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湖南省长沙市华益中学2025年中考三模数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·长沙模拟）4的算术平方根是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．（2025·长沙模拟）未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·长沙模拟）根据长沙市旅游局的数据统计，年“五一”假期期间，长沙市共接待游客万人次，数据用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·长沙模拟）下列计算中不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·长沙模拟）5月日，在我校八年级举行的“我的梦想”主题演讲比赛中，进入决赛的7位同学得分由低到高依次为，，，，，，．这组得分的中位数是（　　）分
A．91 B．92 C．97 D．90
6．（2025·长沙模拟）已知三角形的周长是，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2025·长沙模拟）如图，内接于，为直径，半径，连接，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·长沙模拟）一次函数的图象如图所示，则点在第（　　）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
9．（2025·长沙模拟）锐角三角函数的历史发展可以追溯到古埃及和巴比伦，他们在记录天文现象时就已经开始使用三角函数概念．已知是的一个锐角，下列关于说法正确的是（　　）
A．的值等于边和的比值 B．当时，
C．的值与的形状无关 D．当越大，越小
10．（2025·长沙模拟）如图，内接于，且是的直径，是的切线，切点为C，且．若，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·长沙模拟）若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2025·长沙模拟）分解因式：　 　．
13．（2025·长沙模拟）在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（赫兹）与振动弦长（米）近似成反比例关系，即（为常数，）．若振动弦长为0.6米时，测得振动频率为200赫兹，则的值为　 　．
14．（2025·长沙模拟）如图，中，，，分别是的中位线和中线，，则　 　．
15．（2025·长沙模拟）如果是一元二次方程的解，则　 　．
16．（2025·长沙模拟）如图，矩形的对角线交于点，点在边上，且，若，，则的周长是　 　．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分）
17．（2025·长沙模拟）计算：．
18．（2025·长沙模拟）解不等式组：，并写出不等式组的整数解．
19．（2025·长沙模拟）小聪与小慧一起研究尺规作图问题：
如图1，在锐角三角形中，，是边上的中线．现在要找一点，使四边形是平行四边形．
小聪：以点为圆心，长为半径在的右侧作弧，延长交此弧于点，连结，．
小慧：以点为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧，两弧在右侧交于点，连结，．
（1）图2为小聪的作图，请证明作出的四边形是平行四边形．
（2）小慧作图依据是_____（填序号）
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形
④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
20．（2025·长沙模拟）某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验教学成果，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么？”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A．高锰酸钾制取氧气；B．电解水；C．木炭还原氧化铜；D．一氧化碳还原氧化铜；E．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）．
请结合统计图，回答下列问题：
（1）本次调查采取的调查方式是______；（填写“普查”或“抽样调查”）
（2）______，E所对应的扇形圆心角是______；
（3）请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”的有______人；
（4）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，C、D、E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，则两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率为______．
21．（2025·长沙模拟）如图，在正方形中，、分别是、边上的点，，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
22．（2025·长沙模拟）臭豆腐是长沙的特色美食，其外皮焦黑酥脆，内部嫩滑如豆腐脑，搭配辣椒蒜水食用，味道独特，令人难忘．
（1）臭豆腐的调味料中有辣椒粉和大蒜，某商家用90元购买大蒜比用同样全额购买辣椒粉的数量多3市斤，且辣椒粉单价比大蒜的单价多50%，求大蒜多少元每市斤？
（2）臭豆腐现已包装生产远销海外，某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可加工100个汤料包和200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人加工汤料包？
23．（2025·长沙模拟）综合与实践
【主题】制作圆锥
【素材】直径为的圆形卡纸、剪刀、透明胶．
【实践操作】
步骤1：如图1，把直径为的圆形卡纸剪出一个圆心角为的最大扇形（图2）．
步骤2：如图3，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥．并用透明胶粘住接合处．
【实践探索】
（1）求剪下的扇形的半径．
（2）如图3，求此圆锥形卡纸的底面圆的半径．
24．（2025·长沙模拟）如图，在等腰直角中，，点是斜边上一动点（不与点重合），连接，以为直角边在右侧构造等腰直角，，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）若，点从点运动到点，
①设，，求关于的函数关系式，并写出最大值；
②的外心所经过的路径长为_____；
（3）记的面积为，的面积为，若，求的正切值．
25．（2025·长沙模拟）我校的育人目标是培养品德高尚、乐学善思、自信全面、勇于创新的华益学子，相信历经三年华益的学习生活，你将交上一份优秀的答卷．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，如果两个二次函数与满足，我们称两个函数互为“益美函数”．
根据约定，回答下列问题：
（1）二次函数与互为“益美函数”，则_____，_____；与的图象与轴交点_____（填“相同”或“不相同”）
（2）已知二次函数与互为“益美函数”，若的图象与轴没有交点，试判断与的图象是否存在交点，若存在，请求出交点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）已知二次函数与二次函数互为“益美函数”，二次函数图象顶点为且与轴交于、两点（点在点左侧），记（且为常数），二次函数图象顶点为，已知，是方程的两根；
①求证：是直角三角形；
②若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：，所以4的算术平方根是2.
