资源简介

§6　用导数研究函数的性质
6.1　函数的单调性
基础过关练
题组一　利用导数研究函数的图象变化
1.已知函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,那么函数y=f(x)(　　)
A.在(-∞,-1)上单调递增
B.在(1,+∞)上单调递减
C.在(-∞,2)上单调递增
D.在(2,+∞)上单调递减
2.已知f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是(　　)
A B C D
3.已知函数y=f(x)在其定义域内可导,其图象如图所示,则其导函数y=f'(x)的图象可能是(　　)
A B C D
4.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式xf'(x)<0的解集为(　　)
A.(-∞,0)∪　　　　　B.∪
C.∪(2,+∞)　　　　　D.(-1,0)∪(1,3)
题组二　利用导数确定函数的单调性与单调区间
5.函数f(x)=(x-3)·ex的单调递减区间是(　　)
A.(-∞,2)　　　　　B.(0,3)　　　　
C.(1,4)　　　　　D.(2,+∞)
6.下列函数在其定义域内不是增函数的是(　　)
A.y=x3+x　　　　　B.y=+log2x
C.y=xln x　　　　　D.y=ln(x-1)+(x-1)2
7.函数f(x)=x+sin x在区间(0,π)内的单调性为　(　　)
A.单调递增
B.单调递减
C.在内单调递增,在内单调递减
D.在内单调递减,在内单调递增
8.(多选题)下列函数中,在区间(0,+∞)上先减后增的是(　　)
A.y=xln x　　　　　B.y=
C.y=xex　　　　　D.y=
9.求下列函数的单调区间.
(1)f(x)=3x2-2ln x;(2)f(x)=x2e-x;(3)f(x)=x+.
10.设函数f(x)=x(k-ln x)(k为常数),g(x)=-f(x).曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求k的值;
(2)求g(x)的单调区间.
题组三　利用导数解决含参函数的单调性问题
11.已知函数g(x)=x2-2aln x-2x在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞,0)　　　　　B.[0,+∞)
C.　　　　　D.
12.已知函数f(x)=++ax+1存在三个单调区间,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,4)
B.[0,4]
C.(-∞,0)∪(4,+∞)
D.(-∞,0]∪[4,+∞)
13.若函数f(x)=ax3-12x+a的单调递减区间为(-2,2),则a=　　　　.
14.已知函数f(x)满足下列条件:①f(x)的导函数f'(x)为偶函数;②f(x)在区间(-∞,-2),(2,+∞)上单调递增,则函数f(x)的一个解析式为f(x)=　　　　　　　.
15.已知f '(x)为函数f(x)=(x+a)ln(x+1)的导函数,讨论f '(x)的单调性.
能力提升练
题组一　利用导数研究函数的图象变化
1.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则原函数y=f(x)的图象是(　　)
A B C D
2.已知函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式可以为(　　)
A. f(x)=　　　　
B. f(x)=
C. f(x)=　　　　
D. f(x)=
3.已知定义在(-3,3)上的奇函数y=f(x)的导函数是f'(x),当0≤x<3时,y=f(x)的图象如图所示,则关于x的不等式>0的解集为　　　　.
题组二　利用导数研究函数的单调性问题
4.已知函数f(x)=lg(|x|-1)+2x+2-x,则满足不等式f(x+1)A.(-2,-1) B.(1,2)
C.∪(1,+∞) D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
5.已知a=-,b=ln 2,c=1-,则(　　)
A.b>c>a　　　　　B.b>a>c
C.a>b>c　　　　　D.c>b>a
6.(多选题)若函数y=exf(x)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中具有M性质的是(　　)
A.f(x)=x2　　　　　B.f(x)=sin x
C.f(x)=2-x　　　　　D.f(x)=ln x
7.若函数f(x)=x3-12x在区间(k-1,k+1)上不单调,则实数k的取值范围是(　　)
A.(-∞,-3]∪[-1,1]∪[3,+∞)
B.(-3,-1)∪(1,3)
C.(-2,2)
D.
8.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)+f'(x)>0,f(3)=1,则ex·f(x)>e3的解集为(　　)
A.(-∞,1)　　　　　B.(1,+∞)　　　　
C.(-∞,3)　　　　　D.(3,+∞)
9.(多选题)素数分布问题是研究素数性质的重要课题,德国数学家高斯提出了一个猜想:φ(x)≈,其中φ(x)表示不大于x的素数的个数,即随着x的增大,φ(x)的值近似等于的值.从猜想出发,下列推断正确的是(　　)
A.当x很大时,随着x的增大,φ(x)的增长速度变慢
B.当x很大时,随着x的增大,φ(x)的值减小
C.当x很大时,在区间(x,x+n)(n是一个较大常数)内,素数的个数随x的增大而减少
D.因为φ(4)=2,所以φ(4)>
10.已知函数y=f(x)在R上连续且可导,y=f(x+1)为偶函数且f(2)=0,其导函数满足(x-1)f'(x)>0,则不等式f(x+1)>f(3x-1)的解集为　　　　.
题组三　利用导数解决含参函数的单调性问题
11.已知函数f(x)=ax2-4ax-ln x,则f(x)在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件是(　　)
A.a∈　　　　　B.a∈
C.a∈　　　　　D.a∈
12.若函数f(x)=cos 2x+3a(sin x+
cos x)+(2a-1)x在上单调递减,则a的取值范围为(　　)
A.
B.
C.∪[1,+∞)
D.(-∞,-1]∪
13.已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x,a≠0.
(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求实数a的取值范围;
(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围.
14.已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若≤f(x)+2x,求a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
D　由题图可知,当x<-1或x>2时,f'(x)<0,当-1(-1,2)上单调递增.故选D.
2.C　由题中导函数的图象可得当x<0时, f'(x)>0, f(x)单调递增;当02时, f'(x)>0, f(x)单调递增,故C中图象符合.故选C.
3.C　由题中函数y=f(x)的图象可知,当x<0时,f(x)单调递增,其导数值始终为正;当x>0时,f(x)先增后减再增,其导数值先正后负再正,结合选项知选C.
4.A　由题图知,f(x)在上单调递增,在上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以在上f'(x)>0,在上f'(x)<0,在(2,+∞)上f'(x)>0.
不等式xf'(x)<0可化为或
则故原不等式的解集为(-∞,0)∪.
故选A.
5.A　f'(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex,
令f'(x)<0,得x<2,
所以f(x)的单调递减区间是(-∞,2).
6.C　对于A,y=x3+x的定义域为R,且y'=3x2+1≥1,故该函数在其定义域内是增函数,故A不符合;
对于B,y=+log2x的定义域为(0,+∞),且y'=+>0,故该函数在其定义域内是增函数,故B不符合;
对于C,y=xln x的定义域为(0,+∞),且y'=ln x+1,当0时,y'>0,所以函数在上单调递减,在上单调递增,故该函数在其定义域内不是增函数,故C符合;
对于D,y=ln(x-1)+(x-1)2的定义域为(1,+∞),且y'=+2(x-1)>0,所以该函数在其定义域内是增函数,故D不符合.故选C.
一题多解　本题还可由增函数+增函数=增函数得A,B,D中函数为增函数,从而排除A,B,D,故选C.
7.A　∵f(x)=x+sin x,∴f'(x)=1+cos x,
当x∈(0,π)时,-10,
∴f(x)在(0,π)内单调递增.故选A.
8.AD　对于A,y'=1+ln x,当0时,y'>0,因此函数y=xln x在上单调递减,在上单调递增,A符合;
对于B,y'=,当00,当x>e时,y'<0,因此函数y=在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,B不符合;
对于C,y'=(x+1)ex,当x>0时,y'>0,因此函数y=xex在(0,+∞)上单调递增,C不符合;
对于D,y'=,当01时,y'>0,因此函数y=在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,D符合.故选AD.
9.解析　(1)易知函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=6x-.令f'(x)=0,解得x=或x=-(舍去).
当0时,f'(x)>0,则f(x)在上单调递增.故函数f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为.
(2)易知函数的定义域为(-∞,+∞),
f'(x)=(x2)'e-x+x2(e-x)'=2xe-x-x2e-x=e-x(2x-x2),令f'(x)=0,得x=0或x=2.
当x<0时,f'(x)<0,则f(x)在(-∞,0)上单调递减;当00,则f(x)在(0,2)上单调递增;当x>2时,f'(x)<0,则f(x)在(2,+∞)上单调递减.故f(x)的单调递减区间为(-∞,0)和(2,+∞),单调递增区间为(0,2).
(3)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
f'(x)=1-,令f'(x)=0,得x=-1或x=1.
当x<-1时,f'(x)>0,则f(x)在(-∞,-1)上单调递增;当-11时,f'(x)>0,则f(x)在(1,+∞)上单调递增.故函数f(x)的单调递减区间为(-1,0)和(0,1),单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).
易错警示　要注意函数的单调区间是其定义域的子集,故利用导数求函数的单调区间时,要先确定其定义域.
10.解析　(1)易得f'(x)=k-ln x-1,
因为曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,
所以f'(1)=0,即k-1=0,解得k=1.
(2)由(1)可得g(x)=-f(x)=-1+ln x,其定义域为(0,+∞),
则g'(x)=-+=,
令g'(x)>0,得x>1,令g'(x)<0,得0所以g(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1).
11.D　由题意得g'(x)=x--2≥0在(0,+∞)上恒成立,即2a≤x2-2x在(0,+∞)上恒成立.
易得函数y=x2-2x=(x-1)2-1在x=1处取得最小值,且最小值为-1,
所以2a≤-1,解得a≤-.故选D.
12.C　由f(x)=++ax+1,可得f '(x)=x2+ax+a,
因为函数f(x)存在三个单调区间,所以f '(x)=0有两个不相等的实数根,
则Δ=a2-4a>0,解得a<0或a>4,
即实数a的取值范围是(-∞,0)∪(4,+∞).故选C.
13.答案　1
解析　易得f'(x)=3ax2-12.
∵f(x)=ax3-12x+a的单调递减区间为(-2,2),
∴-2和2为方程f'(x)=0的两个实数根,
∴12a-12=0,∴a=1.
14.答案　x3-4x(答案不唯一)
解析　因为f(x)在区间(-∞,-2),(2,+∞)上单调递增,
所以当x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时,f'(x)>0,
又f(x)的导函数f'(x)为偶函数,
所以可令f'(x)=x2-4,
则f(x)的解析式可以为f(x)=x3-4x.
15.解析　由已知得f '(x)=ln(x+1)+,x>-1,
令g(x)=f '(x),
则g'(x)=+=,
若a≤1,则x+2-a>1-a≥0,从而g'(x)>0,所以g(x)在(-1,+∞)上单调递增,即f '(x)单调递增.
