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浙江省杭州市拱墅区华东师范大学附属杭州学校2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试卷
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小3分，共30分）
1．（2024八上·拱墅月考）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八上·拱墅月考）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆或三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，2，4 D．1，2，4
3．（2024八上·拱墅月考）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则等于（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八上·拱墅月考）图中能表示的边上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024八上·拱墅月考）通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024八上·拱墅月考）能说明命题“若x2≥9，则x≥3”为假命题的一个反例可以是（　　）
A．x＝4 B．x＝2 C．x＝﹣4 D．x＝﹣2
7．（2024八上·拱墅月考）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
8．（2024八上·拱墅月考）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（　　）
A．13 B．14 C．18 D．21
9．（2024八上·拱墅月考）如图，中，，，，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024八上·拱墅月考）如图，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（　　）．
A． B． C． D．
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2024八上·拱墅月考）请将命题“对顶角相等”改写为“如果……，那么……”的形式：　 　．
12．（2024八上·拱墅月考）已知在中，，，则是　 　（“锐角或直角或钝角”）三角形．
13．（2024八上·拱墅月考）已知：如图，，只需补充条件　 　，就可以根据“”得到．
14．（2024八上·拱墅月考）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积为　 　
15．（2024八上·拱墅月考）如图，在中，点、、分别为、、的中点．若，则　 　．
16．（2024八上·拱墅月考）如图，正方形的四个顶点分别在四条互相平的直线，，，上，这四条直线中，相邻两条之间的距离依次为，，．若，，则正方形的面积等于　 　．
三、全面答一答（本题有8个小题）
17．（2024八上·拱墅月考）作图题
（1）尺规作图画的角平分线．
（2）尺规作图画出边的中垂线．
18．（2024八上·拱墅月考）在ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
19．（2024八上·拱墅月考）如图，已知，，则，请说明理由．（填空）
解：在和中，
∴（_________），
∴（_________）．
20．（2024八上·拱墅月考）如图，，点在边上，，求的度数．
21．（2024八上·拱墅月考）已知：如图，点C是线段AE的中点，AB=CD，BC=DE．
求证：AB∥CD．
22．（2024八上·拱墅月考）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB // DE，AB = DE，∠A = ∠D．
（1）求证：；
（2）若BF = 11，EC = 5，求BE的长．
23．（2024八上·拱墅月考）如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
24．（2024八上·拱墅月考）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；
（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．
（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则 ．（直接写出结果）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念可知：
A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故答案为：B．
【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。根据轴对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，不能摆成三角形，故本选项不符合题意；
B、，能摆成三角形，故本选项符合题意；
C、，不能摆成三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能摆成三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据三角形三边关系定理：“三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边”，判断即可.
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：根据图形可知，两个全等三角形中，，的夹角为对应角
又
故选：D．
【分析】如图，根据全等三角形对应角相等可得，再通过三角形的内角和求得，即可求解.
4．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：在中，画出边上的高，即是过点作边的垂线段，正确的是D．
故选D．
【分析】
从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。所以，BC边上的高即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可．
5．【答案】A
【知识点】尺规作图-垂直平分线
6．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：当x＝﹣4时，满足x2≥9，但不能得到x≥3，
说明命题“若x2≥9，则x≥3”是假命题的一个反例可以是x＝﹣4.
故答案为：C.
【分析】命题：若x2≥9，则x≥3为假命题时，应满足x2≥9，但x<3，据此进行解答.
7．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A、已知AB=DE，加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB=DE，加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB=DE，加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
D、已知AB=DE，加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意．
故选C．
【分析】
全等三角形的判定方法有SSS，SAS，ASA，AAS.条件已经给出一组边相等，再给出的两个条件只要和已知一组边的条件能构成判定方法中的一个即可.