故答案为：C．
【分析】根据算术平方根的定义直接计算即可．
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A正确；
B图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故B错误；
C图形不是中心对称图形，但是轴对称图形，故C错误；
D图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故D错误；
故答案为：A．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义对各选项依次判断即可得出答案.在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；而轴对称图形是指平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将8110700用科学记数法表示为，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．当原数为较大数时，n等于原数的整数位数减去1.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A计算正确，不符合题意；
B、，故B计算正确，不符合题意；
C、，故C计算正确，不符合题意；
D、，故D计算不正确，符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方，单项式乘以单项式的运算法则对各项依次进行计算即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将7位同学得分按从小大的顺序排列为，，，，，，，
中位数为中间第4个数，即，
所以这组得分的中位数为，
故答案为：B．
【分析】根据中位数的定义即可得出答案．
6．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形的一边长为x，
∵三角形的周长为13，
∴三角形的另外两边的和是13-x，
由三角形的三边关系定理得到13-x＞x，
∴x＜6.5，
∴三角形的边长的最大值不能大于和等于6.5，
故答案为：D.
【分析】设三角形的一边长为x，根据三角形任意两边之和大于第三边列方程求解即可．
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴．
故答案为：B．
【分析】利用直径所对的圆周角是直角可求得∠ACB，再利用直角三角形的性质推出∠ABC，然后利用平行线的性质得∠BOD，最后利用圆周角定理可求的度数 .
8．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：根据一次函数图象可知，k＜0，b＞0，
根据直角坐标系中点的特征可知，点在第二象限，
故答案为：B．【分析】先根据一次函数的图象判断k和b的符号，再根据直角坐标系中点的特征确定点所在的象限即可．
9．【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值；求正弦值
【解析】【解答】解：A、在Rt△ABC中，当AB为斜边时，sin∠A的值等于边和的比值，故A错误；
B、当时，，故B错误；
C、的值与的形状无关，故C正确；
D、当越大，越大，故D错误；
故答案为：C．
【分析】根据锐角三角函数正弦的概念和性质对各项逐一进行判断即可.
10．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：A、∵是的直径，
∴，
∵，
∴∠ABC=90°-∠A=45°，
∴∠A=∠ABC，
∴，
如图，连接OC，
∵是的切线，切点为C，
∴，
∵点O是的中点，
∴OC=OA=OB，
∴∠A=∠ACO=45°
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，故A不符合题意；
B、∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴，故B不符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，
∴AB=CD，
又∵
∴，故C选项符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴，故D选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据圆周角定理可得∠ACB的度数，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，即可判断B；连接OC，根据切线的性质可得，再由等腰直角三角形的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定和平行四边形的判定即可证四边形是平行四边形，从而可得，即可判断A；最后根据平行四边形的性质可得，即可判断C、D．
11．【答案】x≤6
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得6-x≥0，
解得：x≤6.
故答案为：x≤6.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】先提公因式x，再利用完全平方公式因式分解即可．
13．【答案】120
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意可知，当l=0.6米时，f=200赫兹，将其代入关系式 得，200=，∴k=200×0.6=120，
故答案为：120．
【分析】根据待定系数法直接将代入关系式即可求出答案．
14．【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵DE是△ABC的中位线，∴DE=AB，∵∠ACB=90°，CF是△ABC的中线，∴CF=AB，∴DE=CF，∵DE=4，∴CF=4.
故答案为：4．
【分析】根据三角形中位线定理和“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得出DE=CF=AB，即可得出结果．
15．【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把x=1代入方程得，即a+2b=1，
∴2a+4b+2023
=2（a+2b）+2023
=2×1+2023
=2025.
故答案为：．
【分析】把x=1代入方程得出a+2b=1，再利用整体代入的方法计算即可．
16．【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，EO⊥AC，∴AO=CO=AC，
∴OE垂直平分AC，
∴CE=AE，
由矩形的性质可知，AB=CD=3，AD=BC，∠ABC=90°，
∴BC==4，∴AD=4，∴=DE+CD+CE=DE+CD+AE=AD+CD=4+3=7.
故答案为：7．
【分析】根据矩形的性质可得OE垂直平分AC，推出CE=AE，再根据勾股定理求得AD=4，然后将△EDC的周长转化为AD+DC即可得出答案.
17．【答案】解：原式=1÷4-（-1）+2×
=-+1+
=.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先化简各数，再进行乘除运算，最后进行加减运算即可.
18．【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
将不等式①②的解集在数轴上表示为：
∴原不等式组的解集为-2≤x＜1，
其中，不等式组的整数解有：-2，-1，0.
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来，求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可．
19．【答案】（1）解：∵是边上的中线，
∴BD=CD，
由作图可知，ED=AD，
∴AE与BC互相平分，
∴四边形ABEC是平行四边形.
（2）③
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：（2）由小慧的作图过程可知：，，
∴四边形是平行四边形．
∴小慧的作图依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
故答案为：③．
【分析】（1）由作图过程可知：ED=AD，由题意得BD=CD，进而可知四边形ABEC是平行四边形；
（2）由小慧的作图过程可知：，，结合平行四边形的判定即可得出答案.
