资源简介 (共21张PPT)2.2 等差数列的前n项和§2 等差数列知识点 1 等差数列的前n项和公式知识 清单破已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数求和 公式 Sn= Sn=na1+ d知识点2 等差数列{an}的前n项和公式可化为关于n的表达式:Sn=na1+ = n2+ n.(1)该表达式中没有常数项;(2)当d≠0时,Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次式,即Sn是关于n的二次函数,它的图象是抛物线y= x2+ x上横坐标为正整数的一系列孤立的点.知识点 2 等差数列{an}的前n项和公式的函数特性知识点3 1.公差为d的等差数列中,每k项之和Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…组成公差为k2d的等差数列.2.若等差数列的项数为2n(n∈N+),则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=nd(d为等差数列的公差), = (S奇≠0,an≠0); 若等差数列的项数为2n-1(n∈N+),则S2n-1=(2n-1)an,S奇-S偶=an, = (S奇≠0).3.{an}为等差数列 为等差数列(Sn为数列{an}的前n项和).4.若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn ,则 = (bn≠0,T2n-1≠0).知识点 3 等差数列前n项和的性质判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.1.某一小组6名同学的年龄(单位:岁)构成首项为15,公差为0的等差数列,则这6名同学的年龄(单位:岁)之和为90. ( )2.有编号分别为1~10的10个盒子,在1号盒子中放1粒米,从2号盒子起,每个盒子都比前一个盒子多放1粒米,则这10个盒子中共有55粒米. ( )3.等差数列的前n项和公式一定是常数项为0的关于n的二次函数. ( )4.若数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则数列{an}是公差为2的等差数列. ( )5.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,则S2,S4,S6一定成等差数列. ( )知识辨析√√ 提示 提示 提示公差为0时,等差数列的前n项和公式是关于n的一次函数.等差数列的前n项和公式是关于n且不含常数项的表达式,而题中Sn=n2+1有常数项,所以{an}不是等差数列.若Sn是等差数列{an}的前n项和,则S2,S4-S2,S6-S4一定成等差数列,只有当{an}为常数列时,S2,S4,S6才成等差数列.1.求等差数列的前n项和(1)已知条件与d有关,则运用公式Sn=na1+ d求其前n项和;(2)已知条件与等差数列的项an有关,则运用公式Sn= 求其前n项和,解题时与等差数列的性质结合可以起到事半功倍的效果.2.等差数列问题共涉及五个量:a1,d,n,an及Sn,利用等差数列的通项公式及前n项和公式即可“知三求二”.其解题通法可以概括为:设出基本量a1,d,构建方程组.因此利用方程思想求出基本量a1,d是解决等差数列问题的基本途径.讲解分析疑难 情境破疑难 1 等差数列前n项和公式及其应用在等差数列{an}中,Sn为其前n项和.(1)若a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;(2)若S7=42,Sn=510,an-3=45,求n的值.典例解析 (1)设等差数列{an}的公差为d.解法一:由已知得 解得 ∴S10=10a1+ d=10×3+ ×4=210.解法二:由已知得 ∴d=4,∴a1+a10=42,∴S10= =5×42=210.(2)∵S7= =7a4=42,∴a4=6.∴Sn= = = =510,∴n=20. 在解决与等差数列前n项和Sn的性质有关的问题时,恰当运用相关性质可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.利用性质解决等差数列前n项和运算有以下两种思维方法:(1)整体思想:利用公式Sn= ,设法求出“整体”,即a1+an,再代入求解.(2)待定系数法:当公差不为0时,利用Sn是关于n的二次函数,设Sn=An2+Bn(A≠0),列方程组求出A,B的值即可;也可以利用 是关于n的一次函数,设 =an+b(a≠0)进行计算.疑难 2 等差数列前n项和性质的应用讲解分析在等差数列{an}中,设其前n项和为Sn.(1)已知a4=2,求S7;(2)已知S5=3,S10=7,求S15;(3)已知S10=100,S100=10,求S110.典例解析 (1)S7= ×7×(a1+a7)= ×7×2a4=7a4=7×2=14.(2)易知数列S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,即3,7-3,S15-7成等差数列,所以2×(7-3)=3+S15-7,解得S15=12.(3)解法一:设等差数列{an}的公差为d,则 解得 所以S110=110a1+ d=110× + × =-110.解法二:易知S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差数列,设其公差为d',由其前10项和为10S10+ d'=S100=10,得d'=-22,所以S110-S100=S10+(11-1)d'=100+10×(-22)=-120.所以S110=-120+S100=-110.解法三:易知数列{an}是公差不为0的等差数列,所以设其前n项和Sn=An2+Bn(A≠0).由S10=100,S100=10,得 解得 故Sn=- n2+ n,故S110=- ×1102+ ×110=-110.求等差数列{an}(公差d≠0)的前n项和Sn的最值的常用方法(1)二次函数法:用配方法转化为求解二次函数的最值问题,解题时要注意n∈N+;(2)邻项变号法:可利用 或 来寻找正、负项的分界点.疑难 3 等差数列前n项和的最值的求法讲解分析已知{an}为等差数列,设其前n项和为Sn,且a1=25,S17=S9,求Sn的最大值.典例解析 设等差数列{an}的公差为d.解法一:∵S17=S9,∴17a1+ d=9a1+ d,又a1=25,∴d=-2,∴Sn=25n+ ×(-2)=-(n-13)2+169,由二次函数的性质知,当n=13时,Sn取得最大值,最大值为169.解法二:易知Sn= n2+ n(d<0).由其对应的二次函数y= x2+ x(x>0,d<0)的图象是开口向下的抛物线,最高点的横坐标为x= =13,可得S13最大,同解法一得d=-2,∴S13=13×25+ ×(-2)=169,即Sn的最大值为169.解法三:∵S17=S9,∴a10+a11+…+a17=0,结合等差数列的性质得a13+a14=0,∵a1>0,∴d<0,∴a13>0,a14<0.