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§5　简单复合函数的求导法则
基础过关练
题组一　复合函数的求导法则
1.函数y=(2 024-8x)3的导数y'=(　　)
A.3(2 024-8x)2　　　　　B.-24x
C.-24(2 024-8x)2　　　　　D.24(2 024-8x)2
2.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.1
3.(多选题)下列求导运算正确的是(　　)
A.[ln(2x-1)]'=　　　　　B.=2x-
C.(e2x)'=2xe2x-1　　　　　D.=
4.设函数f(x)=xsin 2x,则f'=　　　　.
5.设函数f(x)=,若f'(0)=1,则a=　　　　.
6.求下列函数的导数:
(1)y=(x2+3x+3)ex+1;(2)y=;
(3)y=ln;(4)y=sin2.
题组二　复合函数求导的综合应用
7.已知函数f(x)=xex-1+x2,则f(x)的图象在x=1处的切线方程为　(　　)
A.4x-y-2=0　　　　　B.x-4y-2=0
C.4x-y+2=0　　　　　D.x-4y+2=0
8.函数f(x)的定义域为R,导函数为f'(x),若f(ln x)=,则=(　　)
A.2　　　　B.-2　　　　C.1　　　　D.e+1
9.已知曲线y=x+kln(1+x)在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直,则k的值为(　　)
A.4　　　　B.2　　　　C.-3　　　　D.-6
10.某海湾拥有世界上最大的海潮.假设在该海湾某一固定点处,大海水深d(单位:m)与午夜后的时间t(单位:h)之间的关系为d(t)=10+4cost,则下午5:00时该固定点的水位变化的速度(单位:m/h)为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.-　　　　D.-
11.设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴交于点(0,6),试确定a的值.
能力提升练
题组　复合函数的导数及其应用
1.如图,现有一个底面直径为10 cm,高为25 cm的圆锥容器,以2 cm3/s的速度向该容器内注入液体,随着时间t(单位:s)的增加,圆锥容器内的液体高度也跟着增加,忽略容器的厚度,则当t=π时,圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率(单位:cm/s)为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
2.若函数f(x)的导函数的图象关于y轴对称,则f(x)的解析式可能为(　　)
A. f(x)=3cos x　　　　　B. f(x)=x3+x2
C. f(x)=ex+x　　　　　D. f(x)=1+sin 2x
3.若(x+1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5=(　　)
A.4　　　　B.8　　　　C.80　　　　D.3 125
4.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,设g(x)=e-xf(x),若函数g(x)的导函数g'(x)的图象如图所示,则(　　)
A.aC.>1,b=c　　　　　D.<1,b=c
5.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x+1),且f(2+x)-f(2-x)=4x,g(3+x)为偶函数,则g'(7)+g(17)=(　　)
A.0　　　　　B.1　　　　
C.2　　　　　D.3
6.已知f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,且f(1-2x)为奇函数,f(2x-1)为偶函数.若f'(0)=1,则f'(2k)=　　　　.
7.若直线y=kx+b既是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=　　　　.
8.已知函数f(x)=πln|x-1|-2cos πx,x∈(-2,1)∪(1,4),f(x)的导函数是f'(x),f'(xi)=0,i=1,2,…,n,n∈N+,求xi的值.
答案与分层梯度式解析
C　y'=3(2 024-8x)2×(2 024-8x)'=3(2 024-8x)2×(-8)=
-24(2 024-8x)2.故选C.
2.B　由f(x)=ln(ax-1),可得f'(x)=,
由f'(2)=2,可得=2,解得a=.故选B.
3.AB　[ln(2x-1)]'=·(2x-1)'=,A正确;
=2=2=2x-,B正确;
(e2x)'=e2x·(2x)'=2e2x,C错误;
==,D错误.
故选AB.
4.答案　-π
解析　由已知得 f'(x)=sin 2x+2xcos 2x,
所以f'=sin π+2×cos π=-π.
5.答案　1
解析　由题意可知f'(x)=,由f'(0)=1,得=1,所以a=1.
6.解析　(1)因为y=(x2+3x+3)ex+1,
所以y'=(x2+3x+3)'·ex+1+(x2+3x+3)·(ex+1)'
=(2x+3)ex+1+(x2+3x+3)ex+1=ex+1(x2+5x+6).
(2)因为y=,
所以y'=
=.