（1）证明：由作图可知：，
∵是边上的中线，
∴，
∴四边形是平行四边形
（2）解：由作图可知：，，
依据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得
四边形是平行四边形．
故答案为：③．
20．【答案】（1）抽样调查
（2）50，
（3）120
（4）
【知识点】全面调查与抽样调查；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知，本次调查采取的调查方式是抽样调查；
故答案为：抽样调查；
（2）根据题意可知，抽取的学生人数为（人），
∴a=（人），
E所对应的扇形圆心角是360°×=72°，
故答案为：50，；
（3）估计该校九年级800名学生中最喜欢的实验是“ D．一氧化碳还原氧化铜 ”的有（人），
故答案为：120；
（4）小明从五个实验中任意选取两个可能情况列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有（C，D）、（C，E）、（D，C）、（D，E）、（E，C）、（E，D）共6种，
∴P（两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）．
故答案为：.
【分析】（1）根据全面调查与抽样调查的定义进行判断即可；
（2）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得抽取的人数，用抽取的人数分别减去A、B、D、E的人数可得a的值；用360°乘以E的人数所占的百分比，即可得出答案；
（3）根据用样本估计总体，用800乘以样本中D的人数所占的百分比，即可得出答案；
（4）列表可得出所有等可能得结果数，以及两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果数，再利用概率公式可得出答案.
（1）解：由题意，本次调查采取的调查方式是抽样调查；
故答案为：抽样调查；
（2）解：抽取的学生人数为（人），
选择C的学生人数为（人），
故；
E所对应的扇形圆心角是，
故答案为：50，；
（3）解：（人），
故答案为：120；
（4）解：列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，
∴P（两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）．
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADF=∠DCE=90°，AD=DC，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS）.
（2）解：由（1）可知，△ADF≌△DCE，∠DAF=30°，
∴∠DAF=∠CDE=30°，
∵∠ADF=90°，
∴∠ADG=∠ADF-∠CDE=60°，
∴∠DGA=180°-∠ADG-∠DAF=90°，
∴在Rt△ADG中，AG=ADcos∠DAF=ADcos30°=4×=，
∴AG=.
【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可知∠ADF=∠DCE=90°，AD=DC，再根据DF=CE，可依据“SAS”判定△ADF和△DCE全等；
（2）根据△ADF≌△DCE，可得∠DAF=∠CDE=30°，则∠ADG=60°，进而得出∠DGA=90°，然后根据锐角三角函数即可得出答案．
（1）解：四边形是正方形，
·，，
∵，
在和中，，
；
（2）解：由（1）知，
，
即，
，
，
∵，，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：设大蒜x元每市斤，则辣椒（1+50%）x元每市斤，
根据题意可列方程得：，
解得：x=10，
经检验，x=10是原分式方程的解，且符合题意，
答：大蒜10元每市斤.
（2）解：设安排y名工人加工汤料包，则安排（60-y）名工人加工配料表，
根据题意可列方程为：4×100y=200（60-y），
解得：y=20，
答：安排20名工人加工汤料包.
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设大蒜x元每市斤，则辣椒（1+50%）x元每市斤，利用数量=总价÷单价，结合“ 用90元购买大蒜比用同样全额购买辣椒粉的数量多3市斤 ”列方程求解即可；
（2）设安排y名工人加工汤料包，则安排（60-y）名工人加工配料表，根据每小时生产配料包的总数量是每小时生产汤料包总数量的4倍，列方程求解即可．
（1）解：设大蒜元每市斤，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
答：大蒜元每市斤；
（2）解：设安排名工人加工汤料包，
根据题意得：，
解得：，
答：安排名工人加工汤料包．
23．【答案】（1）解：如图：连接OA，过点O作OD⊥AC于点D，
则AD=DC，
∵∠BAC=60°，
∴∠OAD=30°，∴OD=OA=10cm，∴AD==ccm，∴AC=2AD=cm，即剪下的扇形ABC的半径为cm.
（2）解：扇形BAC的弧长为：=π，
∴2πr=π，
解得：r=，
答： 此圆锥形卡纸的底面圆的半径r为.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；圆锥的计算；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OA，过点O作OD⊥AC于点D，根据含30°角的直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出AD，进而求出AC；
（2）根先根据弧长公式计算出弧BC的长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长计算该圆锥的底面圆的半径.
（1）解：如图所示，连接，过点O作于H，
∵扇形的圆心角为，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴剪下的扇形的半径为；
（2）解：，
∴此圆锥形卡纸的底面圆的半径为．
24．【答案】（1）证明：∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=90°，∠DCE=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ECB+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠ECB，
在△CAD和△CBE中，
，
∴△CAD≌△CBE（SAS），
∴AD=BE.
（2）解：①如图所示，过点C作CH⊥AB于点H，过点F作FG⊥AB于点G，
∴，
由（1）可知，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵AD=x，
∴DG=AB-AD-BG=-x-y，DB=AB-AD=-x，
∴
整理得：，
∵，
∴当时，取最大值2；
②4.