当n=13时,Sn取得最大值.由a13+a14=a1+12d+a1+13d=0及a1=25得d=-2,∴S13=13×25+ ×(-2)=169,即Sn的最大值为169.导师点睛 在解题时可根据题设情况灵活选用求解方法,在利用二次函数的知识求解等差数列前n项和的最值问题时要注意项数n为正整数.疑难4 等差数列的前n项和公式主要应用于求解实际问题中的总数问题,如材料的总数目、行程问题中的总行程等.只要是等差数列,就可以应用前n项和公式计算总数,求解时注意从实际问题中抽象出的数学模型要准确,即建模合适.疑难 4 等差数列前n项和公式在实际问题中的应用讲解分析某剧场有40排座位,第1排有20个座位,从第2排起,每一排都比它的前一排多2个座位.(1)求该剧场的座位数;(2)若该剧场一场演出的票价如下:第1排至第10排每张200元,第11排至第30排每张150元,其余每张100元,求该剧场满座时,一场演出的收入.典例解析 (1)设该剧场从第1排到第40排,各排的座位数依次排成一列后构成数列{an},其前n项和为Sn.根据题意,数列{an}是一个首项为20,公差为2的等差数列,故S40=40×20+ ×2=2 360.故该剧场的座位数为2 360.(2)由(1)可得S10=10×20+ ×2=290,S30=30×20+ ×2=1 470,故该剧场满座时,一场演出的收入为200S10+150(S30-S10)+100(S40-S30)=324 000(元).疑难5 1.倒序相加法求和在数列{an}中,如果与首末两项等距离的两项之和均等于首末两项之和,且这些两项之和均为同一个常数,那么可把正着写求和与倒着写求和的两个和式相加,通过求常数列的各项和来求数列{an}的前n项和,这一求和的方法称为倒序相加法.2.裂项相消法求和 裂项相消法求和就是将数列中的每一项拆成两项(或多项)差的形式,使求和时的一些项可有规律抵消,从而达到求和的目的.利用裂项相消法求和时要注意抵消后的剩余项有哪些,连接剩余项的符号是加号还是减号.常见的裂项技巧有:(1)若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列,则 = ;讲解分析疑难 5 与等差数列有关的数列的和(2) = - ;(3)loga =loga(n+1)-logan,其中a>0,且a≠1,n∈N+.已知等差数列{an}满足a8=3a3,a1+a2=4.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn= ,求数列{bn}的前n项和Tn.典例思路点拨 (1)设等差数列{an}的公差为d,由已知条件求出a1,d,进而求出数列{an}的通项公式.(2)由(1)得出bn的表达式,利用裂项相消法求出Tn.解析 (1)设等差数列{an}的公差为d,∵ ∴ 解得 ∴an=2n-1.(2)由(1)知bn= = - ,∴Tn= + +…+ =1- = .§2 等差数列2.1 等差数列的概念及其通项公式基础过关练题组一 等差数列的概念1.下列数列不是等差数列的是( )A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16C.,,1,, D.-3,-2,-1,1,22.已知{an}为等差数列,则“{an}单调递增”是“a1A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件题组二 等差中项3.若2a+1是a-1与4a-2的等差中项,则实数a的值为( )A.- B. C. D.54.在等差数列{an}中,a3,a5是方程x2-4x+3=0的两实数根,则a4的值为( )A.2 B.3 C.±2 D.5.若5,x,y,z,21成等差数列,则x+y+z=( )A.26 B.29 C.39 D.52题组三 等差数列的通项公式及其应用6.在等差数列{an}中,若a4=11,a6=15,则{an}的公差为( )A.-2 B.2 C.-3 D.37.已知数列{an}为等差数列,若a3+a4=12,a4-a2=4,则a9=( )A.15 B.16 C.17 D.188.在等差数列{an}中,a4=3,a7=9,则a3+a5+a7+a9= . 9.在-3和6之间插入两个数a,b,使这四个数成等差数列,则这个数列的公差为 . 10.已知数列{an}是等差数列,且an=an2+n(n∈N+),则实数a= . 题组四 等差数列的性质及其应用11.在等差数列{an}中,a3+a7=6,则a2+a8=( )A.3 B.4 C.6 D.812.在等差数列{an}中,a3=7,a5+a7=32,则{an}的公差d=( )A.5 B.4 C.3 D.213.《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至日起,一物的影长(单位:尺)依次成等差数列,若立春当日影长为10.5尺,立夏当日影长为4.5尺,则春分当日影长为( )A.4.5尺 B.5尺C.5.5尺 D.7.5尺14.已知等差数列{an}是递减数列,若a1+a2+a3=90,a9>0,则公差d的一个整数取值可以是 . 15.已知数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),a2+a4+a6=12,a1+a3+a5=9,则a3+a4= . 能力提升练题组一 等差数列的通项公式及其应用1.67是等差数列3,11,19,27,…的( )A.第6项 B.第7项 C.第8项 D.第9项2.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列与一般等差数列的不同,高阶等差数列前后两项之差并不相等,而是逐项差数之差或者高次差相等.例如“百层球堆垛”:第一层有1个球(a1=1),第二层有3个球(a2=3),第三层有6个球(a3=6),第四层有10个球(a4=10),第五层有15个球(a5=15),……,各层球数之差{an+1-an}:a2-a1,a3-a2,a4-a3,a5-a4,…即2,3,4,5,…是等差数列.现有一个高阶等差数列,其前6项分别为1,3,6,12,23,41,则该数列的第8项为( )A.51 B.68 C.106 D.1573.已知等差数列{an}的首项为a,公差为1,bn=,若对任意的正整数n都有bn≥b5,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-4)∪(-3,+∞)B.(-4,-3)C.(-∞,-5)∪(-4,+∞)D.(-5,-4)4.(多选题)已知数列{an}满足a1=10,a2=5,an-an+2=2(n∈N+),则下列说法正确的有( )A.数列{an}是等差数列B.a2k=7-2k(k∈N+)C.a2k-1=12-2k(k∈N+)D.an+an+1=18-3n5.已知数列{an}满足a1=3,an+1=an+2+1,则a10=( )A.80 B.100 C.120 D.1436.