若a>1,则当-1当x>a-2时,g'(x)>0,所以g(x)单调递增,即f '(x)单调递增.
综上所述,若a≤1,则f '(x)在(-1,+∞)上单调递增;若a>1,则f '(x)在(-1,a-2)上单调递减,在(a-2,+∞)上单调递增.
能力提升练
1.B　由题图可知,当-10,则f(x)在(-1,1)上为增函数,
当-1当0只有选项B中的图象满足题意.故选B.
2.D　对于A,要使函数f(x)有意义,则即得x<-3或-3-1,
所以函数f(x)的定义域为(-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,-1)∪(-1,+∞),故A不正确;
对于B,由题图知函数f(x)的图象过原点,而f(0)=≠0,故B不正确;
对于C, f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),且f(0)=0, f'(x)=,当x∈(0,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增,与题图不符,故C不正确;
对于D, f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),且f(0)=0,f'(x)=,当x<-1时, f'(x)<0,当-10,当x>1时, f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)上单调递增,与题图相符,故D正确.故选D.
3.答案　(-3,-1)∪(0,1)
解析　因为f(x)是奇函数,所以f(x)的图象关于原点对称,
结合题图可知,f(x)在区间(-3,-1),(1,3)上单调递减,此时f'(x)<0;
f(x)在区间(-1,1)上单调递增,此时f'(x)>0.
所以>0的解集为(-3,-1)∪(0,1).
4.D　由|x|-1>0,得x<-1或x>1,故f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),
因为f(-x)=lg(|x|-1)+2-x+2x=f(x),所以f(x)为偶函数.
当x>1时,易知y=lg(|x|-1)=lg(x-1)单调递增,
y=2x+2-x的导数为y'=2xln 2+2-xln=(2x-2-x)·ln 2,易知2x-
2-x>2-2-1=>0,故y'>0在(1,+∞)上恒成立,所以y=2x+2-x在(1,+∞)上单调递增,
故f(x)在(1,+∞)上单调递增,
则由f(x+1)1或x<-2.故选D.
5.C　易知a,b,c>0,a2=-2+=-2+=-2=,c2=1-+=-令g(x)=ln x-+(x>1),则g'(x)=--=,
令f(x)=2-x-1(x>1),则f'(x)=-1<0在(1,+∞)上恒成立,∴f(x)在(1,+∞)上单调递减,
∴f(x)∴g(x)在(1,+∞)上单调递减,即g(x)∴当x>1时,ln x<-,则ln <-,即b6.CD　对于A,令g(x)=ex·x2,则g'(x)=ex·x2+2xex=ex(x2+2x),令g'(x)>0,得x<-2或x>0,所以g(x)=ex·x2在(-∞,-2)和(0,+∞)上单调递增,而函数f(x)的定义域为R,所以f(x)=x2不具有M性质,所以A不满足题意;
对于B,令g(x)=exsin x,则g'(x)=exsin x+excos x=ex(sin x+
cos x)=exsin,显然g(x)不单调,所以B不满足题意;
对于C,令g(x)=ex·2-x,则g'(x)=ex·=ex·2-x,显然g'(x)>0恒成立,所以g(x)在R上单调递增,又f(x)的定义域为R,所以f(x)=2-x具有M性质,所以C满足题意;
对于D,令g(x)=ex·ln x(x>0),则g'(x)=ex(x>0),令y=
ln x+(x>0),则y'=-=(x>0),当01时,y'>0,所以y=ln x+在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以y=
ln x+≥1,所以g'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(x)的定义域为(0,+∞),所以f(x)=ln x具有M性质,所以D满足题意.故选CD.
7.B　f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2),令f'(x)=0,解得x=-2或x=2,所以当x<-2或x>2时,f'(x)>0,
当-2(-2,2)上单调递减.
若函数f(x)=x3-12x在区间(k-1,k+1)上不单调,则-2∈(k-1,k+1)或2∈(k-1,k+1),
所以或
解得-38.D　令F(x)=ex·f(x),则F'(x)=ex[f(x)+f'(x)]>0,
所以F(x)在R上单调递增,
又f(3)=1,所以ex·f(x)>e3即F(x)>F(3),
所以x>3,故ex·f(x)>e3的解集为(3,+∞).
方法技巧　利用导数解抽象不等式,其实质是利用导数研究对应函数的单调性,而对应函数常常需要进行构造.下面是四种常见的构造函数的方法:
　　(1)对于不等式f'(x)+g'(x)>0和f'(x)+g'(x)<0,可构造函数F(x)=f(x)+g(x).
　　(2)对于不等式f'(x)-g'(x)>0和f'(x)-g'(x)<0,可构造函数F(x)=f(x)-g(x).
　　(3)对于不等式f'(x)+f(x)>0和f'(x)+f(x)<0,可构造函数F(x)=exf(x).
　　(4)对于不等式f'(x)-f(x)>0和f'(x)-f(x)<0,可构造函数F(x)=.
9.AC　设函数f(x)=,x>0且x≠1,
则f'(x)==-,x>0且x≠1,
令g(x)=f'(x),
则g'(x)=,x>0且x≠1,
当x很大时,g'(x)<0,此时f'(x)单调递减,且f'(x)>0,故当x很大时,随着x的增大,φ(x)的值增大,且增长速度变慢,故A正确,B错误;
当x很大时,在区间(x,x+n)(n是一个较大常数)内,函数φ(x)的值增长得慢,素数的个数随x的增大而减少,故C正确;≈2.89>2,故D错误.
故选AC.
10.答案　
解析　因为y=f(x+1)为偶函数,
所以y=f(x+1)的图象关于y轴对称,
所以y=f(x)的图象关于直线x=1对称.
因为(x-1)f'(x)>0,
所以当x>1时,f'(x)>0,当x<1时,f'(x)<0,
所以y=f(x)在(1,+∞)上单调递增,在(-∞,1)上单调递减,
由f(x+1)>f(3x-1),
得或或
或所以所以原不等式的解集为.
11.B　由已知得f '(x)=(x>0),
令g(x)=2ax2-4ax-1,
因为f(x)在(1,3)上不单调,所以f '(x)在(1,3)上有变号零点,即g(x)在(1,3)上有变号零点.
当a=0时,g(x)=-1,不成立;
当a≠0时,只需g(1)·g(3)<0,即(-2a-1)(6a-1)<0,解得a<-或a>,
所以f(x)在(1,3)上不单调的充要条件是a<-或a>,结合选项知f(x)在(1,3)上不单调的一个充分不必要条件可以是a>.故选B.
12.A　由已知得f '(x)=-sin 2x+3a(cos x-sin x)+2a-1,∵f(x)在上单调递减,
∴f '(x)≤0在上恒成立,
设t=cos x-sin x,则t=-sin,
当x∈时,x-∈,则t∈[-1,1],
∴sin 2x=1-t2∈[0,1],
∴t2+3at+2a-2≤0在t∈[-1,1]上恒成立,
令g(t)=t2+3at+2a-2,t∈[-1,1].
只需满足
解得-1≤a≤,故选A.
13.解析　(1)易得h(x)=ln x-ax2-2x,则h'(x)=-ax-2(x>0).
因为h(x)在[1,4]上单调递减,
所以当x∈[1,4]时,h'(x)=-ax-2≤0恒成立,即a≥-恒成立,
令G(x)=-,x∈[1,4],则a≥G(x)max,
而G(x)=-1,
因为x∈[1,4],所以∈,
所以G(x)max=-,所以a≥-.
又a≠0,所以实数a的取值范围是∪(0,+∞).
(2)易知h(x)的定义域为(0,+∞),h'(x)=-ax-2.
因为h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,
所以当x∈(0,+∞)时,-ax-2<0有解,即a>-有解.
设φ(x)=-,x>0,则a>φ(x)min,
而φ(x)=-1≥-1,
所以φ(x)min=-1,所以a>-1.
又a≠0,所以实数a的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞).
易错警示　若f(x)在区间I上存在单调递减区间,则f'(x)<0在区间I上有解,此处注意不能错写成f'(x)≤0在区间I上有解,理由如下:若仅仅是x的有限个取值使得f'(x)=0成立,而其他取值使得f'(x)>0,则显然f'(x)≤0在区间I上有解,但f(x)在区间I上单调递增,不符合题意.
14.解析　(1)f'(x)==,a≠0,
若a<0,则当x∈(-∞,1-a)时, f'(x)<0, f(x)单调递减,当x∈(1-a,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增;
若a>0,则当x∈(1-a,+∞)时, f'(x)<0, f(x)单调递减,当x∈(-∞,1-a)时, f'(x)>0, f(x)单调递增.
综上,当a<0时, f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a),单调递增区间为(1-a,+∞);当a>0时,f(x)的单调递减区间为(1-a,+∞),单调递增区间为
(-∞,1-a).
(2)原不等式为≤+2x,即x≥2+2ln x-2xex.
因为x>0,所以≥==.
令t=x+ln x,则其在区间(0,+∞)上单调递增,
令x=,则t=<0;令x=1,则t=1>0,
所以存在唯一的x0∈,使得t=x0+ln x0=0,
令g(t)=et-t-1(t∈R),则g'(t)=et-1.
当t<0时,g'(t)<0,g(t)单调递减;当t>0时,g'(t)>0,g(t)单调递增,
所以g(t)≥g(0)=0,即et-t-1≥0,即et≥t+1.故ex+ln x≥x+ln x+1.
故x+ln x-ex+ln x≤x+ln x-(x+ln x+1)=-1,
所以≤=-2,当且仅当x+ln x=0,即x=x0时,等号成立,
故≥-2,解得a≤-或a>0,
即a的取值范围为∪(0,+∞).
30(共15张PPT)
1.函数最值与最值点的概念
函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值点x0指的是:函数f(x)在这个区间上所有点处的函数值都
不超过f(x0),如图(1)、图(2)、图(3)所示.

6.3 函数的最值
§6 用导数研究函数的性质
知识点 函数的最值与最值点
知识 清单破
类似地,函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值点x0指的是:函数f(x)在这个区间上所有点处的函数
值都不小于f(x0).
函数的最大值和最小值统称为最值.
2.函数的最值与极值点的关系
一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最
小值,由上页的图(1)、图(2)、图(3)可以看出,y=f(x)的最大值或者在极大值点(也是导函数的
零点)处取得,或者在区间的端点处取得.类似地,y=f(x)的最小值或者在极小值点(也是导函数
的零点)处取得,或者在区间的端点处取得.