(3)因为y=ln,所以y'=·'=·=.
(4)因为y=sin2=-cos,
所以y'=sin×4=2sin.
7.A　f'(x)=(x+1)ex-1+2x,则f'(1)=4,又f(1)=2,
所以f(x)的图象在x=1处的切线方程为y-2=4(x-1),即4x-y-2=0.
8.B　令ln x=t,则x=et,代入f(ln x)=,
得f(t)==1+=1+e-t,
∴f'(t)=-,∴==-2.故选B.
9.B　由y=x+kln(1+x)得y'=1+,所以y'x=1=1+,即曲线y=x+kln(1+x)在x=1处的切线斜率为1+,又直线x+2y=0的斜率为-,所以-×=-1,解得k=2.故选B.
10.A　由d(t)=10+4cost,得d'(t)=-sint,所以下午5:00时该固定点的水位变化的速度为d'(17)=-sin=-sin=
-×=(m/h).故选A.
11.解析　因为f(x)=a(x-5)2+6ln x,
所以f'(x)=2a(x-5)+,则f'(1)=6-8a.
又f(1)=16a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1).
由点(0,6)在切线上,可得6-16a=8a-6,
解得a=.
能力提升练
1.C　设注入液体的时间为t(单位:s)时,圆锥容器内液体的高度为h(单位:cm),
则π··h=2t,得h=,
则h'=,当t=π时,h'==,即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为 cm/s.
故选C.
2.D　对于A,易得f'(x)=-3sin x,x∈R,则f'(-x)=-3sin(-x)=3sin x=-f'(x),故f'(x)=-3sin x为奇函数,其图象关于原点对称,A错误;
对于B,易得f'(x)=3x2+2x,x∈R,则f'(-x)=3x2-2x≠f'(x),故f'(x)=3x2+2x的图象不关于y轴对称,B错误;
对于C,易得f'(x)=ex+1,x∈R,则f'(-x)=e-x+1≠f'(x),故f'(x)=ex+1的图象不关于y轴对称,C错误;
对于D,易得f'(x)=2cos 2x,x∈R,则f'(-x)=2cos(-2x)=2cos 2x=f'(x),故f'(x)=2cos 2x为偶函数,其图象关于y轴对称,D正确.
3.C　对(x+1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5两边同时求导,得5(x+1)4=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4.
令x=1,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5=5×24=80.故选C.
4.D　易得a≠0,g(x)=e-xf(x)=e-x(ax2+bx+c),
∴g'(x)=-e-x[ax2+(b-2a)x+c-b],
令g'(x)=0,得ax2+(b-2a)x+c-b=0,
设g'(x)=0的两个实根分别为x1,x2,且x1由根与系数的关系可得x1+x2=,x1x2=,
由题图可知,x1=0,x2>1,
则x1+x2==2->1,解得<1,
x1x2==0,解得b=c,故选D.
5.C　∵g(3+x)为偶函数,∴g(3+x)=g(3-x),
又g(x)=f'(x+1),∴f'(x+4)=f'(-x+4),
对f(2+x)-f(2-x)=4x两边同时求导,得f'(2+x)+f'(2-x)=4,∴f'(4+x)+f'(-x)=4,即f'(4-x)+f'(-x)=4,∴f'(4+x)+f'(x)=4,则f'(8+x)=f'(x),∴函数f'(x)的周期为8,
在f'(2+x)+f'(2-x)=4中,令x=0,得f'(2)=2,
∴g(17)=f'(18)=f'(2)=2,∵g(3+x)=g(3-x),
∴g'(3+x)=-g'(3-x),∴g'(7)=-g'(-1)①,
又f'(8+x)=f'(x),∴g(7+x)=g(x-1),∴g'(7+x)=g'(x-1),∴g'(7)=g'(-1)②,
由①②可得g'(7)=0,∴g'(7)+g(17)=2,故选C.
6.答案　0
解析　因为f(1-2x)为奇函数,所以f(1+2x)=-f(1-2x),即f(1+x)=-f(1-x),
两边同时求导,得f'(1+x)=f'(1-x),所以f'(x)的图象关于直线x=1对称.
因为f(2x-1)为偶函数,所以f(-2x-1)=f(2x-1),即f(-1-x)=f(-1+x),
两边同时求导,得-f'(-1-x)=f'(-1+x),所以函数f'(x)的图象关于点(-1,0)对称.
