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*§5　数学归纳法
基础过关练
题组一　用数学归纳法证明等式
1.用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)×(2n+1)(n∈N+)时,从n=k到n=k+1,等式的左边需要增乘的代数式是(　　)
A.2k+1　　　　　B.
C.　　　　　D.2(2k+1)
2.用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+(n∈N+)时,第一步应验证的等式是　　　　　　.
3.用数学归纳法证明…=(n≥2,n∈N+).
题组二　用数学归纳法证明不等式
4.用数学归纳法证明2n≥n2(n≥4)时,第二步应假设(　　)
A.n=k≥2时,2k≥k2
B.n=k≥3时,2k≥k2
C.n=k≥4时,2k≥k2
D.n=k≥5时,2k≥k2
5.某同学回答“用数学归纳法证明①当n=1时,显然命题成立.
②假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,由①②可知对于任意n∈N+,命题都成立.
已知以上证法是错误的,则错误在于(　　)
A.从k到k+1的推理过程没有使用归纳假设
B.假设的写法不正确
C.从k到k+1的推理不严谨
D.当n=1时,验证过程不具体
6.已知x>-1且x≠0,用数学归纳法证明命题“当n∈Z且n>1时,(1+x)n>1+nx”,第一步应验证的不等式为　　　　.
7.已知f(n)=1+++…+(n∈N+),用数学归纳法证明f(2n)>时, f(2k+1)-f(2k)=　　　　　　　　.
8.用数学归纳法证明>对任意n≥n0的正整数n都成立时,第一步证明中的起始值n0应为　　　　.
9.已知数列{an}中,a1=2,an+1=(2-)an+3-,n∈N+.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b1=2,bn+1=,证明:题组三　用数学归纳法解决归纳—猜想—证明问题
10.正项数列{an}中,若a1+a2+a3+…+an=,n∈N+,则a2 023的值是(　　)
A.+　　　　　B.+
C.-　　　　　D.-
11.观察下列不等式:1>,1++>1,1+++…+>,1+++…+>2,1+++…+>,……,由此猜测第n(n∈N+)个不等式为　　　　　　　　　.
12. 已知数列{an}满足a1=,前n项和Sn=an.
(1)求a2,a3,a4的值;
(2)猜想an的表达式,并用数学归纳法证明.
13.定义在正整数集上的函数y=f(n)满足f(n)·[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],且f(1)=2.
(1)求证:f(3)-f(2)=;
(2)是否存在实数a,b,使f(n)=+1对任意正整数n恒成立 并证明你的结论.
答案与分层梯度式解析
1.D　从n=k到n=k+1,等式的左边需要增乘的代数式是=2(2k+1).
故选D.
2.答案　1-=
解析　因为n∈N+,所以第一步应验证n=1时的等式,此时左边=1-,右边=,故填1-=.
3.证明　当n=2时,左边=1-=,右边==,
左边=右边,所以当n=2时,等式成立.
假设当n=k(k∈N+,k≥2)时等式成立,
即…=,
那么当n=k+1时,·…·=·=·==,即当n=k+1时,等式也成立.
故对任意n≥2,n∈N+,等式恒成立.
4.C　根据数学归纳法的证明步骤,可知第二步应假设n=k≥4时,2k≥k2,故选C.
5.A　从n=k(k∈N+)到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,不符合数学归纳法的证明要求.
6.答案　(1+x)2>1+2x
解析　因为n∈Z且n>1,所以n的初始值为2,
所以第一步应验证的不等式为(1+x)2>1+2x.
易错警示　在利用数学归纳法证明命题时,不能误以为n的初始值只能取1,n的初始值是使命题成立的n的最小正整数.
7.答案　++…+
解析　因为当n=k时, f(2k)=1+++…+,
当n=k+1时, f(2k+1)=1+++…+++…+,
所以f(2k+1)-f(2k)=1++…+-=++…+.