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.若函数的最大值为a,则其值域为(-∞,a].(　 )
2.函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值一定在区间端点处取得. (　 )
3.开区间上的单调连续函数无最大(小)值. (　 )
4.在定义域内,若函数有最大(小)值与极大(小)值,则极大(小)值就是最大(小)值. (　 )
5.若函数在给定区间上有最值,则最大值最多有一个,最小值也最多有一个;若有极值,则极大
值和极小值均可有多个.(　 )
知识辨析
√
√
提示
提示
函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值可以分别是极大值和极小值,不一定在区间
端点处取得.



由最大(小)值的概念知,y最大值≥y极大值,y最小值≤y极小值,故结论错误.
1.利用导数求函数在固定区间上的最值的步骤
(1)对函数求导,求出导数值为0的所有实根,并检验使导数值为0的实根是否在给定区间内.
(2)研究函数的单调性,确定极值和区间端点处的函数值.
(3)比较极值与端点函数值的大小,其中最大的值即为函数的最大值,最小的值即为函数的最
小值.
2.含参函数的最值问题,一般有两类:一类是求含有参数的函数的最值;另一类是由最值求参
数的值或取值范围.在解题时,先分清类型,再通过分类讨论思想逐步求解.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 利用导数解决函数的最值问题
已知函数f(x)= ax2-2ln x+(2a-3)x,求f(x)在(0,1]上的最小值.
典例1
思路点拨 求f'(x) 对a分类讨论 确定f(x)的单调性与极值 求得f(x)的最小值.
解析 f'(x)= = (x>0).
若a≤0,则f'(x)<0,f(x)在(0,1]上单调递减,f(x)min=f(1)= a-3;
若0f(1)= a-3;
若a>1,则当x∈ 时,f'(x)<0,当x∈ 时,f'(x)>0,所以f(x)在 上单调递减,在 上单
调递增,f(x)min=f =- +2ln a+2.
综上,当a≤1时,f(x)min= a-3;当a>1时,f(x)min=- +2ln a+2.
解题模板 此类题目中,对参数进行讨论,其实质是讨论导函数f'(x)的值与0的大小关系.若导
函数f'(x)≥0或f'(x)≤0恒成立,且只在有限个点处为0,则原函数f(x)在已知区间上是单调函数,
最值只能在区间端点处取得;否则需分类讨论,求出极值点后确定极值,再与端点函数值比较
后确定最值.
已知f(x)=ax3-6ax2+b,问是否存在实数a,b,使f(x)在[-1,2]上的最大值为3,最小值为-29 若
存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.
典例2
解析 由题意知a≠0.∵f(x)=ax3-6ax2+b,
∴f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),
令f'(x)=0,得x1=0,x2=4(舍去).
①当a>0时,随着x在[-1,2]上的变化,f'(x),f(x)的变化情况如表:
x (-1,0) 0 (0,2)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
由表可知,当x=0时,f(x)取得极大值,也是函数f(x)在[-1,2]上的最大值,
∴f(0)=3,∴b=3.
又f(-1)=-7a+3,f(2)=-16a+3,a>0,
∴f(2)∴f(2)=-16a+3=-29,∴a=2.
②当a<0时,同理可得,当x=0时,f(x)取得极小值,也是函数f(x)在[-1,2]上的最小值,
∴f(0)=-29,∴b=-29.
又f(-1)=-7a-29,f(2)=-16a-29,a<0,
∴f(2)>f(-1),
∴f(2)=-16a-29=3,∴a=-2.
综上可得,a=2,b=3或a=-2,b=-29.
方法总结 由函数的最值来确定参数的值或取值范围是利用导数求函数最值的逆向运用,这
类问题的解题步骤是:①求函数f(x)的导数f'(x),并求极值;②利用单调性,将极值与端点处的函
数值进行比较,确定函数的最值,若参数变化影响函数的单调性,则需对参数进行分类讨论;③
利用最值列关于参数的方程(组),解方程(组)即可.
1.利用函数的导数求函数的最大(小)值,可以解决有关函数图象、不等式等综合问题,特别是
有关不等式恒成立问题.
2.解决不等式恒成立问题的方法
(1)取主元(给定范围内任意取值的变量),结合参数分类,利用最大(小)值或数形结合解决有关
不等式恒成立问题.
(2)将主元与参数分离,将不等式恒成立问题转化为最大(小)值问题来解决.在定义域内,对于
任意的x,都有f(x)≥a成立,转化为f(x)min≥a;对于任意的x,都有f(x)≤a成立,转化为f(x)max≤a.
3.证明不等式问题,可以将不等式问题转化为最大(小)值问题,利用函数的单调性及最大(小)
值加以证明,必要时要进行放缩.
讲解分析
疑难 2 利用导数解决与函数最值有关的综合问题
设函数f(x)=x- -tln x,其中t为正实数.
(1)若不等式f(x)<0在(0,1)上恒成立,求实数t的取值范围;
(2)证明:当x∈(0,1)时,恒有x2+x- -1典例
解析 (1)由题意得f'(x)=1+ - = .
设h(x)=x2-tx+1(0则Δ=t2-4(t>0).
①当t2-4≤0(t>0),即0则f'(x)≥0 (只在有限个点处为0),
所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,
则f(x)②易得y=x2-tx+1的图象是连续不间断的,且对称轴为直线x= ,
当t2-4>0(t>0),即t>2时, >1,
因为h(0)=1,h(1)=2-t<0,
所以h(x)=0在(0,1)上存在唯一实数根,设为x1,
则当x∈(0,x1)时,h(x)>0,f'(x)>0,
当x∈(x1,1)时,h(x)<0,f'(x)<0,
所以f(x)在(0,x1)上单调递增,在(x1,1)上单调递减,
此时f(x)max=f(x1)>f(1)=0,不符合题意.
综上,实数t的取值范围是(0,2].
(2)证明:x2+x- -1因为x∈(0,1),所以x+1>0,ln x<0,
所以原不等式等价于 > .
由(1)知当t=2时,x- -2ln x<0在(0,1)上恒成立,整理得 >2.
令m(x)= (0则m'(x)= ,
因为x∈(0,1),所以m'(x)>0,
所以函数m(x)在区间(0,1)上单调递增,
所以m(x)即 > 在(0,1)上恒成立.
所以当x∈(0,1)时,恒有x2+x- -1解后反思 对于不等式恒成立问题,常分离参数,将问题转化为函数的最值问题;对于不等式
的证明问题,常利用函数的单调性及放缩法进行不断转化.6.2　函数的极值
基础过关练
题组一　函数极值的概念及其求解
1.(多选题)下列关于函数极值的说法正确的是(　　)
A.导数值为0的点一定是函数的极值点
B.函数的极小值可能大于它的极大值
C.函数在定义域内必有一个极小值和一个极大值
D.若f(x)在区间(a,b)上有极值,则f(x)在区间(a,b)上不单调
2.下列函数中,存在极值的是(　　)
A.y=ex　　　　　B.y=ln x
C.y=　　　　　D.y=x2-2x
3.已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数g(x)=xf'(x)的图象如图所示,则下列结论一定成立的是(　　)
A.f(x)有两个极值点
B.f(x)有两个极小值
C.f(0)为f(x)的极小值
D.f(-1)为f(x)的极小值
4.函数f(x)=sin在区间(0,5)上有(　　)
A.1个极大值点和1个极小值点
B.1个极大值点和2个极小值点
C.2个极大值点和1个极小值点
D.2个极大值点和2个极小值点
5.一个矩形铁皮的长为8 cm,宽为5 cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,若记小正方形的边长为x cm,小盒子的容积为V cm3,则(　　)
A.当x=1时,V取得极小值
B.当x=1时,V取得极大值
C.当x=时,V取得极小值
D.当x=时,V取得极大值
6.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+2,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程是8x-y-2=0.
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)的极值.
题组二　含参函数的极值问题
7.设a∈R,若函数y=eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则(　　)
A.a>-3　　　　　B.a<-3　　　　
C.a>-　　　　　D.a<-
8.若函数f(x)=x2-x+aln x有两个不同的极值点,则实数a的取值范围为(　　)
A.　　　　　B.
C.　　　　　D.
9.已知函数f(x)的导数f'(x)=a(x+1)(x-a),且f(x)在x=a处取得极大值,则实数a的取值范围是(　　)
A.a>-1　　　　　B.-1C.01
10.若函数f(x)=x3+ax2+ax(x∈R)不存在极值点,则a的取值范围是　　　　.
11.已知函数f(x)=x3-ax+a,a∈R,讨论f(x)的极值点的个数.
题组三　函数极值的综合应用
12.已知函数f(x)=x3-ax2-bx+a2,则“a+b=7”是“函数f(x)在x=1处有极值10”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n2+k+(n∈N+),则f(x)=x3-kx2-2x+1的极大值为(　　)
A.　　　　B.3　　　　C.　　　　D.2
14.已知三次函数f(x)=mx3+nx2+px+2q的图象如图所示,则 =　　　　.
15.已知函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex(a≠0).
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.
16.已知函数f(x)=x3-3kx+q(k,q∈R)在x=2处有极小值4.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)=a有三个不相等的实数根,求实数a的取值范围.
能力提升练
题组一　函数极值的求解
1.(多选题)设函数y=f(x)在R上可导,其导函数为y=f'(x),且函数g(x)=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(　　)
A.函数y=f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递减
B.函数y=f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递增
C.函数y=f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
D.函数y=f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
2.在①f(-1)=-4,f'(1)=0;②f(1)=0,f'(0)=1;③f(x)的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为y=8x+4这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中并作答.
已知函数f(x)=x3+ax2+bx,且　　　　.
(1)求a,b的值;
(2)求函数f(x)的极小值.
题组二　含参函数的极值问题
3.已知函数f(x)=x(x-m)2在x=-1处取得极小值,则实数m的值为(　　)
A.3　　　　B.1　　　　C.-1　　　　D.-3
4.设函数f(x)=ln x-ax2-bx,若x=1是f(x)的极大值点,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-1,0) B.(-1,+∞)
C.(0,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,+∞)
5.若函数f(x)=-x3+ax2-4x在区间(0,2)上只有一个极值点,则实数a的取值范围为(　　)
A.(4,+∞)　　　　　B.[4,+∞)
C.(4,+∞)∪{2}　　　　　D.[4,+∞)∪{2}
6.若函数f(x)=(x-1)ex-ax有小于0的极值点,则a的取值范围是　　　.
7.已知函数f(x)=aln x+x2-3x(a≠0).
(1)当a=1时,求函数f(x)的极值;
(2)若f(x)有唯一极值点x0,解关于x0的不等式a>f(2x0).
8.已知函数f(x)=(1-x)2-3aln(2+x).
(1)若a=-1,求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)有两个极值点,求实数a的取值范围.