（3）解：设，则，
由（2）可知：，
∴为等腰直角三角形，
∴，
根据勾股定理得：
，
∴=，
∴
∵，
∵，
∴=×，
解得：或，
由（1）可知：，
∴的正切值等于的正切值，分两种情况讨论：
如图所示：当时，，过点D作于点M，
则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示：当时，，过点D作于点M，
则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上分析可知：或．
【知识点】二次函数的最值；线段垂直平分线的性质；三角形的外接圆与外心；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）②如图所示：延长，交于点G，作线段的垂直平分线，交于点M，交于点N，连接、，
由①可知：，
∴，
∴点在过点B与垂直的射线上运动，
∵垂直平分，
∴的外心在上，
∵，，，
∴和为等腰直角三角形，
∴，
∴，
，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴BM=GM，
∴M为的中点，
∴垂直平分，
同理得：垂直平分，
∵当点D从点A运动到点B的过程中，点E从点B运动到点G，且点D在点A处时，点E在点B处，点D在点B处时，点E在点G处，
∴的外心从点H处运动到点M处，
∴的外心运动的轨迹长为；
故答案为：4.
【分析】
（1）根据已知得出AC=BC，CD=CE，∠ACD=∠ECB，证明，得出即可；
（2）①过点C作CH⊥AB于点H，过点F作FG⊥AB于点G，易得，进而求得，再证明为等腰直角三角形，得出，求出，，代入比例式得到分式，进而转化为，再根据二次函数的最值，求出最大值即可；
②延长，交于点G，作线段的垂直平分线，交于点M，交于点N，连接、，先说明点在过点B与垂直的射线上运动，证明垂直平分，垂直平分，说明当点D从点A运动到点B的过程中，点E从点B运动到点G，且点D在点A处时，点E在点B处，点D在点B处时，点E在点G处，的外心从点H处运动到点M处，求出其运动轨迹长即可；
（3）设，则，根据，列出方程，求出或，分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可．
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：①过点C作于点H，过点F作于点G，如图所示：
则，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
根据解析（1）可知：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理得：；
∵，
∴当时，取最大值2；
②延长，交于点G，作线段的垂直平分线，交于点M，交于点N，连接、，如图所示：
根据①可知：，
∴，
∴点在过点B与垂直的射线上运动，
∵垂直平分，
∴的外心在上，
∵，，，
∴和为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴M为的中点，
∴垂直平分，
同理得：垂直平分，
∵当点D从点A运动到点B的过程中，点E从点B运动到点G，且点D在点A处时，点E在点B处，点D在点B处时，点E在点G处，
∴的外心从点H处运动到点M处，
∴的外心运动的轨迹长为；
（3）解：设，则，
根据解析（2）可知：，
∴为等腰直角三角形，
∴，
根据勾股定理得：，
，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
整理得：，
解得：或，
根据解析（1）可知：，
∴的正切值等于的正切值，
当时，，过点D作于点M，如图所示：
则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，，过点D作于点M，如图所示：
则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上分析可知：或．
25．【答案】（1），相同；
（2）解：与的图象不存在交点，
理由：∵二次函数与互为“益美函数”，
∴ ，
设，
∴，
∴，
∵的图象与轴没有交点，
∴，
令，
整理得：，
∵k≠1，
∴≠0，则，
∴，
∴与的图象不存在交点.
（3）解：①∵二次函数与二次函数互为“益美函数”，
∴，
设，
∴，
∴，
由（1）可得：两个函数与轴的交点相同，
∴抛物线与轴的交点也为两点，
设，
二次函数的对称轴是x=，的对称轴为直线，
∴两个二次函数的对称轴相等，
∴，，
∴，
∵AB=m，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，
∵，是方程的两根，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
②由①可知：，，
∵AB=m，
∴，，
∵，是方程的两根，
∴，
∴
，
∵ ，
∴
变形整理得：，
解得：m=1或m=（不符合题意，舍去），
∴m=1，即AB的长为1.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意可知：，
∴m=-2，n=4，
∴，
∴y2与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），
∵，
∴y1与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），
∴ ；与的图象与轴交点相同，
故答案为：-2；4；相同.
【分析】（1）根据“益美函数”的定义，列出比例式进行计算，进而求出两个函数与轴的交点进行判断即可；
（2）设则，求得，再根据的图象与轴没有交点，得到，令，根据≠0得到，进而得到，即可得出结果；
（3）①设，则，设，得到，，根据，得到，两点式写出解析式，得到，，进而得到，，，推出，即可得出结论；
②先求出，，根据根与系数的关系得到，再根据，列出方程进行求解得出m的值，即可得出答案.
（1）解：由题意，得：，
∴，
∴，
∴当时，即：，
解得：或，
∵，
∴当时，，
∴与的图象与轴交点相同均为；
（2）不存在，理由如下：
设，
∴，
∵与互为“益美函数”，
∴，
∵的图象与轴没有交点，
∴，
令，整理，得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与的图象不存在交点；
（3）①设，
则：，
∵二次函数与二次函数互为“益美函数”，
∴，
由（1）可知：两个函数与轴的交点相同，
∴抛物线与轴的交点也为，
设，
∵的对称轴为直线，与的对称轴相同，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，，
∴，
∵，是方程的两根，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
②∵，由①知：，
∴，，
∵，是方程的两根，
∴，
∴
，
∴，
解得：（不合题意，舍去）或，
故．
1 / 1湖南省长沙市华益中学2025年中考三模数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·长沙模拟）4的算术平方根是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：，所以4的算术平方根是2.