所以f'(x)=f'(2-x)=-f'(x-4),
所以f'(x+8)=-f'(x+4)=f'(x),
故函数f'(x)为周期函数,且周期为8,
则有f'(0)=f'(2)=f'(8)=f'(10)=f'(16)=1,f'(4)=f'(6)=f'(12)=f'(14)=
-1,
所以f'(2k)=f'(2)+f'(4)+…+f'(12)+f'(14)+f'(16)=0.
7.答案　1-ln 2
解析　设f(x)=ln x+2,g(x)=ln(x+1),
则f'(x)=,g'(x)=.
设直线y=kx+b与曲线f(x)切于点(x1,y1),与曲线g(x)切于点(x2,y2),则k==,则x2+1=x1.
又y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1)=ln x1,所以k==2,故x1==,y1=ln+2=2-ln 2.
故b=y1-kx1=2-ln 2-1=1-ln 2.
8.解析　当x∈(-2,1)时,f(x)=πln(1-x)-2cos πx,则f'(x)=π;
当x∈(1,4)时,f(x)=πln(x-1)-2cos πx,则f'(x)=π.
令f'(x)=0,则2sin πx=.
设g(x)=2sin πx,x∈(-2,1)∪(1,4),h(x)=,x∈(-2,1)∪(1,4),则g(x),h(x)的图象均关于点(1,0)对称,作出函数g(x),h(x)在(-2,1)∪(1,4)上的大致图象如图所示.
由图可知,函数g(x),h(x)在(-2,1)∪(1,4)上的图象共有8个交点,这8个点中每2个点为一组均关于点(1,0)对称分布,所以xi=2×4=8.
14§3　导数的计算
基础过关练
题组一　利用导数公式求函数的导数
1.下列运算正确的是(　　)
A.=cos　　　　　B.(4x)'=x·4x-1
C.(x-5)'=-x-6　　　　　D.(log2x)'=
2.已知函数f(x)=xa,若f'(-1)=-4,则a的值等于(　　)
A.4　　　　B.-4　　　　C.5　　　　D.-5
3.设f0(x)=sin x,f1(x)=f0'(x),f2(x)=f1'(x),……,fn+1(x)=fn'(x),n∈N,则f2 023(x)=(　　)
A.sin x　　　　　B.-sin x
C.cos x　　　　　D.-cos x
4.求下列函数的导数:
(1)f(x)=;(2)f(x)=lg x;(3)f(x)=5x;
(4)f(x)=-2sin1-2cos2.
题组二　导数公式的应用
5.已知直线l经过点(0,b),且与直线y=2x平行,若l与曲线y=x2相切,则b=(　　)
A.-　　　　　B.-1
C.1　　　　　D.
6.若幂函数f(x)=xα的图象过点P(9,27),则曲线y=f(x)在点P处的切线方程为(　　)
A.9x-y-54=0　　　　　B.3x+y-54=0
C.9x-2y-27=0　　　　　D.x-3y+18=0
7.若曲线y=在点(m,)处的切线与两个坐标轴所围成的三角形的面积为18,则m=(　　)
A.64　　　　　B.32　　　　
C.16　　　　　D.8
8.(多选题)已知函数f(x)的导数为f'(x),若存在实数x0,使得f(x0)=f'(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列函数中,有“巧值点”的是(　　)
A. f(x)=x2　　　　　B. f(x)=e-x
C. f(x)=ln x　　　　　D. f(x)=
9.已知点A(a,a),B(b,eb)(a,b∈R),则A,B两点间的距离|AB|的最小值为(　　)
A.1　　　　B.　　　　C.　　　　D.2
设曲线f(x)=xn+1(n∈N+)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1·x2·x3·x4·…·
x2 021=　　　　.
答案与分层梯度式解析
1.D　'=0,A错误;(4x)'=4xln 4,B错误;(x-5)'=-5x-6,C错误;(log2x)'=,D正确.故选D.
2.A　∵f(x)=xa,∴f '(x)=axa-1,∴f '(-1)=a(-1)a-1=-4,∴a=4.
3.D　f0(x)=sin x,则f1(x)=f'0(x)=(sin x)'=cos x, f2(x)=f'1(x)=
(cos x)'=-sin x,
f3(x)=f '2(x)=(-sin x)'=-cos x,
f4(x)=f '3(x)=(-cos x)'=sin x,
所以fn+4(x)=fn(x),n∈N,
又2 023=4×505+3,所以f2 023(x)=f3(x)=-cos x,故选D.