已知等差数列{an}中,a2=4,a6=16,若在数列{an}每相邻两项之间插入三个数,所得新数列也是一个等差数列,则新数列的第41项为 . 7.已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n,n∈N+.(1)求a2,a3的值;(2)证明数列是等差数列,并求{an}的通项公式.题组二 等差数列的性质及其应用8.等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则3a9-a11=( )A.42 B.45 C.48 D.519.已知函数f(x)是定义在R上的连续函数,且f(1)=5, f(3)=9,若 a,b∈R,都有f=[f(a)+f(b)],则f(2 023)=( )A.5 B.9 C.4 023 D.4 04910.(多选题)已知等差数列{an}为递增数列,且满足a1+a2+a3+…+a101=0,则下列各式一定成立的有( )A.a1+a101>0 B.a2+a100=0 C.a3+a100≤0 D.a51=011.(多选题)已知数列{an},{bn}均为公差大于零的等差数列,则下列说法正确的有( )A.数列{an+bn}是递增数列B.数列{anbn}是递增数列C.数列{an+bn}是等差数列D.数列{anbn}不可能是等差数列12.数列{an}满足a1=1,an+1=(n∈N+),实数k为常数.①数列{an}可能是常数列;②k=1时,数列为等差数列;③若a3>a1,则k的取值范围是(-2,0);④k>0时,数列{an}为递减数列.则以上正确说法的序号是 . 题组三 等差数列的综合应用13.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式,书中所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同,其前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,61,95,则该数列的第8项为( )A.99 B.131 C.139 D.14114.在等差数列{an}中,an>0,且a1+a2+a2 022+a2 023=40,则+的最小值为 . 15.已知a,b,c分别是Rt△ABC的内角A,B,C的对边,lg a,lg b,lg c成等差数列,且公差d<0,则sin C= . 16.已知一个正实数的小数部分的2倍、整数部分和自身构成等差数列,则这个正实数是 . 17.在数列{an}中,a1=1,3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N+).(1)证明:数列是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式;(3)若λan+≥λ对任意的n≥2,n∈N+恒成立,求实数λ的取值范围.答案与分层梯度式解析1.D 根据等差数列的定义可知,选项D中的数列不是等差数列.故选D.2.A 设等差数列{an}的公差为d,若{an}单调递增,则d>0,∴a1+d>a1,即a2>a1;反之,若a2>a1,则a1+d>a1,∴d>0,∴{an}单调递增.故“{an}单调递增”是“a13.D 因为2a+1是a-1与4a-2的等差中项,所以2(2a+1)=a-1+4a-2,解得a=5.4.A 由根与系数的关系可得a3+a5=4,由题意得a4是a3,a5的等差中项,所以a4==2.5.C ∵5,x,y,z,21成等差数列,∴y既是5和21的等差中项,也是x和z的等差中项,∴5+21=2y,x+z=2y,∴y=13,x+z=26,∴x+y+z=39.6.B 设等差数列{an}的公差为d,则a4=a1+3d=11,a6=a1+5d=15,所以d=2.故选B.7.C 设等差数列{an}的公差为d,则解得所以a9=a1+8d=17,故选C.8.答案 28解析 设等差数列{an}的公差为d,则解得所以an=a1+(n-1)d=2n-5,所以a3+a5+a7+a9=1+5+9+13=28.9.答案 3解析 设该等差数列为{an},其公差为d,由题意知,解得d=3.10.答案 0解析 ∵{an}是等差数列,∴an是常数函数或关于n的一次函数,又an=an2+n,∴a=0.11.C 由等差数列的性质知a2+a8=a3+a7=6.故选C.12.C 由等差数列的性质及已知得a5+a7=2a6=32,∴a6=16,∴d==3.13.D 设这十二节气自冬至日起该物的影长尺数构成的等差数列为{an},由题意得a4=10.5,a10=4.5,则a7=(a4+a10)=7.5.故选D.14.答案 -3(答案不唯一)解析 a1+a2+a3=3a2=90,∴a2=30,∴a9=a2+7d=30+7d>0,即d>-,又{an}是递减数列,所以-15.答案 7解析 因为2an=an-1+an+1(n≥2),所以{an}是等差数列,由等差数列的性质可得a2+a4+a6=3a4=12,a1+a3+a5=3a3=9,解得a4=4,a3=3.所以a3+a4=7.能力提升练1.D 记此等差数列为{an},其公差为d,则a1=3,d=11-3=8,所以an=3+8(n-1)=8n-5.令an=67,则8n-5=67,解得n=9.2.C 由题意得后一项与前一项之差{an+1-an}:a2-a1,a3-a2,a4-a3,a5-a4,a6-a5,…,即2,3,6,11,18,…,3-2,6-3,11-6,18-11,…即1,3,5,7,…是等差数列,所以a7=41+(18+9)=68,a8=68+(18+9+11)=106.故选C.3.D 解法一:依题意得,an=a+(n-1)×1=n+a-1,∴bn==1+.画出函数y=+1的图象,如图.结合题意知5<1-a<6,解得-5解法二:∵等差数列{an}的首项为a,公差为1,∴an=a+n-1,∴bn==1+=1+,若对任意的正整数n都有bn≥b5,则(bn)min=b5=1+,结合数列{bn}的增减性可知,即解得-54.BC 由an-an+2=2,a1=10得a3=a1-2=8,由于2a2≠a1+a3,所以{an}不是等差数列,故A不正确;由an-an+2=2,知{an}的偶数项、奇数项分别构成等差数列,公差都为-2,当n=2k(k∈N+)时,a2k=a2+(k-1)×(-2)=7-2k,当n=2k-1(k∈N+)时,a2k-1=a1+(k-1)×(-2)=12-2k,故B,C都正确;a2+a3=5+8=13,不满足an+an+1=18-3n,故D错误.故选BC.5.C 因为an+1=an+2+1,所以an+1+1=()2+2+1,即an+1+1=(+1)2,等式两边开方可得=+1,即-=1,所以数列{}是首项为=2,公差为1的等差数列,所以=2+(n-1)×1=n+1,所以an=n2+2n,所以a10=102+20=120.故选C.6.答案 31解析 设等差数列{an}的公差为d,则d===3,设在数列{an}每相邻两项之间插入三个数后所得等差数列为{bn},则数列{bn}的公差为=,又b1=a1=4-3=1,所以bn=1+(n-1)=n+,所以b41=×41+=31.7.