故答案为：C．
【分析】根据算术平方根的定义直接计算即可．
2．（2025·长沙模拟）未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A正确；
B图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故B错误；
C图形不是中心对称图形，但是轴对称图形，故C错误；
D图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故D错误；
故答案为：A．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义对各选项依次判断即可得出答案.在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；而轴对称图形是指平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
3．（2025·长沙模拟）根据长沙市旅游局的数据统计，年“五一”假期期间，长沙市共接待游客万人次，数据用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将8110700用科学记数法表示为，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．当原数为较大数时，n等于原数的整数位数减去1.
4．（2025·长沙模拟）下列计算中不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A计算正确，不符合题意；
B、，故B计算正确，不符合题意；
C、，故C计算正确，不符合题意；
D、，故D计算不正确，符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方，单项式乘以单项式的运算法则对各项依次进行计算即可得出答案.
5．（2025·长沙模拟）5月日，在我校八年级举行的“我的梦想”主题演讲比赛中，进入决赛的7位同学得分由低到高依次为，，，，，，．这组得分的中位数是（　　）分
A．91 B．92 C．97 D．90
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将7位同学得分按从小大的顺序排列为，，，，，，，
中位数为中间第4个数，即，
所以这组得分的中位数为，
故答案为：B．
【分析】根据中位数的定义即可得出答案．
6．（2025·长沙模拟）已知三角形的周长是，则以下哪个长度不可能是该三角形的边长（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形的一边长为x，
∵三角形的周长为13，
∴三角形的另外两边的和是13-x，
由三角形的三边关系定理得到13-x＞x，
∴x＜6.5，
∴三角形的边长的最大值不能大于和等于6.5，
故答案为：D.
【分析】设三角形的一边长为x，根据三角形任意两边之和大于第三边列方程求解即可．
7．（2025·长沙模拟）如图，内接于，为直径，半径，连接，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
∴．
故答案为：B．
【分析】利用直径所对的圆周角是直角可求得∠ACB，再利用直角三角形的性质推出∠ABC，然后利用平行线的性质得∠BOD，最后利用圆周角定理可求的度数 .
8．（2025·长沙模拟）一次函数的图象如图所示，则点在第（　　）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：根据一次函数图象可知，k＜0，b＞0，
根据直角坐标系中点的特征可知，点在第二象限，
故答案为：B．【分析】先根据一次函数的图象判断k和b的符号，再根据直角坐标系中点的特征确定点所在的象限即可．
9．（2025·长沙模拟）锐角三角函数的历史发展可以追溯到古埃及和巴比伦，他们在记录天文现象时就已经开始使用三角函数概念．已知是的一个锐角，下列关于说法正确的是（　　）
A．的值等于边和的比值 B．当时，
C．的值与的形状无关 D．当越大，越小
【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值；求正弦值
【解析】【解答】解：A、在Rt△ABC中，当AB为斜边时，sin∠A的值等于边和的比值，故A错误；
B、当时，，故B错误；
C、的值与的形状无关，故C正确；
D、当越大，越大，故D错误；
故答案为：C．
【分析】根据锐角三角函数正弦的概念和性质对各项逐一进行判断即可.
10．（2025·长沙模拟）如图，内接于，且是的直径，是的切线，切点为C，且．若，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：A、∵是的直径，
∴，
∵，
∴∠ABC=90°-∠A=45°，
∴∠A=∠ABC，
∴，
如图，连接OC，
∵是的切线，切点为C，
∴，
∵点O是的中点，
∴OC=OA=OB，
∴∠A=∠ACO=45°
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，故A不符合题意；
B、∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴，故B不符合题意；
C、∵四边形是平行四边形，
∴AB=CD，
又∵
∴，故C选项符合题意；
∵四边形是平行四边形，
∴，故D选项不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据圆周角定理可得∠ACB的度数，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可得，即可判断B；连接OC，根据切线的性质可得，再由等腰直角三角形的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定和平行四边形的判定即可证四边形是平行四边形，从而可得，即可判断A；最后根据平行四边形的性质可得，即可判断C、D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·长沙模拟）若二次根式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≤6
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得6-x≥0，
解得：x≤6.
故答案为：x≤6.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
12．（2025·长沙模拟）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】先提公因式x，再利用完全平方公式因式分解即可．
13．（2025·长沙模拟）在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（赫兹）与振动弦长（米）近似成反比例关系，即（为常数，）．若振动弦长为0.6米时，测得振动频率为200赫兹，则的值为　 　．
【答案】120
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：根据题意可知，当l=0.6米时，f=200赫兹，将其代入关系式 得，200=，∴k=200×0.6=120，
故答案为：120．
【分析】根据待定系数法直接将代入关系式即可求出答案．
14．（2025·长沙模拟）如图，中，，，分别是的中位线和中线，，则　 　．
【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵DE是△ABC的中位线，∴DE=AB，∵∠ACB=90°，CF是△ABC的中线，∴CF=AB，∴DE=CF，∵DE=4，∴CF=4.
故答案为：4．
【分析】根据三角形中位线定理和“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得出DE=CF=AB，即可得出结果．
15．（2025·长沙模拟）如果是一元二次方程的解，则　 　．
【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把x=1代入方程得，即a+2b=1，
∴2a+4b+2023
=2（a+2b）+2023
=2×1+2023
=2025.