8．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴，
AC＝8，BC＝5，
△BCE的周长为，
故选A
【分析】由垂直平分线的性质得到，然后进行等边转换即可求解．
9．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，，∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故选：A ．
【分析】根据题意先证，再用平角为180度，得，由此即可求解．
10．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接、，
在正方形ABCD中，、关于对称．
∴．
∴，当、、三点共线得最小．
∴，
是等边三角形，
.
故选：C.
【分析】根据正方的性质得到，如图，由“两点之间，线段最短”即可解题 .
11．【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【分析】根据命题的定义及书写要求求解即可。
12．【答案】锐角
【知识点】三角形内角和定理；三角形的分类
【解析】【解答】解：，，
，
即最大角的度数，
是锐角三角形，
故答案为：锐角．
【分析】根据三角形内角和定理求出所有内角即可解题.
13．【答案】
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：补充条件．
理由：在和中，
，
，
故答案为：．
【分析】根据条件确定使用SAS证明全等，找到补充条件．
14．【答案】2
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图得平分，∵，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
∴的面积；
故答案为：2．
【分析】根据基本作图步骤确定平分，利用角平分线的性质得到G点到的距离为，代入面积公式即可.
15．【答案】4
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，连接，
点、分别为、的中点，
，
，
，
，
是的中点，
，
．
，
．
故答案为：4．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，用表示出△、△、△，△的面积，然后表示出△的面积，再表示出△的面积，即可求解．
16．【答案】52
【知识点】平行线之间的距离；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作分别交、于点、，过点作分别交、于点、，
四边形是正方形，，
，，
，
，
，
同理可得，，
，
，
在和中，
，
，
，
即，
四边形是正方形，
，
，，
，且两直角边长分别为、，
四边形是边长为的正方形，
正方形的面积，
，，
．
故答案为：52．
【分析】过点作分别交、于点、，过点作分别交、于点、，证，再证，得到，将，代入，即可解决问题.
17．【答案】（1）解：以C为圆心，以小于AC长为半径画弧，交，于点，，再以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于一点，连接C与交点，如图所示，即为所求；
（2）解：以大于为半径，为圆心，分别画弧，两弧的交点为，连接，如图所示，即为所求．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）以C为圆心，以任意长为半径画弧，交，于点，，再以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，即为所求；
（2）以大于为半径，为圆心，分别画弧，两弧的交点为，即为所求．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求．
18．【答案】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；
∵∠A＝20°，∠B＝60°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝100°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝50°，
∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝20°+50°＝70°，∠ECD＝90°﹣70°＝20°，
∴∠BCD＝30°，∠ECD＝20°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】由∠B＝60°，CD⊥AB，即可求得∠BCD的度数；又由∠A＝20°，∠B＝60°，求得∠ACB＝100°，由CE是∠ACB的平分线，可求得∠ACE＝50°，然后根据三角形外角的性质，求得∠CEB的度数．
19．【答案】解：在和中，
，
∴
∴（全等三角形的对应边相等）．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；翻折全等-公共角模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】先证，再用全等三角形对应边相等性质即可求解．
20．【答案】解：，
，，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】由，得到和等腰三角形CEB，在等腰三角形CEB中，由求出，得到，最后根据平角的性质即可得答案.
21．【答案】证明：∵点C是线段AE的中点，
∴AC=CE，
在△ABC和△CDE中，，
∴△ABC≌△CDE（SSS）．
∴∠BAC=∠DCE.
∴AB∥CD．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】根据SSS定理判定△ABC≌△CDE，得到∠BAC=∠DCE，再根据同位角相等，两直线平行即可得证．
22．【答案】（1）证明：∵AB∥DE
∴∠ABC＝∠DEF
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）
（2）解：∵△ABC≌△DEF
∴BC＝EF
∴BC－EC＝EF－EC
即BE＝CF
∵BF＝11，EC＝5
∴BF－EC＝6
∴BE＋CF＝6
∴BE＝3
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据“ASA”证明△ABC≌△DEF即可；
（2）由（1）可得BC＝EF，求出BE＝CF，即可求出．
23．【答案】（1）证明：∵
∴
在和中
∴
（2）解：由三角形外角的性质可得：，由（1）可得
∴，
∵点，，在同一直线上
∴
∵，
∴
∴

【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据条件先求出，再根据即可求证；
（2）由三角形外角的性质可得，由（1）全等可得，列式计算即可.