题组三　函数极值的综合应用
9.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-3处取得极大值,则函数y=xf'(x)的图象可能是(　　)
A B C D
10.记p:“方程(m-1)x2+(3-m)y2=1表示椭圆”,q:“函数f(x)=x3+(m-2)x2+x无极值”,则p是q的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
11.已知函数f(x)=x3+ax2+x+1(a∈R)有两个极值点x1,x2(x1A.a<-或a>
B.x1是f(x)的极小值点
C.x1+x2=
D.x1x2=-
12.(多选题)已知函数f(x)=xln x+x2,x0是函数f(x)的极值点,则下列结论正确的是(　　)
A.0
C. f(x0)+2x0<0　　　　　D. f(x0)+2x0>0
13.已知函数f(x)=ln x+-2a(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,且x1∈[e,e2],求f(x1)-f(x2)的取值范围.
答案与分层梯度式解析
1.BD
2.D　函数y=ex是实数集R上的增函数,不存在极值;
函数y=ln x是(0,+∞)上的增函数,不存在极值;
函数y=在区间(0,+∞),(-∞,0)上单调递减,不存在极值;
y=x2-2x=(x-1)2-1在(1,+∞)上单调递增,在(-∞,1)上单调递减,因此x=1是函数的极小值点,符合题意.故选D.
3.B　由题图可得当x∈(-∞,-2)时,xf'(x)>0,
所以f'(x)<0, f(x)单调递减;
当x∈(-2,0)时,xf'(x)<0,
所以f'(x)>0, f(x)单调递增;
当x∈(0,1)时,xf'(x)<0,
所以f'(x)<0, f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,xf'(x)>0,
所以f'(x)>0, f(x)单调递增,
所以当x=-2时, f(x)有极小值;当x=0时, f(x)有极大值;当x=1时, f(x)有极小值,故B正确.故选B.
4.C　由正弦函数的性质可知,当f(x)取极大值时,2x+=+2kπ,k∈Z,即极大值点为x=kπ+,k∈Z,
又x∈(0,5),∴x=或x=;
当f(x)取极小值时,2x+=+2k'π,k'∈Z,即极小值点为x=k'π+,k'∈Z,又x∈(0,5),∴x=,
故f(x)在区间(0,5)上有2个极大值点和1个极小值点.故选C.
5.B　小盒子的容积为V=x(8-2x)(5-2x)=4x3-26x2+40x,
所以V'=12x2-52x+40,令V'=0,得x=1或x=(舍去),
当00,当1所以函数V=4x3-26x2+40x在(0,1)上递增,在上递减,
所以当x=1时,V取得极大值,无极小值.
故选B.
6.解析　(1)f'(x)=3x2+2ax+b,所以曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为f'(1)=3+2a+b,
又f(1)=a+b+3,所以解得a=2,b=1.
(2)由(1)知f(x)=x3+2x2+x+2, f'(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1),令f'(x)=0,得x=-或x=-1,
当x∈(-∞,-1)时, f'(x)>0, f(x)单调递增,
当x∈时, f'(x)<0, f(x)单调递减,
当x∈时, f'(x)>0, f(x)单调递增,
所以f(x)极大值 =f(-1)=2, f(x)极小值 =f=.
7.B　设f(x)=eax+3x,则f'(x)=3+aeax.
由题意得f'(x)=3+aeax=0有正根,则a<0,此时x=ln.由x>0,得a<-3.故选B.
8.A　因为f(x)=x2-x+aln x有两个不同的极值点,所以f'(x)=x-1+==0有两个不同的正根,
即x2-x+a=0有两个不同正根,所以解得09.B　当a>0时,方程a(x+1)(x-a)=0的较小的实数根为函数f(x)的极大值点,故无解;当a=0时, f'(x)=0恒成立, f(x)无极值点,不符合题意;当a<0时,方程a(x+1)(x-a)=0的较大的实数根为函数f(x)的极大值点,故即-110.答案　[0,3]
解析　由f(x)=x3+ax2+ax(x∈R),得f'(x)=3x2+2ax+a.∵函数f(x)=x3+ax2+ax(x∈R)不存在极值点,且f'(x)的图象开口向上,∴f'(x)≥0对任意x∈R恒成立,∴Δ=4a2-12a≤0,解得0≤a≤3,∴a的取值范围是[0,3].
11.解析　易得f'(x)=x2-a,
当a≤0时,f'(x)≥0恒成立,当且仅当a=0,且x=0时为0,故f(x)在R上单调递增,不存在极值点.
当a>0时,令f'(x)>0,即x2-a>0,解得x<-或x>,令f'(x)<0,即x2-a<0,解得-故f(x)在(-∞,-),(,+∞)上单调递增,在(-,)上单调递减,
所以f(x)在x=-处取得极大值,在x=处取得极小值,此时极值点的个数为2.
综上所述,当a≤0时,f(x)无极值点,当a>0时,f(x)有2个极值点.
12.B　因为f(x)=x3-ax2-bx+a2,所以f'(x)=3x2-2ax-b,若f(x)在x=1处有极值10,则解得或当时,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,且不恒为0,故f(x)单调递增,无极值点,舍去;当时,f'(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1),当x>1或x<-时,f'(x)>0,当-所以由“函数f(x)在x=1处有极值10”能推出“a+b=7”,即必要性成立,显然由“a+b=7”不能推出“函数f(x)在x=1处有极值10”,即充分性不成立,故“a+b=7”是“函数f(x)在x=1处有极值10”的必要不充分条件.
13.A　由于等差数列前n项和公式中常数项为0,所以k+=0,所以k=-,所以f(x)=x3+x2-2x+1,所以f'(x)=3x2+x-2=(3x-2)(x+1),故函数f(x)在(-∞,-1)和上单调递增,在上单调递减,故当x=-1时,f(x)取得极大值,极大值为f(-1)=.故选A.
14.答案　1
解析　由题意得m≠0,且f'(x)=3mx2+2nx+p,
由题图可知x=2是函数f(x)的极大值点,x=-1是函数f(x)的极小值点,即2,-1是f'(x)=0的两个实数根,由得2n=-3m,
∵f'(0)=p, f'(1)=3m+2n+p=p,∴=1.
15.解析　(1)若a=1,则f(x)=(x2-5x+7)ex,
所以f'(x)=(x2-3x+2)ex,所以f'(0)=2,
又f(0)=7,因此曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x+7.
(2)易得f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex(a≠0),
令f'(x)=0,得x=或x=2,
若0<<2,即a>,则当x∈时,f'(x)<0,
当x∈或x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,
所以f(x)在x=2处取得极小值,满足题意.
若a≤,且a≠0,则当x∈(0,2)时,ax≤x<1,所以ax-1<0,又x-2<0,ex>0,所以f'(x)>0,所以f(x)在x=2处取不到极小值,不满足题意.
综上可知,a的取值范围是.
16.解析　(1)由f(x)=x3-3kx+q,得f'(x)=3x2-3k,
因为函数f(x)在x=2处有极小值4,所以即解得经检验满足题意,
故f(x)=x3-12x+20.
(2)关于x的方程f(x)=a有三个不相等的实数根等价于函数f(x)的图象与直线y=a有三个不同的交点,
由(1)可知f(x)=x3-12x+20,f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),
令f'(x)=0,解得x=±2,当x<-2或x>2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当-2∴f(x)在x=-2处取得极大值,且极大值为36,在x=2处取得极小值,且极小值为4.
易知当x→-∞时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→+∞,
作出函数f(x)的大致图象,如图所示,
由图可知4能力提升练
1.BD　由题图可知,当x<-2时,g(x)>0,此时1-x>0,则f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)上单调递增;
当-20,则f'(x)<0,故f(x)在(-2,1)上单调递减;
当10,此时1-x<0,则f'(x)<0,故f(x)在(1,2)上单调递减;
当x>2时,g(x)<0,此时1-x<0,则f'(x)>0,故f(x)在(2,+∞)上单调递增.
故函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值,
即函数y=f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2).
故选BD.
2.解析　(1)选择①,∵f(x)=x3+ax2+bx,
∴f'(x)=3x2+2ax+b,
由已知可得解得
选择②,∵f(x)=x3+ax2+bx,
∴f'(x)=3x2+2ax+b,
由已知可得解得
选择③,∵f(x)=x3+ax2+bx,
∴f'(x)=3x2+2ax+b,
∵函数f(x)的图象在点(-1,f(-1))处的切线方程为y=8x+4,
∴解得
(2)由(1)得f(x)=x3-2x2+x,
f'(x)=3x2-4x+1,
令f'(x)=0,得x1=,x2=1,列表如下:
x 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴函数f(x)的极小值为f(1)=0.
3.D　∵f(x)=x(x-m)2,∴f'(x)=3x2-4mx+m2,
∵f(x)在x=-1处取得极小值,
∴f'(-1)=0,即3+4m+m2=0,
解得m=-1或m=-3.
当m=-1时,f'(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1),
当x<-1时,f'(x)>0,
当-1所以f(x)在x=-1处取得极大值,不满足题意,舍去;
当m=-3时,f'(x)=3x2+12x+9=3(x+3)(x+1),
当-3当x>-1时,f'(x)>0,
所以f(x)在x=-1处取得极小值,满足题意.
综上,m=-3.故选D.
4.B　因为f(x)=ln x-ax2-bx,
所以f'(x)=-ax-b,x>0,
由题意得f'(1)=0,则b=1-a,
则f'(x)=-ax+a-1=-,x>0.
若a≥0,则由f'(x)=0,得x=1.
当00,f(x)单调递增;
当x>1 时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
所以x=1是f(x)的极大值点,满足题意.
若a<0,则由f'(x)=0,得x=1或x=-.
因为x=1是f(x)的极大值点,
所以->1,所以-1综上,a的取值范围是a>-1,故选B.
5.B　易得f'(x)=-3x2+2ax-4,若f(x)在区间(0,2)上只有一个极值点,则f'(x)=0在(0,2)上有且仅有一个实数根,且Δ=4a2-4×(-3)×(-4)>0,即a>2或a<-2.
令-3x2+2ax-4=0,x∈(0,2),则a=x+,
令g(x)=x+,x∈(0,2),
则g(x)的图象与直线y=a仅有一个交点,易得g(x)在上单调递减,在上单调递增,且g=2,g(2)=4,画出y=g(x)的图象如图所示,
由图可知a≥4或a=2,又a>2或a<-2,故a≥4.
6.答案　
解析　若函数f(x)=(x-1)ex-ax有小于0的极值点,则f'(x)有小于0的零点,且零点左右两侧附近的函数值的符号不同,易得f'(x)=xex-a,
令g(x)=xex-a,则g'(x)=(x+1)ex,
当x<-1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x>-1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
故g(x)min=g(-1)=--a,当x→-∞时,g(x)→-a,且g(0)=-a,
画出函数g(x)的大致图象如图所示:
由图可得解得-故a的取值范围为.
