资源简介

(共11张PPT)
以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金与利息之和(即本利和).
1.单利:单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.单利的
计算公式是S=P(1+nr).
2.复利:复利是指一笔资金除本金产生利息外,在下一个计息周期内,以前各计息周期内产生
的利息也计算利息的计息方法.复利的计算公式是S=P(1+r)n.
§4 数列在日常经济生活中的应用
知识点 1 银行的两种计息方式
知识 清单破
知识点 2 两种存款模型
零存整取模型 每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利.若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,则到期整取时本利和S=nx+ x=x 元
定期自动转存模型 储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和,则银行按存款到期时的1年期定期存款利率自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.假定无利率变化调整因素,若储户存入定期为1年的P元存款,定期年利率为r,连存n年后再取出本利和,则储户所得本利和an=P(1+r)n元
知识点3　
1.分期付款模型
(1)分期付款中,一般规定每期付款金额相同,每期付款的时间间隔相同.
(2)分期付款中,利息按复利计算,即上期的利息要计入下期的本金中.
(3)分期付款中,贷款(或商品价值)在其付清之前,会随时间推移而不断增值,即分期付款的总
额高于一次性付款的总额.
2.两种分期付款的月还款数额
知识点 3 分期付款
等额本息 每月还款金额=[贷款本金×月利率×(1+月利率)^还款月数]÷[(1+月利率)^还款月数-1]
等额本金 每月还款金额=(贷款本金÷还款月数)+(本金-已归还本金累计额)×每月利率
　　注:a^b表示ab.
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.同一笔钱用单利和复利计算的收益相同. (　 )
2.定期自动转存储蓄业务的数学模型是等比数列. (　 )
3.零存整取储蓄业务的数学模型是等差数列.(　 )
4.分期付款是一种常见的经济现象,其涉及指数函数和数列的知识. (　 )
知识辨析

√
√
√
　　等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型.例如,存款、贷款、购物(房、
车等)分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关.遇到此类问题,准确理解题意,构建等差
或等比数列模型是解题的关键.
疑难 情境破
疑难 数列在日常经济生活中的应用
讲解分析
小明今年上高中,小明的爸爸为他办理了“教育储蓄”.从8月1日开始,每个月的1日都
存入1 000元,共存三年.(“教育储蓄”“零存整取”均不按复利计算)
(1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率为2.7‰,则3年后小明考上大学的时候,小明的爸爸
可从银行一次性支取多少元
(2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰,则小明的爸爸办理“教育储
蓄”比“零存整取”多收益多少元
典例1
解析 (1)每1 000元“教育储蓄”存一个月得到的利息是1 000×2.7‰=2.7(元),
第1个1 000元存36个月,得利息2.7×36元,
第2个1 000元存35个月,得利息2.7×35元,
……
第36个1 000元存1个月,得利息2.7×1元,
因此,3年后小明的爸爸将获得利息2.7×36+2.7×35+…+2.7×1=2.7×(36+35+…+1)=2.7×
=1 798.2(元),
所以3年后小明的爸爸可从银行一次性支取1 000×36+1 798.2=37 798.2(元).
(2)每1 000元“零存整取”存一个月得到的利息是1 000×1.725‰=1.725(元),
因此,若是“零存整取”,3年后,小明的爸爸获得的利息为1.725×36+1.725×35+…+1.725×1=
1.725× =1 148.85(元),
1 798.2-1 148.85=649.35(元).
所以小明的爸爸办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益649.35元.
随着农村经济的发展,农民进城购房已成为时尚,某房地产公司为了鼓励农民购买自己
的商品房,采取了较为灵活的付款方式,对购买100万元一套的住房在一年内将款全部付清的
前提下,可以选择以下两种分期付款方式购房.
方案一:分3次付清,购买后第4个月末第1次付款,再过4个月第2次付款,购买后第12个月末第3
次付款;
方案二:分12次付清,购买后第1个月末第1次付款,再过1个月第2次付款,然后过1个月第3次付
款,……,购买后第12个月末第12次付款.
规定分期付款中,每期付款金额相同,月利率为0.8%,每月利息按复利计算,即指上月利息要记
入下月本金.
试比较以上两种方案中哪一种方案付款总额较少.
典例2
解析 对于方案一,设每次付款金额为x1万元,
则x1+1.0084x1+1.0088x1=100×1.00812,
解得x1= ≈35.52,
所以付款总额为35.52×3=106.56(万元).
对于方案二,设每次付款金额为x2万元,
则x2+1.008x2+1.0082x2+…+1.00811x2=100×1.00812,
则x2· =100×1.00812,
解得x2= ≈8.77,
所以付款总额为12×8.77=105.24(万元).
因为105.24<106.56,
所以方案二付款总额较少.