4.解析　(1)因为f(x)==,
所以f '(x)==.
(2)因为f(x)=lg x,所以f '(x)=,x>0.
(3)因为f(x)=5x,所以f '(x)=5xln 5.
(4)因为f(x)=
-2sin=2sin·=2sincos=sin x,
所以f '(x)=(sin x)'=cos x.
易错警示　熟练掌握常见函数的导数公式是解决导数问题的基础,本题(3)是指数函数,不要混淆指数函数与幂函数的求导公式,(1)(4)要先化简再求导.
5.B　设切点为(m,m2),对y=x2求导,得y'=2x,因为l与曲线y=x2相切,且与直线y=2x平行,所以l的斜率k=2m=2,解得m=1,可得切点为(1,1),又l过点(0,b),所以2=,解得b=-1.故选B.
方法总结　利用导数解决切线问题时,要知道切点既在直(切)线上,又在曲线上,把切点的横坐标代入所求得的导数,可得切线的斜率.简记:在直在曲,代横得k.
6.C　将(9,27)代入f(x)=xα,可得32α=27,∴α=,故f(x)=,则f'(x)=.∴曲线y=f(x)在点P处的切线斜率为f'(9)=×=,∴所求切线方程为y-27=(x-9),整理得9x-2y-27=0.
7.A　易得y'=-,所以曲线y=在点(m,)处的切线方程为y-=-(x-m).
令x=0,得y=,令y=0,得x=3m,
则××3m=18,
解得m=64.
8.ACD　在A中, f'(x)=2x,令x2=2x,解得x=0或x=2,故A符合题意;在B中, f'(x)==ln =-e-x,令e-x=-e-x,此方程无解,故B不符合题意;在C中, f'(x)=,令ln x=,由函数y=ln x与y=的图象(图略)知该方程存在实数解,故C符合题意;在D中,f'(x)=-,由=-,解得x=-1,故D符合题意.故选ACD.
9.B　易知点A(a,a)在直线y=x上,点B(b,eb)在曲线y=ex上,则A,B两点间的距离的最小值即为与直线y=x平行的曲线y=ex的切线和直线y=x间的距离,
对于函数y=ex,其导数为y'=ex,令y'=1,则x=0,故切点的坐标为(0,1),所以与直线y=x平行的曲线y=ex的切线方程为y=x+1,又直线y=x与y=x+1之间的距离为=,故|AB|的最小值为.
10.答案　
解析　由f(x)=xn+1(n∈N+)得f'(x)=(n+1)xn,所以曲线f(x)在点(1,1)处的切线的斜率为n+1,
所以切线方程为y-1=(n+1)(x-1),
令y=0,解得x=,即xn=,
所以x1·x2·x3·x4·…·x2 021=×××…×=.
6§4　导数的四则运算法则
4.1　导数的加法与减法法则　4.2　导数的乘法与除法法则
基础过关练
题组一　导数的四则运算法则
1.已知函数f(x)=xex+cos x,则=(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.0　　　　D.2
2.下列求导运算正确的是(　　)
A.'=
B.(x2+3x)'=2x+3xlg 3
C.(xcos x)'=-sin x
D.'=1+
3.对于函数f(x)=+ln x-,若f'(1)=1,则实数k等于(　　)
A.　　　　B.　　　　C.-　　　　D.-
4.已知f(x)=2f'(1)ln x+(f'(x)为f(x)的导函数),则f(e)=(　　)
A.e-1　　　　　B.+1
C.1　　　　　D.-+1
5.已知函数f(x)=3ln x+6x,则的值为(　　)
A.-18　　　　B.-16　　　　C.10　　　　D.20
6.若函数f(x)=+cos 2 023,则f'(x)=　　　　.
7.已知函数f(x),g(x)满足f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,若h(x)=,则h'(5)=　　　　.
8.求下列函数的导数:
(1)y=log2x-3x;(2)y=(2x2-1)(3x+1);
(3)y=;(4)y=sin4+cos4.