故答案为：．
【分析】把x=1代入方程得出a+2b=1，再利用整体代入的方法计算即可．
16．（2025·长沙模拟）如图，矩形的对角线交于点，点在边上，且，若，，则的周长是　 　．
【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，EO⊥AC，∴AO=CO=AC，
∴OE垂直平分AC，
∴CE=AE，
由矩形的性质可知，AB=CD=3，AD=BC，∠ABC=90°，
∴BC==4，∴AD=4，∴=DE+CD+CE=DE+CD+AE=AD+CD=4+3=7.
故答案为：7．
【分析】根据矩形的性质可得OE垂直平分AC，推出CE=AE，再根据勾股定理求得AD=4，然后将△EDC的周长转化为AD+DC即可得出答案.
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分）
17．（2025·长沙模拟）计算：．
【答案】解：原式=1÷4-（-1）+2×
=-+1+
=.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先化简各数，再进行乘除运算，最后进行加减运算即可.
18．（2025·长沙模拟）解不等式组：，并写出不等式组的整数解．
【答案】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
将不等式①②的解集在数轴上表示为：
∴原不等式组的解集为-2≤x＜1，
其中，不等式组的整数解有：-2，-1，0.
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来，求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可．
19．（2025·长沙模拟）小聪与小慧一起研究尺规作图问题：
如图1，在锐角三角形中，，是边上的中线．现在要找一点，使四边形是平行四边形．
小聪：以点为圆心，长为半径在的右侧作弧，延长交此弧于点，连结，．
小慧：以点为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧，两弧在右侧交于点，连结，．
（1）图2为小聪的作图，请证明作出的四边形是平行四边形．
（2）小慧作图依据是_____（填序号）
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形
④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【答案】（1）解：∵是边上的中线，
∴BD=CD，
由作图可知，ED=AD，
∴AE与BC互相平分，
∴四边形ABEC是平行四边形.
（2）③
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：（2）由小慧的作图过程可知：，，
∴四边形是平行四边形．
∴小慧的作图依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
故答案为：③．
【分析】（1）由作图过程可知：ED=AD，由题意得BD=CD，进而可知四边形ABEC是平行四边形；
（2）由小慧的作图过程可知：，，结合平行四边形的判定即可得出答案.
（1）证明：由作图可知：，
∵是边上的中线，
∴，
∴四边形是平行四边形
（2）解：由作图可知：，，
依据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得
四边形是平行四边形．
故答案为：③．
20．（2025·长沙模拟）某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验教学成果，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么？”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：A．高锰酸钾制取氧气；B．电解水；C．木炭还原氧化铜；D．一氧化碳还原氧化铜；E．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）．
请结合统计图，回答下列问题：
（1）本次调查采取的调查方式是______；（填写“普查”或“抽样调查”）
（2）______，E所对应的扇形圆心角是______；
（3）请你根据调查结果，估计该校九年级800名学生中最喜欢的实验是“D．一氧化碳还原氧化铜”的有______人；
（4）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，C、D、E三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，则两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率为______．
【答案】（1）抽样调查
（2）50，
（3）120
（4）
【知识点】全面调查与抽样调查；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知，本次调查采取的调查方式是抽样调查；
故答案为：抽样调查；
（2）根据题意可知，抽取的学生人数为（人），
∴a=（人），
E所对应的扇形圆心角是360°×=72°，
故答案为：50，；
（3）估计该校九年级800名学生中最喜欢的实验是“ D．一氧化碳还原氧化铜 ”的有（人），
故答案为：120；
（4）小明从五个实验中任意选取两个可能情况列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有（C，D）、（C，E）、（D，C）、（D，E）、（E，C）、（E，D）共6种，
∴P（两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）．
故答案为：.
【分析】（1）根据全面调查与抽样调查的定义进行判断即可；
（2）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得抽取的人数，用抽取的人数分别减去A、B、D、E的人数可得a的值；用360°乘以E的人数所占的百分比，即可得出答案；
（3）根据用样本估计总体，用800乘以样本中D的人数所占的百分比，即可得出答案；
（4）列表可得出所有等可能得结果数，以及两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果数，再利用概率公式可得出答案.
（1）解：由题意，本次调查采取的调查方式是抽样调查；
故答案为：抽样调查；
（2）解：抽取的学生人数为（人），
选择C的学生人数为（人），
故；
E所对应的扇形圆心角是，
故答案为：50，；
（3）解：（人），
故答案为：120；
（4）解：列表如下：
A B C D E
A
B
C
D
E
由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种，
∴P（两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）．
21．（2025·长沙模拟）如图，在正方形中，、分别是、边上的点，，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADF=∠DCE=90°，AD=DC，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS）.
（2）解：由（1）可知，△ADF≌△DCE，∠DAF=30°，
∴∠DAF=∠CDE=30°，
∵∠ADF=90°，
∴∠ADG=∠ADF-∠CDE=60°，
∴∠DGA=180°-∠ADG-∠DAF=90°，
∴在Rt△ADG中，AG=ADcos∠DAF=ADcos30°=4×=，
∴AG=.