8.答案　3
解析　不等式>即1->1-,即3n>6n+1,当n=1时,3<7,不等式不成立;当n=2时,32<13,不等式不成立;当n=3时,33>19,不等式成立;当n=4时,34>25,不等式成立;当n≥5时,根据指数函数与一次函数的性质可得3n>6n+1.所以第一步证明中的起始值n0应为3.
9.解析　(1)因为an+1=(2-)an+3-,
所以an+1-=(2-)an+3-2,
即an+1-=(2-)an+(-2),
即an+1-=(2-)(an-),
所以数列{an-}是首项为2-,公比为2-的等比数列,
故an-=(2-)(2-)n-1=(2-)n,即{an}的通项公式为an=(2-)n+.
(2)证明:(i)当n=1时,因为<2,b1=a1=2,所以(ii)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,结论成立,即当n=k+1时,bk+1-=-==>0,
又<=2-,所以bk+1-=<(bk-)≤(2-)2·(a2k-1-)=a2k+1-,所以当n=k+1时,结论也成立.
根据(i)和(ii)知10.C　∵a1+a2+a3+…+an=,
∴当n=1时,a1=,
又{an}为正项数列,∴a1=1,
当n=2时,1+a2=,∴a2=-1,
同理可得a3=-,a4=2-,……,
故猜想an=-.
证明:当n=1时,显然成立;
假设当n=k(k∈N+,k≥1)时猜想成立,即ak=-,
则当n=k+1时,a1+a2+a3+…+ak+ak+1==+ak+1
=+ak+1,
∴-ak+1=2 ak+1=-.
故当n=k+1时,猜想也成立.
故an=-,∴a2 023=-.
故选C.
11.答案　1+++…+>
解析　由1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,31=25-1,可猜测第n个不等式的左边为1+++…+;由,1,,2,,可猜测第n个不等式的右边为.
因此猜测第n个不等式为1+++…+>.
12.解析　(1)令n=2,得a1+a2=3a2,∴a2=a1=.
令n=3,得a1+a2+a3=6a3,∴a3=.
令n=4,得a1+a2+a3+a4=10a4,∴a4=.
(2)猜想an=,n∈N+,下面用数学归纳法给出证明.
①当n=1时,显然结论成立;
②假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,结论成立,即ak=,
则当n=k+1时,Sk=ak=,
Sk+1=ak+1,
即Sk+ak+1=ak+1,
∴+ak+1=ak+1,
∴ak+1=,∴ak+1=,
∴当n=k+1时结论也成立.
由①②可知,对一切n∈N+都有an=成立.
13.解析　(1)证明:由f(n)[f(n+1)+1]=2[2-f(n+1)],得f(n+1)=,
则f(2)===, f(3)==,
所以f(3)-f(2)=-=.
(2)存在.
由f(1)=2, f(2)=,得a=-,b=.
故猜想存在实数a=-,b=,使f(n)=+1对任意正整数n恒成立.用数学归纳法证明如下:
①当n=1时,显然成立.
②假设当n=k(k∈N+)时,猜想成立,
即f(k)=+1,
则当n=k+1时, f(k+1)=
==
=1+=+1,
即当n=k+1时, f(k+1)=+1成立.
由①②可知,存在实数a=-,b=,使f(n)=
+1对任意正整数n恒成立.
6(共14张PPT)
数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是:
(1)证明:当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数,如n0=1或2等)时,命题成立;
(2)假设当n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时,命题也成立.
根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.
*§5 数学归纳法
知识 清单破
知识点 数学归纳法
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法. (　 )
2.数学归纳法的两个步骤缺一不可. (　 )
3.用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立. (　 )
4.用数学归纳法证明等式时,由n=k到n=k+1,等式左边(或右边)增加的项不一定只有一项. (　 )
知识辨析

√

提示
√
提示
有的证明问题第一步并不是验证当n=1时结论成立,如证明凸n边形的内角和为(n-2)·
180°,第一步要验证当n=3时结论成立.
