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§2　导数的概念及其几何意义
2.1　导数的概念　2.2　导数的几何意义
基础过关练
题组一　导数的概念
1.汽车在笔直的公路上行驶,如果v(t)表示时刻t的速度,则导数v'(t0)表示(　　)
A.当t=t0时汽车的瞬时加速度
B.当t=t0时汽车的瞬时速度
C.当t=t0时汽车的路程变化率
D.当t=t0时汽车与起点的距离
2.已知f(x)=x2-1,则f'(1)=(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.-1
3.设=-6,则f'(3)=(　　)
A.-12　　　　B.-3　　　　C.3　　　　D.12
4.已知函数y=f(x)=ax+4,若f'(1)=2,则a=　　　　.
5.某正方形铁板在0 ℃时,边长为10 cm.当温度在很小的范围内变化时,由于热胀冷缩,铁板的边长也会发生变化,而且已知温度为t ℃时正方形的边长为10(1+at)cm,其中a为常数.设此时正方形的面积为y cm2,且y=f(t),求f'(0)并解释其实际意义.
题组二　导数的几何意义
6.已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在a到b之间的平均变化率
B.f(x)在a到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率
C.对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率
D.存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率
7.(2024福建泉州安溪蓝溪中学月考)已知曲线f(x)在x=2处的切线方程为2x+y-1=0,则f '(2)+f(2)=(　　)
A.-5　　　　B.-3　　　　C.3　　　　D.5
8.已知函数f(x)的图象如图所示, f '(x)是f(x)的导函数,则下列结论正确的是(　　)
A.0B.0C.0D.09.已知函数f(x)可导,且=1,则曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线的倾斜角为　　(　　)
A.45°　　　　B.60°　　　　C.120°　　　　D.135°
10.曲线y=x3在点P处的切线方程为(　　)
A.12x-3y-16=0　　　　　B.2x-3y-16=0
C.12x-y-16=0　　　　　D.x-y-1=0
11.若曲线y=f(x)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,则(　　)
A.a=-1,b=1　　　　　B.a=1,b=-1
C.a=-2,b=1　　　　　D.a=2,b=-1
12.已知函数y=f(x)=x3.
(1)用导数的定义求函数y=f(x)在x=2处的导数;
(2)过点(2,8)作函数y=f(x)图象的切线,求切线的方程.
题组三　导数几何意义的综合应用
13.曲线y=x+上任意一点P(x0,y0)处的切线斜率为k,则k的取值范围是(　　)
A.(-∞,-1)　　　　　B.(-1,1)
C.(-∞,1)　　　　　D.(1,+∞)
14.已知f(x)=x2+2x+3,P为曲线C:y=f(x)上的点,且曲线C在点P处的切线的倾斜角α的取值范围为,则点P的横坐标的取值范围为(　　)
A.　　　　　B.[-1,0]
C.[0,1]　　　　　D.
15.(多选题)已知函数f(x)=x3-3x2+1的图象在点(m, f(m))处的切线为lm,则(　　)
A.lm的斜率的最小值为-2
B.lm的斜率的最小值为-3
C.l0的方程为y=1
D.l-1的方程为y=9x+6
16.若曲线y=f(x)=x3-2x在点P处的切线与直线x-y-2=0平行,则点P的坐标为　　　　.
17.已知函数g(x)与f(x)=x2(x∈[0,+∞))的图象关于直线y=x对称,将g(x)的图象先向右平移2个单位,再向下平移2个单位得到h(x)的图象,若P,Q分别为函数f(x),h(x)图象上的点,则这两点间距离的最小值为　　　　.
18.已知函数f(x)=x3-x.
(1)若点P在曲线y=f(x)上移动,设曲线y=f(x)在点P处的切线的倾斜角为α,求α的取值范围;
(2)求曲线y=f(x)经过点M(1,0)的切线方程.
答案与分层梯度式解析
1.A　由导数的概念可知,v'(t0)表示当t=t0时汽车的瞬时加速度,故选A.
