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考 前 必 背
一、等差数列
1.概念:对于一个数列,如果从第2项起,每一项与它的前一项的差都是同一个常数,那么称这样的数列为等差数列.
2.通项公式:等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d.
3.等差中项:如果在a与b之间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项.
4.前n项和公式:Sn==na1+d(n∈N+).
5.性质:(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N+).
(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则有am+an=ap+aq.
(3)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
(4)数列{an}是等差数列 Sn=An2+Bn(A,B为常数).
(5)在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值.
二、等比数列
　　1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比值都是同一个常数,那么称这样的数列为等比数列.
2.通项公式:等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则其通项公式为an=a1qn-1(a1≠0,q≠0).
3.等比中项:如果在a与b之间插入一个数G,使得a,G,b成等比数列,那么根据等比数列的定义,=,G2=ab,G=±.我们称G为a,b的等比中项.
4.前n项和公式:Sn=
5.性质:(1)通项公式的推广:an=amqn-m(n,m∈N+).
(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则有akal=aman.
(3)当q≠-1(或q=-1且n为奇数)时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为qn.
三、求函数的导数
1.导数公式表
函数 导数
y=c(c是常数) y'=0
y=xα(α是实数) y'=αxα-1
y=ax(a>0,a≠1) y'=axln a, 特别地,(ex)'=ex
y=logax(a>0,a≠1) y'=, 特别地,(ln x)'=
y=sin x y'=cos x
y=cos x y'=-sin x
y=tan x y'=
　　2.导数的四则运算法则
已知两个函数f(x),g(x)的导数分别为f'(x),g'(x).若f'(x),g'(x)存在,则有:
(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);
(2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);
(3)'=,g(x)≠0.
特别地,[kf(x)]'=kf'(x),k∈R.
3.简单复合函数的导数
复合函数y=f(φ(x))对x的导数为y'x=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x),其中u=φ(x).
四、导数在研究函数中的应用
　　1.函数的单调性与导数
导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系:
(1)若在某个区间上,函数y=f(x)的导数f'(x)>0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递增;
(2)若在某个区间上,函数y=f(x)的导数f'(x)<0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递减.
2.函数的极值与导数
条件 f'(x0)=0
x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0 x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0
图象
极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值
极值点 x0为极大值点 x0为极小值点
3.函数的最值与导数
(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值, f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值, f(b)为函数的最小值.
(3)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:
①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
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