【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可知∠ADF=∠DCE=90°，AD=DC，再根据DF=CE，可依据“SAS”判定△ADF和△DCE全等；
（2）根据△ADF≌△DCE，可得∠DAF=∠CDE=30°，则∠ADG=60°，进而得出∠DGA=90°，然后根据锐角三角函数即可得出答案．
（1）解：四边形是正方形，
·，，
∵，
在和中，，
；
（2）解：由（1）知，
，
即，
，
，
∵，，
∴，
∴．
22．（2025·长沙模拟）臭豆腐是长沙的特色美食，其外皮焦黑酥脆，内部嫩滑如豆腐脑，搭配辣椒蒜水食用，味道独特，令人难忘．
（1）臭豆腐的调味料中有辣椒粉和大蒜，某商家用90元购买大蒜比用同样全额购买辣椒粉的数量多3市斤，且辣椒粉单价比大蒜的单价多50%，求大蒜多少元每市斤？
（2）臭豆腐现已包装生产远销海外，某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可加工100个汤料包和200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人加工汤料包？
【答案】（1）解：设大蒜x元每市斤，则辣椒（1+50%）x元每市斤，
根据题意可列方程得：，
解得：x=10，
经检验，x=10是原分式方程的解，且符合题意，
答：大蒜10元每市斤.
（2）解：设安排y名工人加工汤料包，则安排（60-y）名工人加工配料表，
根据题意可列方程为：4×100y=200（60-y），
解得：y=20，
答：安排20名工人加工汤料包.
【知识点】一元一次方程的实际应用-配套问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设大蒜x元每市斤，则辣椒（1+50%）x元每市斤，利用数量=总价÷单价，结合“ 用90元购买大蒜比用同样全额购买辣椒粉的数量多3市斤 ”列方程求解即可；
（2）设安排y名工人加工汤料包，则安排（60-y）名工人加工配料表，根据每小时生产配料包的总数量是每小时生产汤料包总数量的4倍，列方程求解即可．
（1）解：设大蒜元每市斤，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
答：大蒜元每市斤；
（2）解：设安排名工人加工汤料包，
根据题意得：，
解得：，
答：安排名工人加工汤料包．
23．（2025·长沙模拟）综合与实践
【主题】制作圆锥
【素材】直径为的圆形卡纸、剪刀、透明胶．
【实践操作】
步骤1：如图1，把直径为的圆形卡纸剪出一个圆心角为的最大扇形（图2）．
步骤2：如图3，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥．并用透明胶粘住接合处．
【实践探索】
（1）求剪下的扇形的半径．
（2）如图3，求此圆锥形卡纸的底面圆的半径．
【答案】（1）解：如图：连接OA，过点O作OD⊥AC于点D，
则AD=DC，
∵∠BAC=60°，
∴∠OAD=30°，∴OD=OA=10cm，∴AD==ccm，∴AC=2AD=cm，即剪下的扇形ABC的半径为cm.
（2）解：扇形BAC的弧长为：=π，
∴2πr=π，
解得：r=，
答： 此圆锥形卡纸的底面圆的半径r为.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；圆锥的计算；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】（1）连接OA，过点O作OD⊥AC于点D，根据含30°角的直角三角形的性质求出OD，根据勾股定理求出AD，进而求出AC；
（2）根先根据弧长公式计算出弧BC的长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长计算该圆锥的底面圆的半径.
（1）解：如图所示，连接，过点O作于H，
∵扇形的圆心角为，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴剪下的扇形的半径为；
（2）解：，
∴此圆锥形卡纸的底面圆的半径为．
24．（2025·长沙模拟）如图，在等腰直角中，，点是斜边上一动点（不与点重合），连接，以为直角边在右侧构造等腰直角，，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）若，点从点运动到点，
①设，，求关于的函数关系式，并写出最大值；
②的外心所经过的路径长为_____；
（3）记的面积为，的面积为，若，求的正切值．
【答案】（1）证明：∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=90°，∠DCE=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ECB+∠DCB=90°，
∴∠ACD=∠ECB，
在△CAD和△CBE中，
，
∴△CAD≌△CBE（SAS），
∴AD=BE.
（2）解：①如图所示，过点C作CH⊥AB于点H，过点F作FG⊥AB于点G，
∴，
由（1）可知，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵AD=x，
∴DG=AB-AD-BG=-x-y，DB=AB-AD=-x，
∴
整理得：，
∵，
∴当时，取最大值2；
②4.
（3）解：设，则，
由（2）可知：，
∴为等腰直角三角形，
∴，
根据勾股定理得：
，
∴=，
∴
∵，
∵，
∴=×，
解得：或，
由（1）可知：，
∴的正切值等于的正切值，分两种情况讨论：
如图所示：当时，，过点D作于点M，
则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示：当时，，过点D作于点M，
则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上分析可知：或．
【知识点】二次函数的最值；线段垂直平分线的性质；三角形的外接圆与外心；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2）②如图所示：延长，交于点G，作线段的垂直平分线，交于点M，交于点N，连接、，
由①可知：，
∴，
∴点在过点B与垂直的射线上运动，
∵垂直平分，
∴的外心在上，
∵，，，
∴和为等腰直角三角形，
∴，
∴，
，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴BM=GM，
∴M为的中点，
∴垂直平分，
同理得：垂直平分，
∵当点D从点A运动到点B的过程中，点E从点B运动到点G，且点D在点A处时，点E在点B处，点D在点B处时，点E在点G处，
∴的外心从点H处运动到点M处，
∴的外心运动的轨迹长为；
故答案为：4.
