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(共13张PPT)
　　导数是从实际生活和科学领域中抽象出来的数学概念,由于导数的本质是瞬时变化率,
所以实际生活中的瞬时变化率问题都可以用导数来解决.
(1)功与功率:在物理学中,通常称力在单位时间内做的功为功率,它是功W关于时间t的导数.
(2)瞬时速度:在物理学中,物体在某一时刻的速度称为瞬时速度,它是位移s关于时间t的导数;
速度关于时间的导数是加速度.
(3)降雨强度:在气象学中,通常把在单位时间内的降雨量称作降雨强度,它是降雨量关于时间
的导数.
§7 导数的应用
知识点 1 实际问题中导数的意义
知识 清单破
(4)边际成本:在经济学中,通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数称为边际成本.边
际成本f'(x0)指的是当产量为x0时,生产成本的增加速度,也就是当产量为x0时,每增加一个单位
的产量,需要增加f'(x0)个单位的成本.
(5)线密度:单位长度的物质质量称为线密度,它是质量关于长度的导数.
1.最优化问题
在实际问题中,经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题,
这些问题通称为最优化问题.导数是解决最优化问题的一个重要工具.
2.利用导数解决生活中的最优化问题的步骤
(1)分析实际问题中各个变量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中各个量
之间的函数关系y=f(x);
(2)求函数y=f(x)的导数f'(x),解方程f'(x)=0;
(3)比较函数在区间端点处的函数值和使f'(x)=0的点处的函数值的大小,最大(小)者为最大
(小)值.
知识点 2 利用导数解决生活中的最优化问题
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.物体的加速度都是正值. (　 )
2.一物体的位移s(米)与时间t(秒)的关系为s=-t2,则该物体在1秒末的瞬时速度为-2米/秒. ( )
3.从上午6时到9时,车辆通过某市某一路段的用时y(单位:分钟)与车辆进入该路段的时刻t之
间的关系可近似地用函数y=- t3- t2+36t- 表示,则在这段时间内,通过该路段用时最多的
时刻是7时. (　 )
知识辨析
√
提示
提示
汽车在刹车时,速度会越来越慢,其加速度为负值.
由y=- t3- t2+36t- 得y'=- t2- t+36,令y'=0,解得t=8或t=-12(舍去).当00;
当t>8时,y'<0,所以t=8为函数的极大值点,也是最大值点.故通过该路段用时最多的时刻是8时.


4.球的半径从1增加到2时,球的体积的平均膨胀率为9π. (　 )
5.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使水桶的体积是27π,且用料最省,则水桶的底面半径为2.
(　 )


提示
提示
球的体积的平均膨胀率为 = .
设该圆柱形水桶的表面积为S,底面半径为r(r>0),则水桶的高为 ,所以S=πr2+2πr×
=πr2+ (r>0),则S'=2πr- ,令S'=0,解得r=3.当03时,S'>0,所以r=3为函数的
极小值点,也是最小值点,故要使水桶的体积是27π,且用料最省,则水桶的底面半径为3.
解决生活中的最优化问题的注意事项
(1)当问题涉及多个变量时,应根据题意分析它们之间的关系,列出变量之间的关系式;
(2)在建立函数模型的同时,应根据实际问题确定函数的定义域;
(3)在实际问题中,由导数值为0得到定义域内的根通常只有一个,如果函数在该点处取得极大
值(极小值),那么不与端点处的函数值进行比较也可以判定该极大值(极小值)就是函数的最
大值(最小值);
(4)求实际问题的最大(小)值时,一定要从问题的实际意义出发,不符合实际意义的应舍去,例
如长度、宽度应大于0,销售价格一般要高于进价等.
疑难 利用导数解决生活中的最优化问题
讲解分析
疑难 情境破
已知某公司生产某种型号医疗器械的月固定成本为20万元,每生产1千件需另投入5.4
万元,设该公司一个月内生产该型号医疗器械x千件且能全部销售完,每千件的销售收入为
g(x)万元,且g(x)=
(1)请写出月利润y(万元)关于月产量x(千件)的函数解析式;
(2)月产量为多少千件时,该公司在这一型号医疗器械的生产、销售中所获月利润最大 并求
出最大月利润(精确到0.1万元).
典例1
解析 (1)当0当x>10时,y= x-20-5.4x=134- -5.4x,
∴y=
(2)①当0当x∈(0,8)时,y'>0,y=6.4x- x3-20单调递增;当x∈(8,10]时,y'<0,y=6.4x- x3-20单调递减.
∴当x=8时,ymax= ≈14.1.
②当x>10时,y=134-2 ≤134-2×2 =134-120=14,当且仅当x= 时取等号.
