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第07讲 共点力平衡
目录
01 考情解码·命题预警 2
02 体系构建·思维可视 3
03 核心突破·靶向攻坚 4
考点一 共点力静态平衡 4
知识点1 共点力平衡的条件、状态和推论 4
知识点2 分析物体静态平衡的常用方法 4
考向1 合成法处理物体静态平衡问题 5
考向2 正交分解法处理物体静态平衡问题 5
考向3 力的三角形法处理物体静态平衡问题 6
考点二 共点力动态平衡 7
知识点1 动态平衡及基本思路 7
知识点2 处理动态平衡问题的四种方法 7
考向1 解析法 8
考向2 图解法 9
考向3 相似三角形法 10
考向4 拉密定理法（正弦定理法或辅助圆法） 10
考点三 平衡中的临界与极值问题 11
知识点 平衡中的临界、极值问题的处理方法 11
考向1 图解法 12
考向2 数学解析法 12
04 真题溯源·考向感知 13
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
静态平衡 选择题 非选择题 福建卷T1 陕晋青宁卷T4 山东卷T2 河北卷T5 贵州卷T4 浙江6月卷T6 广东卷T2 河北卷T4
动态平衡 选择题 非选择题 海南卷T3
考情分析： 1．高考对共点力静态平衡和动态平衡的考查是高考每年的一个热点，但各地每年的关于共点力平衡问题的题目大多出现在选择题，也相对比较简单。 2．从命题思路上看，试题情景为 生活实践类：支架类物体存放、货物吊运、舞蹈杂技等；
复习目标： 目标一：能够利用所学的解决静态平衡问题的方法处理相关问题。 目标二：掌握处理动态平衡问题的方法。 目标三.：会利用数学的方法处理临界极值问题。
考点一 共点力静态平衡
知识点1 共点力平衡的条件、状态和推论
1.平衡状态：(1) ；(2) 。
2.平衡条件：
(1)物体所受合外力为 ,即 。
(2)若采用正交分解法,平衡条件表达式为Fx=0,Fy=0。
3.常用推论
(1)若物体受n个作用力而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余(n－1)个力的合力大小 、方向 。
(2)若三个不共线的共点力合力为零，则表示这三个力的有向线段首尾相接组成一个 。
知识点2 分析物体静态平衡的常用方法
方法 适用条件 注意事项 优点
合成法 物体受三个力作用而平衡 (1)表示三个力大小的线段长度不可随意画 (2)两力的合力与第三个力等大反向 对于物体所受的三个力,有两个力相互垂直或两个力大小相等的平衡问题求解较简单
正交分 解法 物体受三个或三个以上的力作用而平衡 选坐标轴时应使尽量多的力与坐标轴重合 对于物体受三个以上的力处于平衡状态的问题求解较方便
力的三 角形法 物体受三个力作用而平衡 将三个力的矢量图平移,构成一个依次首尾相连接的矢量三角形 常用于求解一般矢量三角形中未知力的大小和方向
考向1 合成法处理物体静态平衡问题
例1 如图甲所示，“张弦梁”是新型自平衡空间结构体系，被广泛应用于建筑当中。图乙是该结构的简化模型，质量分布均匀的水平横梁架在两根立柱上，两根等长的柔性拉索的一端分别连接横梁的两端，拉索的另一端连接竖直支撑杆的下端，支撑杆的上端顶在横梁的中央处。水平横梁的质量为M，竖直支撑杆的质量为m，两根柔性拉索形成的夹角为120°，两根拉索的张力均为F（拉索的质量忽略不计），重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．横梁对支撑杆的作用力大于支撑杆对横梁的作用力
B．若保持M、m及两拉索的夹角不变，仅增大F，横梁对两侧立柱的压力增大
C．若保持M、m及两拉索的张力大小F不变，仅减小两拉索的夹角，支撑杆对横梁的作用力减小
D．支撑杆对横梁的作用力大小为F-mg
【变式训练1】如图为明宣德青花缠枝花卉纹莲子碗，内壁看作光滑半球形，为碗内最低点。从点到碗口的点为四分之一圆弧，且、恰好把圆弧三等分。假设用筷子使一颗豆子（可看作质点）分别静止在点和点时，筷子对豆子施加的作用力最小值分别为和，则：等于（　　）
A． B． C． D．
考向2 正交分解法处理物体静态平衡问题