题组二　导数四则运算法则的综合应用
9.函数f(x)=x3-4x+3的图象在点(-2,f(-2))处的切线方程为(　　)
A.2x+y+11=0　　　　　B.2x+y-11=0
C.2x-y+11=0　　　　　D.2x-y-11=0
10.已知曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线与直线x+2y-1=0垂直,则P点的坐标为(　　)
A.(1,3)　　　　　B.(-1,3)
C.(1,3)或(-1,3)　　　　　D.(1,-3)
11.函数f(x)=xsin x的导函数f'(x)在定义域[-π,π]上的图象大致为　(　　)
A　 B　 C　 D　
12.已知函数f(x)=ax3+bx2+x(a,b∈R),若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x+1,则f'(-1)=　　　　.
13.已知点P是曲线x2=4y上的一个动点,则点P到直线x+y+4=0的距离的最小值是　　　　.
14.已知曲线y=x3+3x2+6x-10,求该曲线的所有切线中,斜率最小的切线方程.
15.已知二次函数f(x)=ax2+ax-2b,其图象过点(2,-4),且f'(1)=-3.
(1)求a,b的值;
(2)设函数h(x)=xln x+f(x),求曲线h(x)在x=1处的切线方程.
16.已知函数f(x)=+b的图象在x=1处的切线方程为2x-y-2=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)图象上的点到直线2x-y+3=0的距离的最小值.
能力提升练
题组　导数的四则运算法则及其应用
1.函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-4)(x-9)(x-12)的图象在x=4处的切线的斜率为(　　)
A.-900　　　　B.-960　　　　C.900　　　　D.960
2.已知函数f(x)=x3+f'(1)x2+2,且其图象在x=3处的切线的倾斜角为α,则sincos的值为(　　)
A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.-
3.(多选题)已知直线y=kx是曲线f(x)=xsin x的一条切线,则实数k的值可以为(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.　　　　D.-1
4.已知将函数f(x)=xex+1的图象绕原点按顺时针方向旋转后得到曲线y=g(x).若g(x)≥m,则实数m的取值范围是(　　)
A.　　　　　B.(-∞,0] C.(-∞,]　　　　　D.(-∞,1]
5.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,a≠0),给出定义:设f '(x)是函数f(x)的导数,f ″(x)是f '(x)的导数,若方程f ″(x)=0有实数解x0,则称点(x0, f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数的图象都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数f(x)=x3-x2+3x-,则f(x)的拐点为　　　　, f+f+f+…+f=　　　　.
6.已知函数f(x)=(1-x)ex.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)过点A(a,0)作曲线f(x)的切线,若这样的切线有且仅有1条,求实数a的值.
7.已知函数f(x)(x∈(0,+∞))的导函数为f'(x),且xf'(x)-2f(x)=x3ex,f(1)=e-1,求曲线f(x)在点(2, f(2))处的切线方程.
答案与分层梯度式解析
1.A　由f(x)=xex+cos x得f '(x)=ex+xex-sin x, f(0)=1,
∴==f '(0)=1.故选A.
2.D　'==,故A错误;
(x2+3x)'=(x2)'+(3x)'=2x+3xln 3,故B错误;
(xcos x)'=x'·cos x+x·(cos x)'=cos x-xsin x,故C错误;
'=x'-'=1-=1+,故D正确.故选D.
A　因为f(x)=+ln x-,所以f'(x)=++,所以f'(1)=
-e+1+2k,由f'(1)=1,解得k=,故选A.
D　易得f'(x)=+,故f'(1)=2f'(1)+,解得f'(1)=-,所以f(x)=
-+,
所以f(e)=-+=-+1.
5.A　=-2=-2f'(1),易得f'(x)=+6,所以f'(1)=9,
则=-2f'(1)=-18.
6.答案　
解析　f'(x)==.
7.答案　
解析　由题意得,
h'(x)=,
由f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,
得h'(5)=
==.
8.解析　(1)由y=log2x-3x,可得y'=-3xln 3.
(2)解法一:因为y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1,
所以y'=(6x3+2x2-3x-1)'=(6x3)'+(2x2)'-(3x)'-1'=18x2+4x-3.
解法二:y'=(2x2-1)'(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)'=4x·(3x+1)+3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3=18x2+4x-3.
(3)因为y===1-,
所以y'=-=.
(4)因为y=sin4+cos4
=-2sin2·cos2
=1-sin2=1-×=+cos x,
所以y'==-sin x.