综合①②知,当x=8时,y取得最大值14.1.
故当月产量为8千件时,该公司在这一型号医疗器械的生产、销售中所获月利润最大,最大月
利润约为14.1万元.
为了缓解城市交通压力,某市市政府在市区一主要交通干道修建高架桥,两端的桥墩现
已建好,已知这两个桥墩相距m米,余下的工程需建两端桥墩之间的桥面和若干桥墩.经测算,
一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x米的相邻两个桥墩之间的桥面工程费用为(2+ )x
万元.假设桥墩等距离分布,桥面平直,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素.
(1)试写出余下工程的费用y(万元)关于x的函数关系式;
(2)当m=640时,需新建多少个桥墩才能使余下工程的费用最少 并求出最少费用.
典例2
信息提取 ①两端的桥墩相距m米;
②一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x米的相邻两个桥墩之间的桥面工程费用为(2+ )x
万元;
③桥面被桥墩分成 段,需新建桥墩 个.
数学建模 本题以生活中的最优化问题——费用最少为背景构建函数模型,并借助导数求函
数的最值,从而解决实际生活中的费用最少问题.
解析 (1)桥面被桥墩分成 段,
需新建桥墩 个,
则y=256 +(2+ )x·
=256· +m +2m-256(0(2)当m=640时,y=640× +1 024(0令y=f(x),则f'(x)=640×
=640× (0令f'(x)=0,解得x=64.
当0当640,f(x)单调递增,
∴f(x)在x=64处取得极小值,也是最小值,且f(64)=8 704,
∴需新建桥墩 -1=9(个).
∴需新建9个桥墩才能使余下工程的费用最少,最少费用为8 704万元.§7　导数的应用
7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题
基础过关练
题组一　实际问题中导数的意义
1.某汽车启动阶段的路程函数为s(t)=2t3-5t2(t表示时间),则t=2时,汽车的加速度是(　　)
A.14　　　　B.4　　　　C.10　　　　D.6
2.从时间t=0开始的t s内,通过某导体的电量(单位:C)可用Q(t)=2t2+3t表示,则第5 s时的电流强度为(　　)
A.27 C/s　　　　　B.20 C/s
C.25 C/s　　　　　D.23 C/s
3.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的位移s与时间t的关系是s=t3-t2+6t,那么速度为零的时刻是(　　)
A.1秒末　　　　　B.2秒末
C.3秒末　　　　　D.2秒末和3秒末
4.一个质量m=5 kg的物体做直线运动,设运动的距离s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=1+t2表示,并且物体的动能Ek=mv2(单位:J),则物体开始运动后第4 s末的动能是　(　　)
A.160 J　　　　B.165 J　　　　
C.170 J　　　　D.175 J
5.一物体做的功W与时间t的关系式为W=t2+10(功的单位:J,时间的单位:s),则该物体在t=3 s时的功率为　　　　J/s.
6.某工厂生产一种木材旋切机械,已知生产总利润c(单位:元)与产量x(单位:台)之间的关系式为c(x)=-2x2+7 000x+600.
(1)求产量为1 000台时的总利润与每台的平均利润;
(2)求产量由1 000台提高到1 500台时,总利润的平均改变量;
(3)求c'(1 000)与c'(1 500),并说明它们的实际意义.
题组二　实际问题中的最值问题
7.某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元,每年最大规模的种植量是10万斤,每种植1斤藕,成本增加1元.销售额y(单位:万元)与莲藕种植量x(单位:万斤)满足y=-x3+ax2+x(a为常数),若种植3万斤,利润是万元,则要使销售利润最大,每年需种植莲藕(　　)
A.7万斤　　　　B.8万斤　　　　C.9万斤　　　　D.10万斤
8.(多选题)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些 高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究,调查如下:某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的半径是r cm,瓶子的制造成本是0.8πr2分.已知每出售1 mL的饮料,制造商可获利0.2分(不考虑瓶子的成本的前提下),且制造商能制造的瓶子的最大半径为6 cm.则下面结论正确的有(注:1 mL=1 cm3;利润可为负数)(　　)
A.利润随着瓶子半径的增大而增大
B.半径为6 cm时,利润最大
C.半径为2 cm时,利润最小
D.半径为3 cm时,制造商不获利
9.若圆锥SO的母线长为3,则圆锥SO体积的最大值为　　　　.
10.某口罩生产企业每月生产N95口罩的数量x(单位:万件)与利润P(单位:万元)满足函数关系P(x)=
(1)当0(2)当月产量为多少万件时,企业的月利润最大 请为企业生产经营提一些合理建议.