2.C　由f(x)=x2-1,
得f'(1)==(2+Δx)=2.
故选C.
B　=2=2f'(3)=-6,所以f'(3)=
-3.
4.答案　2
解析　由题意得,Δy=f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)+4-a-4=aΔx,∴=a,∴f '(1)=a=2.
5.解析　依题意可知f(t)=[10(1+at)]2=100(1+at)2.
设t=0时温度的改变量为Δt ℃,面积的改变量为Δy cm2,则=
=
=200a+100a2Δt.
当Δt→0时,→200a,即f'(0)=200a.
这表示在0 ℃时,铁板面积关于温度的瞬时变化率为200a.
6.D　∵f(x)在a到b之间的平均变化率是,g(x)在a到b之间的平均变化率是, f(b)=g(b),f(a)=g(a),∴=,∴A,B错误;
易知函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x0处的导数,即函数f(x)的图象在x=x0处的切线的斜率,
同理,函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数g(x)在x=x0处的导数,即函数g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率,由题中图象知C错误,D正确.故选D.
7.A　因为曲线f(x)在x=2处的切线方程为2x+y-1=0,
所以f '(2)=-2,且2×2+f(2)-1=0,所以f(2)=-3,
所以f '(2)+f(2)=-2-3=-5.故选A.
8.B　f '(1)表示曲线y=f(x)在x=1处切线的斜率, f '(3)表示曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率,
=表示割线AB的斜率,
由题图可知0故选B.
9.A　由=1,可得f'(1)=1,则曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线的斜率为1,
设曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线的倾斜角为θ(0°≤θ<180°),
则tan θ=1,可得θ=45°.故选A.
10.A　=
==4,
所以曲线y=x3在点P处的切线方程为y-=4(x-2),即12x-3y-16=0.
11.B　由题意得f'(1)=
=
==2+a.
∵曲线f(x)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,∴2+a=3,解得a=1.
∵点(1,1)在曲线y=x2+ax+b上,
∴1+a+b=1,∴b=-1.故选B.
12.解析　(1)由已知得=
==(Δx)2+6Δx+12,
所以=[(Δx)2+6Δx+12]=12,则f'(2)=12.
(2)设切点为(x0,),则切线的斜率k=f'(x0)==[3+3x0Δx+(Δx)2]=3,
故切线方程为y-=3(x-x0),
将(2,8)代入得8-=3(2-x0),即-3+4=0,得(x0+1)(x0-2)2=0,
所以x0=-1或x0=2,
所以切线方程为3x-y+2=0或12x-y-16=0.
13.C　曲线y=x+上任意一点P(x0,y0)处的切线斜率k=y'=
==1-<1,即k<1.
故选C.
14.D　设点P的横坐标为x0,
=
==Δx+2x0+2,
当Δx→0时,→2x0+2,所以曲线C在点P处的切线的斜率为2x0+2,所以曲线C在点P处的切线的倾斜角α满足tan α=2x0+2.
因为α∈,所以tan α∈[1,+∞),
所以2x0+2≥1,即x0≥-,
所以点P的横坐标的取值范围为.
15.BCD　f'(m)=
=[3m2-6m+3mΔx-3Δx+(Δx)2]=3m2-6m=3(m-1)2-3≥-3,所以lm的斜率的最小值为-3.
因为f'(0)=0, f(0)=1,所以l0的方程为y=1.
因为f'(-1)=9, f(-1)=-3,所以l-1的方程为y+3=9(x+1),即y=9x+6.故选BCD.
16.答案　(-1,1)
解析　设点P的坐标为(x0,-2x0),
则曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率为
f'(x0)=
=
=
=[3+3x0Δx-2+(Δx)2]
=3-2.
因为曲线y=f(x)在点P处的切线与直线x-y-2=0平行,所以f'(x0)=1,即3-2=1,解得x0=±1.
当x0=1时,点P的坐标为(1,-1),则切线方程为y+1=x-1,即x-y-2=0,与已知直线重合,不符合题意;当x0=-1时,点P的坐标为(-1,1),则切线方程为y-1=x+1,即x-y+2=0,与已知直线平行.