例2某登山营地在两座不等高的悬崖边缘设置了紧急救援滑索。滑索由质量为m的强化绳索制成，两端分别固定在高度不同的竖直支架上。安装时，左端绳索与支架的切线夹角为α，右端切线夹角为β。为确保受困人员滑降时的安全性，需计算滑索最低点（弧底）的张力大小。已知重力加速度为g，求该张力表达式（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2】如图所示，截面为半圆的柱体放在粗糙水平面上，一根轻绳一端固定在柱体上的A点，给绳另一端施加一个斜向左上的拉力，拉力与竖直方向的夹角为，使柱体刚好要滑动，已知柱体的质量为m，柱体与水平面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，，则作用在绳上端的拉力大小为（ ）
A． B． C． D．
考向3 力的三角形法处理物体静态平衡问题
例3如图所示， 质量为1kg的小球用一轻绳悬挂， 在恒力 F 作用下处于静止状态， 此时悬线与竖直方向的夹角为60°。若把小球换成一质量为2kg的另一小球，仍在该恒力F的作用下处于静止状态， 悬线与竖直方向的夹角变为30°。重力加速度为g=10m/s2，则恒力F的大小为（ ）
A．10N B．20N C． D．
【变式训练3】如图所示，在竖直平面内，有一半径为R的圆环，在圆环内放置半径分别为R1，R2的两个小球。已知R6m，R13m，R21m。OO1与OO2与竖直方向的夹角分别为α、β，则大球与小球的质量比为（　　）
A． B． C． D．
考点二 共点力动态平衡
知识点1 动态平衡及基本思路
1.所谓动态平衡问题，是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生 变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，常利用图解法解决此类问题。
2.基本思路：化“ ”为“ ”，“静”中求“动”。
知识点2 处理动态平衡问题的四种方法
1.解析法：对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
2.图解法：
(1)特点：物体受三个共点力，有一个力是 、另有一个力 的问题。
(2)方法：
　　
3.三角形相似法：
(1)特点：在三力平衡问题中，如果有一个力是 ，另外两个力方向 ，且题目给出了空间几何关系。(2)方法：①对物体在某个位置作受力分析；②以两个变力为邻边，利用平行四边形定则，作平行四边形；③找出相似的力的矢量三角形和空间几何三角形；④利用相似三角形对应边的比例关系确定力的变化。
4.拉密定理法（正弦定理法或辅助圆法）：
(1)特点：物体受三个共点力，这三个力其中一个力为 ，另外两个力都 ，且变化两个力的夹角 。
(2)拉密定理：
（3）辅助圆法：画出三个力的矢量三角形的外接圆，不便力为一固定弦，因为固定弦所对的圆周角大小始终不变，改变一力的方向，另一大小方向变化情况可得。
考向1 解析法
例1蜘蛛通过两根蛛丝（OA和OB）悬挂在树枝上保持平衡。初始时，蛛丝OA与竖直方向的夹角为θ，蛛丝OB水平，如图所示。若猎物在A点被蛛丝缠住并向右侧移动，蛛丝OB仍保持水平。蜘蛛始终静止，蛛丝形变量可忽略不计且蛛丝未断裂。下列说法正确的是（　　）
A．蛛丝OA的拉力逐渐减小，蛛丝OB的拉力逐渐增大
B．蛛丝OA的拉力逐渐增大，蛛丝OB的拉力逐渐减小
C．蛛丝OA和OB的拉力均逐渐增大
D．蛛丝OA和OB的拉力均逐渐减小
【变式训练1】如图所示，一个大理石半球静置在水平地面上，球心为。一只小蚂蚁缓慢从图中点沿圆弧爬向半球面最高点，运动过程中大理石半球始终保持静止。已知与的夹角为，在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．大理石半球对小蚂蚁的作用力变大
B．大理石半球对小蚂蚁的支持力变小
C．地面对大理石半球的摩擦力始终为零
D．地面对大理石半球的支持力变小
考向2 图解法
例2如图，在厨房中，为了方便使用吸油纸，用一个固定于墙上顶端可转动的挂钩将吸油纸卷挂起，使用过程中吸油纸卷始终与挂钩挡板接触且有挤压，若不计挡板与吸油纸卷间的摩擦，使用过程中，当吸油纸卷逐渐减少时，则（　　）
A．挡板对吸油纸卷作用力减小
B．挂钩对吸油纸卷作用力变大
C．挂钩对吸油纸卷作用力方向竖直向上
D．挡板和挂钩对吸油纸卷的合力保持不变
【变式训练2】如图所示，一根细绳的一端固定在O点，另一端悬挂质量为m的小球A，为使细绳与竖直方向夹角为且绷紧，小球A处于静止状态，，，重力加速度为g，则需对小球施加的最小力等于（ ）
A． B． C． D．
考向3 相似三角形法
例3某智能机械臂应用模型如图所示，机械臂通过不可伸长的吊索和可以伸缩的液压杆吊起重物，其中A点通过铰链与竖直墙面连接。现缓慢调整液压杆，使吊索逐渐趋近水平，在此过程中（　　）