解析 (1)由nan+1-(n+1)an=2n2+2n,得a2-2a1=4,则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6,同理可得2a3-3a2=12,则2a3=12+3a2,所以a3=15.(2)由nan+1-(n+1)an=2n2+2n=2n(n+1),得=2,即-=2,所以数列是首项为=1,公差为2的等差数列,所以=1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2-n.8.C 因为a4+a6+a8+a10+a12=5a8=120,所以a8=24,所以3a9-a11=a9+2a9-a11=a9+a7+a11-a11=2a8=48,故选C.9.D 令a=n-1,b=n+1,n∈N+,由f =[f(a)+f(b)]可得f =,即2f(n)=f(n-1)+f(n+1)(n∈N+),所以数列{f(n)}为等差数列,又f(1)=5,f(3)=9,所以公差为 =2,所以f(2 023)=5+2×(2 023-1)=4 049.故选D.10.BD ∵等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,∴a1+a2+a3+…+a101=(a1+a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0,∴a51=0,a1+a101=a2+a100=2a51=0,故B,D正确,A错误.设等差数列{an}的公差为d,易知d>0,∵a51=a1+50d=0,∴a1=-50d,∴a3+a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d=d>0,故C错误.故选BD.11.ACD ∵数列{an},{bn}均为公差大于零的等差数列,∴设an=p1n+q1(p1>0),bn=p2n+q2(p2>0),其中p1,q1,p2,q2为常数,∴an+bn=(p1+p2)n+q1+q2,∴an+1+bn+1-(an+bn)=p1+p2>0,∴数列{an+bn}是等差数列,且为递增数列,故A,C正确;anbn=(p1n+q1)(p2n+q2)=p1p2n2+(p1q2+p2q1)n+q1q2,∴an+1bn+1-anbn=p1p2(n+1)2+(p1q2+p2q1)(n+1)+q1q2-[p1p2n2+(p1q2+p2q1)n+q1q2]=p1p2(2n+1)+p1q2+p2q1,由题可知p1p2>0,∴an+1bn+1-anbn=p1p2(2n+1)+p1q2+p2q1不可能为常数,∴数列{anbn}不可能是等差数列,故D正确;不妨令an=n-2,bn=n-3,则a1b1=2,a2b2=0,a3b3=0,∴数列{anbn}不是递增数列,故B错误.故选ACD.12.答案 ①②④解析 当k=0时,数列{an}是常数列,故①正确;当k=1时,an+1=,整理得-=1,所以数列为等差数列,故②正确;a3====,若a3>a1,则>1,解得-10得an+113.D 设该高阶等差数列的第8项为x,根据所给定义,用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,得到的新数列也用后一项减去前一项再得到一个新数列,此时便得到了一个等差数列,记x与95的差为y,如图:由图可得则故选D.解题模板 解数列的新定义问题,关键是准确把握新定义的含义,再依题意利用数列的有关性质求解.14.答案 解析 a1+a2+a2 022+a2 023=2(a1+a2 023)=40,∴a1+a2 023=20,已知an>0,由基本不等式得+==≥=,当且仅当a1=a2 023=10时取等号.15.答案 解析 由lg a,lg b,lg c成等差数列,且公差d<0,可得lg a-lg b=lg b-lg c>0,所以a>b>c,且=,所以b2=ac,角A是Rt△ABC的直角,故b2+c2=a2,即ac+c2=a2,即+=1,所以sin C+sin 2C=1,解得sin C=或sin C=(不符合题意,舍去).16.答案 或解析 设这个正实数的小数部分是x(0≤x<1),整数部分是y(y∈N),则这个正实数为x+y.由已知得2y=2x+x+y,所以y=3x,当y=0时,x=0,x+y=0,不符合要求;当y=1时,x=,x+y=;当y=2时,x=,x+y=;当y≥3时,x=≥1,不符合要求.综上所述,这个正实数是或.17.解析 (1)证明:由3anan-1+an-an-1=0(n≥2,n∈N+),得-=3(n≥2,n∈N+).因为=1,所以数列是以1为首项,3为公差的等差数列.(2)由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2,所以an=(n∈N+).(3)因为λan+≥λ对任意的n≥2,n∈N+恒成立,所以+3n-2≥λ,即λ≤对任意的n≥2,n∈N+恒成立.令f(n)=(n≥2,n∈N+),则只需满足λ≤f(n)min即可.因为f(n+1)-f(n)=-==3-,所以当n≥2时, f(n+1)-f(n)>0,即f(2)又因为f(2)=,所以λ≤.所以实数λ的取值范围为.22.2 等差数列的前n项和基础过关练题组一 等差数列前n项和的有关计算1.已知等差数列{an}满足a2+a8=10,若Sn为{an}的前n项和,则S9=( )A.45 B.54 C.63 D.902.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,a4+a7=22,则S19=( )A.380 B.200 C.190 D.1003.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,S5=5S3-5,则a9=( )A.2 B.-2 C.3 D.-14.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人,使5人所得面包个数成等差数列,则最大一份与最小一份的和为( )A.30 B.35 C.40 D.605.设等差数列{an}满足a2+a5=19,a6-a3=9.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为{an}的前n项和,若S11+Sk=Sk+2,求k的值.题组二 等差数列前n项和的性质6.一个等差数列共有10项,其奇数项之和是12.5,偶数项之和是15,则它的首项与公差分别是( )A.0.5,0.5 B.0.5,1C.1,0.5 D.0.5,27.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若S2=15,S6=75,则S4=( )A.40 B.45 C.50 D.558.在等差数列{an}的前(2m+1)(m∈N+)项中,奇数项的和与偶数项的和的比值为( )A. B. C. D.9.