C　因为f(x)=x3-4x+3,所以f(-2)=×(-8)-4×
(-2)+3=7,f'(x)=x2-4,则f'(-2)=2,
故所求切线方程为y-7=2(x+2),即2x-y+11=0.
10.C　直线x+2y-1=0的斜率为-,故曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线斜率为2,而f '(x)=3x2-1,
所以f '(xP)=3-1=2,解得xP=±1,故P点的坐标为(1,3)或(-1,3).
故选C.
C　导函数f'(x)的定义域为[-π,π],关于原点对称,
又f'(x)=sin x+xcos x,∴f'(-x)=-sin x-xcos x=-f'(x),∴f'(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除A、B;f'(π)=0-π=-π<0,排除D.故选C.
12.答案　-11
解析　∵f(x)=ax3+bx2+x,∴f'(x)=3ax2+2bx+1,
∴f'(1)=3a+2b+1,由题意可知f'(1)=1,∴3a+2b=0,①
∵f(1)=a+b+1,∴切点的坐标为(1,a+b+1),
∵切点在直线y=x+1上,∴a+b+1=1+1,②
由①②得a=-2,b=3,∴f'(x)=-6x2+6x+1,
∴f'(-1)=-6-6+1=-11.
13.答案　
解析　设直线l与直线x+y+4=0平行且与曲线y=x2相切,切点为(x0,y0),
由y=x2,得y'=x,所以y'=x0=-1,
则x0=-2,故切点坐标为点(-2,1),
所以点P到直线x+y+4=0的距离的最小值即为点(-2,1)到直线x+y+4=0的距离,即=.
14.解析　∵y=x3+3x2+6x-10,
∴y'=3x2+6x+6=3(x2+2x+2)=3(x+1)2+3,显然y'≥3,∴当x=-1时,y'的值最小,即切线的斜率最小,此时斜率为3,切点坐标为(-1,-14),
∴所求切线方程为y+14=3(x+1),即3x-y-11=0.
15.解析　(1)易得f'(x)=2ax+a,
由题意,得解得
(2)由(1)可得f(x)=-x2-x+2,
则h(x)=xln x+f(x)=xln x-x2-x+2,
故h'(x)=ln x+1-2x-1=ln x-2x,
所以h'(1)=ln 1-2=-2,
又h(1)=ln 1-1-1+2=0,
所以曲线h(x)在x=1处的切线方程为y-0=-2(x-1),即2x+y-2=0.
16.解析　(1)易得函数f(x)=+b的定义域为(0,+∞),f'(x)=,
∵函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为2x-y-2=0,
∴函数f(x)的图象在x=1处的切线斜率为f'(1)=a=2,切点为(1,0),又切点也在函数f(x)的图象上,
∴f(1)=aln 1+b=0,解得b=0,
∴f(x)的解析式为f(x)=.
(2)∵直线2x-y-2=0与直线2x-y+3=0平行,直线2x-y-2=0与函数f(x)=的图象在点(1,0)处相切,∴函数f(x)图象上的点中,点(1,0)到直线2x-y+3=0的距离最小,最小值为=,∴函数f(x)图象上的点到直线2x-y+3=0的距离的最小值为.
能力提升练
1.D　令g(x)=x(x-1)(x-2)(x-9)(x-12),则f(x)=(x-4)g(x),
则f '(x)=g(x)+(x-4)g'(x),
所以f '(4)=g(4)=4×3×2×(-5)×(-8)=960,
所以函数f(x)的图象在x=4处的切线的斜率为960.故选D.
2.B　易得f'(x)=x2+2f'(1)x,
所以f'(1)=12+2f'(1)×1,解得f'(1)=-1,
所以f'(x)=x2-2x,
则tan α=f'(3)=32-2×3=3,
所以sincos=cos α·(-sin α)
====-.
3.ABD　设直线y=kx与曲线f(x)相切于点(t,tsin t),
易得f'(x)=sin x+xcos x,则f'(t)=sin t+tcos t,
所以曲线f(x)在点(t,tsin t)处的切线方程为y-tsin t=(sin t+tcos t)(x-t),即y=(sin t+tcos t)x-t2cos t,
故解得或或n∈Z.故选ABD.
4.A　因为f(x)=xex+1,所以f'(x)=(x+1)ex.
由题意知g(x)的最小值为f(x)=xex+1图象上的点到直线y=x的距离的最小值.