A．的支持力逐渐增大，的拉力大小不变
B．的支持力先减小后增大，的拉力大小不变
C．的支持力逐渐增大，的拉力逐渐减小
D．的支持力大小不变，的拉力逐渐减小
【变式训练3】如图所示，半径为R的光滑圆环竖直固定，原长为的轻质弹簧一端固定在圆环的最高点A，另一端与套在环上的质量为m的小球相连。小球静止时位于B点，此时弹簧与竖直方向夹角，已知重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球对圆环的弹力方向背离圆心
B．圆环对小球的弹力大小为
C．弹簧的劲度系数为
D．若换用原长相同、劲度系数更大的轻质弹簧，小球静止时一定位于B点下方
考向4 拉密定理法（正弦定理法或辅助圆法）
例4如图所示，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点，将木板以底边MN为轴向后方缓慢转动至细绳水平，此过程中两根细绳始终与圆柱体的轴线共面，忽略圆柱体与木板间的摩擦。在此过程中，下列说法正确的是（　　）
A．圆柱体对木板的压力逐渐增大
B．圆柱体对木板的压力先增大后减小
C．两根细绳上的拉力均先增大后减小
D．两根细绳上的拉力均先减小后增大
【变式训练4】如图所示，将半径为R的半圆柱体A放置于粗糙水平面上，另一半径也为R的球B置于半圆柱上，下端用挡板MN托住，其中挡板MN的延长线过A横截面的圆心，且与水平面夹角为，以O点为轴逆时针转动挡板MN，从0°缓缓增大到60°的过程中，A始终未动。已知B的质量为m，不计A、B之间的摩擦力，重力加速度g取，则（　　）
A．时，半圆柱体A对球B的支持力大小为
B．时，挡板MN对球B的支持力大小为
C．半圆柱体A对地面的摩擦力一直增大
D．半圆柱体A对地面的摩擦力先增大后减小
考点三 平衡中的临界与极值问题
知识点 平衡中的临界、极值问题的处理方法
1．临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等语言叙述。
2．极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值或最小值。
3．解决极值问题和临界问题的方法
(1)图解法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
(2)数学解析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、三角函数极值等)。
考向1 图解法
例1如图所示，重力都为G的两个小球A和B用三段轻绳连接后悬挂在O点上，O、B间的绳子长度是A、B间的绳子长度的2倍，将一个拉力F作用到小球B上，使三段轻绳都伸直且O、A间和A、B间的两段绳子分别处于竖直和水平方向上，则拉力F的最小值为（　　）
A．G B．G C．G D．G
【变式训练1】如图所示，水平地面上固定着一个竖直圆形轨道，圆心为O，轨道内壁光滑。轨道内放置一个质量为m的小球，在水平拉力F的作用下静止在轨道内侧A点，AO连线与竖直方向的夹角，轨道对小球的支持力大小为，重力加速度为g。改变拉力F，小球始终静止在A点。下列说法正确的是（ ）
A．将拉力F逆时针缓慢旋转45°的过程中，F的最小值为
B．将拉力F逆时针缓慢旋转45°的过程中，的最小值为
C．将拉力F顺时针缓慢旋转45°的过程中，F先减小后增大
D．将拉力F顺时针缓慢旋转的过程中，的最小值为2mg
考向2 数学解析法
例2如图所示，一足够长的细线一端连接穿过水平细杆的滑块A，另一端通过光滑滑轮连接重物B，此时两边细线竖直。某时刻，水平拉力F作用在滑块A上，使A向右移动。已知A、B的质量分别为m和2m，滑块A与细杆间的动摩擦因数为。则（　　）
A．若A做匀速运动，则B也做匀速运动
B．若B做匀速运动，则A做加速运动
C．若A缓慢向右运动，当细线与细杆间的夹角为时，拉力F有最小值
D．若A缓慢向右运动到细线与细杆间的夹角为时，拉力F一直在增大
【变式训练2】（多选）如图所示，内，一物块在倾角为的固定斜面上向下做匀减速直线运动。时对物块施加一与水平方向夹角为的作用力F，使其沿斜面向下做匀速直线运动。已知物块与斜面之间的动摩擦因数为，取，，。下列说法正确的是（　　）
A．时，物块加速度的大小为
B．时，斜面受到的物块所施加作用力的方向斜向右下方
C．且力F指向右上方时，F有最小值
D．且力F指向右下方时，F有最小值