（1）证明：∵
∴
在和中
∴
（2）解：由三角形外角的性质可得：，
由（1）可得
∴，
∵点，，在同一直线上
∴
∵，
∴
∴
24．【答案】解：（1）证明：因为FD⊥AC，所以∠FDA=90°，所以∠DFA+∠DAF=90°，
同理，∠CAE+∠DAF=90°，所以∠DFA=∠CAE，
在△AFD和△EAC中，，所以△AFD≌△EAC（AAS），所以DF=AC，
因为AC=BC，
所以FD=BC；
（2）作FD⊥AC于D，
由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，
在△FDG和△BCG中，
，
所以△FDG≌△BCG（AAS），
所以DG=CG=1，
所以AD=2，
所以CE=2，
因为BC=AC=AG+CG=4，
所以E点为BC中点；
（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，
BC=AC=4，CE=CB+BE=7，
由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，
所以CG=GD，AD=CE=7，
所以CG=DG=1.5，
所以AG=CG+AC=5.5，
所以，
同理，当点E在线段BC上时，AG= AC -CG+=2.5，
所以，
故答案为：或．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）用AAS证明△AFD≌△EAC，根据全等三角形的性质（如果两个三角形全等，那么它们的对应边长度相等）得到DF=AC，等量代换证明结论；（2）作FD⊥AC于D，用AAS证明△FDG≌△BCG，进而得到DG=CG，求出CE，CB的长即可得到；
（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可．
1 / 1浙江省杭州市拱墅区华东师范大学附属杭州学校2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试卷
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小3分，共30分）
1．（2024八上·拱墅月考）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的概念可知：
A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故答案为：B．
【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。根据轴对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
2．（2024八上·拱墅月考）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆或三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，2，4 D．1，2，4
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，不能摆成三角形，故本选项不符合题意；
B、，能摆成三角形，故本选项符合题意；
C、，不能摆成三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能摆成三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据三角形三边关系定理：“三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边”，判断即可.
3．（2024八上·拱墅月考）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：根据图形可知，两个全等三角形中，，的夹角为对应角
又
故选：D．
【分析】如图，根据全等三角形对应角相等可得，再通过三角形的内角和求得，即可求解.
4．（2024八上·拱墅月考）图中能表示的边上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：在中，画出边上的高，即是过点作边的垂线段，正确的是D．
故选D．
【分析】
从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。所以，BC边上的高即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可．
5．（2024八上·拱墅月考）通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】尺规作图-垂直平分线
6．（2024八上·拱墅月考）能说明命题“若x2≥9，则x≥3”为假命题的一个反例可以是（　　）
A．x＝4 B．x＝2 C．x＝﹣4 D．x＝﹣2
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：当x＝﹣4时，满足x2≥9，但不能得到x≥3，
说明命题“若x2≥9，则x≥3”是假命题的一个反例可以是x＝﹣4.
故答案为：C.
【分析】命题：若x2≥9，则x≥3为假命题时，应满足x2≥9，但x<3，据此进行解答.
7．（2024八上·拱墅月考）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC
C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A、已知AB=DE，加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB=DE，加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB=DE，加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
D、已知AB=DE，加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意．
故选C．
【分析】
全等三角形的判定方法有SSS，SAS，ASA，AAS.条件已经给出一组边相等，再给出的两个条件只要和已知一组边的条件能构成判定方法中的一个即可.