11.某学校外的湿地公园有一形状为半圆形的荷花池,如图所示,为了提升荷花池的观赏性,现计划在池塘的中轴线OC上设计一个观景台D(点D与点O,C不重合),其中AD,BD,CD段建设架空木栈道,已知AB=100 m,设将建设的架空木栈道的总长为y m.
(1)设∠DAO=θ rad,求y关于θ的函数关系式,并写出θ的取值范围;
(2)试确定观景台的位置,使三段架空木栈道的总长度最短.
答案与分层梯度式解析
1.A　速度v(t)=s'(t)=6t2-10t,所以加速度a(t)=v'(t)=12t-10.当t=2时,a(t)=14,即t=2时,汽车的加速度为14.
2.D　因为Q(t)=2t2+3t,所以Q'(t)=(2t2)'+(3t)'=4t+3,所以Q'(5)=23(C/s).
3.D　∵s=t3-t2+6t,∴s'=t2-5t+6,易知t≥0,令s'=0,解得t=2或t=3.故选D.
4.A　s'(t)=2t,则物体开始运动后第4 s末的速度v=s'(4)=8(m/s),所以物体开始运动后第4 s末的动能Ek=mv2=×5×64=160(J).
5.答案　6
解析　∵W=t2+10,∴W'=2t,
∴该物体在t=3 s时的功率为2×3=6(J/s).
解析　(1)产量为1 000台时的总利润为c(1 000)=-2×
1 0002+7 000×1 000+600=5 000 600(元),
每台的平均利润为=5 000.6(元).
(2)当产量由1 000台提高到1 500台时,总利润的平均改变量为==2 000(元).
(3)∵c(x)=-2x2+7 000x+600,
∴c'(x)=-4x+7 000,
∴c'(1 000)=-4×1 000+7 000=3 000,
c'(1 500)=-4×1 500+7 000=1 000.
c'(1 000)=3 000表示当产量为1 000台时,利润增加的速度为
3 000元/台;
c'(1 500)=1 000表示当产量为1 500台时,利润增加的速度为
1 000元/台.
7.B　设销售利润为g(x)万元,则g(x)=-x3+ax2+x-(2+x)=-x3+ax2-2,0由已知得-×33+9a-2=,解得a=2,
故g(x)=-x3+2x2-2,0令g'(x)>0,得0故要使销售利润最大,每年需种植莲藕8万斤.
故选B.
8.BCD　设每瓶饮料的利润为f(r)分,则f(r)=0.2×r3-0.8πr2=,r∈(0,6],
则f'(r)=(r2-2r)=r(r-2),令f'(r)=0,得r=2或r=0(舍去).
所以当r∈(0,2)时, f'(r)<0, f(r)单调递减,即半径越大,利润越低,
当r∈(2,6)时, f'(r)>0, f(r)单调递增,即半径越大,利润越高,
所以当r=2时,函数f(r)取得最小值,
又f(0)=0, f(6)=,所以当r=6时,函数f(r)取得最大值,
因为f(3)==0,所以当r=3时,制造商不获利.故选BCD.
9.答案　2π
解析　设圆锥的底面半径为r,则圆锥的高h=,0体积V=πr2h=πr2=π.
令t=r2,则t∈(0,9),令f(t)=(9-t)t2,则f '(t)=-3t2+18t=-3t(t-6),
当t∈(0,6)时, f '(t)>0, f(t)单调递增,当t∈(6,9)时, f '(t)<0, f(t)单调递减,
所以当t=6,即r=,h==时, f(t)取得最大值,即V取得最大值,
此时Vmax=πr2h=×6×=2π.
10.解析　(1)当0当x=5时,P(x)取到最大值9,即企业的最大月利润为9万元.
(2)当x≥6时,P(x)=13-ln x-,P'(x)=-+=,
若6≤x0,P(x)单调递增;若x>e3,则P'(x)<0,P(x)单调递减,
所以当x=e3时,P(x)取到最大值,为P(e3)=9.
由(1)知当x=5时,P(x)也取到最大值9,
综上,当月产量为5万件或e3万件时,企业的月利润最大.
建议:当月产量为5万件或e3万件时,月利润最大,考虑到时间成本,建议月产量为5万件最合适.
11.解析　(1)由题可知∠DAO=θ,OC⊥AB,OA=OB=50,
所以DA=DB=,DO=50tan θ,所以DC=50-50tan θ,
所以y=DA+DB+DC=+50-50tan θ=50,0<θ<.
(2)y'=,令y'=0,得sin θ=,
又0<θ<,所以θ=,
当0<θ<时,y'<0,原函数单调递减,
当<θ<时,y'>0,原函数单调递增,
所以当θ=时,ymin=50(+1),此时DO=50tan θ=.
所以当观景台D位于OC上且距离点O m时,三段架空木栈道的总长度最短.
10

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