1．（2025·重庆·高考真题）现代生产生活中常用无人机运送物品，如图所示，无人机携带质量为m的匀质钢管在无风的空中悬停，轻绳M端和N端系住钢管，轻绳中点O通过缆绳与无人机连接。MO、NO与竖直方向的夹角均为60°，钢管水平。则MO的弹力大小为（　　）（重力加速度为g）
A．2mg B．mg C． D．
2．（2025·福建·高考真题）山崖上有一个风动石，无风时地面对风动石的作用力是F1，当受到一个水平风力时，风动石依然静止，地面对风动石的作用力是F2，以下正确的是（　　）
A．F2大于F1
B．F1大于F2
C．F1等于F2
D．大小关系与风力大小有关
3．（2024·河北·高考真题）如图，弹簧测力计下端挂有一质量为的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为，挡板与斜面夹角为．若弹簧测力计位于竖直方向，读数为取,挡板对球体支持力的大小为（ ）
A． B． C． D．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第07讲 共点力平衡
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01 考情解码·命题预警 2
02 体系构建·思维可视 3
03 核心突破·靶向攻坚 4
考点一 共点力静态平衡 4
知识点1 共点力平衡的条件、状态和推论 4
知识点2 分析物体静态平衡的常用方法 4
考向1 合成法处理物体静态平衡问题 5
考向2 正交分解法处理物体静态平衡问题 6
考向3 力的三角形法处理物体静态平衡问题 7
考点二 共点力动态平衡 9
知识点1 动态平衡及基本思路 9
知识点2 处理动态平衡问题的四种方法 9
考向1 解析法 10
考向2 图解法 12
考向3 相似三角形法 13
考向4 拉密定理法（正弦定理法或辅助圆法） 15
考点三 平衡中的临界与极值问题 16
知识点 平衡中的临界、极值问题的处理方法 16
考向1 图解法 17
考向2 数学解析法 19
04 真题溯源·考向感知 21
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
静态平衡 选择题 非选择题 福建卷T1 陕晋青宁卷T4 山东卷T2 河北卷T5 贵州卷T4 浙江6月卷T6 广东卷T2 河北卷T4
动态平衡 选择题 非选择题 海南卷T3
考情分析： 1．高考对共点力静态平衡和动态平衡的考查是高考每年的一个热点，但各地每年的关于共点力平衡问题的题目大多出现在选择题，也相对比较简单。 2．从命题思路上看，试题情景为 生活实践类：支架类物体存放、货物吊运、舞蹈杂技等；
复习目标： 目标一：能够利用所学的解决静态平衡问题的方法处理相关问题。 目标二：掌握处理动态平衡问题的方法。 目标三.：会利用数学的方法处理临界极值问题。
考点一 共点力静态平衡
知识点1 共点力平衡的条件、状态和推论
1.平衡状态：(1)静止；(2)匀速直线运动。
2.平衡条件：
(1)物体所受合外力为零,即F合=0。
(2)若采用正交分解法,平衡条件表达式为Fx=0,Fy=0。
3.常用推论
(1)若物体受n个作用力而处于平衡状态，则其中任意一个力与其余(n－1)个力的合力大小相等、方向相反。
(2)若三个不共线的共点力合力为零，则表示这三个力的有向线段首尾相接组成一个封闭三角形。
知识点2 分析物体静态平衡的常用方法
方法 适用条件 注意事项 优点
合成法 物体受三个力作用而平衡 (1)表示三个力大小的线段长度不可随意画 (2)两力的合力与第三个力等大反向 对于物体所受的三个力,有两个力相互垂直或两个力大小相等的平衡问题求解较简单
正交分 解法 物体受三个或三个以上的力作用而平衡 选坐标轴时应使尽量多的力与坐标轴重合 对于物体受三个以上的力处于平衡状态的问题求解较方便
力的三 角形法 物体受三个力作用而平衡 将三个力的矢量图平移,构成一个依次首尾相连接的矢量三角形 常用于求解一般矢量三角形中未知力的大小和方向
考向1 合成法处理物体静态平衡问题
例1 如图甲所示，“张弦梁”是新型自平衡空间结构体系，被广泛应用于建筑当中。图乙是该结构的简化模型，质量分布均匀的水平横梁架在两根立柱上，两根等长的柔性拉索的一端分别连接横梁的两端，拉索的另一端连接竖直支撑杆的下端，支撑杆的上端顶在横梁的中央处。水平横梁的质量为M，竖直支撑杆的质量为m，两根柔性拉索形成的夹角为120°，两根拉索的张力均为F（拉索的质量忽略不计），重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．横梁对支撑杆的作用力大于支撑杆对横梁的作用力