综上所述,点P的坐标为(-1,1).
易错警示　本题容易忽视对所得直线是否与给定直线重合进行检验这一步骤.
17.答案　
解析　将直线y=x先向右平移1个单位,再向下平移1个单位可得函数f(x)和h(x)图象的对称轴,即直线y=x-1-1,即直线y=x-2,
所以P,Q两点之间距离的最小值等于P到直线y=x-2距离的最小值的2倍,易知当点P到直线y=x-2的距离最小时, f(x)的图象在点P处的切线平行于直线y=x-2,设P(x0,y0),
则===Δx+2x0,当Δx→0时,→2x0,故函数f(x)=x2的图象在点P处的切线斜率为2x0,故2x0=1,解得x0=,则y0=,
所以点P到直线y=x-2的距离的最小值为=,
所以P,Q两点之间距离的最小值为2×=.
方法技巧　曲线上的点到直线距离的最小值即为曲线上与该直线平行的切线的切点到该直线的距离.
18.解析　(1)设点P的坐标为(x0,-x0),
=
=(Δx)2+3x0Δx+3-1,
当Δx→0时,→3-1,
所以曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率为3-1,即tan α=3-1.
由α∈[0,π)且tan α=3-1≥-1,
可得0≤α<或≤α<π,
故α的取值范围为∪.
(2)设切点为Q(m,m3-m),则由(1)可知曲线y=f(x)在点Q处的切线的斜率为3m2-1,因此切线方程为y-(m3-m)=(3m2-1)(x-m),
又切线过点M(1,0),所以-(m3-m)=(3m2-1)·(1-m),即(2m+1)(m-1)2=0,所以m=1或m=-.
当m=1时,所求切线方程为y=2x-2;
当m=-时,所求切线方程为y=-x+.
故曲线y=f(x)经过点M(1,0)的切线方程为y=2x-2或y=-x+.
8(共19张PPT)
1.概念
设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值y从f(x0)变到f(x1),函数值y关于x的平均变化率为
= = .
当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在点
x0处的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0处的导数.
2.记法
函数y=f(x)在点x0处的导数通常用符号f'(x0)表示,记作f'(x0)= = .
§2 导数的概念及其几何意义
知识点 1 导数的概念
知识 清单破
1.割线与切线的概念
设函数y=f(x)的图象是一条光滑的曲线,且函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为 ,
它是经过A(x0,f(x0))和B(x0+Δx,f(x0+Δx))两点的直线的斜率.这条直线称为曲线y=f(x)在点A处
的一条割线.
当Δx趋于0时,点B将沿着曲线y=f(x)趋于点A,割线AB将绕点A转动趋于直线l.称直线l为曲线y
=f(x)在点A处的切线,或称直线l和曲线y=f(x)在点A处相切.
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0),是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.函数y=f(x)在x0处切线
的斜率反映了导数的几何意义.
对应地,曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)= f'(x0)(x-x0).
知识点 2 导数的几何意义
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1. 中,若Δx,Δy都趋于0,则它们的比值为0. (　 )
2.函数f(x)在x=x0处的导数是Δx趋于0时函数值的平均变化率. (　 )
3.若函数y=f(x)在x=x0处有导数,则函数y=f(x)的图象在x=x0处有唯一一条切线. (　 )
4.函数在某一点处的导数与Δx的正负无关. (　 )
知识辨析

提示
Δx,Δy都趋于0时,它们的比值是一个固定的值,不一定为0.
√
√
√
　　将原油精炼为汽油、柴油等各种不同的产品,需要对原油进行加热和冷却.已知在第x h
原油的温度(单位:℃)为y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).
情境探究
疑难 情境破
疑难 1 导数概念的理解及应用
　计算第2 h末和第6 h末时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
提示 在第2 h末和第6 h末时,原油温度的瞬时变化率分别是f'(2)和f'(6).