7.解析　由题意可知,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2x-3=.
(1)当a=1时,f(x)=ln x+x2-3x,f'(x)==,x∈(0,+∞),
令f'(x)>0,得01,令f'(x)<0,得故f(x)在和(1,+∞)上单调递增,在上单调递减,
故f(x)的极大值为f=-ln 2-,极小值为f(1)=-2.
(2)由题意可知,f'(x)==0有唯一的正数根x0,故a=3x0-2,
结合极值点的定义可知,二次函数y=2x2-3x+a有两个不同的零点,其中一个为x0,另一个设为x1,则x0>0,x1<0,
则x0x1=<0,故a<0,即a=x0(3-2x0)<0,解得x0>,
不等式a>f(2x0)即a>aln(2x0)+4-6x0,即3(3x0-2)>(3x0-2)ln(2x0),
因为a=3x0-2<0,所以ln(2x0)>3,解得x0>,
故关于x0的不等式a>f(2x0)的解集为.
8.解析　(1)当a=-1时,f(x)=(1-x)2+3ln(2+x)(x>-2),f'(x)=2x-2+=(x>-2).
令f'(x)>0,得-2,此时f(x)单调递增,
令f'(x)<0,得则f(x)的单调递增区间为,,单调递减区间为.
(2)易得函数f(x)=(1-x)2-3aln(2+x)的定义域为{x|x>-2},f'(x)=2x-2-3a·=.
若函数f(x)有两个极值点,
则f'(x)=0在(-2,+∞)上有两个不等实根,
即方程2x2+2x-3a-4=0在(-2,+∞)上有两个不等实根.
设g(x)=2x2+2x-3a-4,
结合g(x)的图象(图略)可得
解得-故实数a的取值范围为-9.D　由题意得,在-3左侧附近,f'(x)>0;当x=-3时,f'(x)=0;在-3右侧附近,f'(x)<0.
所以在-3左侧附近,xf'(x)<0;当x=-3时,xf'(x)=0;在-3右侧附近,xf'(x)>0.故选D.
10.B　由方程(m-1)x2+(3-m)y2=1表示椭圆,可得解得1由函数f(x)=x3+(m-2)x2+x无极值,可得f'(x)=x2+2(m-2)x+1的图象至多与x轴有一个交点,
所以Δ=4(m-2)2-4≤0,解得1≤m≤3.
因为{m|1所以p是q的充分不必要条件.
11.A　因为函数f(x)=x3+ax2+x+1(a∈R)有两个极值点x1,x2(x1所以f'(x)=3x2+2ax+1=0有两个实数根x1,x2,
所以x1+x2=-,x1x2=,Δ=(2a)2-4×3×1>0,所以a<-或a>,故A正确,C,D错误;
因为f'(x)=3x2+2ax+1=0有两个实数根x1,x2(x10,在(x1,x2)上,f'(x)<0,
所以f(x)在(-∞,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,所以x1是f(x)的极大值点,故B错误.故选A.
12.AD　∵f(x)=xln x+x2(x>0),
∴f'(x)=ln x+1+2x(x>0),
易得函数f'(x)在(0,+∞)上单调递增,f'=>0,∵当x→0时, f'(x)→
-∞,∴0∴A正确,B错误.
∵f'(x0)=ln x0+1+2x0=0,∴f(x0)+2x0=x0ln x0++2x0=x0(ln x0+x0+2)=x0(1-x0)>0,
∴C错误,D正确.故选AD.
13.解析　(1)易得f'(x)=-=,x∈(0,+∞).
当a≤2时,x2+(2-a)x+1>0,则f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当a>2时,对于方程x2+(2-a)x+1=0,Δ=a2-4a=a(a-4),
①当2②当a>4时,Δ>0,解方程x2+(2-a)x+1=0,得x=或x=,
则当x∈∪时,f'(x)>0,
当x∈时,f'(x)<0,
所以f(x)在上单调递减,在,上单调递增.
综上所述,当a≤4时,f(x)在(0+∞)上单调递增;
当a>4时,f(x)在上单调递减,在,上单调递增.
(2)由(1)可知,若f(x)有两个极值点x1,x2,
则a>4,且x1+x2=a-2,x1x2=1,即a=x1+x2+2,x2=,
故f(x1)-f(x2)=ln x1+-2a-
=ln x1+-ln x2-=ln+-
=2ln x1+-x1,x1∈[e,e2],
令g(x)=2ln x+-x,x∈[e,e2],
则g'(x)=--1=-<0,所以g(x)在[e,e2]上单调递减,
故g(e2)≤g(x)≤g(e),即4+-e2≤g(x)≤2+-e,
所以f(x1)-f(x2)的取值范围为.
32(共16张PPT)
1.导数的符号与函数的单调性之间的关系
(1)若在某个区间上,函数y=f(x)的导数f'(x)>0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递增;
(2)若在某个区间上,函数y=f(x)的导数f'(x)<0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递减.
特别地,若在某个区间上恒有f'(x)=0,则f(x)为常数函数.
注意:若在某个区间上,f'(x)≥(≤)0,且只在有限个点处为0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递
增(减).
2.函数的单调性决定了函数图象的大致形状.因此,当确定了函数的单调性后,再通过描出一
些特殊的点,就可以画出函数的大致图象.
6.1 函数的单调性
§6 用导数研究函数的性质
知识点 函数的单调性
知识 清单破
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.记质点M的运动方程为v=v(t),若v'(t)=0恒成立,则质点M在做匀速运动. (　 )
2.记质点M的运动方程为s=s(t),若函数s(t)在某区间内单调递增,则s'(t)>0. (　 )
3.记运动的质点M的速度与时间的函数为v=v(t),若在区间(a,b)上都有v'(t)<0,则质点M在(a,b)
内速度递减. (　 )
4.函数在某一点处的导数越大,函数图象在该点处的切线越“陡峭”. (　 )
5.若函数f(x)在区间(1,2),(3,4)上都有f'(x)>0,则f(x)在(1,2)∪(3,4)上单调递增. (　 )
知识辨析
√
√
提示
提示
提示
若v'(t)=0,则函数v(t)为常数函数,质点M的速度不变.
可能存在实数t,使s'(t)=0.
切线的“陡峭”程度与|f'(x)|的大小有关,故错误.



1.利用导函数的正负研究原函数图象的变化时,要遵循“导函数为正数,原函数图象上升;导
函数为负数,原函数图象下降”的原则.导函数的正负可由其图象与x轴的位置关系判断.解决
问题时,一定要分清原函数图象和导函数图象.
2.“导函数的正负看(原函数)增减;绝对值大小定快慢.”一般地,如果一个函数在某一范围内
的导数的绝对值较大,那么函数值在这个范围内变化得较快,这时函数的图象就比较“陡
峭”(向上或向下);反之,函数的图象就比较“平缓”.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 导函数与原函数图象的关系
(1)f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是 (　 )

　
　
典例
C
(2)已知y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则所给四个选项中,y=f(x)的图
象大致是 (　 )
C
解析 (1)当x∈(-∞,0)时,导函数图象在x轴的上方,表示在此区间上原函数的图象呈上升趋
势,可排除B,D.当x∈(0,2)时,导函数图象在x轴的下方,表示在此区间上原函数的图象呈下降
趋势,可排除A.故选C.
(2)当0∴y=f(x)在(0,1)上单调递减,∴A,B错误;
当x>1时,xf'(x)>0,∴f'(x)>0,
∴y=f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴D错误.
故选C.
1.利用导数求函数f(x)单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求导数f'(x);
(3)解不等式f'(x)>0,结合函数f(x)的定义域确定函数f(x)的单调递增区间;
(4)解不等式f'(x)<0,结合函数f(x)的定义域确定函数f(x)的单调递减区间.
2.含参函数的单调性问题
含参函数的单调性问题主要以两种形式呈现,一是判断含参函数的单调性,二是求含参函数
的单调区间,这两种形式实质上是一致的.求解时,通常将此类问题转化为含参不等式的解集
问题,而对含有参数的不等式要针对具体情况进行分类讨论,但要注意定义域及分类讨论的标准.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 2 利用导数研究函数的单调性
已知函数f(x)=(a-3)ln x-3ax- (a∈R),试讨论f(x)的单调性.
典例
思路点拨 求f(x)的定义域及f'(x) 对a进行分类讨论 确定f'(x)的符号 得到f(x)的单
调性.
解析 由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),
f'(x)= -3a+ = .
①当a≥0时,ax+1>0恒成立,令f'(x)=0,得x= ,
当00;当x> 时,f'(x)<0,
所以f(x)在 上单调递增,在 上单调递减.
②当a=-3时,f'(x)= ,f'(x)≥0恒成立,且仅在个别点处有f'(x)=0,所以f(x)在(0,+∞)上单调
递增.
③当-3当0- 时,f'(x)>0;当 所以f(x)在 , 上单调递增,在 上单调递减.
④当a<-3时,令f'(x)=0,得x= 或x=- ,
当0 时,f'(x)>0;当- 所以f(x)在 , 上单调递增,在 上单调递减.
综上所述,当a≥0时,f(x)在 上单调递增,在 上单调递减;
当-3当a=-3时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a<-3时,f(x)在 , 上单调递增,在 上单调递减.
导师点睛 对于含参函数的单调性问题,常常需要利用分类讨论思想对参数进行分类讨论,
讨论时一是要注意做到不重不漏,二是要注意结合函数的定义域研究其单调性,此外还需强
调的是,若一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,则这些单调区间不能用“∪”连
接,只能用“,”或“和”字隔开.
1.可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)上恒成立,且只在
有限个点处为0.
2.已知f(x)在区间(a,b)上的单调性,求参数的值(取值范围)的方法
(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,即令区间(a,b)是相应单调区
间的子集;
(2)利用不等式恒成立处理f(x)在(a,b)上单调递增(减)的问题,即令f'(x)≥0(f'(x)≤0)在(a,b)内恒
成立,将原问题转化为最值问题求解,注意验证等号能否取到.
疑难 3 已知函数的单调性求参数的值(取值范围)
讲解分析
已知关于x的函数f(x)=x3-ax+b.
(1)若函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)若函数f(x)的一个单调递增区间为(1,+∞),求实数a的值.
典例
思路点拨 (1)求f'(x) 由f'(x)≥0分离参数a 确定实数a的取值范围.
(2)思路一:令f'(1)=0 确定实数a的值;
思路二:对参数a进行分类讨论 得到实数a的值.
解析 由题意得,f'(x)=3x2-a.
(1)若函数f(x)=x3-ax+b在(1,+∞)上单调递增,则f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,
即a≤3x2在(1,+∞)上恒成立,
因为x>1,
所以3x2>3.