B．若保持M、m及两拉索的夹角不变，仅增大F，横梁对两侧立柱的压力增大
C．若保持M、m及两拉索的张力大小F不变，仅减小两拉索的夹角，支撑杆对横梁的作用力减小
D．支撑杆对横梁的作用力大小为F-mg
【答案】D
【详解】A．横梁对支撑杆的作用力与支撑杆对横梁的作用力是相互作用力，总是等大反向，选项A错误；
B．对横梁拉索支撑杆系统整体分析可知，横梁对两侧立柱的压力不变，选项B错误；
C．对支撑杆分析，减小两拉索的夹角，两拉力的合力增大，水平横梁对支撑杆的作用力增大，选项C错误；
D．两边拉索对支撑杆的作用力为
可知支撑杆对横梁的作用力大小为F-mg，选项D正确。故选D。
【变式训练1】如图为明宣德青花缠枝花卉纹莲子碗，内壁看作光滑半球形，为碗内最低点。从点到碗口的点为四分之一圆弧，且、恰好把圆弧三等分。假设用筷子使一颗豆子（可看作质点）分别静止在点和点时，筷子对豆子施加的作用力最小值分别为和，则：等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据平行四边形定则或三角形法则，重力的大小、方向恒定，当外力与支持力垂直时，所施加的外力最小，作受力分析图如图所示：
由几何关系得，则故选C。
考向2 正交分解法处理物体静态平衡问题
例2某登山营地在两座不等高的悬崖边缘设置了紧急救援滑索。滑索由质量为m的强化绳索制成，两端分别固定在高度不同的竖直支架上。安装时，左端绳索与支架的切线夹角为α，右端切线夹角为β。为确保受困人员滑降时的安全性，需计算滑索最低点（弧底）的张力大小。已知重力加速度为g，求该张力表达式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】对绳子受力分析如图所示
其中、分别是左右悬点对绳子的拉力大小，设重绳最低点（弧底）的张力大小为F，分析可知其方向为水平方向，对重绳最低点左半部分，由平衡条件有
对重绳最低点右半部分，由平衡条件有
对重绳，由平衡条件有
联立解得
故选B。
【变式训练2】如图所示，截面为半圆的柱体放在粗糙水平面上，一根轻绳一端固定在柱体上的A点，给绳另一端施加一个斜向左上的拉力，拉力与竖直方向的夹角为，使柱体刚好要滑动，已知柱体的质量为m，柱体与水平面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，，则作用在绳上端的拉力大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设绳的拉力大小为F，根据受力平衡，有
解得。
故选B。
考向3 力的三角形法处理物体静态平衡问题
例3如图所示， 质量为1kg的小球用一轻绳悬挂， 在恒力 F 作用下处于静止状态， 此时悬线与竖直方向的夹角为60°。若把小球换成一质量为2kg的另一小球，仍在该恒力F的作用下处于静止状态， 悬线与竖直方向的夹角变为30°。重力加速度为g=10m/s2，则恒力F的大小为（ ）
A．10N B．20N C． D．
【答案】A
【详解】分别对两个位置受力分析，并建立如图所示的三角形
设恒力F与竖直方向的夹角为，根据正弦定理可得： ，联立解得故选A。
【变式训练3】如图所示，在竖直平面内，有一半径为R的圆环，在圆环内放置半径分别为R1，R2的两个小球。已知R6m，R13m，R21m。OO1与OO2与竖直方向的夹角分别为α、β，则大球与小球的质量比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意
R6m
R13m
R21m
分析几何关系知OO1与OO2之间的夹角为，O1O2与OO2之间的夹角为，对大球与小球分别受力分析，根据平衡条件列式
，联立解得大球与小球的质量比为故选C。
考点二 共点力动态平衡
知识点1 动态平衡及基本思路
1.所谓动态平衡问题，是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，常利用图解法解决此类问题。
2.基本思路：化“动”为“静”，“静”中求“动”。
知识点2 处理动态平衡问题的四种方法
1.解析法：对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
2.图解法：
(1)特点：物体受三个共点力，有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。
(2)方法：
　　
3.三角形相似法：