根据导数的概念,在第2 h末时,
=
=
= =Δx-3,
所以 f'(2)= = (Δx-3)=-3.
同理, f'(6)=5.
故在第2 h末和第6 h末时,原油温度的瞬时变化率分别为-3 ℃/h与5 ℃/h.这说明在第2 h末附
近,原油温度大约以3 ℃/h的速度下降;在第6 h末附近,原油温度大约以5 ℃/h的速度上升.
　瞬时变化率与对应函数的导数有何关系
提示 瞬时变化率实际上就是对应函数在某点处的导数.
讲解分析
1.导数的概念是高中数学中的重要概念之一,需从以下几个方面加以理解:
(1)函数y=f(x)在x0处有导数,必须满足两个条件:
①f(x)在x0处及其附近有定义;
②当Δx趋于0时, 的极限存在.
(2)Δx是自变量x的改变量,且Δx≠0;Δy是函数值的改变量,可以为0.
(3)导数概念的变形:
f'(x0)=
=
=
=
= .
注意:自变量的改变量与函数值的改变量要相互对应.
2.求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率 = ;
(3)求极限 ,得导数f'(x0).
(1)已知函数y=f(x)=x- 在x=1处的导数f'(1)=2,求a的值;
(2)已知f(x)=3x2,f'(x0)=6,求x0的值.
典例
解析 (1)∵Δy=(1+Δx)- -
=Δx+a- =Δx+ ,
∴ = =1+ ,
∴f'(1)= = =1+a=2,
∴a=1.
(2)∵f'(x0)=
=
= (6x0+3Δx)=6x0=6,
∴x0=1.
　　如图所示,当点Pn沿着曲线C:y=f(x)无限趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确
定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

疑难 2 求曲线的切线方程
情境探究
　 当直线l与曲线C有唯一公共点时,直线l一定是曲线C的切线吗
提示 当直线l与曲线C有唯一公共点时,直线l不一定是曲线C的切线,如下图中的直线l1.

　如果直线l是曲线C的切线,那么直线l与曲线C一定只有一个公共点吗
提示 当直线l与曲线C有不止一个公共点时,直线l也可能是曲线C的切线,如下图中的直线l2,
N是切点.

1.曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线方程
(1)点(x0, f(x0))为切点;
(2)切线斜率k=f'(x0);
(3)切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
讲解分析
2.曲线y=f(x)过点P(x0, f(x0))的切线方程
(1)该点可能是切点,也可能不是切点;
(2)如果点P不是切点,则切线可能不止一条,切线条数与切点个数有关;
(3)求曲线y=f(x)过点P(x0,f(x0))的切线方程及切点的步骤:
①设出切点坐标(x1, f(x1));
②求出函数y=f(x)在x=x1处的导数f'(x1);
③写出曲线y=f(x)的切线方程:y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),将(x0,f(x0))代入,求得x1的值,从而确定切点坐
标;
④将切点坐标代入切线方程,化简得切线方程.
已知曲线C:y=x3.
(1)求曲线C在x=1处的切线方程;
(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程.
典例
解析 (1)将x=1代入曲线C的方程得y=1,
∴切点坐标为(1,1).
函数y=x3在x=1处的导数为
=
= [3+3Δx+(Δx)2]=3,
∴曲线C在x=1处的切线的斜率为3,
∴切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
(2)设切点坐标为(x0, ).
函数y=x3在x=x0处的导数为
=
=
= [(Δx)2+3x0Δx+3 ]=3 ,
∴曲线C在x=x0处的切线的斜率为3 ,
∴切线方程为y- =3 (x-x0),
即3 x-y-2 =0,
∵点(1,1)在切线上,∴3 -1-2 =0,
即2 -3 +1=0,
即(x0-1)2(2x0+1)=0,
解得x0=1(二重根)或x0=- .
当x0=1时,切点坐标为(1,1),3 =3,则相应的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.
当x0=- 时,切点坐标为 ,3 = ,则相应的切线方程为y+ = ,即3x-4y+1=0.
综上,曲线C过点(1,1)的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0.

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