方法总结 分期付款问题求解的关键是将现实问题转化为数列问题.在建立数学模型时,应
抓住数量关系,联想数学方法,适当引入参变量,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数
学式子表示.§4　数列在日常经济生活中的应用
基础过关练
题组一　等差数列模型
1.某人在一年12个月中,每月10日向银行存入1 000元,假设银行的月利率为5‰(按单利计算),则到第二年的1月10日,此项存款一年的利息和是(　　)
A.5×(1+2+3+…+12)元
B.5×(1+2+3+…+11)元
C.1 000×[1+5‰+(5‰)2+…+(5‰)11]元
D.1 000×[1+5‰+(5‰)2+…+(5‰)12]元
2.2021年9月1日,小王开始读小学一年级,小王父母决定给他开一张银行卡,每月的16号存钱至该银行卡(假设当天存钱当天到账),用于小王今后的教育开支.2021年9月16日小王父母往卡上首次存入500元,以后每月存的钱数比上个月多100,则他这张银行卡账上存款总额(不含银行利息)首次达到100 000元的时间为(　　)
A.2024年11月16日　　　　　B.2024年12月16日
C.2025年1月16日　　　　　D.2025年2月16日
3.某单位用分期付款方式为职工购买40套住房,总房价为1 150万元.约定:2021年7月1日先付款150万元,以后每月1日都交付50万元,并加付此前欠款利息,月利率为1%,当付清全部房款时,各次付款的总和(单位:万元)为(　　)
A.1 205　　　　B.1 255　　　　C.1 305　　　　D.1 360
题组二　等比数列模型
4.某企业进行技术改造,方案如下:一次性贷款10万元并投入生产,贷款期限为10年,银行贷款利息均以年息10%的复利计算,到期一次性归还本息.企业第一年便可获得利润1万元,以后每年的利润都比前一年增加40%,则按此方案执行,10年后可获得净利润　　　　万元.(结果精确到0.1,参考数据:1.110≈2.594,1.410≈28.925)
5.小李在2022年1月1日采用分期付款的方式购买了一台价值a元的家电,在购买1个月后的2月1日第一次还款,且以后每月的1日等额还款一次,2022年12月1日最后一次还款,月利率为r.按复利计算,则小李每月偿还的金额为　　　　元.
6.某商店采用分期付款的方式对一款单价为6 000元的电脑进行促销.商店规定,购买时先支付货款的,剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款,且结算欠款的利息,已知欠款的月利率为0.5%.
(1)到第一个月月底,货主在第一次还款之前,他欠商店多少元
(2)假设货主每个月还商店a元,写出在第i(i=1,2,…,36)个月月末还款后,货主欠商店的钱数的表达式.
题组三　数列的综合应用
7.“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念,终值是现在的一笔钱按给定的利息率计算所得到的在未来某个时间点的价值.现值是未来的一笔钱按给定的利息率计算所得到的现在的价值.例如,在复利计息的情况下,设本金为A,每期利率为r,期数为n,到期末的本利和为S,则S=A(1+r)n,其中,S称为n期末的终值,A称为n期后终值S的现值,即n期后的S元现在的价值为A=.现有如下问题:小明想买一套房子,有如下两个方案.
方案一:一次性付全款50万元;
方案二:分期付款,每年初付款6万元,第十年年初付完.
(1)已知一年期存款的年利率为4%,试讨论两种方案哪一种更好;
(2)若小明把房子租出去,租户第一年年初需付租金2万元,此后每年年初多付租金1 000元,假设存款的年利率为4%,试估计第十年末租房到期后小明所获得全部租金的终值.
参考数据:(1+4%)10≈1.48,(1+4%)11≈1.54.
教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金、用于教育目的的专项储蓄,是一种专门用来为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄,储蓄存款享受免征利息税的政策.若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入2 000元,并且在你每年的生日当天存入
2 000元,连续存6年,在你十八岁生日当天一次性取出,假设教育储蓄存款的年利率为10%.
(1)在你十八岁生日当天时,一次性取出的金额总数为多少 (参考数据:1.17≈1.95)
(2)高考毕业后,为了增加自己的教育储蓄,你利用暑假时间到一家商场勤工俭学,该商场向你提供了三种付酬方案:
第一种,每天支付38元;
第二种,第1天支付4元,从第2天起,每一天都比前一天多支付4元;
第三种,第1天支付0.4元,以后每一天都比前一天翻一番(即增加1倍).
你会选择哪种方式领取报酬
答案与分层梯度式解析
1.A　此项存款每月的利息(单位:元)构成以5为首项,5为公差的等差数列,则12个月的存款利息和为5×(1+2+3+…+12)元,故选A.
2.C　由题可知,小王父母从2021年9月开始,每月所存钱数构成首项为500,公差为100的等差数列,其前n项和为500n+=50n2+450n.
令50n2+450n≥100 000,则n2+9n≥2 000.因为402+9×40=
1 960<2 000,412+9×41=2 050>2 000,所以第41个月的16号存完钱后,他这张银行卡账上存款总额首次达到100 000元,即2025年1月16日他这张银行卡账上存款总额首次达到100 000元.故选C.