(1)特点：在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系。(2)方法：①对物体在某个位置作受力分析；②以两个变力为邻边，利用平行四边形定则，作平行四边形；③找出相似的力的矢量三角形和空间几何三角形；④利用相似三角形对应边的比例关系确定力的变化。
4.拉密定理法（正弦定理法或辅助圆法）：
(1)特点：物体受三个共点力，这三个力其中一个力为恒力，另外两个力都变化，且变化两个力的夹角不变。
(2)拉密定理：
（3）辅助圆法：画出三个力的矢量三角形的外接圆，不便力为一固定弦，因为固定弦所对的圆周角大小始终不变，改变一力的方向，另一大小方向变化情况可得。
考向1 解析法
例1蜘蛛通过两根蛛丝（OA和OB）悬挂在树枝上保持平衡。初始时，蛛丝OA与竖直方向的夹角为θ，蛛丝OB水平，如图所示。若猎物在A点被蛛丝缠住并向右侧移动，蛛丝OB仍保持水平。蜘蛛始终静止，蛛丝形变量可忽略不计且蛛丝未断裂。下列说法正确的是（　　）
A．蛛丝OA的拉力逐渐减小，蛛丝OB的拉力逐渐增大
B．蛛丝OA的拉力逐渐增大，蛛丝OB的拉力逐渐减小
C．蛛丝OA和OB的拉力均逐渐增大
D．蛛丝OA和OB的拉力均逐渐减小
【答案】D
【详解】设蜘蛛的重力为G，蛛丝OA的拉力为F1，蛛丝OB的拉力为F2，由平衡条件有，
解得，
当θ减小时，cosθ增大，tanθ减小，故F1减小，F2也减小。
故选D。
【变式训练1】如图所示，一个大理石半球静置在水平地面上，球心为。一只小蚂蚁缓慢从图中点沿圆弧爬向半球面最高点，运动过程中大理石半球始终保持静止。已知与的夹角为，在此过程中，下列说法正确的是（ ）
A．大理石半球对小蚂蚁的作用力变大
B．大理石半球对小蚂蚁的支持力变小
C．地面对大理石半球的摩擦力始终为零
D．地面对大理石半球的支持力变小
【答案】C
【详解】AB．对小蚂蚁受力分析如图所示
可知大理石半球对小蚂蚁的作用力为支持力与摩擦力的合力，大小始终等于蚂蚁的重力，保持不变；蚂蚁受到的摩擦力为
蚂蚁受到的支持力为
小蚂蚁缓慢从图中点沿圆弧爬向点的过程中逐渐变小，则小蚂蚁受到的支持力变大，摩擦力变小，大理石半球对小蚂蚁的作用力不变，故AB错误；
CD．选取大理石半球与小蚂蚁组成的整体为研究对象，可知二者只受到重力与地面的支持力，所以大理石半球受到地面的支持力始终大小等于二者重力的合力，保持不变，大理石半球与地面之间没有摩擦力的作用，故C正确，D错误。
故选C。
考向2 图解法
例2如图，在厨房中，为了方便使用吸油纸，用一个固定于墙上顶端可转动的挂钩将吸油纸卷挂起，使用过程中吸油纸卷始终与挂钩挡板接触且有挤压，若不计挡板与吸油纸卷间的摩擦，使用过程中，当吸油纸卷逐渐减少时，则（　　）
A．挡板对吸油纸卷作用力减小
B．挂钩对吸油纸卷作用力变大
C．挂钩对吸油纸卷作用力方向竖直向上
D．挡板和挂钩对吸油纸卷的合力保持不变
【答案】A
【详解】设挂钩对卷纸的作用力为F，方向指向左上方，挡板对卷纸的作用力为，则卷纸的受力情况如图所示
当卷纸逐渐减少时，F与竖直方向的夹角减小，重力减小，由图可知，F减小，减小，挡板和挂钩对卷纸的合力与重力大小相等，所以合力减小。故选A。
【变式训练2】如图所示，一根细绳的一端固定在O点，另一端悬挂质量为m的小球A，为使细绳与竖直方向夹角为且绷紧，小球A处于静止状态，，，重力加速度为g，则需对小球施加的最小力等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】以小球为研究对象，分析受力，如图所示
根据作图法分析，当对小球施加的力F与细绳垂直时，所用的力最小，根据平衡条件，F的最小值故选C。
考向3 相似三角形法
例3某智能机械臂应用模型如图所示，机械臂通过不可伸长的吊索和可以伸缩的液压杆吊起重物，其中A点通过铰链与竖直墙面连接。现缓慢调整液压杆，使吊索逐渐趋近水平，在此过程中（　　）
A．的支持力逐渐增大，的拉力大小不变
B．的支持力先减小后增大，的拉力大小不变
C．的支持力逐渐增大，的拉力逐渐减小
D．的支持力大小不变，的拉力逐渐减小
【答案】A
【详解】对O点受力分析如图
根据相似三角形关系可知
缓慢调整液压杆OA，使吊索OB逐渐趋近水平，在此过程中OA变大，OB不变，可知FAO变大，FOB不变。
故选A。
【变式训练3】如图所示，半径为R的光滑圆环竖直固定，原长为的轻质弹簧一端固定在圆环的最高点A，另一端与套在环上的质量为m的小球相连。小球静止时位于B点，此时弹簧与竖直方向夹角，已知重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球对圆环的弹力方向背离圆心
