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第二章　导数及其应用
§1　平均变化率与瞬时变化率
1.1　平均变化率　1.2　瞬时变化率
基础过关练
题组一　平均变化率
1.已知函数f(x)=2x2-x+1,则f(x)从1到1+Δx的平均变化率为(　　)
A.2Δx+3　　　　　B.4Δx+3
C.2(Δx)2+3Δx　　　　　D.2(Δx)2-Δx+1
2.一个物体做直线运动,其位移s(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系为s(t)=6t2+mt,且这一物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s,则实数m的值为(　　)
A.2　　　　　B.1　　　　
C.-1　　　　　D.-2
3.(多选题)已知汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示,在时间段[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]内的平均速度分别为,,,则下列说法正确的是(　　)
A.<　　　　　
B.=
C.>　　　　　
D.<
4.设函数y=x3与函数y=x2在x=2处附近的平均变化率分别为m1,m2,则m1　　m2.(填“>”“<”或“=”)
5.函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为　　;在区间[0,2]上的平均变化率为　　　　.
题组二　瞬时变化率
6.一质点做直线运动,若它所经过的路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系为s(t)=4t2-2,则它在t=2 s时的瞬时速度为(　　)
A.16 m/s　　　　B.14 m/s　　　　
C.13 m/s　　　　D.12 m/s
7.一辆汽车按规律s=at2+1做直线运动,若汽车在t=2时的瞬时速度为12,则a=(　　)
A.　　　　B.　　　　C.2　　　　D.3
8.日常生活中的饮用水通常是经过净化的,随着水的纯净度的提高,所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为c(x)=(809.航天飞机升空后一段时间内,其高度与时间满足h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中高度h的单位为m,时间t的单位为s.
(1)h(0),h(1),h(2)分别表示什么
(2)求第2 s内的平均速度;
(3)求第2 s末的瞬时速度.
答案与分层梯度式解析
1.A　由f(x)=2x2-x+1可得f(1)=2, f(1+Δx)=2(1+Δx)2-(1+Δx)+1=2(Δx)2+3Δx+2.
所以f(x)从1到1+Δx的平均变化率为==2Δx+3.
故选A.
2.A　Δs=s(2)-s(1)=6×22+2m-(6×12+m)=18+m,Δt=2-1=1,
因为该物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s,
所以=18+m=20,解得m=2.
方法总结　要求物体在一段时间里的平均速度,就要知道物体在这段时间里走过的路程,用路程除以时间即得平均速度.
3.AD　设直线OA,AB,BC的斜率分别为kOA,kAB,kBC,由题意得=kOA,=kAB,=kBC,由题图可得kOA4.答案　>
解析　由题意得m1==(Δx)2+6Δx+12,m2==Δx+4,∴m1-m2=(Δx)2+5Δx+8=+>0,∴m1>m2.
5.答案　;
解析　由题中函数f(x)的图象可得f(x)=所以函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为==;在区间[0,2]上的平均变化率为==.
6.A　已知s(t)=4t2-2,则====4Δt+16,
当Δt趋于0时,4Δt+16趋于16,
所以它在t=2 s时的瞬时速度为16 m/s.
故选A.
7.D　由已知可得==2at+aΔt,当Δt趋于0时,2at+aΔt趋于2at,因为汽车在t=2时的瞬时速度为12,所以2a×2=12,解得a=3.故选D.
8.答案　25
解析　当x=99时,所需费用的瞬时变化率为==,
当Δx趋于0时,趋于5 284,即此时的瞬时变化率为5 284.当x=95时,所需费用的瞬时变化率为==,
当Δx趋于0时,趋于,即此时的瞬时变化率为.
5 284÷=25,所以净化到纯净度为99%时所需费用的瞬时变化率是净化到纯净度为95%时所需费用的瞬时变化率的25倍.
9.解析　(1)h(0)表示航天飞机发射前的高度;
h(1)表示航天飞机升空后第1 s时的高度;
h(2)表示航天飞机升空后第2 s时的高度.
(2)航天飞机升空后第2 s内的平均速度为=
=170(m/s).
(3)Δh=h(2+Δt)-h(2)=5(2+Δt)3+30(2+Δt)2+45(2+Δt)+4-(5×23+30×22+45×2+4)=5(Δt)3+60(Δt)2+225Δt,所以=5(Δt)2+60Δt+225,当Δt趋于0时,5(Δt)2+60Δt+225趋于225,因此第2 s末的瞬时速度为225 m/s.