B　由题意可得,付款150万元后,还需付款的次数为(1 150-150)÷50=20,每次付款时本金均为50万元,应付利息(单位:万元)依次为1 000×1%,950×1%,…,50×1%,所以所还欠款利息总额为
(1 000+950+…+50)×1%=×1%=105(万元),故付清全部房款时,各次付款的总和为1 150+105=1 255(万元).
4.答案　43.9
解析　由题意可知,10年后共需还贷款10×(1+10%)10=10×1.110≈25.94(万元),
10年后共获利润1+1×1.4+1×1.42+…+1×1.49==≈69.812 5(万元).
所以按此方案执行,10年后可获得的净利润为69.812 5-25.94=43.872 5(万元)≈43.9(万元).
5.答案　
解析　设小李每月偿还的金额为x元,第k个还款月还款后的本利欠款数为Ak元,
则A1=a(1+r)-x;A2=A1(1+r)-x=a(1+r)2-(1+r)x-x;
……
A11=a(1+r)11-[(1+r)10+(1+r)9+…+1]x,
由题意知11个月后还清,所以A11=0,
所以x==.
6.解析　(1)购买电脑时,货主欠商店的货款,
即6 000×=4 000(元),
因为月利率为0.5%,所以到第一个月月底,货主在第一次还款之前,他欠商店4 000×(1+0.5%)=4 020(元).
(2)设第i(i=1,2,…,36)个月月末还款后的欠款钱数为yi,
则y1=4 000×(1+0.5%)-a,
y2=(1+0.5%)y1-a=4 000×(1+0.5%)2-(1+0.5%)×a-a,
y3=(1+0.5%)y2-a=4 000×(1+0.5%)3-(1+0.5%)2×a-(1+0.5%)a-a,……yi=(1+0.5%)yi-1-a=4 000×(1+0.5%)i-(1+0.5%)i-1a-(1+0.5%)i-2a-…-a,
所以yi=4 000×(1+0.5%)i-a×(i=1,2,…,36).
7.解析　(1)若采用分期付款的方案,
设十年末该套房子的终值为R,
则R=6(1+4%)10+6(1+4%)9+…+6(1+4%)=6×1.04×≈74.88(万元).
若采用一次性付全款50万的方案,
设该套房子十年末的终值为S,
则S=50(1+4%)10≈74(万元),
因为74<74.88,所以方案一更好.
(2)设第十年末租房到期后小明所获得全部租金的终值为T万元,
则T=2(1+4%)10+2.1(1+4%)9+…+2.9(1+4%),
记q=1+4%,an=3-0.1n,
则T=a1q+a2q2+…+a10q10,
所以qT=a1q2+a2q3+…+a9q10+a10q11,
两式相减,得(1-q)T=2.9q-0.1(q2+q3+…+q10)-2q11=3q-0.1(q+q2+q3+…+q10)-2q11,
所以T=3×-0.1×-2×≈30.2,
则估计第十年末房租到期后小明所获得全部租金的终值为30.2万元.
8.解析　(1)由等比数列的前n项和公式可得,
2 000×(1+10%)6+2 000×(1+10%)5+…+2 000×(1+10%)=
2 000×≈17 000,
即在十八岁生日当天时,一次性取出的金额总数为17 000元.
(2)设到商场勤工俭学的天数为n(n∈N+).
若选择第一种方案,则领取的总报酬为38n元,记An=38n;
若选择第二种方案,则每天领取的报酬元数构成首项为4,公差为4的等差数列,利用等差数列的前n项和公式可得,
领取的总报酬为4n+×4=(2n2+2n)元,记Bn=2n2+2n;
若选择第三种方案,则每天领取的报酬元数构成首项为0.4,公比为2的等比数列,利用等比数列的前n项和公式可得,
领取的总报酬为=(2n-1)元,记Cn=(2n-1).
Bn-An=2n2+2n-38n=2n2-36n=2n(n-18),
则当n>18时,Bn>An;当n=18时,Bn=An;当n<18时,Bn令xn=Cn-An=(2n-1)-38n,
则xn+1-xn=(2n+1-1)-38(n+1)-(2n-1)-38n=-38=(2n-95),
当n≤6时,x2>…>x7;
当n≥7时,>xn,此时数列{xn}为递增数列,则x7∵x1<0,∴x7又∵x9<0,x10>0,
∴当n≥10时,xn>0,即Cn>An,
当n≤9时,xn<0,即Cn令yn=Cn-Bn=(2n-1)-2n(n+1),其中n≥10,
则yn+1-yn=-=-4(n+1),
令tn=-4(n+1),n≥10,
则tn+1-tn=-=-4,
当n≥10时,tn+1>tn,此时数列{tn}为递增数列,则tn≥t10>0,则yn+1>yn.
综上所述,当n≤9时,max{An,Bn,Cn}=An,应选择第一种方案;当n≥10时,max{An,Bn,Cn}=Cn,应选择第三种方案.
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