已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S2 023=2 023,且-=2 001,则a1=( )A.-2 021 B.-2 020 C.-2 019 D.-2 01810.有两个等差数列{an}、{bn},其前n项和分别为Sn、Tn.(1)若=,则= ; (2)若=,则= ; (3)若=,则= . 题组三 等差数列前n项和的函数特性11.等差数列{an}中,a1>0,公差d<0,Sn为其前n项和,对任意正整数n,若点(n,Sn)在以下4条曲线中的某条上,则这条曲线是( )A B C D12.若数列{an}满足a1=19,an+1=an-3(n∈N+),则数列{an}的前n项和最大时,n的值为( )A.6 B.7 C.8 D.913.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sn有最小值,若<-1,则使Sn<0成立的n的最大值为( )A.17 B.16 C.15 D.1414.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2 020>0,S2 021<0,则当n= 时,Sn最大. 15.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=-12,S5=-50.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn的最小值及此时n的值.题组四 数列前n项和的求解16.已知函数f(x)=x+3sin+,数列{an}满足an=,则f(a1)+f(a2)+…+f(a2 022)=( )A.2 022 B.2 023 C.4 044 D.4 04617.已知数列{an}的前n项和为Sn,若an=,Sn=10,则n等于( )A.90 B.119 C.120 D.12118.已知数列{an}的通项公式为an=lg,则其前99项和S99= . 19.已知数列{an}的前n项和为Sn,若an=,则S2 023= . 20.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=15,S12=222.(1)求{an}的通项公式;(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.能力提升练题组一 等差数列的前n项和的有关计算1.已知函数f(x)=x3+4x,记等差数列{an}的前n项和为Sn,若f(a3+2)=100, f(a2 020+2)=-100,则S2 022=( )A.2 022 B.-2 022 C.4 044 D.-4 0442.若[x]表示不超过x的最大整数(例如:[0.1]=0,[-0.1]=-1),数列{an}满足a1=3,an+1-an=2n+2(n∈N+),则[]+[]+…+[]=( )A.1 010×2 021 B.1 010×2 020C.1 009×2 021 D.1 009×2 0203.下图是一个3层六边形,图中所有点的个数S3为28,按此规律画下去,可以得到n层六边形,则Sn=( )A.4n+1B.4n+2C.2n2+3nD.2n2+3n+14.(多选题)我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题:“今有善走者,日增等里,首日行走一百里,九日共行一千二百六十里,问日增几何 ”其大意是:现有一位善于步行的人,第一天行走了一百里,以后每天比前一天多走d里,九天他共行走了一千二百六十里,求d的值.关于该问题,下列结论正确的是( )A.d=15B.此人第三天行走了一百二十里C.此人前七天共行走了九百一十里D.此人有连续的三天共行走了三百九十里5.在数列{an}中,a1=,an+1=.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若(4n+2)bn=an,求数列{bn}的前n项和Sn.题组二 等差数列前n项和的性质6.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=( )A. B. C. D.7.设等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意的n∈N+,都有=,则+的值为 ( )A. B. C. D.8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sm=-2,Sm+1=0,Sm+2=3,则m= . 9.在等差数列{an}中,前m(m为奇数)项的和为135,其中偶数项之和为63,且am-a1=14,则a100= . 题组三 等差数列前n项和的函数特性10.已知数列{an}的前n项和Sn=an2+bn+c(a,b,c∈R),则“c=0”是“{an}为等差数列”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件11.设Sn为等差数列{an}的前n项和,且 n∈N+,都有<.若<-1,则( )A.Sn的最小值是S17 B.Sn的最小值是S18C.Sn的最大值是S17 D.Sn的最大值是S1812.(多选题)设数列{an}的前n项和为Sn,下列说法正确的是( )A.若Sn=n2+2n-1,则an=2n+1B.若an=3n-23,则Sn的最小值为-77C.若an=4n-3,则数列{(-1)nan}的前17项和为-33D.若数列{an}为等差数列,且a1 011+a1 012<0,a1 000+a1 024>0,则当Sn<0时,n的最大值为2 023题组四 等差数列前n项和的应用13.蚊香(如图1)具有悠久的历史,我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”如图2所示.画法如下:在水平直线上取长度为1的线段AB,以AB为一边作等边三角形ABC,然后以点B为圆心,AB为半径逆时针画圆弧,交线段CB的延长线于点D,此段圆弧为第一段圆弧,再以点C为圆心,CD为半径逆时针画圆弧,交线段AC的延长线于点E,再以点A为圆心,AE为半径逆时针画圆弧……以此类推,当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时,“蚊香”的长度为( )A.44π B.64π C.70π D.80π14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,且满足a3>0,a3+a4<0,则的取值范围是 ,的取值范围是 . 15.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-14n+2.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.16.近几年,电动汽车领域有了长足的发展.某公司今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线,第一年需要安装、人工等费用24万元,从第二年起,每年所需的人工、维修等费用比上一年增加8万元,该生产线每年年产值保持在100万元.