，BD=BE，利用全等三角形的判定定理可证明；
（2）根据，利用垂直的定义可得，利用角的运算可证明，再利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，，利用线段的运算可得，进而可证明结论；
（3）根据全等三角形的性质可得，又，则要使最大，只要使最小即可，当时，最小，此时，，，，据此可求出答案.
（1）解：证明：与均为等腰直角三角形
，，
，
在与中，
；
（2），
，
，
又
，
在与中，
，
；
（3），
，
，
要使最大，只要使最小即可，
当时，最小，
此时，，，，
当时，最大，最大为1．
1 / 1

展开更多......

收起↑