设直线l与直线y=x平行,且与曲线y=f(x)切于点P(x0,y0),则直线l的斜率为f'(x0)=(x0+1)=1,解得x0=0,从而P(0,1),
因此f(x)=xex+1图象上的点到直线y=x的距离的最小值为点(0,1)到直线y=x的距离,即为,因此m≤.故选A.
5.答案　;2 022
解析　f '(x)=x2-x+3,则f ″(x)=2x-1,
令f ″(x)=0,解得x=,又f=1,故f(x)的拐点为,即函数f(x)图象的对称中心为,
∴f(1-x)+f(x)=2.
∴f+f+f+…+f
=f+f+f+f+…+f+f=×(2×2 022)=2 022.
6.解析　(1)f'(x)=(1-x)ex-ex=-xex,则f'(1)=-e,又f(1)=0,
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-e(x-1),
当x=0时,y=e,当y=0时,x=1,
故所求三角形的面积为×1×e=.
(2)设过点A(a,0)的曲线f(x)的切线的切点为(x0,(1-x0)),由(1)知f'(x)=-xex,
则该切线的斜率为-x0,故该切线的方程为y-(1-x0)=-x0(x-x0),
因为此切线过点A(a,0),所以-(1-x0)=-x0(a-x0),化简得-(a+1)x0+1=0,
因为这样的切线有且仅有1条,所以Δ=[-(a+1)]2-4=0,解得a=-3或a=1.
7.解析　∵xf'(x)-2f(x)=x3ex,x∈(0,+∞),
∴=ex.
令g(x)=,则g'(x)==ex,
∴g(x)==ex+c(c为常数),∴f(x)=x2(ex+c).
又f(1)=e+c=e-1,∴c=-1,∴f(x)=x2(ex-1),
∴f'(x)=2x(ex-1)+x2ex=(x2+2x)ex-2x,
∴f'(2)=8e2-4.
又f(2)=4(e2-1),
∴所求切线方程为y-4(e2-1)=(8e2-4)(x-2),
即y=(8e2-4)x-12e2+4.
13(共19张PPT)
　　一般地,如果一个函数y=f(x)在区间(a,b)内的每一点x处都有导数f'(x)=
,那么f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为y=f(x)的导函数,也简称为导数.
§3 导数的计算 §4 导数的四则运算法则
§5 简单复合函数的求导法则
知识点 1 导函数的概念
知识 清单破
温馨提示 f'(x0)是函数f(x)在x=x0处的导数,是一个确定的数.f'(x)是函数f(x)的导函数,是关于x
的函数,f'(x0)是f'(x)在x=x0处的函数值.
知识点 2 基本初等函数的导数
函数 导数
y=c(c是常数) y'=0
y=xα(α是实数) y'=αxα-1
y=ax(a>0,a≠1) y'=axln a,特别地(ex)'=ex
y=logax(a>0,a≠1) y'= ,特别地(ln x)'=
y=sin x y'=cos x
y=cos x y'=-sin x
y=tan x y'=
1.导数的加法与减法法则
　　两个函数和(或差)的导数等于这两个函数导数的和(或差),即[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x),[f(x)-
g(x)]'=f'(x)-g'(x).
2.导数的乘法与除法法则
　　一般地,若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f'(x)和g'(x),则[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),
= ,g(x)≠0.
特别地,[kf(x)]'=kf'(x),k∈R.
知识点 3 导数的四则运算法则
1.复合函数的概念
一般地,对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,如果给定x的一个值,就得到了u的值,进而确定了y
的值,那么y可以表示成x的函数,称这个函数为函数y=f(u)和u=φ(x)的复合函数,记作y=f(φ(x)),
其中u为中间变量.
2.复合函数的求导法则
复合函数y=f(φ(x))对x的导数为y'x=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x),其中u=φ(x).
知识点 4 复合函数的导数
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.f'(x0)=[f(x0)]'. (　 )
2.若f(x)=5x ,则f '(x)=5xlog5e. (　 )
3.若函数f(x)=ex +cos ,则f '(x)=ex-sin . (　 )
知识辨析

提示


提示
提示
f'(x0)是函数f(x)在x=x0处的导数,不一定为0,而[f(x0)]'是函数值f(x0)的导数,它一定为0.
∵f(x)=5x ,∴f '(x)=5xln 5.
f'(x)= '=ex,故错误.