(1)引进该生产线几年后总盈利最大 最大是多少万元 (2)引进该生产线几年后年平均盈利最大 最大是多少万元 答案与分层梯度式解析1.A 由等差数列的性质可知a1+a9=a2+a8=10,所以S9===45.2.A 设等差数列{an}的公差为d,则a4+a7=2a1+9d=22,又a1=2,所以d=2,所以S19=19×2+×2=380.3.A 记等差数列{an}的公差为d,由S5=5S3-5可得5a1+10d=5(3a1+3d)-5,整理得2a1+d-1=0,①因为=,所以S6=3S3,即6a1+15d=3(3a1+3d),整理可得a1=2d,②联立①②可得a1=,d=,故a9=a1+8d=2.故选A.4.C 设5人分到的面包个数从小到大依次为a1,a2,a3,a4,a5,由题意得该数列为等差数列,则a1+a2+a3+a4+a5==100,所以a1+a5=40,故选C.5.解析 (1)设等差数列{an}的公差为d,由得解得故an=a1+(n-1)d=3n-1.(2)由(1)可知Sn==,因为S11+Sk=Sk+2,所以+=,整理得6k=180,解得k=30.6.A 设此等差数列为{an},公差为d,前n项和为Sn,则S偶-S奇=5d=15-12.5=2.5,得d=0.5.故S10=10a1+×0.5=15+12.5=27.5,解得a1=0.5.7.A 由题意可得数列S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,所以S2+(S6-S4)=2(S4-S2),即15+(75-S4)=2(S4-15),解得S4=40.8.B 设等差数列{an}的前n项和为Sn,则前(2m+1)项中,S奇=,S偶=,∵a1+a2m+1=a2+a2m,∴=.9.A 设等差数列{an}的公差为d,易得=a1+d,则是以a1为首项,为公差的等差数列.因为-=2 001,所以2 001×=2 001,解得d=2,则S2 023=2 023a1+×2=2 023,所以a1=-2 021,故选A.10.答案 (1) (2) (3)解析 (1)=====.(2)=====.(3)因为{an},{bn}为等差数列,且=,所以可设Sn=kn(2n+3),Tn=kn(n+1)(易错点:Sn,Tn均为关于n的不含常数项的二次函数),则a5=S5-S4=65k-44k=21k,b10=T10-T9=10k×11-9k×10=20k,所以=.规律总结 若等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则=,=·(bn≠0,T2n-1≠0).11.C 由等差数列的前n项和公式可知Sn=na1+=n2+n,设f(x)=x2+x,当a1>0,d<0时,f(x)的图象开口向下,对称轴在y轴右侧,C符合要求.故选C.12.B 解法一:由题意得an+1-an=-3,所以数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列,所以Sn=19n+×(-3)=-n2+n=-+,因为n∈N+,≈6.8,所以当n=7时,Sn取得最大值,故选B.解法二:由题意得an+1-an=-3,所以数列{an}是以19为首项,-3为公差的等差数列,所以an=19+(n-1)×(-3)=22-3n,要使{an}的前n项和最大,则需即所以≤n≤,又n∈N+,所以n=7,故选B.13.C 因为Sn有最小值,所以d>0,所以a9>a8,因为<-1,所以a8<0,a9>0,且a9+a8>0,所以S16==>0,S15==15a8<0,所以当1≤n≤15时,Sn<0,所以使Sn<0成立的n的最大值为15.故选C.14.答案 1 010解析 因为S2 020==>0,S2 021===2 021a1 011<0,所以a1 010>0,a1 011<0,所以当n=1 010时,Sn最大.15.解析 (1)设等差数列{an}的公差为d,则解得∴an=-14+(n-1)×2=2n-16.(2)由(1)可得Sn=-14n+×2=n2-15n=-,所以当n=7或n=8时,Sn取得最小值,Sn的最小值为S7=S8=-56.16.A ∵f(1-x)=1-x+3sin+,∴f(x)+f(1-x)=2.∵an+a2 023-n=+=1,∴f(an)+f(a2 023-n)=2.令S=f(a1)+f(a2)+…+f(a2 022),则S=f(a2 022)+f(a2 021)+…+f(a1),两式相加得2S=2×2 022,∴S=2 022.故选A.17.C ∵an==-,∴Sn=(-1)+(-)+…+(-)=-1,令-1=10,则n+1=121,∴n=120.18.答案 2解析 an=lg=lg(n+1)-lg n,所以S99=lg 2-lg 1+lg 3-lg 2+…+lg 100-lg 99=2.19.答案 解析 因为an==-,所以S2 023=a1+a2+a3+…+a2 023=+++…+=1-=.20.解析 (1)设等差数列{an}的公差为d,则解得所以an=2+3(n-1)=3n-1.(2)由(1)得an=3n-1,所以bn===,所以Tn===,所以数列{bn}的前n项和Tn=.能力提升练1.D 易知函数f(x)=x3+4x的定义域为R,关于原点对称,∵f(-x)+f(x)=(-x)3+4(-x)+x3+4x=0,∴f(x)是R上的奇函数.∵f(a3+2)=100, f(a2 020+2)=-100,∴f(a3+2)+f(a2 020+2)=0,∴a3+2+a2 020+2=0,∴a3+a2 020=-4=a1+a2 022,∴S2 022==1 011×(-4)=-4 044.故选D.2.A ∵an+1-an=2n+2,∴an-an-1=2(n-1)+2=2n,an-1-an-2=2n-2,……,a3-a2=6,a2-a1=4,累加可得an-a1=4+6+…+(2n-2)+2n==n2+n-2,又a1=3,∴an=n2+n+1,∵n2故[]+[]+…+[]=1+2+…+2 020==1 010×2 021.故选A.3.D 设除公共顶点外,第n层上的点的个数为an,由题意得a1=5,a2=5+4×1=9,a3=5+4×2=13,……,所以{an}是以5为首项,4为公差的等差数列,所以Sn=a1+a2+a3+…+an+1=5n+×4+1=2n2+3n+1.故选D.4.BCD 设此人第n天走an里,则数列{an}是公差为d的等差数列,记{an}的前n项和为Sn,由题意可得a1=100,S9=9a1+36d=900+36d=1 260,解得d=10,所以A错误;a3=a1+2d=100+20=120,所以B正确;S7=7a1+21d=910,所以C正确;a3+a4+a5=3a4=390,所以D正确.故选BCD.5.解析 (1)由an+1=得-=4,又=2,所以数列是以2为首项,4为公差的等差数列,所以=2+4(n-1)=4n-2,则an=.