【分析】
（1）根据已知得出AC=BC，CD=CE，∠ACD=∠ECB，证明，得出即可；
（2）①过点C作CH⊥AB于点H，过点F作FG⊥AB于点G，易得，进而求得，再证明为等腰直角三角形，得出，求出，，代入比例式得到分式，进而转化为，再根据二次函数的最值，求出最大值即可；
②延长，交于点G，作线段的垂直平分线，交于点M，交于点N，连接、，先说明点在过点B与垂直的射线上运动，证明垂直平分，垂直平分，说明当点D从点A运动到点B的过程中，点E从点B运动到点G，且点D在点A处时，点E在点B处，点D在点B处时，点E在点G处，的外心从点H处运动到点M处，求出其运动轨迹长即可；
（3）设，则，根据，列出方程，求出或，分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可．
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：①过点C作于点H，过点F作于点G，如图所示：
则，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
根据解析（1）可知：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理得：；
∵，
∴当时，取最大值2；
②延长，交于点G，作线段的垂直平分线，交于点M，交于点N，连接、，如图所示：
根据①可知：，
∴，
∴点在过点B与垂直的射线上运动，
∵垂直平分，
∴的外心在上，
∵，，，
∴和为等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴M为的中点，
∴垂直平分，
同理得：垂直平分，
∵当点D从点A运动到点B的过程中，点E从点B运动到点G，且点D在点A处时，点E在点B处，点D在点B处时，点E在点G处，
∴的外心从点H处运动到点M处，
∴的外心运动的轨迹长为；
（3）解：设，则，
根据解析（2）可知：，
∴为等腰直角三角形，
∴，
根据勾股定理得：，
，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
整理得：，
解得：或，
根据解析（1）可知：，
∴的正切值等于的正切值，
当时，，过点D作于点M，如图所示：
则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，，过点D作于点M，如图所示：
则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上分析可知：或．
25．（2025·长沙模拟）我校的育人目标是培养品德高尚、乐学善思、自信全面、勇于创新的华益学子，相信历经三年华益的学习生活，你将交上一份优秀的答卷．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，如果两个二次函数与满足，我们称两个函数互为“益美函数”．
根据约定，回答下列问题：
（1）二次函数与互为“益美函数”，则_____，_____；与的图象与轴交点_____（填“相同”或“不相同”）
（2）已知二次函数与互为“益美函数”，若的图象与轴没有交点，试判断与的图象是否存在交点，若存在，请求出交点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）已知二次函数与二次函数互为“益美函数”，二次函数图象顶点为且与轴交于、两点（点在点左侧），记（且为常数），二次函数图象顶点为，已知，是方程的两根；
①求证：是直角三角形；
②若，求的长．
【答案】（1），相同；
（2）解：与的图象不存在交点，
理由：∵二次函数与互为“益美函数”，
∴ ，
设，
∴，
∴，
∵的图象与轴没有交点，
∴，
令，
整理得：，
∵k≠1，
∴≠0，则，
∴，
∴与的图象不存在交点.
（3）解：①∵二次函数与二次函数互为“益美函数”，
∴，
设，
∴，
∴，
由（1）可得：两个函数与轴的交点相同，
∴抛物线与轴的交点也为两点，
设，
二次函数的对称轴是x=，的对称轴为直线，
∴两个二次函数的对称轴相等，
∴，，
∴，
∵AB=m，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，
∵，是方程的两根，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
②由①可知：，，
∵AB=m，
∴，，
∵，是方程的两根，
∴，
∴
，
∵ ，
∴
变形整理得：，
解得：m=1或m=（不符合题意，舍去），
∴m=1，即AB的长为1.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：（1）解：根据题意可知：，
∴m=-2，n=4，
∴，
∴y2与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），
∵，
∴y1与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），
∴ ；与的图象与轴交点相同，
故答案为：-2；4；相同.
【分析】（1）根据“益美函数”的定义，列出比例式进行计算，进而求出两个函数与轴的交点进行判断即可；
（2）设则，求得，再根据的图象与轴没有交点，得到，令，根据≠0得到，进而得到，即可得出结果；
（3）①设，则，设，得到，，根据，得到，两点式写出解析式，得到，，进而得到，，，推出，即可得出结论；
②先求出，，根据根与系数的关系得到，再根据，列出方程进行求解得出m的值，即可得出答案.
（1）解：由题意，得：，
∴，
∴，
∴当时，即：，
解得：或，
∵，
∴当时，，
∴与的图象与轴交点相同均为；
（2）不存在，理由如下：
设，
∴，
∵与互为“益美函数”，
∴，
∵的图象与轴没有交点，
∴，
令，整理，得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与的图象不存在交点；
（3）①设，
则：，
∵二次函数与二次函数互为“益美函数”，
∴，
由（1）可知：两个函数与轴的交点相同，
∴抛物线与轴的交点也为，
设，
∵的对称轴为直线，与的对称轴相同，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，，
∴，
∵，是方程的两根，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
②∵，由①知：，
∴，，
∵，是方程的两根，
∴，
∴
，
∴，
解得：（不合题意，舍去）或，
故．
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