8．（2024八上·拱墅月考）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为（　　）
A．13 B．14 C．18 D．21
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴，
AC＝8，BC＝5，
△BCE的周长为，
故选A
【分析】由垂直平分线的性质得到，然后进行等边转换即可求解．
9．（2024八上·拱墅月考）如图，中，，，，，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵，，，∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故选：A ．
【分析】根据题意先证，再用平角为180度，得，由此即可求解．
10．（2024八上·拱墅月考）如图，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接、，
在正方形ABCD中，、关于对称．
∴．
∴，当、、三点共线得最小．
∴，
是等边三角形，
.
故选：C.
【分析】根据正方的性质得到，如图，由“两点之间，线段最短”即可解题 .
二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2024八上·拱墅月考）请将命题“对顶角相等”改写为“如果……，那么……”的形式：　 　．
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【知识点】定义、命题、定理、推论的概念
【解析】【解答】解：题设为：两个角是对顶角，结论为：这两个角相等，
故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等，
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【分析】根据命题的定义及书写要求求解即可。
12．（2024八上·拱墅月考）已知在中，，，则是　 　（“锐角或直角或钝角”）三角形．
【答案】锐角
【知识点】三角形内角和定理；三角形的分类
【解析】【解答】解：，，
，
即最大角的度数，
是锐角三角形，
故答案为：锐角．
【分析】根据三角形内角和定理求出所有内角即可解题.
13．（2024八上·拱墅月考）已知：如图，，只需补充条件　 　，就可以根据“”得到．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：补充条件．
理由：在和中，
，
，
故答案为：．
【分析】根据条件确定使用SAS证明全等，找到补充条件．
14．（2024八上·拱墅月考）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积为　 　
【答案】2
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图得平分，∵，
点到的距离等于的长，即点到的距离为，
∴的面积；
故答案为：2．
【分析】根据基本作图步骤确定平分，利用角平分线的性质得到G点到的距离为，代入面积公式即可.
15．（2024八上·拱墅月考）如图，在中，点、、分别为、、的中点．若，则　 　．
【答案】4
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，连接，
点、分别为、的中点，
，
，
，
，
是的中点，
，
．
，
．
故答案为：4．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，用表示出△、△、△，△的面积，然后表示出△的面积，再表示出△的面积，即可求解．
16．（2024八上·拱墅月考）如图，正方形的四个顶点分别在四条互相平的直线，，，上，这四条直线中，相邻两条之间的距离依次为，，．若，，则正方形的面积等于　 　．
【答案】52
【知识点】平行线之间的距离；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作分别交、于点、，过点作分别交、于点、，
四边形是正方形，，
，，
，
，
，
同理可得，，
，
，
在和中，
，
，
，
即，
四边形是正方形，
，
，，
，且两直角边长分别为、，
四边形是边长为的正方形，
正方形的面积，
，，
．
故答案为：52．
【分析】过点作分别交、于点、，过点作分别交、于点、，证，再证，得到，将，代入，即可解决问题.
三、全面答一答（本题有8个小题）
17．（2024八上·拱墅月考）作图题
（1）尺规作图画的角平分线．
（2）尺规作图画出边的中垂线．
【答案】（1）解：以C为圆心，以小于AC长为半径画弧，交，于点，，再以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于一点，连接C与交点，如图所示，即为所求；
（2）解：以大于为半径，为圆心，分别画弧，两弧的交点为，连接，如图所示，即为所求．
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）以C为圆心，以任意长为半径画弧，交，于点，，再以，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，即为所求；
（2）以大于为半径，为圆心，分别画弧，两弧的交点为，即为所求．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求．
18．（2024八上·拱墅月考）在ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A＝20°，∠B＝60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
【答案】解：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°；
∵∠A＝20°，∠B＝60°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝100°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝50°，
∴∠CEB＝∠A+∠ACE＝20°+50°＝70°，∠ECD＝90°﹣70°＝20°，
∴∠BCD＝30°，∠ECD＝20°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】由∠B＝60°，CD⊥AB，即可求得∠BCD的度数；又由∠A＝20°，∠B＝60°，求得∠ACB＝100°，由CE是∠ACB的平分线，可求得∠ACE＝50°，然后根据三角形外角的性质，求得∠CEB的度数．
19．（2024八上·拱墅月考）如图，已知，，则，请说明理由．（填空）
解：在和中，
∴（_________），
∴（_________）．
【答案】解：在和中，
，
∴
∴（全等三角形的对应边相等）．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；翻折全等-公共角模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】先证，再用全等三角形对应边相等性质即可求解．
20．（2024八上·拱墅月考）如图，，点在边上，，求的度数．
【答案】解：，
，，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】由，得到和等腰三角形CEB，在等腰三角形CEB中，由求出，得到，最后根据平角的性质即可得答案.