易错警示　解题时要注意t秒末与t秒初的区别,求t秒末的瞬时速度就是求t秒时的瞬时速度,而求t秒初的瞬时速度则是求(t-1)秒时的瞬时速度.
7(共9张PPT)
1.概念:对一般的函数y=f(x)来说,当自变量x从x1变为x2时,函数值从f(x1)变为f(x2),它在区间[x1,x
2]上的平均变化率= .通常我们把自变量的变化x2-x1称作自变量x的改变量,记作Δx,
函数值的变化f(x2)-f(x1)称作函数值y的改变量,记作Δy.这样,函数的平均变化率就可以表示为
函数值的改变量与自变量的改变量之比,即 = .
2.作用:用平均变化率来刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
§1 平均变化率与瞬时变化率
知识点 1 平均变化率
知识 清单破
1.概念:对于一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中,若设Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),则该
函数的平均变化率为 = = .如果当Δx趋于0时,平均变化率趋于
某个值,那么这个值就是f(x)在点x0处的瞬时变化率.
2.作用:瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢.
知识点 2 瞬时变化率
1.平均速度:设物体运动的位移s与时间t的关系是s=s(t),则从t0到t1这段时间内,物体运动的平
均速度 = .
2.瞬时速度:设物体运动的位移s与时间t的关系是s=s(t),当Δt趋于0时,函数s(t)在t0到t0+Δt之间
的平均变化率 = 趋于一个常数,我们把这个常数称为物体在t0时刻的瞬时速度.
知识点 3 平均速度与瞬时速度
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.已知某质点的运动规律为s(t)=5t2,则在t=1到t=3这段时间内,该质点的平均速度为20. ( )
2.如果质点A的运动方程为s=3t2,则它在t=1时的瞬时速度为6. (　 )
3.Δx趋于0表示Δx的值最后变为0. (　 )
4.函数的平均变化率为零说明函数值没有发生变化. (　 )
5.函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率与Δx的正负无关. (　 )
6.运动物体在某一时刻的瞬时加速度为0,说明该时刻物体停止运动. (　 )
知识辨析
√
√
√



提示
提示
= =6+3Δt.当Δt趋于0时,平均变化率趋于6,故质点A在t=1时的瞬时速
度为6.
在瞬时变化率的定义中,若Δx改变符号,则Δy也相应改变符号,故y=f(x)在x=x0处的瞬时
变化率与Δx的正负无关.
1.求函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率的三个步骤
(1)求自变量的改变量x2-x1;
(2)求函数值的改变量f(x2)-f(x1);
(3)求平均变化率 .
2. f(x)在点x0附近的平均变化率可用 求得.
讲解分析
疑难 情境破
疑难 1 求函数的平均变化率
在高台跳水运动中,运动员的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单
位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
(1)求运动员在第一个0.5 s内的平均速度;
(2)求运动员在1≤t≤2这段时间内的平均速度.
典例
解析 (1)运动员在第一个0.5 s内高度h的平均变化率为 =4.05,
故运动员在第一个0.5 s内的平均速度为4.05 m/s.
(2)在1≤t≤2这段时间内,高度h的平均变化率为 =-8.2.
故运动员在1≤t≤2这段时间内的平均速度为-8.2 m/s.
规律总结 结合物理知识可知,在第一个0.5 s内,高度h的平均变化率为正值,表示此时运动员
处于上升状态;在1≤t≤2这段时间内,高度h的平均变化率为负值,表示此时运动员处于下降
状态.事实上平均变化率的值可正,可负,也可以是0.
1.求函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率的步骤
(1)求函数y=f(x)在点x0附近的平均变化率 = .
(2)当Δx趋于0时,得出 所趋于的某一常数A,常数A即为函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率.
2.Δx趋于0是指自变量的改变量Δx无限接近于0,但始终不为0.
疑难 2 求函数的瞬时变化率
讲解分析
一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系为s(t)=t2+2t,设其在t∈[2,3]内的平均速度为v
1,在t=3时的瞬时速度为v2,则 = (　 )
A. 　 B. 　
C. 　 D.
典例
B
解析 由题意得v1= = =7,
= =8+Δt,
当Δt趋于0时,8+Δt趋于8,
即v2=8,
所以 = .

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