(2)因为(4n+2)bn=an,所以bn===,所以Sn===.6.A 由等差数列的性质可知S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列,∵=,∴S6=3S3,故(S6-S3)-S3=S3,∴S9-S6=3S3,S12-S9=4S3,∴S9=6S3,S12=10S3,∴==.7.D 由等差数列的性质可得b2+b10=b5+b7=b1+b11,a3+a9=a1+a11,∴+=====.8.答案 4解析 因为Sn是等差数列{an}的前n项和,所以数列是等差数列,所以+=,即+=0,解得m=4.9.答案 101解析 设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,由题意可知,Sm=135,前m项中偶数项之和S偶=63,∴前m项中奇数项之和S奇=135-63=72,∴S奇-S偶=a1+===72-63=9.∵Sm==135,∴m=15,又∵am-a1=14,am=a1+(m-1)d,∴d=1,则a1=2,∴a100=a1+99d=101.10.A 若数列{an}为等差数列,设其公差为d,则Sn=na1+=n2+n,记a=,b=a1-,则Sn=an2+bn,故“c=0”是“{an}为等差数列”的充要条件.11.A 由<得<,即an∵<-1,∴a17<0,a18>0,∴当n≤17且n∈N+时,an<0,当n≥18且n∈N+时,an>0,∴Sn有最小值,最小值为S17.故选A.12.BC 对于A,由Sn=n2+2n-1知,当n=1时,a1=S1=2,由an=2n+1知,当n=1时,a1=3,故A错误;对于B,易知{an}为等差数列,公差d=3>0,所以{an}是递增数列,令an<0,得n<,故a7<0,a8>0,所以当n=7时,Sn取得最小值,为7×(3-23)+×3=-77,故B正确;对于C,设数列{(-1)nan}的前n项和为Tn,则T17=-a1+a2-a3+a4-…-a15+a16-a17=(-1+5)+(-9+13)+…+(-57+61)-65=4×8-65=-33,故C正确;对于D,a1 011+a1 012=a1+a2 022<0,a1 000+a1 024=a1+a2 023>0,所以S2 022=<0,S2 023=>0,故当Sn<0时,n的最大值为2 022,故D错误.故选BC.13.D 由题意可知每段圆弧所对的圆心角都是,且每段圆弧的半径依次增加1,则第n段圆弧的半径为n,记第n段圆弧的长为an,则an=·n,所以这15段“蚊香”的长度为×(1+2+3+…+15)=×=80π.故选D.14.答案 ;解析 ∵a3>0,a3+a4<0,∴a4<0,d<0.由得又d<0,∴-<<-2.∴的取值范围为.====2+.∵-<<-2,∴-4<2×+1<-3,∴-<<-1,∴<2+<1,即<<1.∴的取值范围为.15.解析 (1)当n=1时,S1=1-14+2=-11,即a1=-11,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-14n+2-[(n-1)2-14×(n-1)+2]=2n-15,a1=-11不满足上式,所以an=(2)令an≤0,得n≤,所以当1≤n≤7时,an<0,当n≥8时,an>0.当1≤n≤7时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an)=-Sn=-n2+14n-2,当n≥8时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a7|+|a8|+…+|an|=-(a1+a2+…+a7)+a8+…+an=-S7+(Sn-S7)=Sn-2S7=n2-14n+96,所以Tn=易错警示 ①该问题中数列{an}不是等差数列,只是从第2项起成等差数列,故它的通项公式需写成分段的形式; ②求数列{|an|}的前n项和时,要对an的正负情况进行分类讨论,前n项和也要写成分段的形式.16.解析 (1)设n年后的总盈利为Sn万元,根据条件可知,每年的人工、维修等费用(单位:万元)是首项为24,公差为8的等差数列,则Sn=100n--196=-4n2+80n-196=-4(n-10)2+204,所以当n=10时,Sn取得最大值204,故引进该生产线10年后总盈利最大,最大是204万元.(2)设引进该生产线n年后年平均盈利为Tn万元,则Tn==-4n-+80=-+80≤-2+80=24,当且仅当4n=,即n=7时,等号成立,所以引进该生产线7年后年平均盈利最大,最大为24万元.17(共19张PPT)§2 等差数列知识点 1 等差数列的概念知识 清单破2.1 等差数列的概念及其通项公式文字语言 对于一个数列,如果从第2项起,每一项与它的前一项的差都是同一个常数,那么称这样的数列为等差数列,称这个常数为等差数列的公差,通常用字母d表示数学符号 在数列{an}中,若an+1-an=d(n∈N+)或an-an-1=d(n≥2,n∈N+)成立,则称数列{an}为等差数列,常数d称为等差数列的公差递推关系 an+1-an=d(n∈N+)或an-an-1=d(n≥2,n∈N+) 若首项是a1,公差是d,则等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.知识点 2 等差数列的通项公式 如果在a与b之间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项.如果A是a与b的等差中项,那么A-a=b-A,所以A= .显然,在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.知识点 3 等差中项 对于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可将an记作f(n),它是定义在正整数集(或其子集)上的函数.其图象是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点,这些点的横坐标是正整数,其中公差d是该直线的斜率,即自变量每增加1,函数值增加d.当d>0时,数列{an}为递增数列(如图(1));当d<0时,数列{an}为递减数列(如图(2));当d=0时,数列{an}为常数列(如图(3)).知识点 4 等差数列与一次函数的关系 知识点5 1.通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N+).2.若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则ak+al=am+an.3.若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.4.若{an},{bn}分别是以d1,d2为公差的等差数列,则{pan+qbn}是以pd1+qd2为公差的等差数列.5.若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)组成公差为md的等差数列.