所以a≤3,
即a的取值范围是(-∞,3].
(2)解法一:由题意可知,f'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立,且f'(1)=3-a=0,
解得a=3,
经验证,a=3满足条件,
所以a=3.
解法二:若a≤0,则f'(x)≥0在R上恒成立,且仅在个别点处有f'(x)=0,
则f(x)=x3-ax+b在R上是增函数,与题意不符.
若a>0,则由f'(x)≥0,
得x≥ 或x≤- ,
因为(1,+∞)是函数的一个单调递增区间,
所以 =1,即a=3.
陷阱分析 理解题意时,要注意“(1)函数f(x)在(1,+∞)上单调递增”与“(2)函数f(x)的一个
单调递增区间为(1,+∞)”的区别,其中(2)中的区间(1,+∞)是函数f(x)的一个完整的递增区间,
而(1)中的区间(1,+∞)是函数f(x)的一个递增区间的子集.6.3　函数的最值
基础过关练
题组一　函数最值的概念及其求解
1.设f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且在(a,b)内可导,则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)的极值点一定是最值点
B. f(x)的最值点一定是极值点
C. f(x)在[a,b]上可能没有极值点
D. f(x)在[a,b]上可能没有最值点
2.函数f(x)=在[-3,3]上的最大值和最小值分别是(　　)
A.,-　　　　　B.,-　　　　
C.,-　　　　　D.,-
3.函数f(x)=x+cos x在上取得最大值时x的值为(　　)
A.0　　　　B.　　　　
C.　　　　D.
4.求函数f(x)=-x3-x2+3x-3在区间[-1,2]上的最大值和最小值.
题组二　含参函数的最值问题
5.若函数f(x)=x3-x2+a在[-1,1]上的最小值是1,则实数a的值是(　　)
A.1　　　　B.3　　　　C.　　　　D.-1
6.函数f(x)=x2+(a-1)x-3ln x在(1,2)内有最小值,则实数a的取值范围为(　　)
A.　　　　　B.　　　　
C.　　　　　D.
7.已知函数y=(x>1)有最大值-4,则实数a的值为(　　)
A.1　　　　B.-1　　　　C.4　　　　D.-4
8.若函数f(x)=x3-x2在区间(-2,1+a)上存在最大值,则实数a的取值范围是　　　　.
9.已知函数f(x)=ln x+(t∈R).
(1)求f(x)的极值;
(2)若t>0,求f(x)在[e,e2]上的最大值g(t).
题组三　利用函数的最值解决不等式问题
10.若存在x∈,使得不等式2xln x+x2-mx+3≥0成立,则实数m的最大值为(　　)
A.4　　　　　B.2+e+
C.e2-1　　　　　D.+3e-2
11.已知函数f(x)=ex+a,x∈(0,+∞),当x1A.(-∞,-1]　　　　　B.(-∞,-1)
C.[-1,+∞)　　　　　D.(-1,+∞)
12.若关于x的不等式ex>kx2在(0,+∞)上恒成立,则实数k的取值范围是　　　　　　.
13.设函数f(x)=ln x-x+1.
(1)求函数f(x)的极值;
(2)证明:ln x≤x-1.
14.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-与x=1处都取得极值.
(1)求a,b的值;
(2)若对任意x∈[-1,2],不等式f(x)15.已知函数f(x)=aex-ax-1(a≠0).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a=1时,证明:f(x)>2ln x-2x+2.
能力提升练
题组一　函数最值问题的求解与应用
1.已知函数f(x)=2ln x+ax2-3x在x=2处取得极小值,则f(x)在上的最大值为(　　)
A.-　　　　　B.2ln 3-
C.-1　　　　　D.2ln 2-4
2.设函数f(x)=2x2-2的图象在点(a, f(a))(0A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
3.(多选题)设函数f(x)=,则下列选项正确的是(　　)
A.f(x)为奇函数
B.f(x)的图象关于点(0,1)对称
C.f(x)的最大值为+1
D.f(x)的最小值为-+1
题组二　含参函数的最值问题
4.已知函数f(x)=mln x+的最小值为-m,则m=(　　)
A.　　　　B.　　　　
C.e　　　　D.e2
5.已知函数f(x)=若m≠n,且f(m)+f(n)=2,则m+n的最小值为(　　)
A.4-2ln 3　　　　　B.4-3ln 2
C.2-3ln 2　　　　　D.3-2ln 2
6.设m为实数,函数f(x)=ln x+mx.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当m=e时,直线y=ax+是曲线y=f(x)的切线,求a+b的最小值.
7.已知函数f(x)=(x-1)ex-ax2(a∈R).
(1)当0(2)求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
题组三　利用函数的最大(小)值解决不等式问题
8.已知函数f(x)=ln x,若对任意的x1,x2∈(0,+∞),都有[f(x1)-f(x2)](-)≥k(x1x2+)成立,则实数k的最大值是(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.2
9.已知f(x)为定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递减.若关于x的不等式f(2mx-ln x-3)≥2f(3)-
f(-2mx+ln x+3)在[1,4]上恒成立,则实数m的取值范围是(　　)
A.　　　　　
B.
C.　　　　　
D.
10.(多选题)定义在R上的函数f(x),若存在函数g(x)=ax+b(a,b为常数),使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立,则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数,下列命题中正确的是(　　)
A.函数g(x)=-2是函数f(x)=的一个承托函数
B.函数g(x)=x-1是函数f(x)=x+sin x的一个承托函数
C.若函数g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,则a的取值范围是[0,e]
D.值域是R的函数f(x)不存在承托函数
11.已知f(x)=xex++e2,g(x)=-x2-2x-1+a,若存在x1∈R,x2∈
(-1,+∞),使得f(x1)≤g(x2)成立,则实数a的取值范围是　　　　.
12.已知函数f(x)=,x∈R.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的方程;
(2)若对任意的x∈[0,π],f(x)≤3a-2a2恒成立,求实数a的取值范围.
13.已知函数f(x)=(x-a)ln x-x+a-3(a∈R).
(1)讨论函数f'(x)的单调性;
(2)当a=2时,λ≤f(x)恒成立,求λ的最大整数值.
答案与分层梯度式解析
1.C
2.D　由已知得f '(x)=,x∈[-3,3],
令f '(x)>0,得-1令f '(x)<0,得-3≤x<-1或1又f(-3)=-, f(-1)=-, f(1)=, f(3)=,
所以函数f(x)在[-3,3]上的最大值为,最小值为-.故选D.
3.B　f'(x)=1-sin x,
若x∈,则当f'(x)=0时,x=,
当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
所以当x=时,f(x)在上取得最大值.故选B.
4.解析　由f(x)=-x3-x2+3x-3,得f '(x)=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),
故当x∈(-1,1)时, f '(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,2)时, f '(x)<0,f(x)单调递减,
故f(x)在[-1,2]上的最大值为f(1)=--1+3-3=-,
又f(-1)=-1-3-3=-, f(2)=-×8-4+6-3=-,故f(x)在[-1,2]上的最小值为f(-1)=-.
5.B　易得f'(x)=3x2-2x,
令f'(x)=0,得x=0或x=,
当00,f(x)单调递增,
又f=a-,f(-1)=a-2,a-26.A　f '(x)=2x+(a-1)-=,
设g(x)=2x2+(a-1)x-3,因为Δ=(a-1)2+24>0,所以g(x)=0有两个不同的实根,
又g(0)=-3<0,g(x)的图象开口向上,因此g(x)=0的两根一正一负,
由题意得正根在(1,2)内,
所以解得-故a的取值范围是.故选A.
7.B　依题意得y'===(x>1,a≠0),令y'=0,解得x=2或x=0(舍去).因为原函数在区间(1,+∞)上有最大值-4,
所以最大值必然在x=2处取得,所以=-4,解得a=-1,此时y'=,当10,当x>2时,y'<0,可以验证当x=2时y取得最大值-4,故选B.
8.答案　(-1,2]
解析　f'(x)=x2-2x,
当x<0或x>2时,f'(x)>0,当0故f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减,
故f(x)在x=0处取得极大值,为f(0)=0,
若函数f(x)=x3-x2在区间(-2,1+a)上存在最大值,则f(x)在x=0处取得最大值,
令f(x)=x3-x2=0,则x=0或x=3,
故0<1+a≤3,∴-19.解析　(1)f'(x)=-=,x>0.
当t≤0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值;
当t>0时,令f'(x)=0,得x=t,若x∈(0,t),则f'(x)<0,f(x)单调递减,若x∈(t,+∞),则f'(x)>0,f(x)单调递增,故f(x)在x=t处取得极小值,为f(t)=ln t+1,无极大值.
综上所述,当t≤0时,f(x)无极值;当t>0时,f(x)有极小值ln t+1,无极大值.
(2)由(1)知,当t>0时,f(x)在(0,t)上单调递减,在(t,+∞)上单调递增.
所以当0当e若f(e)=f(e2),则1+=2+,即t=.
当e当≤t≤e2时,1+≥2+,即f(e)≥f(e2),故g(t)=f(e)=1+.
当t>e2时,g(t)=f(e)=1+.
综上,g(t)=
10.D　不等式2xln x+x2-mx+3≥0即m≤2ln x+x+,
令f(x)=2ln x+x+,x∈,则f'(x)=+1-=,
当0,故f(x)在上单调递减,在[1,e]上单调递增,又f=+3e-2,f(e)=2+e+,f-f(e)=2e-4->0,
所以f(x)max=f=+3e-2,则由题意可得m≤+3e-2,所以实数m的最大值为+3e-2.
11.C　函数f(x)的定义域为(0,+∞),当x1则当x1所以函数g(x)=xex+ax在区间(0,+∞)上为增函数,则g'(x)=ex+xex+a≥0对任意的x>0恒成立,所以a≥-ex(x+1)对任意的x>0恒成立,
令h(x)=-ex(x+1),
因为当x∈(0,+∞)时,h'(x)=-ex(x+2)<0,
所以函数h(x)在(0,+∞)上单调递减.
又h(0)=-e0×(0+1)=-1,所以a≥-1.
因此实数a的取值范围是[-1,+∞).故选C.
12.答案　
解析　∵x∈(0,+∞),∴不等式ex>kx2可化为k<,
设f(x)=(x>0),
则f'(x)==(x>0).
当0当x>2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
∴f(x)min=f(2)=.
若不等式k<在(0,+∞)上恒成立,则k<.
13.解析　(1)由题意得,函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=-1=,令f'(x)=0,得x=1.
当x变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:
x (0,1) 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
因此当x=1时,函数f(x)有极大值,且极大值为f(1)=0,函数f(x)无极小值.