B．圆环对小球的弹力大小为
C．弹簧的劲度系数为
D．若换用原长相同、劲度系数更大的轻质弹簧，小球静止时一定位于B点下方
【答案】C
【详解】A．以小球为研究对象，由于重力作用，弹簧一定被拉伸， 弹簧弹力F沿弹簧斜向上；由平衡条件，弹簧弹力F与圆环对球的弹力的合力跟重力等大反向，画出受力分析如图。所以圆环对球的弹力方向一定背离圆心，则小球对圆环的弹力方向指向圆心，故A错误；
B．由相似三角形几何关系可得，解得，故B错误；C．由胡克定律得解得故C正确；
D．若换用原长相同、劲度系数更大的轻质弹簧，小球要保持平衡，选项B中式子仍成立；劲度系数变大，则弹簧形变量变小，小球沿圆环上移，即小球静止时位于B点上方，故D错误。
故选C。
考向4 拉密定理法（正弦定理法或辅助圆法）
例4如图所示，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的P点，将木板以底边MN为轴向后方缓慢转动至细绳水平，此过程中两根细绳始终与圆柱体的轴线共面，忽略圆柱体与木板间的摩擦。在此过程中，下列说法正确的是（　　）
A．圆柱体对木板的压力逐渐增大
B．圆柱体对木板的压力先增大后减小
C．两根细绳上的拉力均先增大后减小
D．两根细绳上的拉力均先减小后增大
【答案】A
【详解】AB．设两根细绳对圆柱体的拉力的合力为T，木板对圆柱体的支持力为N，T与N形成的锐角为，根据数学知识可知，在圆中，弦所对的圆周角为定值，对圆柱体进行受力分析如图所示，由图可知，在木板从木板竖直转到细绳水平的过程中，N不断增大，根据牛顿第三定律可知，圆柱体对木板的压力不断增大，故A正确、B错误；
CD．由图可知T逐渐减小，所以两根细绳上的拉力也减小，故CD错误。
故选A。
【变式训练4】如图所示，将半径为R的半圆柱体A放置于粗糙水平面上，另一半径也为R的球B置于半圆柱上，下端用挡板MN托住，其中挡板MN的延长线过A横截面的圆心，且与水平面夹角为，以O点为轴逆时针转动挡板MN，从0°缓缓增大到60°的过程中，A始终未动。已知B的质量为m，不计A、B之间的摩擦力，重力加速度g取，则（　　）
A．时，半圆柱体A对球B的支持力大小为
B．时，挡板MN对球B的支持力大小为
C．半圆柱体A对地面的摩擦力一直增大
D．半圆柱体A对地面的摩擦力先增大后减小
【答案】D
【详解】AB．B受到MN给的弹力、A给的弹力和自身重力mg而平衡，受力分析如图
几何关系可知解得将B受到的力构成矢量三角形（上图红色三角形），几何关系可知由正弦定律有当时，解得故AB错误；
CD．由牛顿第三定律可知，B给A的弹力与等大，结合以上分析可得
由平衡条件可知，地面对A的摩擦力大小
由牛顿第三定律可知，A对地面的摩擦力大小
由数学关系可得
可知从0°缓缓增大到60°的过程中，半圆柱体A对地面的摩擦力先增大后减小，故C错误，D正确。
故选D。
考点三 平衡中的临界与极值问题
知识点 平衡中的临界、极值问题的处理方法
1．临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等语言叙述。
2．极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值或最小值。
3．解决极值问题和临界问题的方法
(1)图解法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
(2)数学解析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、三角函数极值等)。
考向1 图解法
例1如图所示，重力都为G的两个小球A和B用三段轻绳连接后悬挂在O点上，O、B间的绳子长度是A、B间的绳子长度的2倍，将一个拉力F作用到小球B上，使三段轻绳都伸直且O、A间和A、B间的两段绳子分别处于竖直和水平方向上，则拉力F的最小值为（　　）
A．G B．G C．G D．G
【答案】A
【详解】对A球受力分析可知，因O、A间绳竖直，则A、B间绳上的拉力为0；对B球受力分析如图所示
可知当F与O、B间绳垂直时F最小，则有Fmin=Gsinθ根据几何关系有则拉力F的最小值为故选A。
【变式训练1】如图所示，水平地面上固定着一个竖直圆形轨道，圆心为O，轨道内壁光滑。轨道内放置一个质量为m的小球，在水平拉力F的作用下静止在轨道内侧A点，AO连线与竖直方向的夹角，轨道对小球的支持力大小为，重力加速度为g。改变拉力F，小球始终静止在A点。下列说法正确的是（ ）