如用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1= (a≠1)”时,由n=k到n=k+1,等式左边
增加了两项.
1.利用数学归纳法证明与正整数n有关的一些等式问题时,关键是看清等式两边的项,弄清等
式两边项的构成规律,进而利用当n=k(k≥n0,k∈N+)时的假设进行证明.证明等式的一个重要
技巧就是两边“凑”.
2.用数学归纳法证明等式的一般步骤
(1)弄清n取第一个值n0时等式两边项的情况,验证两边相等.
(2)弄清从n=k到n=k+1时等式两边的项是如何变化的,即增加了哪些项,减少了哪些项,利用这
些变化规律,设法将待证式与归纳假设建立联系,并向n=k+1时证明目标的表达式进行变形,
证明n=k+1时结论也成立.
(3)由数学归纳法原理得到等式成立.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 利用数学归纳法证明等式
用数学归纳法证明:1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)= n(n+1)(n+2).
典例
证明 ①当n=1时,左边=2,右边= ×1×2×3=2,等式成立.
②假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,等式成立,
即1×2+2×3+3×4+…+k(k+1)= k(k+1)(k+2),
则当n=k+1时,
左边=1×2+2×3+3×4+…+k(k+1)+(k+1)(k+2)= k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)
=(k+1)(k+2)
= (k+1)(k+2)(k+3)=右边,
即n=k+1时,等式也成立.
根据①②可知,1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)= n(n+1)(n+2)对任意正整数n都成立.
1.用数学归纳法证明与正整数有关的不等式和证明与正整数有关的等式的方法类似.
2.用数学归纳法证明不等式时需注意:在推证“当n=k+1时不等式也成立”的过程中,常常要
将表达式进行适当放缩变形,便于应用归纳假设,变换出要证明的结论.
疑难 2 用数学归纳法证明不等式
讲解分析
用数学归纳法证明:1+ + +…+ ≤ +n(n∈N+).
典例1
证明 (1)当n=1时,左边=1+ = ,右边= +1= ,不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N+,k≥1)时,不等式成立,
即1+ + +…+ ≤ +k,
则当n=k+1时,1+ + +…+ + + +…+ < +k+2k· = +(k+1),
即当n=k+1时,不等式成立.
由(1)和(2)可知,不等式对任意n∈N+都成立.
用数学归纳法证明: + +…+ > (n≥2,n∈N+).
典例2
证明 ①当n=2时,左边= + = , > ,不等式成立.
②假设当n=k(k≥2,k∈N+)时不等式成立,
即 + +…+ > ,
那么,当n=k+1时, + +…+
= + +…+ + + + -
= + + -
> + + -
= + -
= + > ,
即当n=k+1时,不等式也成立.
根据①和②可知,原不等式对任意大于或等于2的正整数都成立.
　　在给出了已知数列的递推公式的情况下,可根据已知写出数列的前几项,猜想出结论,然
后用数学归纳法证明该结论.正确计算是归纳的前提,常见的等差、等比数列的有关结论是
归纳的桥梁,而运用数学归纳法证明才是归纳的最终归宿.
疑难 3 归纳—猜想—证明,解决与递推公式有关的数列问题
讲解分析
已知数列{an}满足a1=a(a>0),an= (n≥2,n∈N+).
(1)用a表示a2,a3,a4;
(2)猜想an的表达式(用a和n表示),并用数学归纳法证明.
典例
解析 (1)由已知得,a2= = ,
a3= = = ,
a4= = = .
(2)因为a1=a= ,
a2= ,
a3= ,
a4= ,
……
所以猜想an= ,n∈N+.
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,因为a1=a= ,
所以当n=1时,猜想成立.
②假设当n=k(k∈N+,k≥1)时猜想成立,
即ak= ,
所以当n=k+1时,
ak+1= =
= =
= ,
所以当n=k+1时,猜想也成立.
根据①与②可知,猜想对任意n∈N+都成立.
解题模板 “归纳—猜想—证明”的解题步骤:

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