(2)证明:由(1)可知函数f(x)在x=1处取得最大值,且最大值为0,
即f(x)=ln x-x+1≤0,所以ln x≤x-1.
14.解析　(1)由题意知f'(x)=3x2+2ax+b,
则解得
(2)由(1)知f(x)=x3-x2-2x+c,f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),
当x∈[-1,2]时,f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x - 1 (1,2]
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴当x=-时,f(x)取得极大值,为f=+c,又f(2)=2+c>+c,所以f(2)=2+c为f(x)在[-1,2]上的最大值,
要使f(x)2+c,解得c<-1或c>2,
∴实数c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).
15.解析　(1)f'(x)=aex-a=a(ex-1).
当a>0时,令f'(x)>0,得x>0,令f'(x)<0,得x<0,
所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
当a<0时,令f'(x)>0,得x<0,令f'(x)<0,得x>0,
所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.
(2)证明:当a=1时,f(x)=ex-x-1.
由(1)知,当x>0时,f(x)单调递增,
所以f(x)>f(0)=0.
设g(x)=2ln x-2x+2,则g'(x)=-2=(x>0),
令g'(x)>0,得01,
所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以g(x)≤g(1)=0,
从而f(x)>g(x)恒成立,即f(x)>2ln x-2x+2.
方法总结　证明不等式f(x)>g(x)成立的常见策略
　　(1)构造法:构造函数F(x)=f(x)-g(x),将证明原不等式成立转化为证明F(x)的最小值大于0.
　　(2)放缩法:要证明f(x)>g(x),可转化为证明f(x)min>g(x)max,本题便是采用这种方法,需指出的是,f(x)min>g(x)max只是f(x)>g(x)成立的充分条件,而非必要条件,故此法不能用来解决由不等式f(x)>g(x)恒成立求参的问题.
能力提升练
1.B　因为f(x)=2ln x+ax2-3x,
所以f'(x)=+2ax-3,
由题意可得f'(2)=4a-2=0,解得a=,
则f(x)=2ln x+x2-3x,
f'(x)=+x-3=,
令f'(x)=0,得x=1或x=2,列表如下:
x 1 (1,2) 2 (2,3]
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数f(x)的极大值为f(1)=-.
易得f(3)=2ln 3-,因为f(3)-f(1)=2ln 3-+=2ln 3-2=2×(ln 3-1)>0,所以f(1)所以f(x)在上的最大值为f(3)=2ln 3-.故选B.
2.C　由题设知f'(x)=4x,则f'(a)=4a,
又f(a)=2a2-2,
所以l的方程为y-2a2+2=4a(x-a),
当x=0时,y=-2a2-2,当y=0时,x=,
又0则S'=+1-=(0令S'<0,得00,得所以函数S=在上单调递减,在上单调递增,所以函数S=在a=处取得极小值,也是最小值,且Smin=.故选C.
3.BCD　f(x)==+1,x∈R,不满足f(-x)=-f(x),所以f(x)不为奇函数,所以A不正确;
令g(x)=,则g(-x)==-=-g(x),
又g(x)的定义域为R,关于原点对称,所以g(x)为奇函数,其图象关于点(0,0)对称,
则f(x)的图象关于点(0,1)对称,所以B正确;
设f(x)=+1的最大值为M,则g(x)的最大值为M-1,设f(x)=+1的最小值为N,则g(x)的最小值为N-1,
当x>0时,g(x)=,所以g'(x)=,当x∈(0,1)时,g'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,
所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以g(x)在x=1处取得最大值,最大值为g(1)=,
由于g(x)为R上的奇函数,g(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以g(x)在x=-1处取得最小值,最小值为g(-1)=-,所以f(x)的最大值M=+1,最小值N=-+1,所以C,D正确.故选BCD.
4.D　由f(x)=mln x+,得f'(x)=-=,x>0,
当m≤0时,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上为减函数,f(x)无最小值,不符合题意,
当m>0时,若0,则f'(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)在x=处取得极小值,也是最小值,故f=mln+m=-m,
解得m=e2.
5.D　由已知得f(x)在任意区间上均为增函数且连续,故f(x)在R上单调递增,且f(1)=1,
所以f(m)+f(n)=2时,可设m<1则f(m)+f(n)=(m+1)+1+ln n=2,
所以m=1-2ln n(n>1),所以m+n=1-2ln n+n.
令g(x)=x+1-2ln x(x>1),则g'(x)=1-=(x>1),令g'(x)<0,得10,得x>2,
故g(x)在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以g(x)的极小值也是最小值,且最小值为g(2)=3-2ln 2,故m+n的最小值是3-2ln 2.故选D.
6.解析　(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+m=,
当m≥0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
当m<0时,由f'(x)>0解得0-.
故当m≥0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;当m<0时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
当m=e时,f(x)=ln x+ex,f'(x)=+e,设切点的坐标为(x0,
ln x0+ex0),则切线的斜率k=f'(x0)=+e,切线的方程为y-
(ln x0+ex0)=(x-x0),即y=x+ln x0-1,
∴a=+e,b=2ln x0-2,∴a+b=+2ln x0+e-2,
令g(x)=+2ln x+e-2,则g'(x)=-+=(x>0),
令g'(x)<0,得00,得x>,
∴g(x)在上单调递减,在上单调递增,
∴g(x)min=g=e-2ln 2,即a+b的最小值为e-2ln 2.
7.解析　(1)证明:f'(x)=xex-ax=x(ex-a),
令f'(x)=0,则x=0或x=ln a,因为0x (-∞,ln a) ln a (ln a,0) 0 (0,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以函数f(x)的极大值为f(ln a)=a(ln a-1)-a(ln a)2=-a[(ln a-1)2+1]<0,
极小值为f(0)=-1<0,
故当x<0时,f(x)≤f(ln a)<0,
因为f(2)=e2-2a>0,所以由零点存在定理可知,函数f(x)在(0,2)上存在唯一零点,则函数f(x)在(0,+∞)上存在唯一零点.
综上所述,当0(2)由(1)知f'(x)=x(ex-a).
①当a≤e时,对任意的x∈[1,2],ex-a≥0,则f'(x)≥0且不恒为0,
故函数f(x)在[1,2]上单调递增,则f(x)min=f(1)=-a;
②当e0,得
ln a故函数f(x)在[1,ln a)上单调递减,在(ln a,2]上单调递增,
则当x∈[1,2]时,f(x)min=f(ln a)=a(ln a-1)-a(ln a)2=-a[(ln a-1)2+1];
③当a≥e2时,对任意的x∈[1,2],f'(x)=x(ex-a)≤0且不恒为0,
故函数f(x)在[1,2]上单调递减,则f(x)min=f(2)=e2-2a.
综上所述,f(x)min=
8.B　∵f(x)=ln x,∴f(x1)-f(x2)=ln x1-ln x2=ln .
∵[f(x1)-f(x2)](-)≥k(x1x2+)恒成立,且x1,x2∈(0,+∞),∴k≤ln -ln 恒成立,
令t=(t>0),g(t)=tln t-ln t,
则g'(t)=ln t+1-,
易知g'(t)在(0,+∞)上单调递增,且g'(1)=0,
∴当t∈(0,1)时,g'(t)<0,g(t)单调递减,
当t∈(1,+∞)时,g'(t)>0,g(t)单调递增,
∴g(t)min=g(1)=0,
∴k≤0.
故实数k的最大值是0.故选B.
9.C　∵函数f(x)为定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递减,
∴f(x)在(-∞,0]上单调递增.
不等式f(2mx-ln x-3)≥2f(3)-f(-2mx+ln x+3)在[1,4]上恒成立,
即f(2mx-ln x-3)≥f(3)在[1,4]上恒成立.
∴|2mx-ln x-3|≤3在[1,4]上恒成立,
即0≤2mx-ln x≤6在[1,4]上恒成立,
即≤2m≤在[1,4]上恒成立.
令g(x)=,x∈[1,4],则g'(x)=,
当x∈[1,e]时,g'(x)>0,当x∈[e,4]时,g'(x)<0,
∴g(x)在[1,e]上单调递增,在[e,4]上单调递减,
∴g(x)max=g(e)=.
令h(x)=,x∈[1,4],则h'(x)=,
当x∈[1,4]时,h'(x)<0,
∴h(x)在[1,4]上单调递减,
∴h(x)min=h(4)=.
∴≤2m≤,解得≤m≤+,
∴实数m的取值范围是.
故选C.
10.BC　对于A,∵当x>0时, f(x)=ln x∈(-∞,+∞),
∴f(x)≥g(x)=-2对一切实数x不都成立,故A错误.
对于B,令t(x)=f(x)-g(x),则t(x)=x+sin x-(x-1)=sin x+1≥0,故f(x)≥g(x)恒成立,
∴函数g(x)=x-1是函数f(x)=x+sin x的一个承托函数,故B正确.
对于C,令h(x)=ex-ax,则h'(x)=ex-a,
若a=0,则h(x)>0恒成立,不符合题意.
若a>0,则令h'(x)=0,得x=ln a,
∴函数h(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,
∴当x=ln a时,函数h(x)取得极小值,也是最小值,且最小值为a-aln a,
∵g(x)=ax是函数f(x)=ex的一个承托函数,
∴a-aln a≥0,∴ln a≤1,∴0若a<0,则当x→-∞时,h(x)→-∞,不符合题意.
综上,a的取值范围是[0,e],故C正确.
对于D,不妨令f(x)=2x,g(x)=2x-1,则f(x)-g(x)=1≥0恒成立,
故g(x)=2x-1是f(x)=2x的一个承托函数,故D错误.
故选BC.
11.答案　(e2,+∞)
解析　因为f(x)=xex++e2,
所以f'(x)=ex+xex=ex(x+1).
当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(-1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
所以f(x)≥f(-1)=e2.
g(x)=-(x+1)2+a,当x∈(-1,+∞)时,g(x)若存在x1∈R,x2∈(-1,+∞),使得f(x1)≤g(x2)成立,只需e2所以a的取值范围为(e2,+∞).
12.解析　(1)f'(x)==,
则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为f'(0)=-1,
又f(0)=1,所以切点为(0,1),所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-x+1,即x+y-1=0.
(2)当x∈[0,π]时,令f'(x)=0,得x=,列表如下:
x
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
又f(0)=1,f(π)=-,所以当x∈[0,π]时,f(x)的最大值为f(0)=1.
因为对任意的x∈[0,π],f(x)≤3a-2a2恒成立,所以f(x)max≤3a-2a2,故3a-2a2≥1,
解得≤a≤1,所以实数a的取值范围为.
13.解析　(1)易知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ln x+-1=ln x-.
令h(x)=ln x-,则h'(x)=+=(x>0).
当a≥0时,h'(x)>0恒成立,所以h(x)即f'(x)在(0,+∞)上单调递增.