4. = =1. (　 )
5.函数f(x)=ln(1-x)的导数是f'(x)= . (　 )
= = .
f'(x)= (1-x)'=- ,故错误.

提示

提示
利用导数的四则运算法则求函数的导数的策略
(1)分析待求导的函数的结构特点,若符合导数公式表中的某一形式,则直接用导数公式和运
算法则求导.
(2)若不符合导数公式表中的任一形式,一般遵循“先化简,再求导”的原则,如把乘积的形式
展开,分式变为和或差的形式,根式化为分数指数幂的形式等.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 利用导数的四则运算法则求函数的导数
已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=3xf'(2)-2ln x,则f(1)=　　 .
典例1
解析 由题意得f'(x)=3f'(2)- ,
∴f'(2)=3f'(2)-1,解得f'(2)= ,
∴f(x)= x-2ln x,∴f(1)= .
求下列函数的导数.
(1)y=x-2+x2;
(2)y=3xex-2x+e;
(3)y= ;
(4)y=x2-sin cos .
典例2
解析 (1)y'=2x-2x-3.
(2)y'=(ln 3+1)(3e)x-2xln 2.
(3)y'= .
(4)∵y=x2-sin cos =x2- sin x,
∴y'=2x- cos x.
1.复合函数求导的步骤

疑难 2 求复合函数的导数
讲解分析
2.求复合函数的导数的注意点
(1)分解出的函数通常为基本初等函数.
(2)求导时分清是对哪个变量求导.
(3)使计算结果尽量简单.
求下列函数的导数.
(1)y=e2x+1;(2)y= ;
(3)y=5log2(1-x);(4)y=sin3x+sin 3x.
典例
解析 (1)函数y=e2x+1可看作函数y=eu和u=2x+1的复合函数,
∴y'x=y'u·u'x=(eu)'(2x+1)'=2eu=2e2x+1.
(2)函数y= 可看作函数y=u-3和u=2x-1 的复合函数,
∴y'x=y'u·u'x=(u-3)'(2x-1)'=-6u-4
=-6(2x-1)-4=- .
(3)函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1-x(x<1)的复合函数,
∴y'x=y'u·u'x=(5log2u)'(1-x)'
= = .
(4)函数y=sin3x可看作函数y=u3和u=sin x的复合函数,函数y=sin 3x可看作函数y=sin v和v=3x的
复合函数,
∴y'x=(u3)'(sin x)'+(sin v)'(3x)'
=3u2cos x+3cos v=3sin2xcos x+3cos 3x.
方法技巧 求复合函数导数的关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开始,由外
及内,一层一层地分析,把复合函数分解成若干个基本初等函数,逐步确定复合过程.
切线问题的处理思路
(1)对函数进行求导;
(2)若已知切点,则可直接求出切线斜率和切线方程;若切点未知,则先设出切点横坐标,用其表
示切线斜率,再根据条件求出切点坐标,进而求出切线方程.
在解决此类问题时,求函数的导数是基础,找出切点是关键.
疑难 3 利用导数的运算解决切线问题
讲解分析
(1)若直线y=ex+m(e是自然对数的底数)是曲线y=ln x的一条切线,则实数m的值是　　 ;
(2)曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的距离的最小值是　　　 .
典例
-2
解析 (1)设切点的坐标为(x0,y0),由y=ln x得y'= ,∵直线y=ex+m(e是自然对数的底数)是曲线y
=ln x的一条切线,
∴切线斜率k=e= ,因此x0= ,
∴y0=ln x0=-1,即切点的坐标为 ,
又切点在直线y=ex+m上,
∴-1=e× +m,解得m=-2.
(2)∵y=ln(2x-1),∴y'= ,由题意知当曲线的切线与直线2x-y+3=0平行时,切点到直线2x-y+
3=0的距离即为所求,设该切线的方程为2x-y+m=0(m≠3),切点的坐标为(x1,y1),
则 =2,解得x1=1,
∴y1=ln(2x1-1)=0,∴切点的坐标为(1,0),
∴切点(1,0)到直线2x-y+3=0的距离为 = ,
即曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0的距离的最小值是 .
导师点睛 (1)本题涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素,其他的条件可以转
化为这三个元素间的关系.
(2)准确利用求导法则求出导数是解决本题的关键,务必做到准确无误.

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