知识点 5 等差数列的常用性质判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.1.若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列一定是等差数列. ( )2.若5位同学的年龄(单位:岁)相等,则他们的年龄不构成等差数列. ( )3.甲、乙的月收入(单位:万元)分别为1,2,则甲、乙月收入(单位:万元)的等差中项为1.5. ( )4.若数列{an}为等差数列,则其通项公式为关于n的一次函数. ( )5.若数列{an}的通项公式为an=kn+b,则{an}是公差为k的等差数列. ( )知识辨析 提示 提示 提示差是同一个常数时才是等差数列.该数列为常数列.当公差为0时,其通项公式为常数函数,不是一次函数.√√提示∵ -an=k(n+1)+b-(kn+b)=k,∴{an}是公差为k的等差数列.判定一个数列是等差数列的常用方法(1)定义法:an+1-an=d(d为常数,n∈N+) {an}为等差数列.(2)通项公式法:an的通项公式是关于n的一次函数 {an}是公差不为0的等差数列.(3)等差中项法:2an+1=an+an+2(n∈N+) {an}为等差数列.特别地,对于三个数a,b,c,2b=a+c a,b,c(或c,b,a)成等差数列.其中定义法和等差中项法是证明一个数列为等差数列的方法和直接依据.讲解分析疑难 情境破疑难 1 等差数列的判定(证明)已知各项均不为0的数列{an}满足an= (n≥2,n∈N+),且a2=-1.求证:数列 为等差数列.典例证明 将an= (n≥2,n∈N+)两边同时取倒数,可得 = +3(n≥2,n∈N+),所以 - =3(n≥2,n∈N+),因为a2=-1,所以 - =3,所以 =-4.所以数列 是首项为-4,公差为3的等差数列.1.求等差数列通项公式的一般思路(1)方程思想:设出基本量a1与d,利用已知条件构建方程组,求出a1与d,即可写出数列的通项公式.(2)利用等差数列通项公式的推广:已知等差数列中的两项an与am时,可利用an=am+(n-m)d(n,m∈N+)求出公差d,进而写出等差数列的通项公式.2.利用递推关系式构造等差数列求通项公式将递推关系式进行转化,可构造出等差数列,常见的转化形式如下:(1)转化为“(an+2-an+1)-(an+1-an)=常数”的形式,则数列{an+1-an}是等差数列.(2)转化为“ - =常数”的形式,则数列 是等差数列.疑难 2 求等差数列的通项公式讲解分析(3)转化为“ - =常数”的形式,则数列 是等差数列,其中c为实数.(4)转化为“ - =常数”的形式,则数列{ }是等差数列.(5)转化为“ - =常数”的形式,则数列{ }是等差数列.(1)已知在公差为d的等差数列{an}中,a6=12,a18=36,则数列{an}的通项公式为an= ;(2)已知数列{an}满足an+1=3an+3n,且a1=1,求数列{an}的通项公式.典例解析 (1)解法一:由题意可得 解得 ∴an=2+(n-1)×2=2n.解法二:∵a18=a6+(18-6)d,∴d= =2,∴an=a6+(n-6)d=12+(n-6)×2=2n.(2)将an+1=3an+3n两边同时除以3n+1,得 = + ,即 - = .由等差数列的定义知,数列 是以 = 为首项, 为公差的等差数列,∴ = +(n-1)× = ,故an=n·3n-1.答案 (1)2n 借助等差数列的性质解决有关项的问题,可以简化计算,但不一定每道题都适用,能应用性质的此类题都应具有一定的特征,所以解决等差数列的有关问题时,可先考虑应用等差数列的性质,若不能应用性质,则考虑将其转化成与首项和公差有关的式子进行求解.讲解分析疑难 3 等差数列性质的应用在等差数列{an}中,已知a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求此数列的通项公式.典例解析 设等差数列{an}的公差为d.解法一:易知a1+a7=2a4,∴a1+a4+a7=3a4=15,∴a4=5.∵a2a4a6=45,∴a2a6=9,∴(a4-2d)(a4+2d)=9,即(5-2d)(5+2d)=9,解得d=±2.当d=2时,an=a4+(n-4)d=2n-3;当d=-2时,an=a4+(n-4)d=-2n+13.∴an=2n-3或an=-2n+13.解法二:同解法一得a4=5,a2a6=9,又∵a1+a7=a2+a6=2a4=10,∴ 解得 或 当a2=1,a6=9时,a6=a2+4d=1+4d=9,解得d=2,∴an=a4+(n-4)d=2n-3;当a2=9,a6=1时,a6=a2+4d=9+4d=1,解得d=-2,∴an=a4+(n-4)d=-2n+13.∴an=2n-3或an=-2n+13.解决有关等差数列实际问题的基本步骤(1)审题:仔细阅读材料,认真理解题意;(2)建模:将已知信息翻译成数学语言,将实际问题转化为数学中有关数列的问题;(3)判型:分析该数列是不是等差数列;(4)求解:求出该有关数列问题的解;(5)还原:将所得结果还原到实际问题中.讲解分析疑难 4 等差数列的实际应用《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有一关于等差数列的问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何 ”可理解为:“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得钱数之和与丙、丁、戊三人所得钱数之和相等.问五人各得多少钱 ”(“钱”是古代的一种质量单位)这个问题中五人所得钱数依次成等差数列,则戊所得为 ( )A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱典例信息提取 ①甲、乙、丙、丁、戊所得钱数依次成等差数列;②甲、乙两人所得钱数之和与丙、丁、戊三人所得钱数之和相等.数学建模 以五人分五钱为背景建立等差数列模型,这五人所得钱数可视为等差数列的5项,故可设第3项为a,再以d为公差向两边分别设项进行求解.B解析 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,由甲、乙两人所得钱数之和与丙、丁、戊三人所得钱数之和相等,得a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,得a=-6d,又五人分五钱,所以a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5,所以a=1,则a+2d=a+2× = = . 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2.1 等差数列的概念及其通项公式.docx 2.1 等差数列的概念及其通项公式.pptx 2.2 等差数列的前n项和.docx 2.2 等差数列的前n项和.pptx
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