当a<0时,若x∈(0,-a),则h'(x)<0,所以h(x)即f'(x)单调递减;
若x∈(-a,+∞),则h'(x)>0,所以h(x)即f'(x)单调递增.
(2)当a=2时,f(x)=(x-2)ln x-x-1,f'(x)=ln x-,
由(1)知,f'(x)在(0,+∞)上单调递增,
又f'(2)=ln 2-1<0,f'(3)=ln 3->0,
所以存在x0∈(2,3)使得f'(x0)=0,
即ln x0=.
当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
所以当x=x0时,f(x)取得极小值,也是最小值,为f(x0)=(x0-2)ln x0-x0-1=(x0-2)×-x0-1=1-,
因为x0∈(2,3),
所以+x0∈,
所以f(x0)∈.
由λ≤f(x)恒成立,得λ≤f(x0)恒成立,故λ≤-,故λ的最大整数值为-4.
方法总结　求解与导数有关的问题时,导函数的零点有时不明确,依据有关理论(如零点存在定理)或函数的图象,能够判断出零点确实存在,但是无法直接求出,不妨称之为隐零点.解决导函数的隐零点问题可遵循如下处理方法:
　　第一步:用零点存在定理判断导函数零点的存在性,列出零点方程f'(x0)=0,并结合f(x)的单调性得到零点的范围.
　　第二步:以零点为分界点,说明在各区间内导函数f'(x)的正负,进而得到f(x)的最值表达式.
　　第三步:将零点方程适当变形,整体代入最值表达式进行求解.这里应注意,进行代数式的替换过程中,尽可能将目标式变形为整式或分式,那么就需要尽可能将指、对数式用有理式替换,这是能否继续求解的关键.
19(共20张PPT)
1.极大值点与极大值
如图(1),在包含x0的一个区间(a,b)上,函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处
的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极大值点,其函数值f(x0)为函数的极大值.
6.2 函数的极值
§6 用导数研究函数的性质
知识点 1 函数极值的概念
知识 清单破
图(1)
图(2)
2.极小值点与极小值
如图(2),在包含x0的一个区间(a,b)上,函数y=f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处
的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极小值点,其函数值f(x0)为函数的极小值.
3.极值点与极值
函数的极大值点与极小值点统称为极值点,极大值与极小值统称为极值.极值是函数的一种
局部性质.
1.极大值与导数之间的关系
已知函数f(x)在(a,b)上可导.
知识点 2 函数的极值与导数的关系
x (a,x0) x0 (x0,b)
f'(x) + 0 -
y=f(x) ↗(单调递增) 极大值 ↘(单调递减)
2.极小值与导数之间的关系
已知函数f(x)在(a,b)上可导.
x (a,x0) x0 (x0,b)
f'(x) - 0 +
y=f(x) ↘ 极小值 ↗
1.必要条件:可导函数y=f(x)在x=x0处取得极值的必要条件是f'(x0)=0.
2.充分条件:可导函数y=f(x)在x=x0处取得极值的充分条件是f'(x)在x=x0两侧异号.
知识点 3 可导函数在某点处取得极值的必要条件与充分条件
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.若质点M的速度v与时间t之间的关系为v(t)=3t,则函数v(t)没有极值. (　 )
2.通过某导体的电量q(单位:C)与时间t(单位:s)的函数关系式为q=2t2+3t,则此函数无极大值. (　 )
3.若某火车一段时间内的速度v与时间t之间的关系是v(t)=-1.2t+0.2t2,则v(t)的极小值点为t=3. (　 )
4.函数的极大值一定大于极小值. (　 )
5.若函数f(x)在(a,b)内有极值,则f(x)在(a,b)内一定不单调. (　 )
知识辨析
√
√
√
√
因为v'(t)=3>0,所以函数v(t)=3t单调递增,故v(t)无极值.
提示
提示
提示
提示
提示
因为q'=4t+3,且t≥0,所以q'>0,q=2t2+3t单调递增,故该函数无极大值.
v'(t)=-1.2+0.4t,令v'(t)=0,得t=3,易知t=3是v(t)的极小值点.
极值是函数的一种局部性质,极大值不一定大于极小值.
根据极值的概念可知,极值点附近两侧的导数值异号,所以函数在极值点附近不单调.

1.利用导数求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)求定义域:确定函数f(x)的定义域;
(2)求导:求函数f(x)的导数f'(x);
(3)解方程:由f'(x)=0,求出全部的实根;
(4)列表:方程的根将整个定义域划分成若干个区间(如果根中含有参数,那么需根据参数的范
围分类划分区间),把随着x的变化, f'(x),f(x)的变化情况列举出来;
(5)得出结论:若f'(x)在x0附近的符号“左正右负”,则函数f(x)在x0处取得极大值;若f '(x)在x0附
近的符号“左负右正”,则函数f(x)在x0处取得极小值,其中f'(x0)=0.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 利用导数解决函数的极值问题
2.含参数的函数的极值问题
(1)求含参数的函数的极值,要根据f'(x)=0的不同类型对参数进行分类讨论.通常要考虑以下
几个方面:①方程f'(x)=0有无实数根;②方程f'(x)=0的实数根是否在定义域内;③方程f'(x)=0的
实数根(不止一个时)之间的大小.进而列表得到函数的极值.
(2)由极值求参数的值或取值范围,解题的切入点是极值存在的条件:极值点处的导数值为0,
极值点两侧附近的导数值异号.解题步骤如下:
①求函数的导数;
②由极值点的导数值为0,列出方程(组),求解参数.
注意:求出参数后,一定要验证是否满足题目中的条件.
(1)已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2(m,n∈R)在x=-1处取得极小值0,则m+n=　　　 ;
(2)若函数g(x)=x3+2ax2+ (a+1)x+3既有极大值又有极小值,则实数a的取值范围为
　　　　 　　 .
典例1
11
a>1或a<-
解析 (1)∵f(x)=x3+3mx2+nx+m2,
∴f'(x)=3x2+6mx+n,
依题意可得
即
解得 或
当m=1,n=3时,函数f(x)=x3+3x2+3x+1,
f'(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0,当且仅当x=-1时,等号成立,
则函数f(x)在R上单调递增,
所以函数f(x)无极值,故舍去.
经检验,m=2,n=9符合题意,所以m+n=11.
(2)由题意可得g'(x)=3x2+4ax+ (a+1),
若函数g(x)既有极大值又有极小值,
则关于x的一元二次方程3x2+4ax+ (a+1)=0有两个不相等的实数根,即Δ=(4a)2-4×3× (a+1)>
0,解得a>1或a<- .
故实数a的取值范围为a>1或a<- .
易错警示 解决利用极值求函数中的参数问题时,注意f'(x0)=0是x0为极值点的必要不充分条
件,(1)中由f'(-1)=0及f(-1)=0求出m,n的值后,要注意检验是否符合极值的存在条件.
已知函数f(x)=x-aln x(a≠0).
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值点和极值.
典例2
思路点拨 (1)求导数f'(x) 求切线的斜率f'(1) 求切线方程.
(2)求导数f'(x) 对a分类讨论 确定f'(x)的符号 结合f(x)的单调性求极值点和极值.
解析 (1)当a=1时,函数f(x)=x-ln x,
则f'(x)=1- = ,则f'(1)=0,
因为f(1)=1,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=1.
(2)由函数f(x)=x-aln x,x∈(0,+∞),
可得f'(x)=1- = .
①当a<0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值点与极值;
②当a>0时,令f'(x)=0,解得x=a,
随着x的变化,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (0,a) a (a,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值 ↗
所以函数f(x)在区间(0,a)上单调递减,在区间(a,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)的极小值点为x=a,极小值为f(a)=a-aln a,无极大值点与极大值.
综上,当a<0时,函数f(x)无极值点与极值;当a>0时,f(x)的极小值点为x=a,极小值为a-aln a,无极
大值点与极大值.
易错警示 求函数的极值时的注意事项:(1)要注意运用分类讨论思想和数形结合思想;(2)单
调函数没有极值;(3)导数值为零的点不一定是极值点.
　　一些比较复杂的函数的综合问题,常常涉及函数的图象与性质,例如函数的单调性、奇
偶性,函数的零点等.解决与极值有关的函数综合问题时,可通过分类讨论、数形结合等思想
方法,进行有效处理,但需要注意已知与未知的转化.解题的关键是掌握求单调区间和极值的
方法.
疑难 2 利用函数的极值解决函数的综合问题
讲解分析
已知x=1是函数f(x)= x3+(a+1)x2-(a2+a-3)x的极值点.
(1)求实数a的值;
(2)求方程f(x)=m(m∈R)的实数根的个数.
典例
思路点拨 (1)x=1是f(x)的极值点 f'(1)=0 解方程求得a的值 通过检验确定a的最
终取值.
(2)借助导数确定f(x)的单调性与极值,作出f(x)的草图 作出直线y=m 观察m的变化情
况,确定f(x)=m的实数根的个数.
解析 (1)f'(x)=x2+2(a+1)x-(a2+a-3),
因为x=1是函数f(x)= x3+(a+1)x2-(a2+a-3)x的极值点,
所以f'(1)=0,即1+2(a+1)-(a2+a-3)=0,
解得a=3或a=-2,
当a=3时, f'(x)=x2+8x-9=(x+9)(x-1),
令f'(x)>0,
则x>1或x<-9,
令f'(x)<0,则-9所以函数f(x)在(1,+∞),(-∞,-9)上单调递增,在(-9,1)上单调递减,
所以f(x)的极小值点为1,极大值点为-9,符合题意.
当a=-2时,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,且仅在x=1处取等号,
所以f(x)在R上单调递增,所以f(x)无极值点,不符合题意,舍去.
综上所述,a=3.
(2)由(1)可得f(x)= x3+4x2-9x,函数f(x)在(1,+∞),(-∞,-9)上单调递增,在(-9,1)上单调递减,
则f(x)极大值=f(-9)=162,f(x)极小值=f(1)=- .
易知当x→-∞时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→+∞,
作出函数f(x)的大致图象,如图所示,

由图可知,当m>162或m<- 时,方程f(x)=m有1个实数根,
当m=162或m=- 时,方程f(x)=m有2个不相等的实数根,
当- 解题模板 对于方程f(x)=m的根的个数问题,可转化为函数y=f(x)的图象与直线y=m的交点个
数问题.解题步骤如下:
(1)利用导数判断函数y=f(x)的单调性及极值等情况,综合各种信息画出函数y=f(x)的大致图
象.
(2)探究函数y=f(x)的图象与直线y=m的交点个数.
(3)根据交点个数写出方程实数根的情况或确定m的取值范围.

展开更多......

收起↑