A．将拉力F逆时针缓慢旋转45°的过程中，F的最小值为
B．将拉力F逆时针缓慢旋转45°的过程中，的最小值为
C．将拉力F顺时针缓慢旋转45°的过程中，F先减小后增大
D．将拉力F顺时针缓慢旋转的过程中，的最小值为2mg
【答案】B
【详解】AB．将拉力F逆时针缓慢旋转45°的过程中，小球若能静止在A点，根据三角形法则，画出小球的受力变化情况，如图所示
由图中可以看出，F先变小后变大，当F与垂直时拉力最小为一直减小，根据正弦定理可知最小值为解得故A错误，B正确；
CD．将拉力F顺时针缓慢旋转的过程中，如图
则拉力F、都在增大，的最小值为故CD错误；故选B。
考向2 数学解析法
例2如图所示，一足够长的细线一端连接穿过水平细杆的滑块A，另一端通过光滑滑轮连接重物B，此时两边细线竖直。某时刻，水平拉力F作用在滑块A上，使A向右移动。已知A、B的质量分别为m和2m，滑块A与细杆间的动摩擦因数为。则（　　）
A．若A做匀速运动，则B也做匀速运动
B．若B做匀速运动，则A做加速运动
C．若A缓慢向右运动，当细线与细杆间的夹角为时，拉力F有最小值
D．若A缓慢向右运动到细线与细杆间的夹角为时，拉力F一直在增大
【答案】D
【详解】AB．对AB两滑块速度关系如图所示
由几何关系有
若A做匀速运动，逐渐减小，逐渐增大，则B的速度逐渐增大；若B做匀速运动，逐渐减小，逐渐增大，则A的速度逐渐减小，故AB错误；
CD ．对滑块B有
对滑块A有进行受力分析如图所示
由于滑块A从图示（最初是竖直的）位置开始缓慢向右移动至过程中
可知
则在竖直方向上有
则在水平方向有
联立解得
假设，
解得
则可求得
滑块A从图示虚线位置开始缓慢向右移动过程中，减小，可知F逐渐增大，当时
解得拉力F有最大值
故C错误，D正确。
故选D。
【变式训练2】（多选）如图所示，内，一物块在倾角为的固定斜面上向下做匀减速直线运动。时对物块施加一与水平方向夹角为的作用力F，使其沿斜面向下做匀速直线运动。已知物块与斜面之间的动摩擦因数为，取，，。下列说法正确的是（　　）
A．时，物块加速度的大小为
B．时，斜面受到的物块所施加作用力的方向斜向右下方
C．且力F指向右上方时，F有最小值
D．且力F指向右下方时，F有最小值
【答案】BC
【详解】A．内，物块在斜面上向下做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律可得
解得物块的加速度大小为
故A错误；
B．内，物块在斜面上向下做匀减速直线运动，物块的加速度沿斜面向上，则斜面对物块的作用力方向斜向左上方，根据牛顿第三定律可知，斜面受到的物块所施加作用力的方向斜向右下方，故B正确；
CD．对物块施加一与水平方向夹角为的作用力F，使其沿斜面向下做匀速直线运动，根据受力平衡可得
联立可得
其中可得当即则且力F指向右上方时，F有最小值，故C正确，D错误。故选BC。
1．（2025·重庆·高考真题）现代生产生活中常用无人机运送物品，如图所示，无人机携带质量为m的匀质钢管在无风的空中悬停，轻绳M端和N端系住钢管，轻绳中点O通过缆绳与无人机连接。MO、NO与竖直方向的夹角均为60°，钢管水平。则MO的弹力大小为（　　）（重力加速度为g）
A．2mg B．mg C． D．
【答案】B
【详解】以钢管为研究对象，设轻绳的拉力为，根据对称性可知两边绳子拉力相等，根据平衡条件可得故选B。
2．（2025·福建·高考真题）山崖上有一个风动石，无风时地面对风动石的作用力是F1，当受到一个水平风力时，风动石依然静止，地面对风动石的作用力是F2，以下正确的是（　　）
A．F2大于F1
B．F1大于F2
C．F1等于F2
D．大小关系与风力大小有关
【答案】A
【详解】无风时，地面对风动石的作用力方向竖直向上，与重力平衡，大小为
当受到一个水平风力时，地面对风动石的作用力与竖直向下的重力及水平方向的风力F，三力平衡
根据平衡条件可知，地面对风动石的作用力大小为，故F2大于F1。
故选A。
3．（2024·河北·高考真题）如图，弹簧测力计下端挂有一质量为的光滑均匀球体，球体静止于带有固定挡板的斜面上，斜面倾角为，挡板与斜面夹角为．若弹簧测力计位于竖直方向，读数为取,挡板对球体支持力的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对小球受力分析如图所示
由几何关系易得力与力与竖直方向的夹角均为，因此由正交分解方程可得，解得故选A。
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