21．（2024八上·拱墅月考）已知：如图，点C是线段AE的中点，AB=CD，BC=DE．
求证：AB∥CD．
【答案】证明：∵点C是线段AE的中点，
∴AC=CE，
在△ABC和△CDE中，，
∴△ABC≌△CDE（SSS）．
∴∠BAC=∠DCE.
∴AB∥CD．
【知识点】三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系；同位角相等，两直线平行
【解析】【分析】根据SSS定理判定△ABC≌△CDE，得到∠BAC=∠DCE，再根据同位角相等，两直线平行即可得证．
22．（2024八上·拱墅月考）如图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一条直线上，AB // DE，AB = DE，∠A = ∠D．
（1）求证：；
（2）若BF = 11，EC = 5，求BE的长．
【答案】（1）证明：∵AB∥DE
∴∠ABC＝∠DEF
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）
（2）解：∵△ABC≌△DEF
∴BC＝EF
∴BC－EC＝EF－EC
即BE＝CF
∵BF＝11，EC＝5
∴BF－EC＝6
∴BE＋CF＝6
∴BE＝3
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据“ASA”证明△ABC≌△DEF即可；
（2）由（1）可得BC＝EF，求出BE＝CF，即可求出．
23．（2024八上·拱墅月考）如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵
∴
在和中
∴
（2）解：由三角形外角的性质可得：，由（1）可得
∴，
∵点，，在同一直线上
∴
∵，
∴
∴

【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据条件先求出，再根据即可求证；
（2）由三角形外角的性质可得，由（1）全等可得，列式计算即可.
（1）证明：∵
∴
在和中
∴
（2）解：由三角形外角的性质可得：，
由（1）可得
∴，
∵点，，在同一直线上
∴
∵，
∴
∴
24．（2024八上·拱墅月考）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE．
（1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC；
（2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点．
（3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则 ．（直接写出结果）
【答案】解：（1）证明：因为FD⊥AC，所以∠FDA=90°，所以∠DFA+∠DAF=90°，
同理，∠CAE+∠DAF=90°，所以∠DFA=∠CAE，
在△AFD和△EAC中，，所以△AFD≌△EAC（AAS），所以DF=AC，
因为AC=BC，
所以FD=BC；
（2）作FD⊥AC于D，
由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE，
在△FDG和△BCG中，
，
所以△FDG≌△BCG（AAS），
所以DG=CG=1，
所以AD=2，
所以CE=2，
因为BC=AC=AG+CG=4，
所以E点为BC中点；
（3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D，
BC=AC=4，CE=CB+BE=7，
由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB，
所以CG=GD，AD=CE=7，
所以CG=DG=1.5，
所以AG=CG+AC=5.5，
所以，
同理，当点E在线段BC上时，AG= AC -CG+=2.5，
所以，
故答案为：或．
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【分析】（1）用AAS证明△AFD≌△EAC，根据全等三角形的性质（如果两个三角形全等，那么它们的对应边长度相等）得到DF=AC，等量代换证明结论；（2）作FD⊥AC于D，用AAS证明△FDG≌△BCG，进而得到DG=CG，求出CE，CB的长即可得到；
（3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可．
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